精品解析：上海市宝山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1－6题每题3分，7－12题每题4分，共42分） 1. 扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得. 【详解】扇形的半径为1，圆心角所对的长为3， 所以该扇形的面积. 故答案为： 2. 已知，则__. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切与正弦、余弦的关系式，把分子分母同时除以余弦转化为正切关系，再代入求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：． 3. 函数的频率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 4. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，得出，，利用即可求出点的坐标. 【详解】由题意，，， 设点的坐标为， ∴，， ∵点满足， ∴，解得， ∴. 5. 设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案. 【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量， 故， 故答案为： 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， ， ， 向量在向量方向上的投影向量的坐标为： ． 7. 关于x的不等式：的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将正切的平方不等式转化为正切函数的取值范围，再结合正切函数的周期性和单调性求解集. 【详解】由可得，即. 因函数在每个区间（）上单调递增. 而在区间内，由可得. 由正切函数的周期性，可得原不等式的解集为. 8. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 9. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 10. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过平面向量线性运算结合平面向量基本定理得到（），再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】 设（）， 由图可得： 因为为线段靠近的三等分点，故， 代入得： 结合题意得：，，其中，因此. 由基本不等式，可得， 将代入得：, 当且仅当（对应，即为中点）时等号成立. 故的最小值为. 11. 设，函数，若函数与的图象有且仅有3个不同的公共点，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】将函数图象的交点个数转化为方程根的个数，从而可得在上有3个不同的根，结合正弦函数的图象性质列出不等式即可. 【详解】函数与的图象有且仅有3个不同的公共点， 即方程有3个不同的根，也即方程有3个不同的根， 因，则在上有3个不同的根， 又，，则，或，或， 依题意，需使，即a的取值范围是. 12. 如图，在△ABC中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由得，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果. 【详解】由,可知， ,则 故答案为：． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 在中，已知，则的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角函数的性质及充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，则成立； 在中，,得及正弦定理， 即，所以成立. 所以“”是“”的充要条件,即的充要条件. 故选：C. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 对于B，向量的数量积运算不满足结合律， 例如.，则， ，所以.B错误； 当时，向量不一定共线，故C错误. 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故D正确； 故选：D. 15. 下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ） A. ，有两解 B. ，有一解 C. ，无解 D. ，有一解 【答案】D 【解析】 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 16. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立.构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案. 【详解】对一切正实数，不等式恒成立恒成立， 令，则， ∵，当且仅当时取“＝”， ； 所以，即恒成立． ， 所以恒成立 令,则，恒成立. 令,，则． 因为，，则，当且仅当时等号成立. 所以. 所以. 三、简答题（本大题共5题，共8＋8＋8＋10＋12＝46分） 17. 已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 19. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 【答案】⑴ ⑵单调递增区间是,值域是． 【解析】 【分析】⑴ 利用定义即可求解的值； ⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域． 【详解】解：角的终边与单位圆交于点， ， ； ⑵由； 由， 得，， 又，所以的单调递增区间是； ， ， ， 故得的值域是． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 20. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； （2）施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 【答案】（1）28.28米； （2）CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 【解析】 【小问1详解】 根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则，∵， ∴，则，即， 解得：米，故CD的长为28.28米. 【小问2详解】 由题设， 根据正弦定理得，则米， ∴由余弦定理得： ， 所以米，又因为， 代入数据解得：米， 又因为， 代入数据得：， 则， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 21. 已知函数的图像如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． （1）求参数的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值； （3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端点C、E），恒成立，求A的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，结合正弦函数的性质即可求得； （2）结合图形求出相关点坐标，利用向量法即可求得两向量的夹角的余弦值； （3）设，，利用向量数量积的坐标公式计算，分别判断与在上的最值情况，可得当P在C或E时，有最小值，由此求解向量不等式即得A的取值范围. 【小问1详解】 由函数在处取得最小值， 可得，又，则； 【小问2详解】 当时，，则， 则，， 则， 即向量与向量夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为P是上的动点，且点P在C、E之间运动（包含端点C、E）， 可设，， 因， 则，， 则， 对于，当时，该函数在或处有最小值； 对于， 当时，在或处有最小值， 则在或处有最大值； 综上可得，当或时，有最小值， 即当P在C或E时，有最小值，此时或， 当P为时，, 由,解得，又，则； 当P为时，, 由,解得. 综上，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年宝中高一下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共12题，1－6题每题3分，7－12题每题4分，共42分） 1. 扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______. 2. 已知，则__. 3. 函数的频率为________． 4. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 5. 设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____. 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 7. 关于x的不等式：的解集为______． 8. 已知，则______． 9. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 10. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点），若，则的最小值为______． 11. 设，函数，若函数与的图象有且仅有3个不同的公共点，则a的取值范围是______ 12. 如图，在△ABC中，，，，则________． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 在中，已知，则的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 15. 下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ） A. ，有两解 B. ，有一解 C. ，无解 D. ，有一解 16. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、简答题（本大题共5题，共8＋8＋8＋10＋12＝46分） 17. 已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 19. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求的单调递增区间和值域． 20. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； （2）施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 21. 已知函数的图像如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． （1）求参数的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值； （3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端点C、E），恒成立，求A的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $