2025--2026学年冀教版数学七年级下学期期末仿真模拟试卷二

**基本信息** 冀教版七年级下册期末仿真卷，以《九章算术》古题、租车方案等真实情境为载体，通过12道选择（36分）、4道填空（12分）、8道解答（72分），梯度覆盖因式分解、不等式、几何等核心知识，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|第6题《九章算术》方程应用、第12题含参不等式组|结合文化传承，考查推理能力| |填空|4/12|第14题中点与面积最值、第16题三角板角关系|融入空间观念，体现几何直观| |解答|8/72|第23题新定义“阶不等式组”、第24题坐标系几何综合|创新问题设计，培养应用意识|

冀教版数学七年级下学期期末仿真模拟试卷二 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2． 如图，在中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若a＜b，则下列式子不成立的是（　　） A．a-1＜b-1 B．2a＜2b C．a+c＜b+c D．-a＜-b 4．如果那么m，n的值分别是（　　） A．m=4，n=32 B．m=4，n=-32 C．m=-4，n=-32 D．m=-4，n=32 5．如图 1，三根木条相交成，固定木条，将木条绕点顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 7．某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是，每辆小客车的乘客座位数是，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，和是分别沿着边翻折形成的，与交于点O，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．已知4m=a，8n=b，其中 m，n为正整数，则 等于(　　) A．ab B．a+b C． D． 11．三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（　　） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 12．已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若它有解，则a＞3． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。 13．若，，则　 　． 14．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为　 　． 15．规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则关于m的不等式的解集为　 　． 16．一副三角板按如图方式放置， 有下列结论： ①； ②若 ， 则 ；③若 ， 必有 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有　 　. 三、解答题：本大题共8小题，共72分。 17．因式分解： （1）ab2-4a （2） 18．解下列方程： （1） （2） 19．解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出非负数整数解． 20．（1） 已知： 求 的值. （2）先化简，再求值：已知求的值. 21．如图，已知，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2 （1）请说明AB∥CD的理由； （2）若∠3=10°，∠D-∠CBD=40°，求∠D的度数. 22．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 例如方案一： 大正方形面积可看成，也可看成，故 （1）根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故； （2）若边长，之间的关系为，，求的值； （3）两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积． 23．若不等式(组)只有个正整数解(为自然数)，则称这个不等式(组)为阶不等式(组)． 我们规定：当时，这个不等式（组为0阶不等式（组． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是　 　阶不等式；是　 　阶不等式组； （2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围； （3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围． 24．【综合与探究】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0）、点B（3，0）、点C（0，2），点D在第一象限，CD//AB且CD＝AB，连接AC，BD． （1）直接写出点D的坐标； （2）若点M在y轴的正半轴上，且S△ODM＝2S△AOC，求点M的坐标； （3）若点P是线段BD延长线上的一点（如图2）．连接PC、PO，请判断∠CPO，∠DCP与∠BOP之间的数量关系，并证明你的结论． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A、该等式是整式的乘法运算，A错误； B、，B错误； C、，C正确； D、，D错误. 故答案为：C. 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解. 2．【答案】B 【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、CD的中点 ∴， ∵∴ ∵EF⊥AB，EF=4， ∴AD=BD=2，B正确. 故答案为：B. 【分析】三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，因此可得，，由三角形ABC的面积可以求得三角形ADE的面积，再根据EF⊥AB，求出底边AD的长度，从而根据点D为AB中点求得BD的长度。 3．【答案】D 【知识点】不等式的性质 【解析】【解答】解：A、若a<b，a-1<b-1，A选项不符合； B、若a<b，2a<2b，B选项不符合； C、若a<b，a+c<b+c，C选项不符合； D、若a<b，-a>-b，D选项符合； 故答案为：D. 【分析】根据不等式性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者字母，不等式的符号不发生改变； A和C选项是正确的，不等式两边同时乘以或除以一个不为零的正数，不等式的符号不发生改变；B选项正确；不等式两边同时乘以或除以一个不为零的负数，不等式的符号发生改变；D选项不成立. 4．【答案】B 【知识点】多项式乘多项式 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：B． 【分析】先将等式的左边利用多项式乘以多项式展开，然后根据对应系数相等解答即可． 5．【答案】D 【知识点】两直线平行，同位角相等 【解析】【解答】解：如图2所示， ， 旋转后的， 要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是． 故选：D． 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到旋转后的∠2的度数，然后求出旋转角即可. 6．【答案】B 【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组 【解析】【解答】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升(1斗=10升)，相当于下等稻10捆所得谷粒， ∴6x-18 =10y， ∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒， ∴15y-5=5x， 则根据题意可列出方程组 故答案为：B. 【分析】根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案. 7．【答案】B 【知识点】一元一次不等式的应用 【解析】【解答】解∶该校最后参加活动的总人数为 (人)． 设租用小客车x辆，则租用大客车辆． 依题意得∶， 解得∶． 又∵x为整数， x的最大值为3， 故答案为∶B ． 【分析】先根据数量关系求出最后参加活动的总人数，设租用小客车x辆，则租用大客车辆，再根据租用车辆总数不变，列出关于x的一元一次不等式，求解即可． 8．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：设∠1=13x，∠2=3x，∠3=2x ， ∴13x+3x+2x=180°， ∴x=10°， 即∠1=130°，∠2=30°，∠3=20° ， 由折叠性质知：∠OBC=2∠2=60°，∠OCB=2∠3=40°， ∴∠BOC=180°-60°-40°=80°， ∴∠DOE= ∠BOC= =80°. 故答案为：D . 【分析】设∠1=13x，∠2=3x，∠3=2x ，根据三角形内角和定理可得13x+3x+2x=180°，从而得出∠1，∠2，∠3的度数，再根据折叠性质可得出∠OBC和∠OCB的度数，进而根据三角形内角和即可得出∠BOC的度数，再根据对顶角的性质即可得出的度数 。 9．【答案】B 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】 解：① −x2−y2=−(x2+y2)，两项符号相同，不满足平方差公式，无法用公式法分解； ② 1−​a2b2=12−(​ab)2，符合平方差公式，可用公式法分解； ③ a2+ab+b2，中间项不是首尾乘积的 2 倍，不满足完全平方公式，无法用公式法分解； ④ x2+2xy+y2=(x+y)2，符合完全平方和公式，可用公式法分解； ⑤ x2−x+​=(x−​)2，符合完全平方差公式，可用公式法分解。 综上，可用公式法分解的有②、④、⑤，共 3 个。 故答案为：B。 【分析】本题考查公式法分解因式，核心是掌握平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 和完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 的结构特征，逐一分析每个式子即可。 10．【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算 【解析】【解答】解：． 故答案为：A . 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算化为，然后整体代入计算即可． 11．【答案】D 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：由题意可得 1、当第二长的边也是8时，则第三边长可以为：1、2、3、4、5、6、7、8，共8个； 2、当第二长的边是7时，则第三边长可以为：2、3、4、5、6、7，共6个； 3、当第二长的边时6时，则第三边长可以为：3、4、5、6，共4个； 4、当第二长的边是5时，则第三边长可以为：4、5，共2个； 综合以上，共有8+6+4+2=20个。 故选：D. 【分析】根据题意可知：分当第二长的边为8、7、6、5时四种情况，然后根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可. 12．【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故答案为：C． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 13．【答案】3 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 【分析】先因式分解得到，再根据平方差公式因式分解求出即可． 14．【答案】6 【知识点】垂线段最短及其应用；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：过作于，连接，延长交于，如图所示， 、分别是、的中点， ，S△BCD， =S△BCD， ∴S△BCF==10， 、分别是、的中点， ∴，S△CEF =S△AEF． ∴+S△CEF+S△AEF， ∴， ∴， ， ， ， 线段的最小值是6． 故答案为：6． 【分析】根据三角形的中线等分三角形的两块面积求出S△BCF==10，进而得到，再求出AH求解即可. 15．【答案】 【知识点】解一元一次不等式 【解析】【解答】解：∵，∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】本题以自定义运算为载体，综合考查对新规则的理解与一元一次不等式的求解能力. 解题时需先准确套用给定的运算公式，将新运算转化为熟悉的整式运算，再将不等式化简为标准的一元一次不等式，最终求出m的解集. 16．【答案】①③④ 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3. ∴①正确； ∵BC∥AD， ∴∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°， ∴∠4≠∠3， ∴②错误； ∵∠2=15°， ∴∠3=75°。 ∵∠3+∠D=∠4+∠B，∠D=30°，∠B=45°， ∴∠4=60°， ∴∠4=2∠D， ∴③正确； ∵∠2=30°， ∴∠1=∠3=60°， ∴∠CAD=∠1+∠2+∠3=150°， ∵∠D=30°， ∴∠CAD+∠D=180°， ∴AC∥DE。 ∴④正确. 故答案为：①③④. 【分析】①由已知∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，可得∠1=∠3.所以可以知道①正确； ②若BC∥AD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可以知道∠4=∠D=30°，∠3=∠B=45°，所以∠4≠∠3，所以可以知道②错误； ③当∠2=15°时，可以知道∠3=75°。由三角形内角和是180°，对顶角相等。可以知道∠3+∠D=∠4+∠B，由已知∠D=30°，∠B=45°，所以可得∠4=60°，所以可以得到∠4=2∠D，所以③正确； ④当∠2=30°时，由∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°可以得到：∠1=∠3=60°。因为∠CAD=∠1+∠2+∠3，所以∠CAD=150°。因为∠D=30°，可以得到∠CAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到AC∥DE。所以④正确. 17．【答案】（1）解：原式 =a（b+2）（b-2） （2）解：原式 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【分析】（1）先提取公因式a，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式-ab，然后运用完全平方公式，再运用平方差公式分解因式即可. 18．【答案】（1）解： 将①代入②，得3x+2(2x-3)=8.解得x=2. 将x=2代入①，得y=1. ∴原方程组的解是 （2）解：把②×2得： 2x+8y =26③ 由③-①得： 5y = 10 解得y = 2 把y =2代入②得x = 5 ∴原方程组的解为 【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】（1）将①代入②消去未知数y，求出x的值，然后把x的值代入①求出y的值解答即可； （2）把②×2-③消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入②求出x的值解方程组即可. 19．【答案】解：，解不等式①得， 解不等式②得， 将解集表示在数轴上， ∴该不等式组的非负整数解为和． 【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，再在数轴上表示出来，找出非负整数解即可． 20．【答案】（1）解： 当，时， 原式． （2）解： ， ． 将代入可得． 【知识点】同底数幂的乘法；利用整式的混合运算化简求值；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算 【解析】【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方的逆运算化为，然后整体代入计算即可． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项化简，然后将整体代入计算可得答案． 21．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴AE∥FG， ∴∠2=∠A， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠A， ∴AB∥CD， （2）解：设∠D=x，则∠CBD=x-40°， ∵CD∥AB， ∴x+x-40+10=180， x=105°， 【知识点】平行线的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据垂直可得，根据两直线平行，内错角相等得到，根据等量代换得到，即可证明结论； （2）设∠D=x，则∠CBD=x-40°，然后根据两直线平行，同旁内角互补列方程解答即可． 22．【答案】（1），， （2）解：∵， ， ， ， ， ， 即， （负值已舍去）． ​​​​​ （3）解：根据题意设， 则，， 故，， 则 ． 【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积 【解析】【解答】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①， 又可以看成②， 故答案为：，，． 【分析】（1）方案三：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，据此仿照方案一求解即可； （2）根据题意得到，则，结合题意即可求出，进而即可求解； （3）根据题意设，则，，所以，，然后根据阴影部分面积等于，计算可知阴影部分面积为ab，进而计算即可. （1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①， 又可以看成②， 故答案为：，，． （2）解：∵， ， ， ， ， ，即， （负值已舍去）． （3）解：根据题意设， 则，， 故，， 则 ． 23．【答案】（1）0；1 （2）解：解不等式组得： ≤x<2a，1 由题意得： x有4个正整数解，为： 1， 2， 3， 4， ∴4<2a≤5， 解得： 2<a≤2.5； （3）解：由题意得，m是正整数，且p≤x<m有(m-3)个正整数解， ∴m=10. 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】（1）解：不等式 有0个正整数解， 因此 是0阶不等式； 不等式组 的解集为1<x<3， 这个不等式组有1个正整数解， 因此不等式组 是1阶不等式； 故答案为：0，1； 【分析】(1)根据题目中的定义进行分析即可； (2)根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； (3)分析题意，可以利用特殊值法，看(m-3)是从第几个整数开始的，从而求解. 24．【答案】（1）解：点D的坐标为：（4，2）． （2）解：∵点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，2）， ∴OA＝1，OC＝2， ∴S△AOC＝OA•OC＝×1×2＝1， ∵S△ODM＝2S△AOC， ∴S△ODM＝2， 设点M（0，y）， ∵D（4，2）， ∴S△ODM＝×4y＝2y， ∴2y＝2， ∴y＝1， ∴点M的坐标为：（0，1）； （3）解：∠CPO＝∠BOP﹣∠DCP，证明如下： 过点P作PE∥AB，如图2所示： 又∵CD∥AB， ∴PE∥CD， ∴∠EPC＝∠DCP， ∵PE∥AB ∴∠EPO＝∠BOP， ∵∠CPO＝∠EPO﹣∠EPC， ∴∠CPO＝∠BOP﹣∠DCP． 【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：（1）∵CD∥AB， 点A（－1，0）、点B（3，0）、点C（0，2）， ∴将点A向右平移4个单位得到点B， ∴将点C向右平移4个单位得到点D的坐标为（4，2）. 故答案为：（4，2）. 【分析】（1）利用点A，B，C的坐标及CD∥AB，可得到将点A向右平移4个单位得到点B，据此可求出点D的坐标. （2）利用点的坐标求出OA，OC的长，利用三角形的面积公式求出△AOC的面积，利用已知可得△ODM的面积，设点M（0，y），利用三角形的面积公式可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到点M的坐标. （3）过点P作PE∥AB，可证得PE∥CD∥AB，利用平行线的性质可证得∠EPC＝∠DCP，∠EPO＝∠BOP，根据∠CPO＝∠EPO﹣∠EPC，代入计算可证得结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $