精品解析：河北省张家口市桥西区2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中学情诊断测试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（ ） A. 甲、乙均为因式分解 B. 甲、乙均不是因式分解 C. 甲是因式分解，乙是整式乘法 D. 甲是整式乘法，乙是因式分解 4. 如图，将平移得到，点的对应点是点，则线段的对应线段是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形的三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 7. 下列对分式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 9. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 11. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 12. 中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 14. 将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则________． 15. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是________． 16. 如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． （1）若在“□”内填入，分解因式：； （2）若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 18. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）将向左平移2个单位，向上平移1个单位长度得到，在图中画出； （2）若，，在图中画出坐标原点的位置，并直接写出到各顶点距离相等的点的坐标． 19. 下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 20. 下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等． 已知：如图，中，，求证：． 证明：如图，作的平分线交于点D． 证明：如图，作边上高线交于点D． 21. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 22. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 24. 如图，，，射线上取一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当时，求； （2）为等腰三角形时，求到的距离； （3）直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学情诊断测试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 2. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（ ） A. 甲、乙均为因式分解 B. 甲、乙均不是因式分解 C. 甲是因式分解，乙是整式乘法 D. 甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答． 【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选：B． 4. 如图，将平移得到，点的对应点是点，则线段的对应线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移，由点的对应点是点，可得点B对应点E，点C对应点F，可得线段的对应线段是． 【详解】解：由图可知，线段的对应线段是， 故选A． 5. 下列多项式中，能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义求解即可，利用因式分解的意义是解题的关键． 【详解】解：A、 是平方和，无法分解，不符合题意； B、，无法分解，不符合题意； C、，无法分解，不符合题意； D、，符合平方差公式，分解为，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形的三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 7. 下列对分式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A，，符合题意； B，，不合题意； C，，不合题意； D，，不合题意； 故选A． 8. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 9. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 10. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 11. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 12. 中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的面积，过作于点，过点作于点，根据勾股定理和等积法分别得到，，由将绕点旋转得到，可得，当点、、共线时取“”，此时取得最大值，即可得出相应的的面积．确定“的最大值”是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过点作于点， ∵将绕点旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转得到， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最大值：， ∴在旋转过程中，面积的最大值是：． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 14. 将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，表示出点的坐标，再结合点的横坐标和纵坐标相等建立关于的等式即可解决问题． 【详解】由题知， 将点向右平移个单位长度后，所得点的坐标为． 因为点的横坐标和纵坐标相等， 所以， 解得． 故答案为：3． 15. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 16. 如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键． 利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数． 【详解】解：由题意得 ； ； ； ∵， ∴的值是整数， ∴·的值可以是，，，是整数的有3个． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． （1）若在“□”内填入，分解因式：； （2）若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 【答案】（1） （2）2种，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式等因式分解方法． （1）利用提公因式法对进行因式分解； （2）根据平方差公式的形式，确定“□”可填的整数，再分析填法数量并举例分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：“□”可以为、，共2种填法 如选择，分解为， 选择，分解为， 答：有2种填法（为、），举例分解如等． 18. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． （1）将向左平移2个单位，向上平移1个单位长度得到，在图中画出； （2）若，，在图中画出坐标原点的位置，并直接写出到各顶点距离相等的点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 画出坐标原点的位置如图所示． 分别作线段的垂直平分线，相交于点， ∴到各顶点距离相等的点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图－平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得坐标原点的位置；分别作线段的垂直平分线，相交于点，即可得点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】略 20. 下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等． 已知：如图，中，，求证：． 证明：如图，作的平分线交于点D． 证明：如图，作边上高线交于点D． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用辅助线信息，结合“”证明全等三角形即可． 【详解】证：（1）作的平分线交于点D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作边上高线交于点D， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形判定定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 21. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】（1）的最小值是． （2）整数的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【小问1详解】 解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． 【小问2详解】 解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 22. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等腰三角形 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【小问1详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）整数的值为3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解． 此时圆珠笔的数量为， 圆珠笔的数量为整数， 不合题意， 嘉嘉搞错了； 【小问2详解】 由题意可得， 解得： 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 24. 如图，，，射线上取一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）当时，求； （2）为等腰三角形时，求到的距离； （3）直接写出的最小值． 【答案】（1）或 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，分情况分析，作出相应图形求解是解题关键． （1）分两种情况分析：①当N点在外时，②当N点在内时，结合图形求解即可； （2）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图形，作出辅助线，综合运用相应知识点求解即可； （3）过点C作，在MA上截取，连接，在上任取点，连接，过点作的垂线，交过点N的的垂线于点，连接，根据题意确定点N的运动轨迹为直线，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：①当N点在外时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ②当N点在内时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上可得：的度数为或； 【小问2详解】 ①当时，过点M作于点G，过点N作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N到的距离为； ②当时，过点M作于点G，过点N作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴点N到的距离为； ③当时，过点N作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点N到的距离为； 综上可得：点N到的距离为或或； 【小问3详解】 过点C作，在MA上截取，连接，在上任取点，连接，过点作的垂线，交过点N的的垂线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴点M，符合题意， ∴点N的运动轨迹为直线， 过点B作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $