专题08 分式方程及其应用11大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦分式方程11大核心考点，精选浙江各地市期末真题，涵盖计算、参数问题及行程、工程等实际应用，梯度设计合理，适配七年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|多题|分式方程解法、增根与无解参数、行程/工程/经济应用|结合马拉松、机器人、新能源汽车等时代情境，如“机器人速度提升提前完成任务”“疫情防控口罩生产效率”，突出数学建模与实际问题解决|

专题08 分式方程及其应用 11大高频考点概览 考点01 解分式方程（计算）（必考题型） 考点07分式方程中行程问题（重点题型） 考点02已知分式方程解的正负求参数取值 考点08分式方程中工程问题（重点题型） 考点03已知分式有增根求参数（重点题型） 考点09分式方程中经济问题（重点题型） 考点04已知分式无解求参数（高频题型） 考点10分式方程中和差倍问题 考点05判定解分式方程是否错误 考点11分式方程中其他实际问题 考点06列分式方程 地 城 考点01 解分式方程（计算） 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）解方程（组）： (1) (2) 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1) (2) 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程（组）： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）解方程（方程组）： (1)； (2)． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 地 城 考点02 已知分式方程解的正负求参数取值 1．（24-25七年级下·浙江·期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25七年级下·浙江·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 _____． 地 城 考点03 已知分式有增根求参数 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若关于x的分式方程有增根，则m＝______． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的方程有增根，则的值是______． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 地 城 考点04 已知分式无解求参数 1．（24-25七年级下·浙江·期末）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）若分式方程无解，则的值为_________． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程无解，则常数________． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是_______． 地 城 考点05 判定解分式方程是否错误 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的的值是____．    2．（2025·浙江宁波·二模）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得，   ----------------② 所以，      --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以（第1步） 得：（第2 步） 去括号得：（第3步） 解得：（第4 步） 所以原分式方程的解是：（第5 步） (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　 ； (2)订正错误，并写出正确的解题过程． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法． 小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得 你的解法： 5．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小红计算和小明解方程的过程如下： 小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解． (1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是______（填写“小红”或“小明”)； (2)请你写出正确的解答过程． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小英同学解答“解分式方程：”的过程如图． 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 经检验，是原分式方程的解．⑤ (1)解答过程中第一次出现错误的步骤是___________（填写序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 地 城 考点06 列分式方程 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A，B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 地 城 考点07 分式方程中行程问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米． 任务 任务一：求基础模式和标准模式的速度； 任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知甲、乙两地相距千米，A步行的速度为x千米时，B步行的速度比A步行的速度快1千米时．A从甲地、B从乙地同时出发，相向而行． (1)若，求两人相遇所需的时间． (2)请用含x的代数式表示甲乙相遇时间．若相遇时间为1小时，求A步行的速度． 9．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 地 城 考点08 分式方程中工程问题 1．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是______． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 地 城 考点09 分式方程中经济问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）自2019年12月31日湖北省武汉市卫健委首次通报新型冠状病毒肺炎病例以来，新冠病患一度遍布全国各地．目前疫情发展趋势演变成防控境外输入的同时，又要应对本土新增病例和无症状感染者．国外新冠疫情仍处于爆发阶段，疫情发展拐点难见．针对当前国际疫情防控形势严峻、口罩核心材料紧缺的局面，某企业在生产基地一建设了2条熔喷布生产线和3条纺粘布生产线，每天可生产熔喷布和纺粘布共12吨．在生产基地二建设了4条熔喷布生产线和4条纺粘布生产线，每天可生产熔喷布和纺粘布共20吨． (1)求每条熔喷布生产线和纺粘布生产线每天分别可生产熔喷布和纺粘布各多少吨？ (2)该企业接到6000万只一次性医用平面口罩的生产订单，在生产了2000万只后，企业提高了生产效率，每天的生产量在原来的基础上增加了60%，结果比原定时间提前了3天完成生产任务，求该企业原来每天生产一次性医用平面口罩多少万只？ 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）根据素材，完成活动任务： 素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm 一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成    素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根； 方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根； 方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根： 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成任务． 素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下： 人数 收费标准 （元/人） 85 素材二 公司人数少于100人，公司人数多于200人，公司人数多于100人，公司比公司少160人． 素材三 四个公司分别各自参加此项活动，经核算，公司共花费7200元，公司共花费18000元；公司和公司共花费18270元，若公司联合组团只需花费17850元． 任务一 （1）求的值． 任务二 （2）公司和公司分别有多少人？ 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）为推进新质生产力发展，某市出台补贴政策：企业更新套甲类设备，可获万元补贴；更新套乙类设备，可获万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共套设备进行更新，共获得万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新套甲类设备的费用，比更新套乙类设备费用的倍少万元，若用万元更新甲类设备与用万元更新乙类设备的数量相等． 求更新套乙类设备的费用： 该企业在获得万元补贴后，还需投入多少万元资金用于更新设备？ 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 地 城 考点10 分式方程中和差倍问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 学校奖品购买方案设计 素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件． 素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只． 素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价． (1)求表中x，y的值． (2)要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个． (1)求第二批每个纪念品挂件的进价； (2)影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利=总销售额-总成本） 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件． 素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支． 素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 地 城 考点11 分式方程中其他实际问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ (2)该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？ 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）在乐清某校的压花拓展课上，甲、乙两位同学每小时能共做7幅作品A，甲、乙同时开始制作，当甲做了28幅作品A时，乙做了21幅． (1)求甲、乙每小时各做多少幅作品A． (2)学校组织义拍资助西部贫困学生的活动，甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，并同时从13：00开始制作．（不考虑休息时间，每人做完一幅作品后才能做下一幅）． ①若甲完成的数量比乙完成的2倍少6幅，求在几时几分恰好全部完成． ②因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作，已知甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，请你结合方案评价表直接在表格中写出一种作品A，B的分配数量方案． 作品类型 作品A 作品B 分配给甲的数量 ________ ________ 分配给乙的数量 ________ ________ 方案评价表 方案等级 完成时间 评分 合格 18：26~18：36 1分 良好 18：16~18：26 2分 优秀 18：16前 3分 作品类型 作品A 作品B 分配给甲的数量 15 9 分配给乙的数量 15 1 方案评价表 方案等级 完成时间 评分 合格 18：26~18：36 1分 良好 18：16~18：26 2分 优秀 18：16前 3分 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成调查活动． 怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数 调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动 素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少． 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究． 问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 9．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米． 素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成． 解决问题 任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根． 任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？ 任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为． (1)请用含，式子表示； (2)比较，的大小，并通过运算说明理由： (3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 分式方程及其应用 11大高频考点概览 考点01 解分式方程（计算）（必考题型） 考点07分式方程中行程问题（重点题型） 考点02已知分式方程解的正负求参数取值 考点08分式方程中工程问题（重点题型） 考点03已知分式有增根求参数（重点题型） 考点09分式方程中经济问题（重点题型） 考点04已知分式无解求参数（高频题型） 考点10分式方程中和差倍问题 考点05判定解分式方程是否错误 考点11分式方程中其他实际问题 考点06列分式方程 地 城 考点01 解分式方程（计算） 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程组和分式方程的解法和步骤是解题关键 ． （1）利用加减消元法可以得解； （2）方程两边同时乘以后可以化为一元一次方程，然后可以得解． 【详解】（1）解：， ①+②可得： ∴， 把x=3代入①可得： 原方程组的解为： （2） 方程两边同时乘以，可得： 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， 则方程组的解为； （2）解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程，熟知解二元一次方程组的方法和解分式方程的方法是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为 （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得， 经检验，是原方程的解． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解分式方程．注意解分式方程一定要检验． （1）解分式方程第一步就是去分母，将原方程转化为一个整式方程，再化简求解．特别强调的是需要验根，否则会扣分，这是解分式方程与解整式方程的最大不同之处； (2)解二元一次方程组的核心思想是消元（减少未知数的个数），这里采用的是加减消元法，其实也可以用代入消元法求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 检验，时，分母不为零， ∴是方程的解； （2）解：， 得：， ， 把代入②，得： ， ， 方程的解为． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）解下列方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组和分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ，得：， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为； （2）解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）解方程（方程组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程，解题的关键是： （1）将方程编号，两个方程相加消去y，求出x，再求出y，从而得到方程组的解； （2）整理方程，去分母，解出x，检验根是否为增根即可． 【详解】（1）解： 由①＋②，得， ∴． 将代入①，得， ∴． ∴原方程组的解为 （2）解： 整理得， 两边同乘，得， ∴， ， 检验：，是原方程的解， 原方程的解为． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：（1）， ①②，得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时， 所以原分式方程的解是． 地 城 考点02 已知分式方程解的正负求参数取值 1．（24-25七年级下·浙江·期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可． 【详解】解：两边都乘以x-1，得：m-1=2（x-1）， 解得：x=， 因为分式方程的解为正数， 所以>0，且≠1， 解得：m＞-1且m≠1， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件． 2．（24-25七年级下·浙江·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴x=， ∵该分式方程有解， ∴≠1， ∴k≠-1， ∵x＞0， ∴＞0， ∴k＞-3， ∴k＞-3且k≠-1， 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0． 【详解】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 _____． 【答案】且 【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，且将x=-1，2代入求出a的值，即可确定出a的范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是正数， ∴，解得：， 根据题意得：， ∴， ∴且，即， 综上所述，a的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 地 城 考点03 已知分式有增根求参数 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________． 【答案】7 【分析】根据增根的定义求出x，去分母后把求得的x代入即可求出a的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴x-3=0， ∴x=3， 原分式方程去分母得2x+1=x-3+a， 把x=3代入得 6+1=3-3+a， ∴a=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若关于x的分式方程有增根，则m＝______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根问题及处理方法．识别增根 ，将原方程转化为整式方程是解题的关键．分式方程有增根是使分母为零的根。题中分母为和，故增根为．需将原方程转化为整式方程，代入增根求解m的值． 【详解】解：分式方程， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．分式方程的最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根．据此求出x的值即可．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴最简公分母为， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的方程有增根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查已知分式方程的解求参数，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入解方程即可求解． 【详解】解：去分母，得， ∵的方程有增根， ∴增根为， 将代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若关于的方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但使原方程分母为零的根；本题中，分母为，故增根为，将原方程化简后代入即可求出的值. 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， 把代入中， ， 解得：， 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】（1）x=-5；（2）-4或6 【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：（1）把m=3代入方程得：， 去分母得：3x+2x+4=3x-6， 解得：x=-5， 检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0， ∴分式方程的解为x=-5； （2）去分母得：mx+2x+4=3x-6， ∵这个关于x的分式方程会产生增根， ∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0， 解得：m=-4； 把x=-2代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 地 城 考点04 已知分式无解求参数 1．（24-25七年级下·浙江·期末）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，进而得到，当时，满足原方程无解，当时，，此时原方程有增根，即，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时方程的左边为0，右边不为0，即此时方程无解，符合题意； 当，即时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，a的值为0或1， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，即， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于的分式方程无解， ∴且，或， ∴且，或， 当时，， 解得，， ∴的值为或， 故选：A ． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）若分式方程无解，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的无解问题，解题关键是熟练掌握分式方程的无解问题的解法． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，将代入整式方程即可求解． 【详解】解：原方程去分母得， 分式方程无解， ， ， 将其代入得． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程无解，则常数________． 【答案】2或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解或方程有增根时，分式方程无解，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：分式方程去分母，得： ， 移项，合并，得：， 当整式方程无解时：，解得：； 当分式方程有增根时，则：，解得：， 将代入，得：； 综上：或； 故答案为：2或． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是_______． 【答案】/ 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无实数根可得分式方程有增根，由此可得，解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程的无实数根， ∴分式方程有增根， ∴，即 ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，正确求出是解题的关键． 地 城 考点05 判定解分式方程是否错误 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的的值是____．    【答案】4 【分析】先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可． 【详解】解： ， 由题意，， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故答案为：4． 【点睛】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键． 2．（2025·浙江宁波·二模）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得， ------① 移项得，   ----------------② 所以，      --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④ 【答案】①；，过程见解析 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：出错的是①， 解： 去分母得，， 移项得， 所以，， 经检验：是原方程的根 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以（第1步） 得：（第2 步） 去括号得：（第3步） 解得：（第4 步） 所以原分式方程的解是：（第5 步） (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　 ； (2)订正错误，并写出正确的解题过程． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以 得：， ∴第2步是错误的． 故答案为：2 （2）解： 方程两边同时乘以 得：， 去括号得：， 解得：， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法． 小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得 你的解法： 【答案】打×，解法见解析． 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是关键，先把方程化为整式方程，再解整式方程并建议即可； 【详解】解：原解法错误，打×； 去分母,得 去括号,得 移项,得 化简,得 经检验,是增根，应舍去，所以原方程无解； 5．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小红计算和小明解方程的过程如下： 小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解． (1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是______（填写“小红”或“小明”)； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红 (2)见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的加减，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤进行判断即可； （2）将错误的题目进行正确的计算即可． 【详解】（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误， 故答案为：小红； （2）解： 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小英同学解答“解分式方程：”的过程如图． 解：去分母，得① 移项，得② 合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 经检验，是原分式方程的解．⑤ (1)解答过程中第一次出现错误的步骤是___________（填写序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母，得， 故答案为：①． （2）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解． 地 城 考点06 列分式方程 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5000米的比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟米， 可列方程， 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，快车间每天生产量是慢车间的倍，即快车间每天生产套，原计划慢车间单独生产所需时间为天，快车间单独生产时间为天，快车间比慢车间提前10天完成，因此原计划时间减去快车间时间等于10天． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则慢车间单独生产时间：天，快车间单独生产时间：天， 由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，乙的平均速度为，则甲的平均速度为，总赛程为21公里，甲比乙早到30分钟（即小时），据此建立方程，即可作答． 【详解】解：依题意，乙的用时为小时，甲的用时为小时， ∵甲比乙早到小时， ∴得方程：， 故选：D 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力．实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植万株，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A，B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设B种客房每间租金为x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设B种客房每间租金为x元，根据题意得： ． 故选：A 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则原计划需要小时，现需要小时，根据“提前3小时就完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设志愿者未加入前每小时做份粽子．根据题意，得 ． 故选：A 8．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键． 根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为千米．小江的速度是小周的倍，因此小江到达终点的时间更短．小周比小江晚到达分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可． 【详解】解：设小周的速度为每小时千米，则小江的速度为千米/时． 小周跑完全程的时间为小时，小江跑完全程的时间为小时． 根据题意，小周的时间比小江多分钟，即小时， 因此方程可列为：． 故选：B． 地 城 考点07 分式方程中行程问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 【答案】B 【分析】题考查由实际问题抽象出分式方程，根据甲乙两地的距离为并且小慈比小溪先到分钟，可说明小慈比小溪快，据此可解答此题，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：若设小溪每小时走，所列方程为，可知小慈每小时比小溪多骑行，即小慈每分钟比小溪多骑行， 故选：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟；3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测五分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米． 任务 任务一：求基础模式和标准模式的速度； 任务二：求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 【答案】任务一：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：；任务三：第或2或4分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． 任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； 任务二：根据乙共用时5分钟，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务三：设甲的运动时间为t分钟，分及三种情况考虑，根据两个机器人之间的距离等于10米，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； 任务二：根据题意得：， 解得：． 答：实验2中机器人乙故障时长a的值为； 任务三：设甲的运动时间为t分钟， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 即或， 解得：或． 答：实验2整个过程中第或2或4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，两地间的路程为米； (2)的值为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程，和分式方程． （1）利用路程=速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出t的值；设两地间的路程，利用路程=速度时间，结合两地间的路程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程=速度时间，可求出的长，利用时间=路程速度，结合甲、乙同时到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 的值为， 设两地间的路程为米， 根据题意得：， 解得：， 答：的值为，两地间的路程为米； （2）解：（米）， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为． 7．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 【答案】(1)米 (2)小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分 (3)小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，行程问题，分式方程的实际应用； （1）根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离即可； （2）设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度即可； （3）利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离即可求出． 【详解】（1）解：， 答：停放点 A，B 之间的距离为540米． （2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合实际， ∵， ∴ 答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分． （3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟， 设米，分三种情况考虑： ① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 ∴米． ② 如图2，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，不符合题意，舍去． ③ 如图3，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知甲、乙两地相距千米，A步行的速度为x千米时，B步行的速度比A步行的速度快1千米时．A从甲地、B从乙地同时出发，相向而行． (1)若，求两人相遇所需的时间． (2)请用含x的代数式表示甲乙相遇时间．若相遇时间为1小时，求A步行的速度． 【答案】(1)2小时 (2)小时；千米时 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）两人相遇的时间等于甲、乙两地的距离除以两人的速度之和，据此求解即可； （2）两人相遇的时间等于甲、乙两地的距离除以两人的速度之和，据此列出代数式和建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，A的速度为2千米时，B的速度为3千米时， 则（小时）， 答：两人相遇所需的时间为2小时． （2）解：由题意得，相遇时间为：（小时）． 由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：A步行的速度为千米/时． 9．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 【答案】(1)， (2)①；②两车相遇时，离地72千米． 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出、的值； （2）①由已知可得，再由，可求、的值；②相遇时甲车行驶的时间为，乙离地的距离即为甲行驶的距离，（千米）． 本题考查了分式方程的应用；根据题意列出二元一次方程和分式方程，分别用路程相等和时间相等建立等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知甲车以两种速度行驶的路程相等， 甲车行驶的时间为，即 甲车行驶的总时间为小时， ， ∵， ，； 经检验：，是原分式方程的解 （2）解：①乙车以两种速度行驶的时间相等，且乙车行驶的总时间为2小时， ， ， ∵， ∴ ， ②相遇时甲车行驶的时间为， 乙离地的距离即为甲行驶的距离， （千米）． 两车相遇时，离地72千米． 地 城 考点08 分式方程中工程问题 1．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天植树x棵，则加入志愿者后实际每天植树棵，再根据结果比原计划提前4天完成任务列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵， 由题意得，， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【答案】(1)甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 (2)选方案一更节省 【分析】此题主要考查分式方程与二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． （1）设甲车间人，乙车间人，根据题意列出二元一次方程组故可求解； （2）设方案二调配到甲车间人，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】（1）解：设甲车间人，乙车间人，根据题意得 ， 解得， 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人； （2）解：设方案二调配到甲车间人，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 方案一费用：（元） 方案二费用：（元） ∵． ∴选方案一更节省． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 【答案】任务一：A车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；任务二：车间需要到其他企业调配8人． 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用是解题的关键． 任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人， 根据题意可列方程： 解得， 答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验，是该方程的解， 答：车间需要到其他企业调配8人． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 【答案】问题1：；问题2：50件；问题3：375件或1125件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用： 问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，可得乙工厂每天加工数量为件； 问题2：根据“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解； 问题3：设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工m件，则乙工厂加工件，其中，用m表示出平均加工费用为元，两工厂加工的时间之和为天，然后根据平均加工费用为整数和两工厂加工的时间之和不是整数，即可求解． 【详解】解：问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件， 结合信息1可得：乙工厂每天加工数量为件； 故答案为： 问题2：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：甲工厂每天能加工50件新产品； 问题3：设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意得： ， 解得：， 设甲工厂加工m件，则乙工厂加工件，其中，根据题意得： 总费用为元， 平均加工费用为元， ∵平均加工费用为整数， ∴m取375，750，1125， 两工厂加工的时间之和为天， ∵两工厂加工的时间之和不是整数． ∴m取375，1125， 答：交给甲工厂375件或1125件新产品进行加工． 地 城 考点09 分式方程中经济问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）自2019年12月31日湖北省武汉市卫健委首次通报新型冠状病毒肺炎病例以来，新冠病患一度遍布全国各地．目前疫情发展趋势演变成防控境外输入的同时，又要应对本土新增病例和无症状感染者．国外新冠疫情仍处于爆发阶段，疫情发展拐点难见．针对当前国际疫情防控形势严峻、口罩核心材料紧缺的局面，某企业在生产基地一建设了2条熔喷布生产线和3条纺粘布生产线，每天可生产熔喷布和纺粘布共12吨．在生产基地二建设了4条熔喷布生产线和4条纺粘布生产线，每天可生产熔喷布和纺粘布共20吨． (1)求每条熔喷布生产线和纺粘布生产线每天分别可生产熔喷布和纺粘布各多少吨？ (2)该企业接到6000万只一次性医用平面口罩的生产订单，在生产了2000万只后，企业提高了生产效率，每天的生产量在原来的基础上增加了60%，结果比原定时间提前了3天完成生产任务，求该企业原来每天生产一次性医用平面口罩多少万只？ 【答案】(1)每条熔喷布生产线每天可生产熔喷布3吨，每条粘纺布生产线每天可生产粘纺布2吨 (2)该企业原来每天生产一次性医用平面口罩500万只 【分析】（1）设每条熔喷布生产线每天可生产熔喷布吨，每条纺粘布生产线每天可生产纺粘布吨，利用每天的生产总量每条生产线每天的产量生产线的数量，结合题意，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该企业原来每天生产一次性医用平面口罩万只，则提高生产效率后每天生产一次性医用平面口罩万只，利用生产时间生产总量生产效率，结合题意，即可得出关于的分式方程，解之并经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每条熔喷布生产线每天可生产熔喷布吨，每条纺粘布生产线每天可生产纺粘布吨， 依题意得：， 解得：． 答：每条熔喷布生产线每天可生产熔喷布3吨，每条粘纺布生产线每天可生产粘纺布2吨． （2）解：设该企业原来每天生产一次性医用平面口罩万只，则提高生产效率后每天生产一次性医用平面口罩万只， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该企业原来每天生产一次性医用平面口罩500万只． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和正确列出二元一次方程组. 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）根据素材，完成活动任务： 素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm 一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成    素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根； 方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根； 方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根： 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________． 【答案】任务一：5    3    1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5 【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可． 【详解】任务一：(根) 方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪5根． ， 方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠3根． ， 方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠1根． 任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得： ，解得：． (元)． 答：方法②和方法③各裁剪8根与1根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元． 任务三：依据题意得， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成任务． 素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下： 人数 收费标准 （元/人） 85 素材二 公司人数少于100人，公司人数多于200人，公司人数多于100人，公司比公司少160人． 素材三 四个公司分别各自参加此项活动，经核算，公司共花费7200元，公司共花费18000元；公司和公司共花费18270元，若公司联合组团只需花费17850元． 任务一 （1）求的值． 任务二 （2）公司和公司分别有多少人？ 【答案】（1）15；（2）公司有人，公司有人 【分析】本题考查分式方程及二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程及二元一次方程组求解是解决问题的关键． （1）利用人数，结合公司比公司少160人，列分式方程求解即可得到答案； （2）设公司有人，公司有人，由题意可知，由题意，公司联合组团人数超过人，再结合公司和公司共花费18270元，若公司联合组团只需花费17850元列二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：的值为15； （2）设公司有人，公司有人， ∵（人），且， ∴， 公司人数多于100人， 由素材一收费标准分两类： 当时，， 解得（超出范围且人数为负值，不符合题意，舍去）； 当时，， 解得； 答：公司有人，公司有人． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）为推进新质生产力发展，某市出台补贴政策：企业更新套甲类设备，可获万元补贴；更新套乙类设备，可获万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共套设备进行更新，共获得万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新套甲类设备的费用，比更新套乙类设备费用的倍少万元，若用万元更新甲类设备与用万元更新乙类设备的数量相等． 求更新套乙类设备的费用： 该企业在获得万元补贴后，还需投入多少万元资金用于更新设备？ 【答案】(1)该企业甲类设备有套，乙类设备有套； (2)更新套乙类设备的费用为万元；还需投入万元资金用于更新设备． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或分式方程． （）设该企业甲类设备有套，乙类设备有套，由题意得，然后解方程组即可； （）设更新套乙类设备的费用为万元，则更新套甲类设备的费用为万元，由题意得，然后解分式方程并检验即可； 计算出更新套甲类设备的费用为万元，进行计算即可． 【详解】（1）解：设该企业甲类设备有套，乙类设备有套， 由题意得：， 解得：， 答：该企业甲类设备有套，乙类设备有套； （2）解：设更新套乙类设备的费用为万元，则更新套甲类设备的费用为万元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：更新套乙类设备的费用为万元； 更新套甲类设备的费用为：（万元）， ∴（万元）， 答：还需投入万元资金用于更新设备． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【答案】(1)成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． (2)该景区门票打8折销售． (3)小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． （1）设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设景区门票打m折，根据题意列出分式方程求解即可； （3）设小明购买了a张成人票，b张学生票，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． （2）解：设景区门票打m折， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，符合题意，且满足方程． 答：该景区门票打8折销售． （3）解：设小明购买了a张成人票，b张学生票，则． 即． 化简，得． ∵a， b均为正整数， ∴或． ∴小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 地 城 考点10 分式方程中和差倍问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 【答案】(1)租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元 (2)共3种租车方案：中客车0辆，大客车12辆；中客车7辆，大客车7辆；中客车14辆，大客车2辆； (3)租用大客车12辆最优惠． 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列二元一次方程得到，再根据m、n 为非负整数，进而得到满足条件的m、n值即可解答； （3）分别求得（2）中方案所花费用，然后比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元 由题意得： 解得 经检验是所列方程的解，且符合题意 中客车：（元） 答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元； （2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车 由题意得：，即， ∴， ∵m、n 为非负整数， ∴或或， 共3种租车方案：方案一：租用中客车0辆，大客车12辆；方案二：租用中客车7辆，大客车7辆；方案三：租用中客车14辆，大客车2辆； （3）解：租用中客车0辆，大客车12辆费用：（元）， 租用中客车7辆，大客车7辆费用：（元）， 租用中客车14辆，大客车2辆费用：（元） ∵ ∴租用大客车12辆最优惠． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 学校奖品购买方案设计 素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件． 素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只． 素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值． 【答案】任务一：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元；任务二：原本购买48个智能手环，63个无线耳机；任务三：m的值为10，使用9张兑换券兑换智能手环，则使用1张兑换券兑换无线耳机． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（任务一）找准等量关系，正确列出分式方程；（任务二）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（任务三）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （任务一）设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即无线耳机的单价），再将其代入中，即可求出智能手环的单价； （任务二）设原本购买a个智能手环，则购买个无线耳机，利用总价=单价×数量，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值（即购买智能手环的数量），再将其代入中，即可求出购买无线耳机的数量； （任务三）设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用张兑换券兑换无线耳机，根据兑换后智能手环与无线耳机的数量最终相同，可列出关于b，m的二元一次方程，结合b，均为非负整数且，即可得出结论． 【详解】解：（任务一）设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元； （任务二）设原本购买a个智能手环，则购买个无线耳机， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：原本购买48个智能手环，63个无线耳机； （任务三）设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用张兑换券兑换无线耳机， 根据题意得：， ∴， 又∵b， 均为非负整数，且，， ∴． 所以，使用9张兑换券兑换智能手环，则使用1张兑换券兑换无线耳机． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价． (1)求表中x，y的值． (2)要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 【答案】(1)x的值为10，y的值为20 (2)需加入丙种糖，加入50千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）先求出降价后的平均价，可知应加入丙种糖，设加入丙种糖千克，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：， ∴加入丙种糖， 设加入丙种糖千克，由题意得， ， 解得， 答：加入丙种糖50千克． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个． (1)求第二批每个纪念品挂件的进价； (2)影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利=总销售额-总成本） 【答案】(1)第二批进价为每个40元 (2)获利925元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，对于（1），设第二批的进价，可表示第一批的进价，再表示两批挂件的个数，然后根据两批挂件的数量差等于25列出分式方程，求出解即可； 对于（2），根据可求出答案． 【详解】（1）解：设第二批进价为x元，则第一批进价为元，根据题意，得 可得， . 经检验，是原方程的解，符合题意， 所以第二批进价为每个40元； （2）电影院总共购进：（个）， （个）， 获利：（元）. 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买方案设计 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件． 素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支． 素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同． 问题解决 任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量． 任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案． 【答案】任务一：每支钢笔9元，每本笔记本6元；任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；任务三：有3种方案，分别为：①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用： 任务一：解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解； 任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解； 任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．由题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得： ，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元） 答：每支钢笔9元，每本笔记本6元； 任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得： ， 解得：， 答：购买钢笔30支，笔记本45本； 任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本． 由题意得：，整理得：， ∵， ∴或或， ∴有3种方案，分别为： ①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本； ②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本； ③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元 (2)2 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可； （2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元． （2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克， 由题意得，， 即， ∵a、b均为正整数， ∴或， 答：共有2种购买方案． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位 (2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 地 城 考点11 分式方程中其他实际问题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂仓库里有100张正方形纸板和200张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ (2)该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个？ 【答案】(1)加工竖式纸盒20个，横式纸盒40个 (2)原计划每天加工纸箱20个 【分析】（1）设加工竖式纸箱个，横式纸箱个，根据竖式纸箱需要4张长方形纸板，1张正方形纸板，横式纸箱需要3张长方形纸板，2张正方形纸板列出方程组，然后求解方程组即可； （2）设原计划每天加工纸箱个，根据“实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，且总共比原计划多加工40个”列出关于a的分式方程，然后求解方程验根即可． 【详解】（1）解：设加工竖式纸箱个，横式纸箱个， 由题意，得， 解得， 答：加工竖式纸盒20个，横式纸盒40个； （2）解：设原计划每天加工纸箱个， 由题意，得， 解得∶， 经检验：是原方程的根，且符合题意． 答：原计划每天加工纸箱20个． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程（组）． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）在乐清某校的压花拓展课上，甲、乙两位同学每小时能共做7幅作品A，甲、乙同时开始制作，当甲做了28幅作品A时，乙做了21幅． (1)求甲、乙每小时各做多少幅作品A． (2)学校组织义拍资助西部贫困学生的活动，甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，并同时从13：00开始制作．（不考虑休息时间，每人做完一幅作品后才能做下一幅）． ①若甲完成的数量比乙完成的2倍少6幅，求在几时几分恰好全部完成． ②因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作，已知甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，请你结合方案评价表直接在表格中写出一种作品A，B的分配数量方案． 作品类型 作品A 作品B 分配给甲的数量 ________ ________ 分配给乙的数量 ________ ________ 方案评价表 方案等级 完成时间 评分 合格 18：26~18：36 1分 良好 18：16~18：26 2分 优秀 18：16前 3分 【答案】(1)甲、乙每小时各做4和3幅作品A； (2)①在17：30可以完成全部作品；②见解析 【分析】（1）设甲每小时做x幅作品A，则乙每小时做（7-x）幅作品A，然后根据当甲做了28幅作品A时，乙做了21幅列出方程求解即可； （2）①设乙完成a幅作品A，则甲完成（2a-6）幅作品A，根据一共完成作品30幅列出方程求解即可；②设计一种评价为优秀的方案即可． 【详解】（1）解：设甲每小时做x幅作品A，则乙每小时做（7-x）幅作品A， 由题意得： ， 解得， 经检验是原方程的解， 7-4=3， ∴甲、乙每小时各做4和3幅作品A； （2）解：①设乙完成a幅作品A，则甲完成（2a-6）幅作品A， 由题意得， 解得：， ∴2a-6=18， ∵， ∴完成全部作品需要花费4.5小时， ∴在17：30可以完成全部作品； ②分配给甲15幅作品A，9幅作品B，分配给乙15幅作品A，1幅作品B， 小时，小时， ∴这种方案完成的时间为18：15分，为优秀方案 作品类型 作品A 作品B 分配给甲的数量 15 9 分配给乙的数量 15 1 方案评价表 方案等级 完成时间 评分 合格 18：26~18：36 1分 良好 18：16~18：26 2分 优秀 18：16前 3分 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，完成调查活动． 怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数 调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动 素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少． 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究． 问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数． 【答案】任务：提出问题：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人；七年级人均植树棵，八年级人均植树棵；任务：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗． 【分析】任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数?设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，利用人均植树棵数植树总棵数志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多棵树苗，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级志愿者人数； 提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数?设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，利用志愿者人数植树总棵数人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入中，即可求出八年级人均植树棵数； 任务：设八年级（）班志愿者有人，根据“如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即八年级（）班志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级（）班需植树的棵数； 本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程． 【详解】解：任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数? 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人； 提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数? 解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：七年级人均植树棵，八年级人均植树棵； 任务：设八年级（）班志愿者有人， 根据题意得：，解得：， ∴， 答：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题干信息设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列出方程即可； （2）根据题干信息设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，列出方程即可； （3）根据解析（1）列出的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 故答案为：； （2）解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得： ； 故答案为：； （3）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运产品． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． (1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【答案】(1)完成第一项任务实际用了2天 (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可； （3）两个代数式作差得，利用a、b取值判断出，进而得到． 【详解】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务， 由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：完成第一项任务实际用了2天； （2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天）， 乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天）， 故答案为：，； （3）解：，理由为： ， ∵a、b都为正数，且， ∴，，， ∴， ∴，则． 9．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米． 素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成． 解决问题 任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根． 任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？ 任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值． 【答案】任务一：5，3，1；任务二：8根，1根；任务三：5 【分析】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 任务一：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠； 任务二:利用方法②与方法③列出方程组求解即可； 任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可． 【详解】任务一：方法①：(根) 当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根． 方法②：， 当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根． 方法③：， 当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根． 任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得： ，解得：． 答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料． 任务三：依据题意得，解得：， 经检验，是该方程的解． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为． (1)请用含，式子表示； (2)比较，的大小，并通过运算说明理由： (3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？ 【答案】(1) (2) (3)需要加水 【分析】本题考查列代数式，分式的加减，分式方程的应用，掌握比差法是解题的关键． （1）设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V，表示出两种液体的质量，利用公式解题即可； （2）用含，式子表示出，然后利用比差法计算的值进行比较大小； （3）根据题意找出等量关系，利用分式方程解题即可． 【详解】（1）解：设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V， ∴； （2）设混合溶液密度为的两种液体的质量分别为m， ∴， ∵， ∴； （3）解：密度为的盐水的体积为， 设需要加水，即加入的水的体积为 则， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：需要加水，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $