精品解析：河北省张家口市桥西区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学情诊断测试 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是分式，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ） A. A B. B C. C D. D 6. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 9. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） 某校为魔方社团采购某款魔方，第一次用1500元买了若干个，第二次用1000元在同一商家购买同款的魔方．求第一次购买了多少个魔方． A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 10. 已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（ ） A. 取中点，连接 B. 作的平分线交于点 C. 过点作于点，且 D. 过点作，垂足为 11. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 12. 如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如果多项式加上一个单项式后，可以分解因式，那么这个单项式可以是_________（写出一个即可）． 14. 某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 15. 计算：，结果是__________． 16. 如图，在平面内，线段为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． （1）琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； （2）把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 18. 解方程：． 19. 如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）直接写出点和点的坐标； （2）若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． 20. 下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 21. 已知． （1）化简； （2）当且的值为整数时，确定的整数值． 22. 如图，在中，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，若，判断的形状，并说明理由． 23. 如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． （1）哪种小麦的单位面积产量高? （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 24. 如图，在中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当为等腰三角形时，求； （2）当点在边上时，求的长； （3）当最短时，直接写出此时到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学情诊断测试 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是分式，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义：若中是整式，且中含有字母，，则是分式．逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项分母为，分式分母不能为，不符合要求． B选项分母为，是常数，不含字母，不符合分式定义． C选项分母为，是含有字母的整式，符合分式定义． D选项分母为，是常数，不含字母，不符合要求． 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断，因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：∵ 因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式乘积的形式， A选项中 右边不是整式，变形后不是整式乘积，不属于因式分解， B选项中 左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解， C选项中 是单项式，不是多项式，不属于因式分解， D选项中 变形是从整式乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，不属于因式分解， ∴ 答案选B. 4. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 5. 在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 6. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式为，据此逐一判断等式是否成立即可； 【详解】解：∵，A错误； ∵，B错误； 由平方差公式可得，等式左右相等，C正确； ，D错误； 7. 如图，直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移前后得到的对应线段，对应角的性质逐一进行分析即可． 【详解】解：∵直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到， ∴，，， ∴故A选项不一定正确． 故选：A 8. 分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 9. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） 某校为魔方社团采购某款魔方，第一次用1500元买了若干个，第二次用1000元在同一商家购买同款的魔方．求第一次购买了多少个魔方． A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【解析】 【分析】由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 10. 已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下作法不正确的是（ ） A. 取中点，连接 B. 作的平分线交于点 C. 过点作于点，且 D. 过点作，垂足为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SSS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； B.利用SAS判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意； C. 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，符合题意； D.利用判断出， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，不符合题意， 故选：C． 11. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 12. 如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如果多项式加上一个单项式后，可以分解因式，那么这个单项式可以是_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：多项式加上一个单项式后，可以分解因式，这个单项式可以是：， 则， 故答案为：． 14. 某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ． 15. 计算：，结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减． 【详解】解：原式， 故答案为：． 16. 如图，在平面内，线段为线段上的动点，三角形纸片的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先得到点C运动的路径为线段，点E运动的路径为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知点C运动的路径为线段，点E运动的路径为， 由平移的性质可知， 在中， ，， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． （1）琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； （2）把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【答案】（1）②③ （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：①； ②； ③， 故做错的或过程不完整的题目是②③． 【小问2详解】 解：； ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得 解得： 检验：当时， 所以，原分式方程的解为． 19. 如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）直接写出点和点的坐标； （2）若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据坐标系中点的位置即可得到答案； （2）根据是由的位置可得平移方式，再由平移方式可得 ，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由点和点在坐标系中点的位置可得： 【小问2详解】 解：由题意可得是由向左平移三个单位，向下平移3个单位得到的， 故： ， 解得：． 20. 下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法二：∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法三：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 21. 已知． （1）化简； （2）当且的值为整数时，确定的整数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简与整数解问题，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解题的关键，切记不可忘记分式有意义的条件． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：当时，原式 由题意得：，得的值为0或2， 因为，所以整数的值为2． 22. 如图，在中，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，分别求出，，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：等边三角形，理由； ， ， ， 所以是等边三角形． 23. 如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． （1）哪种小麦的单位面积产量高? （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 【答案】（1）品种小麦的单位面积产量高 （2）品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是， 品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴品种小麦的单位面积产量高； 【小问2详解】 ， 即：品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍． 24. 如图，在中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当为等腰三角形时，求； （2）当点在边上时，求的长； （3）当最短时，直接写出此时到的距离． 【答案】（1）或或 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据为等腰三角形，分三种情况求即可； （2）证明，，根据勾股定理，结合求解即可； （3）当点E与点A重合时，线段绕点顺时针旋转得到线段，此时点F恰好落在上，设此时点F与点Q重合，当点在边上时，设此时点F与点M重合，根据题意，得，故点F的运动轨迹就是直线，故当于点F时，线段最短，过点F作，交于点G，求解即可． 【小问1详解】 解：因为，点为边的中点， 所以，， 根据题意，得，且， 故， 因为为等腰三角形， 当时，， 故， 故； 当时，， 故； 当时，， 故； 综上所述，的度数为或或； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 根据勾股定理，得， 因为， 所以， 故， ∵， ∴， ∴， 故； 【小问3详解】 解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，交于点Q，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作直线，连接， 根据前面的解答，得， 故， 故点F的运动轨迹就是直线， 故当于点F时，线段最短，过点F作，交于点G， 则， 所以， 故， ∵， ∴， ∴， 根据前面的解答，得； 故， 故， 故， 故， 故， 解得， 所以， 过点F作于点H， 则， 故， 解得； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $