期末计算题组10天训练（计算题专项训练）数学沪教版五四制新教材七年级下册

**基本信息** 聚焦七下全册核心计算与推理，以10天梯度训练整合不等式（组）、三角形性质与全等、图形变换等模块，题型从基础到综合，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式（组）|每天1-2题|含参数取值、整数解、数轴表示|从解法到参数分析，体现抽象能力| |三角形性质与全等|每天2-3题|等腰/等边三角形计算、全等证明|性质与判定结合，强化推理意识| |图形变换与综合|每天2题|旋转/翻折综合、多步推理证明|性质应用与变换结合，发展几何直观|

七下数学期末计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：沪教版五四制新教材；训练范围：全册】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组无解，m应满足的条件 　 ． 2．已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为 　 　 ． 3．已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝　 　 度． 4．如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　 　 ． 5．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 6．如图，已知点B、C、D在一直线上，△ABD与△ACE都是等边三角形，联结DE，试说明AB∥DE的理由． 7．如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为x＞2．若用字母a表示“□”里的常数，则a的取值范围是 　 ． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠EOF，OE⊥AB．如果∠BOF＝28°，那么∠COF＝ 　 　 °． 3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 　 　 ． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．已知AC＝CD，AE＝9，那么AD＝　 　 ． 5．如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ 　 　 °． 6．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 7．如图，△ABC和△CDE是等边三角形，连接BD、AE交于点P，BD、AC交于点Q．点F为线段BD上一点，且FP＝AP．求证： （1）△BCD≌△ACE； （2）△AFP是等边三角形． 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　 　 ． 2．如图，已知在等边△ABC中，AB＝4cm，点E、F分别在边AB、AC上，将△ABC沿EF翻折，点A正好落在边BC上的点D处，如果△BDE的周长比△CDF的周长小1cm，那么BD＝　　 cm． 3．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 　 　 ． 4．计算： （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组，并求出它的整数解． 5．如图，AD是△ABC中∠BAC平分线，E在AB上，且EB＝EC，∠ACE＞∠ECB，AD与EC相交于O，求证：DC＞OC． 6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F． （1）求证：∠A＝∠EBC； （2）如果AC＝2BC，请猜想BE和BD的数量关系，并证明你的猜想． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是 　 ． 2．如果等腰三角形的周长为12厘米，其中一条边的长为3厘米，那么这个等腰三角形的腰的长为 　 　 厘米． 3．在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线相交于点O，如果点O在边BC上，那么∠BAC＝ 　 　 °． 4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是 　 　 ． 5．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：； （2）解不等式组，并写出所有的整数解：． 6．如图，已知：在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B． （1）求证：AB＝AC； （2）连接AD，如果AD平分∠FDE，求证：AD⊥BC． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE分别是∠CAB、∠CBA的平分线，AD、BE交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F、交AC于点G． （1）求证：△ABP≌△FBP； （2）AG、BD、AB之间有怎样的数量关系，请说明理由． 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 　 ． 2．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　 　 ． 3．已知：△ABC的三条边都不相等，∠B＝30°，将△ABC沿直线AB翻折，点C恰好落在点E处，边CA的延长线与射线BE相交于点D，如果△ADE为直角三角形，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 4．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 5．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝82°，∠B＝41°，线段BC的垂直平分线交线段BC于点E，交线段AB于点D，联结CD．如果AD＝2，BD＝6，求△ADC的周长． 7．已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的一元一次不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是　 　 ． 2．已知△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，∠ABD＝50°，那么∠A的度数是 　 　 ． 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．绕点C顺时针旋转△ABC，使点B落在AC边上，点B的对应点记为点D，点A的对应点记为点E，连接AE，那么∠AED的度数是　 　 ． 4．如图，已知线段AB、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD、AC、BD，若∠BAO＝∠CDO＝76°，∠ACD＝118°，那么∠ODB的度数是 　 　 ． 5．解下列不等式或不等式组： （1）解不等式：5x﹣6≥2x+6，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 6．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB＝CD，AE∥FD，BF∥EC，AD和EF相交于点O．求证：OE＝OF． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为AB的中点，连接DM并延长交CB的延长线于点E，点F在边BC上，且∠ADE＝∠EDF． （1）求证：△ADM≌△BEM； （2）连接FM，求证：FM⊥DE． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 ． 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ． 3．已知∠A的两边与∠B的两边分别平行，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A＝ 　 ． 4．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 5．如图，已知△ABC中，∠BAC＝118°，AB＝BE，AC＝CD，那么∠DAE＝　 　 ． 6．回答下列小题： （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）求证：AB垂直平分DF． 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组，任意一个x的值都不在﹣1≤x≤2的范围内，则m的取值范围是 　 ． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上且AC＝AD，连接CD，点G在线段CD上（不与点C、D重合），直线l过点D，将△ABC沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与AB平行的直线上，那么∠ADP的度数为 　 　 °． 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 4．解下列不等式（组）： （1）解不等式； （2）解不等式组． 5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC交于点D． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点D（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，如果∠ADC＝96°，∠CAD与∠DAB的度数之比为5：4，那么∠BAC的度数是多少？ 6．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 7．如图，已知：在△PAC中，点D、B分别在边PA、PC上，AB与CD相交于点O，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC． （1）求证：PA＝PC； （2）连接PO并延长交AC于点E，求证：PE⊥AC． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为　 　 ． 2．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 3．如图所示，线段AB＝10cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 　 ． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 　 　 ． 5．解不等式（组）： （1）1，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F． （1）求∠DAC的大小； （2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小． 7．如图，△ABC中，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB，你能说明DC⊥AC吗？ 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时，aΔb＝a﹣2b．例如：3Δ（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1Δ2＝1﹣2×2＝﹣3．已知（3x﹣7）Δ（3﹣2x）＜﹣6，则x的取值范围为 　 ． 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ． 3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 　 　 度． 4．如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　 　 ． 5．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别在边AB，AC上，满足AD＝AE，连接CD，BE． （1）求证：CD＝BE． （2）若BC＝BE，∠ABE＝15°，求∠A的度数． 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，延长DC至点E，使DE＝AD，连结AE，过点B作AC的垂线，垂足为G，交AE于点F． （1）若∠BAC＝52°，求∠FBC的度数； （2）试说明BF＝AC的理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七下数学期末计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：沪教版五四制新教材；训练范围：全册】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组无解，m应满足的条件 　 ． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 2．已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为 　 　 ． 【解答】解：设等腰三角形的另一边为x， ∵等腰三角形的周长为10，一边长为2， ∴有以下两种情况： ①当x为等腰三角形的腰长时，底边为2， 依题意得：2x+2＝10， 解得：x＝4， ∵2+4＞5， 故符合三角形任意两边之和大于第三边， ∴腰长为4， ②当2为等腰三角形的腰长时，底边为x， 依题意得：2+2+x＝10， 解得：x＝6， ∵2+2＜6， 故不符合三角形任意两边之和大于第三边，此种情况不存在． 综上所述：该等腰三角形的腰长为4． 故答案为：4． 3．已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，如果D是边BC的中点，那么∠CAD＝　 　 度． 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∵D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠CAD＝40°， 故答案为：40． 4．如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　 　 ． 【解答】解：∵AD垂直平分CE， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝9﹣5＝4， 故答案为：4． 5．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 【解答】解：（1）； 去分母得3（x+1）﹣2（2x﹣3）≥6， 去括号得3x+3﹣4x+6≥6， 移项合并得﹣x≥﹣3， 解得x≤3； （2）， 解不等式2x+4＞0得x＞﹣2， 解不等式3x﹣4≤2+x得x≤3， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 6．如图，已知点B、C、D在一直线上，△ABD与△ACE都是等边三角形，联结DE，试说明AB∥DE的理由． 【解答】证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC与△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）， ∴∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AB∥DE． 7．如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 【解答】解：在AB上截取AM＝AE，连接MF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF． 在△MAF和△EAF中． ， ∴△MAF≌△EAF（SAS）． ∴MF＝EF，∠AMF＝∠AEF． ∴∠BMF＝∠BEC． ∵∠BEC＞∠ABE， ∴∠BMF＞∠ABE． ∴BF＞MF． ∴BF＞EF． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为x＞2．若用字母a表示“□”里的常数，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：一元一次不等式组时， 用字母a表示“□”里的常数， ∴， 解不等式x﹣a＞0得：x＞a， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴a≤2． 故答案为：a≤2． 2．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠EOF，OE⊥AB．如果∠BOF＝28°，那么∠COF＝ 　 　 °． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠BOF＝28°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝118°， ∵OD平分∠EOF， ∴∠DOF， ∵∠DOF+∠COF＝180°， ∴∠COF＝180°﹣59°＝121°， 故答案为：121． 3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 　 　 ． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∵BE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．已知AC＝CD，AE＝9，那么AD＝　 　 ． 【解答】解：作CF⊥AD于点F，如图所示， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴ED＝FD， ∵AC＝CD，CF⊥AD， ∴点F为AD的中点， ∴AF＝FD， ∴AF＝FD＝ED， ∵AE＝9， ∴AD＝6， 故答案为：6． 5．如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ 　 　 °． 【解答】解：连接AO并延长到点D， ∵点O是△ABC各边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB， ∵∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OAC，∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠BAO， ∴∠COD+∠BOD＝2（∠OAC+∠BAO）， ∴∠BOC＝2∠BAC， ∵∠BOC＝72°， ∴∠A＝36°． 故答案为：36． 6．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣2）≥2（7﹣x）， 去括号，得3x﹣6≥14﹣2x， 移项，得3x+2x≥14+6， 合并同类项，得5x≥20， 系数化为1，得x≥4， 在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 在数轴上表示如下： 7．如图，△ABC和△CDE是等边三角形，连接BD、AE交于点P，BD、AC交于点Q．点F为线段BD上一点，且FP＝AP．求证： （1）△BCD≌△ACE； （2）△AFP是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE＝60°+∠ACD， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）． （2）由（1）得△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∴∠APF＝∠AQB﹣∠CAE＝∠AQB﹣∠CBD＝∠ACB＝60°， ∵FP＝AP， ∴△AFP是等边三角形． 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　 　 ． 【解答】解：解第一个不等式得x， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7， ∴﹣4﹣3＝﹣7或﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7， 即它的整数解为﹣4，﹣3或4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴﹣32或23， 解得：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10， 故答案为：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10． 2．如图，已知在等边△ABC中，AB＝4cm，点E、F分别在边AB、AC上，将△ABC沿EF翻折，点A正好落在边BC上的点D处，如果△BDE的周长比△CDF的周长小1cm，那么BD＝　　 cm． 【解答】解：∵将△ABC沿EF翻折，点A正好落在边BC上的点D处， ∴AE＝AD，AF＝DF， ∵△BDE的周长比△CDF的周长小1cm， 而△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BD+BE+AE＝AB+BD， 同理△CDF的周长＝AC+CD， 又△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∴BD+1＝CD， 而BD+CD＝CB＝AB＝4cm， ∴BDcm． 故答案为：． 3．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 　 　 ． 【解答】解：延长AP交BC于点E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴． 故答案为：6． 4．计算： （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组，并求出它的整数解． 【解答】解：（1）， 6x﹣1+2≤4x﹣6， 6x﹣4x≤﹣6+1﹣2， 2x≤﹣7， x≤﹣3.5， 将解集表示在数轴上如下： （2）， 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜1， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴该不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0． 5．如图，AD是△ABC中∠BAC平分线，E在AB上，且EB＝EC，∠ACE＞∠ECB，AD与EC相交于O，求证：DC＞OC． 【解答】证明：∵EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠ACE＞∠ECB， ∴∠ACE＞∠EBC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵∠DOC＝∠DAC+∠ECA，∠ODC＝∠BAD+∠EBC， ∴∠DOC＞∠ODC， ∴DC＞OC． 6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F． （1）求证：∠A＝∠EBC； （2）如果AC＝2BC，请猜想BE和BD的数量关系，并证明你的猜想． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°， ∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD， ∴∠A＝∠EBC； （2）解：CD＝BE． 过点D作DG⊥AC于点G， ∵DA＝DC，DG⊥AC， ∴AC＝2CG， ∵AC＝2BC， ∴CG＝BC， ∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°， ∴∠DGC＝∠ECB， 在△DGC和△ECB中， ， ∴△DCG≌△EBC（ASA）， ∴CD＝BE． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若不等式组有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：解不等式x﹣3＞1， 移项得x＞4， 解不等式3x﹣2≤a， 移项得3x≤a+2， 两边同除以3得x， ∴结合两个解集，不等式组的解集为：4＜x， ∵不等式组有一个整数解x＝7，则：7， 解得：a≥19， 故答案为：a≥19． 2．如果等腰三角形的周长为12厘米，其中一条边的长为3厘米，那么这个等腰三角形的腰的长为 　 　 厘米． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3厘米时， ∵等腰三角形的周长为12厘米， ∴它的底边长＝12﹣3﹣3＝6（厘米）， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的底长为3厘米时， ∵等腰三角形的周长为12厘米， ∴它的腰长4.5（厘米）； 综上所述：这个等腰三角形的腰的长为4.5厘米， 故答案为：4.5． 3．在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线相交于点O，如果点O在边BC上，那么∠BAC＝ 　 　 °． 【解答】解：∵边AB、AC的垂直平分线相交于点O，如果点O在边BC上， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠B＝∠OAB，∠C＝∠OAC， ∵∠B+∠OAB+∠C+∠OAC＝180°， ∴∠OAB+∠OAC＝90°， 即∠BAC＝90°． 故答案为：90． 4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是 　 　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转得△DBE，∠BAC＝45°， ∴∠BDE＝45°，AB＝AD，CB＝EB，∠ABD＝∠DBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠EBC， ∴， 由题意可得：CE＝CF或CE＝EF， 当CE＝CF时，设∠ECF＝α， ∴∠CFE＝∠BEC＝∠BCE＝42°+α， ∴由三角形的内角和可得：∠CFE+∠BEC+∠ECF＝42°+α+42°+α+α＝180°， ∴α＝32°， ∴∠BDA＝∠BEC＝42°+α＝74°， ∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝74°﹣45°＝29°， 当EC＝EF时，设∠ECF＝β，则∠EFC＝∠ECF＝β， ∴∠BEC＝∠BCE＝42°+β， ∴∠BEC+∠CFE+∠ECF＝42°+β+β+β＝180°， ∴β＝46°， ∴∠BDA＝∠BEC＝42°+β＝88°， ∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝43°． 故答案为：29°或43°． 5．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：； （2）解不等式组，并写出所有的整数解：． 【解答】解：（1）， 8﹣7x+1≥6x﹣4， ﹣7x﹣6x≥﹣4﹣8﹣1， ﹣13x≥﹣13， x≤1， 数轴表示如下： ； （2）解不等式3（x﹣2）≥x﹣4得，x≥1， 解不等式得，x＜4， 所以不等式组的解集为1≤x＜4， 则不等式组的整数解为1，2，3． 6．如图，已知：在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B． （1）求证：AB＝AC； （2）连接AD，如果AD平分∠FDE，求证：AD⊥BC． 【解答】证明：（1）∵∠FDE＝∠B， ∴∠CDE+∠BDF＝180°﹣∠FDE＝180°﹣∠B， ∵∠BFD+∠BDF＝180°﹣∠B， ∴∠BFD+∠BDF＝∠CDE+∠BDF， ∴∠BFD＝∠CDE， 在△BFD和△CDE中， ， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． （2）如图，∵AD平分∠FDE， ∴∠ADF＝∠ADE， 在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE分别是∠CAB、∠CBA的平分线，AD、BE交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F、交AC于点G． （1）求证：△ABP≌△FBP； （2）AG、BD、AB之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别是∠CAB、∠CBA的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠CAB，∠ABP＝∠FBP∠CBA， ∴∠BAD+∠ABP（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABP）＝135°， ∵PF⊥AD， ∴∠APF＝90°， ∴∠FPB＝360°﹣∠APF﹣∠APB＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）． （2）解：AG+BD＝AB， 理由：∵PF⊥AD， ∴∠APG＝∠FPD＝90°， 由（1）得△ABP≌△FBP， ∴AP＝FP，AB＝FB，∠BAD＝∠F， ∵∠BAD＝∠GAP， ∴∠GAP＝∠F， 在△APG和△FPD中， ， ∴△APG≌△FPD（ASA）， ∴AG＝FD， ∴AG+BD＝FD+BD＝FB， ∴AG+BD＝AB． 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：， 由不等式①得：x＞﹣a， 由不等式②得：x≤2a﹣3， ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴﹣a＜2a﹣3， 解得a＞1， 故答案为：a＞1． 2．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　 　 ． 【解答】解：分两种情况： ①当AC＝2AB＝4时，AB＝2， 此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ②当BC＝2AB＝6时，AB＝3， 此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意； 综上所述，边AB的长为3， 故答案为：3． 3．已知：△ABC的三条边都不相等，∠B＝30°，将△ABC沿直线AB翻折，点C恰好落在点E处，边CA的延长线与射线BE相交于点D，如果△ADE为直角三角形，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 【解答】解：如图1所示， 当∠ADE＝90°，则∠BDC＝180°﹣∠ADE＝90°， 由折叠的性质可得∠EBA＝∠CBA＝30°， ∴∠BAC＝∠BDC+∠ABD＝120°， ∴∠C＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC，此时不符合题意； 如图2所示，当∠DAE＝90°时， ～ 由折叠的性质可得∠BAE＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+90°， 又∵∠BAC+∠BAD＝180°， ∴∠BAC＝135°， 如图3所示，当∠AED＝90°时，则∠AEB＝180°﹣∠AED＝90°， 由折叠的性质可得∠ACB＝∠AEB＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝60°， 如图4所示，当∠EAD＝90°，则∠EAC＝180°﹣∠EAD＝90°， 由折叠的性质可得， 综上所述，∠BAC的度数为45°或60°或135°， 故答案为：45°或60°或135°． 4．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， 3x﹣2﹣2x﹣6≤6， x≤14． 不等式组的解在数轴上表示如图所示， ． （2）解不等式3x+5≥8得x≥1， 解不等式2x得x＜3， ∴不等式组的解集为：1≤x＜3， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示， ． 5．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 【解答】证明：在DC上取点E，使DE＝BD， ∵AD⊥BC，且BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∵AB＝CD﹣BD， ∴CD﹣BD＝CD﹣DE＝CE， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C， ∴∠B＝2∠C． 6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝82°，∠B＝41°，线段BC的垂直平分线交线段BC于点E，交线段AB于点D，联结CD．如果AD＝2，BD＝6，求△ADC的周长． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴DC＝BD＝6， ∴∠DCE＝∠B＝41°， ∴∠CDA＝∠B+∠DCE＝82°， ∵∠A＝82°， ∴∠A＝∠CDA， ∴CA＝CD＝6， ∴△ADC的周长＝AD+AC+DC＝2+6+6＝14． 7．已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BDE， ∴设∠ADB＝∠ADE＝α， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝AE， ∴△ACE是等腰三角形； （2）在△ABD中，∠B＝∠ADB＝α， ∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝180°﹣2α， ∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α， ∵∠ADB＝∠ADE＝α， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣2α， ∴∠CAE＝∠CDE． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的一元一次不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由题意，， ∵解不等式①得：x≤a，解不等式②得：x≥3， ∴不等式组的解集是3≤x≤a， ∵关于x的一元一次不等式组的整数解共有4个， ∴6≤a＜7． 故答案为：6≤a＜7． 2．已知△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，∠ABD＝50°，那么∠A的度数是 　 　 ． 【解答】解：如图：AB＝AC，BD是AC边上的高， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°； 如图：AB＝AC，BD是AC边上的高， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝90°+50°＝140°， ∴∠BAC＝40°或140°． 故答案为：40°或140°． 3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．绕点C顺时针旋转△ABC，使点B落在AC边上，点B的对应点记为点D，点A的对应点记为点E，连接AE，那么∠AED的度数是　 　 ． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝70°． 由旋转得，∠DCE＝∠BCA＝70°，∠CED＝∠BAC＝40°，CE＝CA， ∴∠CEA＝∠CAE55°， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝55°﹣40°＝15°． 故答案为：15°． 4．如图，已知线段AB、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD、AC、BD，若∠BAO＝∠CDO＝76°，∠ACD＝118°，那么∠ODB的度数是 　 　 ． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵线段AB、CD的垂直平分线交于点O， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∴∠BAO＝∠1＝∠CDO＝∠2＝76°， ∴∠3＝∠4＝180°﹣2×76°＝28°， ∴∠3+∠5＝∠4+∠5，即∠AOC＝∠BOD， ∵∠ACD＝118°B∠6＝∠ACD﹣∠2＝118°﹣76°＝42°， ∵OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠ODB＝∠6＝42°， 故答案为：42°． 5．解下列不等式或不等式组： （1）解不等式：5x﹣6≥2x+6，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【解答】解：（1）5x﹣6≥2x+6， 5x﹣2x≥6+6， 3x≥12， x≥4， 在数轴上表示为： ； （2）， 由①得，x＞﹣1， 由②得，x＜4， 故不等式组的解集为﹣1＜x＜4， 它的所有整数解为：0，1，2，3． 6．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB＝CD，AE∥FD，BF∥EC，AD和EF相交于点O．求证：OE＝OF． 【解答】证明：∵AE∥FD，BF∥EC， ∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF， ∵AB＝CD， ∴AC＝BD， 在△ACE与△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（ASA）， ∴CE＝BF， 在△COE与△BOF中， ， ∴△COE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为AB的中点，连接DM并延长交CB的延长线于点E，点F在边BC上，且∠ADE＝∠EDF． （1）求证：△ADM≌△BEM； （2）连接FM，求证：FM⊥DE． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠E， ∵M为AB的中点， ∴AM＝BM， 在△ADM和△BEM中， ， ∴△ADM≌△BEM（AAS）． （2）连接FM， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠E， ∵∠ADE＝∠EDF， ∴∠E＝∠EDF， ∴DF＝EF， 由（1）得△ADM≌△BEM， ∴DM＝EM， ∴FM⊥DE． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：由，得：x＜2， 由2x+a＞3x，得：x＜a， ∵不等式组的解集为x＜2， ∴a≥2， 故答案为：a≥2． 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7，则BD的长是　 　 ． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3，BC＝7， ∴AD＝CD＝3， ∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 3．已知∠A的两边与∠B的两边分别平行，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A＝ 　 ． 【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行， ①如图： ∵AC∥BD，AE∥BF， ∴∠A＝∠DGE，∠DGE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠A＝∠B（等量代换）； ②如图： ∵AC∥BD，AE∥BF， ∴∠A＝∠AGB（两直线平行，内错角相等），∠AGB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠B＝180°； ∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B， ∵2∠A﹣∠B＝18°， 当∠A+∠B＝180°时，2∠A﹣∠B+∠A+∠B＝198°， 解得∠A＝66°； 当∠A＝∠B时，2∠A﹣∠A＝18°， 解得∠A＝18°； 故答案为：66°或18°． 4．如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵△EFG为等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∵△PHK为等腰直角三角形， ∴∠PHK＝45°， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝∠1+90°，∠EGP＝∠EGF+∠2＝∠2+60°，∠CHP＝∠3+∠PHK＝∠3+45°， ∵∠EBC，∠EGP，∠CHP为△BGH的三个外角， ∴∠EBC+∠EGP+∠CHP＝360°， ∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+45°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3＝165°． 故答案为：165． 5．如图，已知△ABC中，∠BAC＝118°，AB＝BE，AC＝CD，那么∠DAE＝　 　 ． 【解答】解：AB＝BE，AC＝CD， ∴∠BAE＝∠BEA，∠CDA＝∠CAD（等边对等角）， ∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠CAE， ∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BAD+∠DAE，∠CAD＝∠B+∠BAD＝∠DAE+∠CAE， ∴∠C+∠CAE+∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE， ∴∠C+∠B＝2∠DAE， ∵∠BAC＝118°， ∴∠C+∠B＝180°﹣∠BAC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠DAE＝62°÷2＝31°， 即∠DAE的度数为31°． 故答案为：31°． 6．回答下列小题： （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， 3（2x﹣1）﹣（x+1）≤6， 6x﹣3﹣x﹣1≤6， 6x﹣x≤6+3+1， 5x≤10， x≤2； （2）， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）求证：AB垂直平分DF． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵CE⊥AD， ∴∠CAD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAD＝∠BCF， ∵BF∥AC， ∴∠FBA＝∠CAB＝45° ∴∠ACB＝∠CBF＝90°， 在△ACD与△CBF中， ∵， ∴△ACD≌△CBF； （2）证明：连接DF． ∴BF⊥BC． ∴∠CBF＝90°， ∵△ACD≌△CBF， ∴CD＝BF． ∵CD＝BDBC， ∴BF＝BD． ∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠ABC＝45°． ∵∠FBD＝90°， ∴∠ABF＝45°． ∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF． 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组，任意一个x的值都不在﹣1≤x≤2的范围内，则m的取值范围是 　 ． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜m+1， 解不等式②，得x＞m﹣2， ∴不等式组的解集为m﹣2＜x＜m+1， ∵解集中任意一个x的值都不在﹣1≤x≤2的范围内， ∴m﹣2≥2或m+1≤﹣1， ∴m≥4或m≤﹣2， 故答案为：m≥4或m≤﹣2． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上且AC＝AD，连接CD，点G在线段CD上（不与点C、D重合），直线l过点D，将△ABC沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与AB平行的直线上，那么∠ADP的度数为 　 　 °． 【解答】解：如图： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣90°＝60， ∵AD＝AC， ∴△ADC为等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∵△ABC沿着直线l翻折， ∴DG＝DP， ∵PG∥AB， ∴∠DGP＝∠ADC＝60°， ∴△DGP 为等边三角形，∠GDP＝60°， ∴∠ADP＝∠ADC+∠GDP＝60°+60°＝120°， 故答案为：120． 3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 【解答】解：∵△CBD≌△EBD， ∴CD＝DE，BE＝BC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm）， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+CD+AD＝AE+AC＝2+5＝7（cm）． 故答案为：7． 4．解下列不等式（组）： （1）解不等式； （2）解不等式组． 【解答】解：（1）原不等式去分母得2（x﹣3）+12≤3（2x+5）， 去括号得2x﹣6+12≤6x+15， 移项得2x﹣6x≤15+6﹣12， 合并得﹣4x≤9， 系数化为1得：； （2）解不等式2（x﹣4）＞﹣3得， 解不等式得x≤4， 所以，不等式组的解集为． 5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC交于点D． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点D（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，如果∠ADC＝96°，∠CAD与∠DAB的度数之比为5：4，那么∠BAC的度数是多少？ 【解答】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D， 则点D即为所求． （2）∵AB的垂直平分线与BC交于点D， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD． ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠BAD＝96°， ∴∠BAD＝48°． ∵∠CAD与∠DAB的度数之比为5：4， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝48°+60°＝108°． 答：∠BAC的度数是108°． 6．如图，已知：在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接CF． （1）如果∠BAC＝70°，求∠EFC的度数； （2）过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC＝10，AF＝6，求△GFC的周长． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝35°， ∵EF垂直平分AC， ∴FA＝FC，FE⊥AC， ∴∠FCA＝∠DAC＝35°， ∴∠EFC＝90°﹣35°＝55°； （2）∵FG∥AB， ∴∠AFG＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠AFG＝∠DAC， ∴GA＝GF， ∴△GFC的周长＝GF+FC+CG＝GA+GC+AF＝AC+AF＝10+6＝16． 7．如图，已知：在△PAC中，点D、B分别在边PA、PC上，AB与CD相交于点O，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC． （1）求证：PA＝PC； （2）连接PO并延长交AC于点E，求证：PE⊥AC． 【解答】证明：（1）∵点D、B分别在边PA、PC上，AB与CD相交于点O， ∴∠AOD＝∠COB， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADO＝∠CBO， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（AAS）， ∴∠DAO＝∠BCO，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAO+∠OAC＝∠BCO+∠OCA， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴PA＝PC． （2）连接PO并延长交AC于点E， ∵PA＝PC，AD＝BC， ∴PA﹣AD＝PC﹣BC， ∴PD＝PB， 由（1）得△AOD≌△COB， ∴OD＝OB， 在△OPD和△OPB中， ， ∴△OPD≌△OPB（SSS）， ∴∠DPO＝∠BPO， ∵PA＝PC，PE平分∠APC， ∴PE⊥AC． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为　 　 ． 【解答】解：解方程组， ①+②，得（m+4）x＝9， 解得：， 把代入②，得， 解得：． ∵方程组有正整数解， ∴对于x，m+4可以为1，3，9，对于y，m+4可以为1，2，3，4，6，12， ∴m+4为1或3，即x＝9或3，y＝12或4． 当m+4＝1时，m＝﹣3；当m+4＝3时，m＝﹣1， ∴m的值为﹣3或m＝﹣1． 解不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有解， ∴， 解得：m＞﹣1.4． 当m＝﹣1时，满足m＞﹣1.4，，y符合题意； 当m＝﹣3时，不满足m＞﹣1.4，不符合题意，舍去， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 2．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 3．如图所示，线段AB＝10cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 　 ． 【解答】解：如图作EH⊥AN于H， ∵BA⊥AN，EH⊥AN， ∴∠BAC＝∠EHC＝90°， ∵∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECH＝90°， ∴∠ABC＝∠ECH， ∵△BCE和△ACD都是等腰三角形， ∴BC＝CE，AC＝DC，∠BCE＝∠ACD＝90°， 在△ABC和△HCE中， ， ∴△ABC≌△HCE（AAS）， ∴AC＝EH＝CD，AB＝CH， 在△DCM和△EHM中， ， ∴△DCM≌△EHM（AAS）， ∴CM＝HM， ∴CMCHAB10＝5（cm）． 故答案为5cm． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 　 　 ． 【解答】解：连接CE，如图， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣40°）＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD，即AD垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上， ∴BE＝BC，∠FBE＝∠ABC＝70°， ∵BE＝CE＝BC， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠CBF＝∠CBE+∠FBE＝60°+70°＝130°， 故答案为：130°． 5．解不等式（组）： （1）1，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【解答】解：（1）∵1， ∴6﹣2（2x﹣4）≥3（1﹣5x）， 6﹣4x+8≥3﹣15x， ﹣4x+15x≥3﹣6﹣8， 11x≥﹣11， 则x≥﹣1， 将解集表示在数轴上如下： （2）解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，其整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F． （1）求∠DAC的大小； （2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣116°＝64°， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ACD， ∴∠DAC＝∠ACB＝32°； （2）∵EF∥AC， ∴∠BEF＝∠ACB＝32°， ∵∠BFE＝3∠B，∠BEF+∠BFE+∠B＝180°， ∴3∠B+∠B+32°＝180°， ∴∠B＝37°， ∴∠BAC＝∠BFE＝3×37°＝111°． 7．如图，△ABC中，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB，你能说明DC⊥AC吗？ 【解答】解：如图所示，作DE⊥AB于E， ∵DA＝DB，DE⊥AB， ∴AE＝EBAB，∠AED＝90°． ∵AB＝2AC， ∴ACAB． ∴AC＝AE． 在△ACD和△AED中， ∵AC＝AE，∠2＝∠1，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠ACD＝∠AED＝90°． ∴DC⊥AC． 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时，aΔb＝a﹣2b．例如：3Δ（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1Δ2＝1﹣2×2＝﹣3．已知（3x﹣7）Δ（3﹣2x）＜﹣6，则x的取值范围为 　 ． 【解答】解：定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时，aΔb＝a﹣2b． 由题意得：或， 解不等式组， 得， 即x＞5； 解不等式组， 得，即x＜1； 故答案为：x＞5或x＜1． 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ． 【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 　 　 度． 【解答】解：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°． 在△ABP与△CAQ中， ， ∴△ABP≌△CAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠CAQ． ∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP， ∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°． 故答案为：60． 4．如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　 　 ． 【解答】解：连接CP， ∵∠1是△DPC的外角，∠2是△EPC的外角，∠DCE＝65°，∠DPE＝∠α＝60°， ∴∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠EPC+∠ECP， ∴∠DCP+∠ECP＝∠DCE＝65°，∠DPC+∠EPC＝∠DPE＝60°， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠EPC+∠ECP＝125°． 故答案为：125°． 5．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）（x﹣1）＜1， 去分母得，x﹣2﹣2（x﹣1）＜2， 去括号得，x﹣2﹣2x+2＜2， 合并同类项得，﹣x＜2， 系数化为1得，x＞﹣2； 在数轴上表示如下图： ； （2）， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≥﹣2， 取公共解集：﹣2≤x． 在数轴上表示如下图： ． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别在边AB，AC上，满足AD＝AE，连接CD，BE． （1）求证：CD＝BE． （2）若BC＝BE，∠ABE＝15°，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴CD＝BE； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BC＝BE， ∴∠ACB＝∠BEC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠ACB+∠BEC+∠CBE＝180°， ∴∠A＝∠CBE， 由（1）得：△ABE≌△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD＝15°， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD， 即∠CBE＝∠BCD， ∴∠CBE＝∠BCD＝∠A， ∴∠ABE+∠CBE+∠ACD+∠BCD+∠A＝180°， 即3∠A+2×15°＝180°， ∴∠A＝50°． 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，延长DC至点E，使DE＝AD，连结AE，过点B作AC的垂线，垂足为G，交AE于点F． （1）若∠BAC＝52°，求∠FBC的度数； （2）试说明BF＝AC的理由． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝52°， ∴， ∵过点B作AC的垂线，垂足为G， ∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣64°＝26°； （2）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC， ∵∠GBC+∠GCB＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠GBC＝∠DAC＝∠DAB， 又∵DE＝DA， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴∠AFB＝∠CBG+∠DEA＝∠CBG+45°， ∵∠BAF＝∠DAB+∠DAE＝∠DAB+45°， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BF＝AB， ∴BF＝AC． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $