专题05 整式的乘除15大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 专题05整式的乘除试题汇编，涵盖15个高频考点，精选浙江多地期末真题，聚焦幂的运算、乘法公式等核心知识，突出几何直观、规律探究与新定义应用，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富，覆盖各难度层次|幂的运算、（x+p）（x+q）型参数求解、乘法公式与几何图形、规律探究、新定义运算|结合图形面积考查平方差公式（如考点10），通过杨辉三角探究多项式规律（考点09），设置新定义运算题（考点15），体现数形结合与创新思维|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05整式的乘除 ☆15大高频考点概览 考点01利用幂的运算判断选项是否正确 考点09多项式乘法中规律问题（重点题型） 考点02同底数幂的逆运算（重点题型） 考点10平方差公式与几何图形问题（重点题型） 考点03利用幂的运算比较大小 考点11完全平方公式与几何图形问题（难点题型） 考点04整式的乘除混合运算（计算）（高频题型） 考点12求完全平方中字母的系数（常考题型） 考点05(x+p)(x+q)型求参数（重点题型） 考点13利用乘法公式求代数式的值（常考题型） 考点06已知多项式乘积不好某项求字母的值 考点14通过对完全平方公式的变形进去求值 考点07整式乘除中化简求值问题（难点题型） 考点15整式的乘除中新定义类题型（重点题型） 考点08多项式乘多项式与图象面积问题（重点题 型) 目地城爱点01 利用幂的运算判断选项是否正确 1.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)下列各式中，计算正确的是() A.2m+3m=5B.m2m3=m5 C.(m23=m D.(2mP=6m3 2.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)下列运算正确的是() A.ad.a2=a B.(a32=a C.2a+3a3=5a D.-2a3=8a3 3.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)下列计算正确的是() 1/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.x.x=2x B.(xy=xy C.(x2=x8 D.x2+x2=x 4.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)下列运算正确的是() A.a.d=d B.(a32=a6 C.2a+3a=5a5D.(-2a3=8a2 5.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)下列等式中，从左到右计算正确的是() A.(2x3=6x3 B.(ab)4=ab4 C.(2a2=4a5 D.(-mP=m6 6.(24-25七年级下·浙江金华·期末)下列计算正确的是() A.(d=a B.(ab2=ab2 C.d2.a=a D.a2+2a2=3a 7.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)下列等式成立的是() A.22×23=25B.22×23=26 C.22×23=28 D.22×23=29 目地城道点02 同底数幂的逆运算 1.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)如果a=2,a'=3,则a*+y= 2. (24-25七年级下，浙江绍兴期末)已知2*=3,2y=5,则2-2y的值为 3. (24-25七年级下·浙江嘉兴期末)己知x=2m+1,y=3+2m+1,若用含x的代数式表示y,则y= 4.(24-25七年级下浙江金华期末)规定：若实数xy,z满足x2=y,则记作(x,Z）=y. (1)根据题意，(5，w）=125,则w= (2)若记(5，a）=6,(5,b）=10,(5,c）=600.则a,b,c三者之间的关系式是 5.(24-25七年级下浙江宁波期末)已知4m=2,8”=5,则22m+3m= 6.(24-25七年级下·浙江宁波期末)已知3=4,9'=8，则33x+2y的值为。 目地 城赌点03 利用幂的运算比较大小 1.(24-25七年级下·浙江金华期末)若0<x<1,则x1,x,x2的大小关系是() A.x<x<x2 B.X<x2<x-1 C.X2<x<xI D.x2<x<x 2.(24-25七年级下·浙江湖州期末)已知x=25,y=38,Z=41,w=74,这四个数中，最大的数是 2/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 () A.x B.y C.Z D.w 3.已知a=25,b=3“,c=53,d=622,那么a,b,c,d从小到大的顺序是() A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<c<d D.a<d<b<c 目地城特点04 整式的乘除混合运算（计算） 1.(24-25七年级下·浙江台州期末)计算： (0)-3x2-x2+2x-1月 22x+yP2-(x-yl(x+yl 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)计算： (0(n+2025°+(-1)2025： (2x-yP+6x2y-3x÷3x 3.（24-25七年级下·浙江台州期末)计算： (021+n-3.14°+-12018 2)a+1a-3-a-12 4.(24-25七年级下，浙江杭州·期末)计算： 4+ 2x-2- x+2 33x3y-x-x-3yx+3y° 4)-m3m-6m2÷-3m2 5.（24-25七年级下·浙江金华期末)计算： 3/22 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 )-3x2.5x2y 22a-3b2-2a2a-b 6.(24-25七年级下·浙江杭州期末)化简： (①0(x-22+x(4-x)° 23+a)(2-a)-(2-a)(2+a)1 目地城烤点05 (x+p)(x+q)型求参数 1.(24-25七年级下-浙江温州期未)若(x-5(x+3)=x2-x-15:则m为（） A.2 B.-2 C.8 D.-8 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)多项式x2+px-12因式分解的结果是(x-3)(x+4),则p的值为 () A.-7 B.-1 C.1 D.7 3.(24-25七年级下-浙江宁波：期末)若等式X+mx-8=x+2X-n对任意实数x都成立，那么m,n的 值分别是() A.m=2,n=4B.m=-2,n=4C.m=2,n=-4D.m=-2,n=-4 4.（24-25七年级下浙江金华：期末)若x-4x+3)=X2+bx-12则b的值为（) A.1 B.-1 C.-7 D.7 5.(24-25七年级下浙江杭州：期末)若(2x+m(x-3)=2x2+-6则m m三 n= 6. (24-25七年级下：浙江杭州：期未)若不论x为何值，x+1x+a=X2+kx+6'则k=一， 7.(24-25七年级下·浙江舟山期末)已知二次三项式x2-5x+m分解后有一个因式为x-2,则m= 4/22 可学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目地 城诺点06 已知多项式乘积不好某项求宇母的值 1. （24-25七年级下浙江杭州期未)已知a'b是常数，若化简-X+a2x2+bx-3的结果不含x的二次 项，则36a-18b-1的值为() A.-1 B.0 C.17 D.35 2.(24-25七年级下·浙江·期末)要使多项式x-mx-n不含x的一次项，则() A.m+n=0 B.mn=1 C.m=n D.mn=-1 3.(2425七年级下：浙江宁波期未)使x2+3x+pX-gx+4乘积中不含x与x项，则p+g 的值为() A.-8 B.-4 C.-2 D.8 4。(24-25七年级下-浙江金华期末)已知a,b是常数，若化简-2x+aX2+bx-3的结果中不含x的 二次项，则-12a+24b-3的值为() A.-3 B.2 C.3 D.4 5.(24-25七年级下·浙江金华期末)要使x+p小x-q的展开式中不含常数项，则() A.p=q B.p≠q C.pq=0 D.p-q=0 6.(24-25七年级下，浙江宁波期末)多项式ax-b与2x2-3x-4的乘积展开式中不含X的二次项，且常 数项为12，则ab的值为() A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 7.(24-25七年级下浙江金华期未)已知代数式3x-6X2+x中含x2项的系数为3，则n的值为 8. (24-25七年级下：浙江宁波：期未)已知x+a2X2-4x+1)的展开式中不含x项，则常数a的值为 9.(24-25七年级下·浙江宁波期末)如果x+m2x-5展开后的结果中不含x的一次项，那么m的值为： 目地境点7 整式乘除中化简求值问题 5/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25七年级下-浙江杭州-期末)计算：x-1x+1x-2-x-2x2+2x+4 2.(24-25七年级下.浙江丽水期末)已知M=x2-x-1,N=3x2-5x+1. (1)当N=3M时，求x的值. (2)试说明无论X取何值时，M≤N. 3.(24-25七年级下浙江期未)先化简，再求值：(2X+3y}-32x+y2x-y其中 x=-2y=-1. 4.(24-25七年级下·浙江杭州期末)已知X+y=-2,y=-4. (1)求x+y的值： ②求+上的值： X y (3)设a为常数且a≠0，若x-ay-a=-4,求a的值. 5.(24-25七年级下浙江金华：期未)先化简，再求值：2x+y2X-y小-2x+y+2y-y-X其 中x=y=1. 6.(24-25七年级下-浙江杭州：期末)（(1)化简：(2x+3P-22x-32x+3 (2)先化简，再求值： ÷X,其中×的值从_3,0'2中选取一个 X-2X+2 x2-4 2 目弘城特点08 多项式乘多项式与图象面积问题 1.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)如图，大长方形地面ABCD是由两个相同的长方形和两个相同的大 正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）·小正方形地砖的面积和大正方形地砖 的面积之比为9,49，若阴影部分的面积为S,则大长方形ABCD的面积可以表示为· D 2.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)图1是把两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片放 6/22 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 置在长方形内，图2是把两个边长为b的正方形纸片和一个边长为a的正方形纸片放置在长方形内，阴影部 分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分.设图1阴影部分面积为S1,图2阴影部分面积为S2.若AB=m, Qb三0，则S2-S● (用含m的代数式表示). 图1 图2 3.(24-25七年级下·浙江台州·期末)一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成. 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为 ② ① ④ ③ ⑤ 4.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)在一个边长为4的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两 个长方形重叠部分的面积为S1,正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为S2(阴影部分的面积之 和)，若S1=2S2,则被放置的长方形的周长是 S 5.(24-25七年级下浙江衢州期末)如图，将边长分别为2,3,5的正方形GBIR,AFNE,CJQH放 置在长方形ABCD内，阴影部分的面积分别为S1,S2,若S1=S2,则长方形ABCD的周长是 D M S2 F G B 6.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)在长方形ABCD AB>AD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张 7/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 边长为b的正方形纸片(a>b),按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被 这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2, 图3中阴影部分的面积为S3.当b=1时，S2=S3:当a=2,b=1时，S2+S3=2S1+1.则AB的长度为 h D 图1 图2 图3 7.(24-25七年级下·浙江嘉兴，期末)在长方形ABCD中，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按 如 图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方 形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为C1,S1,图2中阴影部分的周长、 面积分别为C2,S2. 图1 图2 (1)求证：C1=C2. (2)若AD=8,S2-S1=2b,求AB的长. 8.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图，正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所 示，G在线段DK上.己知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积. 8/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 9.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计， 单位：m). -1.5y y 2y 厨房2x 卫生间1.5x 卧室1 客厅 卧室2 2x ()求该住宅的面积（用含x,y的代数式表示）· (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为4.52.如果地砖的价格是 每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 目地 城点09 多项式乘法中规律问题 1. (24-25七年级下-浙江绍兴期未)观察、归纳：x-1x+1=X-1X-1x2+x+1=X2-1 x-1x2+X2+x+1=x-1:…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： (1)x-1x9+…+x2+x+1= (2)计算1+3+32+…+3202= 2.（24-25七年级下·浙江宁波·期末)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为 “杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b(n=1,2,3,4,-的展开式的系数规律（按n的次数 由大到小的顺序)， 9/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 11(a+b=a+b 121(a+b)2=a2+2ab+b2 1331(a+b)3=a3+3ab+3ab+b3 14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 … 请依据上述规律，写出 12023 展开式中含v2021项的系数是」 3.(24-25七年级下·浙江金华期末)【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算 法》，书中记载的二项和的乘方a+b展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4: 【应用体验】已知x+2=x+8x2+mx2+32x+16则m的值为（） 本积 左积⊙右隅 商除○⊙ 平方⊙©⊙ 立方O©©O 三乘⊙四分四⊙ 四乘（一五十⊕（十五（一 五乘©⊙©①©⊙© A.4 B.8 C.16 D.24 4.（24-25七年级下-浙江台州期末)小聪观察等式3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2b2（按。降幂排序）， 发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边(3+1)×(1+2)=4×3=12，右边3+7+2=12，左边=右边： ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边3×1=3，右边为3，左边=右边： 10/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边1×2=2，右边为2，左边=右边. (1)类比探究： 请通过展开计算(2a-b)(-a+2b),判断规律(1)和规律(2)是否成立；（类比小聪的表述写出必要 的过程) (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m,n为常数，则(a-b)(ma+nb)的展开式中各项系数之和为 ②若，r为常数，满足(a-b)(a+rb)=2a2-7b+3b2,则 (3)拓展应用： 若p,9为常数，且(2a-b儿a-pb)=2a2+qb-2b2:请用上述发现规律列方程（组）求p,9的值. 5.(24-25七年级下·浙江湖州·期末)七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位 杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】 和【项目成效】. 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋 时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角” 素材2：我们知道，(a+b=a+b;a+b2=a+2ab+b2利用多项式的乘法运算，还可以得到： a+b3=a+ba2+2ab+b2=a3+3ab+3ab+b3.当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排 序)各项的系数排列成表，可得到如图2： 11/22 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (a+b)0 1 (a+b)' 四六)四 (a+b)2 ○⊕⊕五日 (a+b)3 1 3 1 oea 图1 图2 【任务规划】 (1)任务1：请根据素材1和素材2直接写出a+b4的计算结果： (2)任务2：将a+b(其中n>1)的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m(用含n的代 数式表示). 【项目成效】 (3)成果展示：请计算2a+15中含。的项的系数是多少. a 6.(24-25七年级下·浙江·期末)回答下列问题： (1)填空： (a-bl(a+b)=-i(a-b)(a2+ab+b2)= (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= (2)猜想：(a-b)儿a-1+a-2b++ab-2+b- (其中n为正整数，且n≥2)； n (3)利用(2)猜想的结论计算：（结果保留乘方） ①210+29+28+2+…+23+22+2： ②310-39+38-37+…-33+32-3. 7.(24-25七年级下·浙江·期末)(1)填空： (a-b)a+b= (a-b)(a2+ab+b2)= (a-b)(a3+a2b+ab2+b3) 12/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)猜想：（a-b)a1+a-26+.+ab-2+b-=一（其中n为1正整数，且n≥2). (3)利用(2)猜想的结论计算： ①21+210+29+28+27+..+23+22+2： ②-51+510-59+58-57+.-53+52-5. 目地城赠点10 平方差公式与几何图形问题 1. (24-25七年级下·浙江衢州·期末)如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是() -a-b-y A.d2-b2=(a+bl(a-b) B.(a+bl(a-b)=a2-b2 C.(a-bP=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=(a-b)(a+2bl 2.(24-25七年级下·浙江湖州·期末)准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为α，现在 进行以下操作： ⊙ 图1 图2 (1)从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开. (2)把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形.从上述活动中，你可以得到的代数结论是() A.d2-b2=(a+bl(a-b) B.a2+b2=(a+bl(a-b) C.(a+bP=a2+2ab+b2 D.(a-bP=a2-2ab+b2 3.(24-25七年级下浙江台州·期末)如图，边长为a的正方形和长为b、宽为a的长方形拼成一个新长方 13/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 形，利用面积的不同表示方法可以说明下列等式成立的是() 6 A.d2+2ab+b2=(a+b2 B.a2-2ab+b2=la-bP2 C.a2+ab=a(a+bl D.d2-b2=(a+b)(a-bl 4.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图，正方形ABCD与正方形CEFH的面积和为58，点C在线段 BE上，点H在线段CD上，延长FH交AB于点G.若BE=10,则长方形BCHG的面积为() D H B C E A.21 B.24 C.34 D.42 5.(24-25七年级下·浙江嘉兴期末)已知M是AB的中点，点P在线段MB上，分别以AP,PB为边， 作正方形APCD和正方形PBEF,设AB=4a,MP=b. D D C D MP MP B MP B 图1 图2 图3 (1)如图1，用关于a,b的代数式表示正方形APCD和正方形PBEF的面积之差. (2)如图2，连结CE,DF,若ab=5,求四边形FECD的面积， (3)如图3，连结CE,DF,DP,若正方形APCD和正方形PBEF的面积之和为50，四边形FECD的 面积为24，求△DFP的面积. 6.(24-25七年级下·浙江衢州·期末)用图①所示的4张边长为m,n的长方形纸片m>n,无重叠、无缝 隙地拼成图②所示的大正方形ABCD,中间阴影部分是小正方形EFGH, 14/22 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D H m B 图① 图② 【字母表示】 (1)用含m,n的代数式表示大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积之差： 【观察归纳】 (2)观察图②，写出m+n:m-nmP:mn之间的等量关系： 【问题解决】 (3)若m-n=4mn=1'求m+n2的值. 7.(24-25七年级下·浙江宁波·期末)如图，把数量相同的花种撒播在甲、乙两块土地上（阴影部分）， 花种数量 若a=2b,则甲、乙两块土地的撒播密度的比为 (撒播密度= 撒播面积 -(a+b) (a+b) b 甲 乙 目地城烤点山 完全平方公式与几何图形问题 1.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a,b(a>b)的正方形， 若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则x=() 15/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.a'-ab B. a-ab+2b2 C.a'+ab D.a'-ab-2b2 a+b a+b a-b a-b 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)如图，边长为Q的大正方形剪去4个边长为X的小正方形，做成一个 无盖纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为2：5，则根据题意可知a,X满足的关系式为() a A. a+2x-2 a-2x_2 a-2x5 B. C.a+x_2 a+2x5 a-x 5 D.a-x-2 0+米5 3.(24-25七年级下·浙江温州·期末)现有若干个长为a,宽为b的小长方形（如图1）·将其中2个小长 方形摆放在边长为Q的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9：再将其中3个小长方形摆放在边 长为a+b的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为S1,右下角的阴影部分面积为S2.若 Qb=27,则S2-S的值为(》 图1 图2 图3 A.10 B. 45 C.11 号 4.(24-25七年级下浙江杭州·期末)如图，在线段AB上取点C,分别以AC,BC为边在AB的同侧作两 个正方形，若AB=8,AC=m,则图中阴影部分的面积为() 16/22 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.32 B.m2+32 C.m2-8m+32 D.m+16m-31 5.(24-25七年级下·浙江温州期末)已知两块边长都为a(Cm)的大正方形，两块边长都为b(cm)的小正 方形和五块长、宽分别是a(cm),b(cm)的小长方形(a>b),按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个 大长方形.已知拼成的大长方形周长为78cm,四个正方形的面积之和为242c,则每块小长方形的面积 为() a a 0 b b b A.11cm2 B.12cm2 C.24cm2 D.36cm2 6.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)有两张正方形纸片ABCD、EFGH,其中AB>EF.若将这两个 正方形纸片按图(1)所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形MHND. 若将这两个正方形纸片按图(2)所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A,B,F在同一条直线上， 点P是线段AF的中点.连接AH,PD,PG,若三角形ABH的面积是3.则图(2)中阴影部分的面积 是 D N H G B(F A PB(E) 图1 图2 7.(24-25七年级下·浙江杭州期末)将边长分别为m,nm>n的两个正方形按如图所示方式摆放，其中 点B,C,E在同一条直线上，点G在CD上，记阴影部分面积为S.若m+n=10,m2+n2=54,则S的值 为 17/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D G B 8.(24-25七年级下·浙江杭州期末)将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方 式放在长方形ABCD内(AD>AB),每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合.两种放置均有部分重 叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为C1和S1,图2阴 影部分的面积为S2. 图1 图2 (1)若AD=2b=16,AB=12,a=10,直接写出C1的值， (2)若AD-AB=5,b=2,求S1-S2的值. (3)已知长方形ABCD的周长为36，面积为80，C1=28,求S1-S2的值. 目地城烤点12 求完全平方中字母的系数 1.（24-25七年级下：浙江合州：期未)若多项式x2+(k-3)xy+y是完全平方式，则k的值为（） A.5或1 B.±2 C.5 D.2 2.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)若多项式a+ka+25是完全平方式，则k的值是 3.(24-25七年级下：浙江杭州期未)已知多项式×+1-mx+9是一个完全平方式，则实数m的值是 4.(24-25七年级下·浙江嘉兴期末)若多项式x+mx+1是一个完全平方式，则m的值为 5.(12-13七年级下·浙江杭州期末)若y-my+9可以配成一个完全平方公式，则m的值为 6.(24-25七年级下·浙江宁波期末)若关于x的代数式x2-2mx+4(m是常数)是一个完全平方式，则 m= 7.(24-25七年级下浙江宁波：期末)若(x+m}=X2+x+49是一个完全平方式，则n的值是 18/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目地城赌点13 利用乘法公式求代数式的值 1. （24-25七年级下-浙江绍兴期未)若x-20252+x-2026P=5:则x-2025X-2026的值是（ A.-2 B.-1 C.1 D.2 2. （24-25七年级下浙江金华期末)若x+y=21+t'y+y=15-(则x+y的值为 3.(24-25七年级下.浙江宁波期末)已知x-y=1,则x▣2-y口-2y的值为 4. (24-25七年级下·浙江绍兴期末)若x2+xy=17-a,y+y=8+a,则x+y=: 目地城爱点14 通过对完全平方公式的变形进去求值 1.(24-25七年级下·浙江宁波期末)如图，边长分别为a、b(a>b)的两个正方形紧贴摆放.设阴影面 积为S.如图1，若b=3,则S的值是：如图2，若a-b=2,a2+b2=8,则S的值是 D D G B 图1 图2 2.(24-25七年级下·浙江丽水期末)如图，正方形AEHG,正方形EBKF和正方形NKCM摆放在长方形 ABCD中，AB=3,BC=4,且BK>KC.已知正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，则长方 形PFQD的面积为 D E H M B K 3.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图1，两张边长分别为a,ba>b的正方形纸片A,B. 19/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 (1)如图2，将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影 部分面积为35. ①求A,B两张纸片的面积和a2+b2: ②求A,B两张纸片的边长差a-b: (2)如图3，将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知A,B两张纸片的边长差为2，A,B两张 纸片的面积和为20，求阴影部分的面积. 4.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)如图，用图1所示的4张完全相同的长方形和1张小正方形无缝衔 接拼成图2所示的一个大正方形，其中长方形的长为a,宽为b,且a>b 拼成， 4张长方形1张小正方形 大正方形 (图1) (图2) (1)若a=6,b=2,求小正方形的边长. (2)用两种不同的方法表示图2中的阴影面积，并写出一个等式. (3)若a+b=8,ab=9,利用(2)中的等式求小正方形的面积. 5.(24-25七年级下·浙江嘉兴·期末)如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形 ⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为a,宽为ba>2b: a 6 ① ②a a④ ⑤ a I ③ b 亚 6 a a 图1 图2 (1)如图1，用含a,b的代数式表示小正方形⑤的面积. (2②借助图1，请直接写出代数式a+b2:ba-b之间的数量关系。 20/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (3)现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移b个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部 分图形I,Ⅱ，Ⅲ的面积和为12，求代数式a-2b的值. 目地城境点15 整式的乘除中新定义类题型 1. (24-25七年级下.浙江宁波·期末)对x,y定义一种新运算F,规定：Fx,y=mx+y3x-y(其 中m,n均为非零常数)，例如：F1,1=2m+2n,F-1,0=3m.当F1,-1=-8,F1,2=13,则 F x,y= ；当x≠y时，Fx,y=Fy,x对任意有理数x,y都成立，则m,n满足的关系式是 2.(24-25七年级下·浙江杭州期末)对于实数a,b,定义新运算“*”，规定如下：a*b=a+ab+2. 例如：(-2)·3=(-22+(-2)×3+2=0 (1)若a+b=4,求a*b+b*a的值. (2)若a*b=4,求(a+b)*(a-b)的值. (3)若a+b=3,ab=2,求a*b-b*a的值. 3.(24-25七年级下·浙江湖州·期末)对于两个有理数m,,定义一种新的运算“O”如下： m回n=m-3n.根据以上规定解答下列各题： (1)计算：4回-3的值： (2)若x+2y=3,求x-y回x+y的值. 4.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)定义：代数式中只含有两个字母（如x,y),若把其中的一个字母 (x)均换成另一个字母(y)，同时另一个字母(y)均换成这个字母(x),若所得代数式是和原代数式 相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”.如m+n,mn, 1+1等， m n 0代藏式0m-n.②nm+m心，@mn-品月@m-n冲，是对称式的有_ (2)若关于m,n的代数式n-1+m+k (k是常数，m≠n)是对称式，求常数k的值. m n 3)在(2)的条件下，若n-1+m+k=1+m+n当m=-1时，求m-nP的值. m nm n 5.(24-25七年级下·浙江杭州期末)小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它 的运算律.对于运算： 21/22 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 实数a,b,规定a△b=a+b+ab.小滨通过计算1△2,2△1，发现1△2=2△1. 小江：该运算满足a△b△c=a△b△c. 小美：该运算满足a△b+c=a△b+a△c」 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由 6.(24-25七年级下·浙江杭州：期末)定义关于*的一种运算：a*b=a+b(a≠0，b是整数)，例如： -1*3=(-1)3+-1×3=-1-3=-41 (1)求-4*2的值： (2)若a*2=1,求a*-1的值. 22/22 专题05 整式的乘除 15大高频考点概览 考点01 利用幂的运算判断选项是否正确 考点09多项式乘法中规律问题（重点题型） 考点02同底数幂的逆运算（重点题型） 考点10平方差公式与几何图形问题（重点题型） 考点03利用幂的运算比较大小 考点11完全平方公式与几何图形问题（难点题型） 考点04整式的乘除混合运算（计算）（高频题型） 考点12求完全平方中字母的系数（常考题型） 考点05（x+p）（x+q）型求参数（重点题型） 考点13利用乘法公式求代数式的值（常考题型） 考点06已知多项式乘积不好某项求字母的值 考点14通过对完全平方公式的变形进去求值 考点07整式乘除中化简求值问题（难点题型） 考点15整式的乘除中新定义类题型（重点题型） 考点08多项式乘多项式与图象面积问题（重点题型） 地 城 考点01 利用幂的运算判断选项是否正确 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本法则，需逐一验证各选项的正确性. 【详解】A：，此选项错误，不符合题意； B：，此选项正确，符合题意； C：，此选项错误，不符合题意； D： ，此选项错误，不符合题意； 故选：B. 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质和合并同类项，根据同底数幂的乘方，幂的乘方，合并同类项，积的乘方逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据整式混合运算的法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，可得，故错误； B、根据幂的乘方时底数不变，指数相乘，可得，故正确； C、根据合并同类项，可得，故错误； D、根据积的乘方可得，，故错误． 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，掌握这两个法则是关键；利用积的乘方计算，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确； 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法及合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法及合并同类项的法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】进行运算后判断即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 地 城 考点02 同底数幂的逆运算 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记同底数幂的乘法运算公式是解决问题的关键．先将由同底数幂的乘法运算的逆运算化为，将条件代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则________． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则_________． 【答案】10 【分析】把化成，变成，代入求出即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方的应用，主要考查学生的计算能力． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则的值为______． 【答案】512 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握计算法则是突破本题的关键． 地 城 考点03 利用幂的运算比较大小 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若 ，则，x，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数的大小比较．熟练掌握正分数和它的倒数，它的平方数的大小关系，是解题的关键． 当 时，得且，即． 【详解】由于， 当分数自乘时结果更小，故 ． 如，则． ∵，， ∴ ， ∴ ． 如，则 ． 综上，． 应选项C． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）已知，，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察发现四个数的指数都是17的倍数，利用幂的乘方化为指数相同的数进而比较即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ∵， ∴最大， 故选B． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及有理数的乘方运算的意义，化为指数相同的数是解题的关键． 3．已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方的运算是关键． 根据幂的乘方的逆运算得到，，，，再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， 故选：D ． 地 城 考点04 整式的乘除混合运算（计算） 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式以及单项式与多项式的乘法． （1）根据单项式与多项式的乘法法则求解即可； （2）先根据乘法公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查零次幂，乘方，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算出零次幂，乘方的结果，再计算加减即可； （2）运用乘法公式，整式的除法运算去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查负整数指数幂、零指数幂、含乘方运算的有理数的运算，整式的乘法，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则． （1）根据实数的性质化简，即可求解； （2）利用多项式乘多项式法则，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂和分式的减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． 地 城 考点05 （x+p）（x+q）型求参数 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， ∵ ，等式对任意实数都成立， ∴，， 解得：，， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，则的值为（ ） A．1 B． C． D．7 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则______________，______________． 【答案】 2 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴ ∴，， ∴，， 故答案为：2，． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若不论x为何值，，则_____． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a的值以及a与k的关系，然后可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（24-25七年级下·浙江舟山·期末）已知二次三项式分解后有一个因式为，则______． 【答案】6 【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（x+n）， 得x2-5x+m=（x-2）（x+n）， 则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n． ∴， 解得． ∴m的值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键． 地 城 考点06 已知多项式乘积不好某项求字母的值 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（   ） A． B．0 C．17 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵不含的二次项， ∴， ∵， ∴原式， 故选：A ． 2．（24-25七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项可得，则该项系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， 由于结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）要使的展开式中不含常数项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，理解多项式中不含常数项是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的法则，将展开，合并同类项之后令常数项为0，即可求解． 【详解】解：， 的展开式中不含常数项， ． 故选：C． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且常数项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则得到，即可得到． 【详解】解：∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，常数项为， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为____________________． 【答案】/0.25 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果展开后的结果中不含x的一次项，那么m的值为：__________． 【答案】/2.5/ 【分析】先对展开合并同类项，在令x的系数为零即可求出． 【详解】解： ∵结果中不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式与多项式乘法的展开式不含某一项的问题，解题的关键是理解不含某一项，则该项的系数为零即可． 地 城 考点07 整式乘除中化简求值问题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算、平方差公式及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据平方差公式计算，再提出后计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）已知． (1)当时，求的值． (2)试说明无论取何值时，． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式的应用； （1）根据列式计算即可； （2）求出，然后根据偶次方的非负性得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整理得：， 解得：； （2） ， ∵， ∴，即， ∴． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)设a为常数且，若，求a的值． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的运用，解题的关键是牢记，熟练运用整体代入思想． （1）利用完全平方公式将变形为，即可求解； （2）先通分，再整体代入计算，即可求解． （3）先将展开后整体代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）由题意，得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】 ． 把代入，得． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中的值从，，中选取一个． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】（1）先展开，再去括号，合并同类项；（2）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ，， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，分式化简求值，解题的关键是掌握整式，分式相关的运算法则． 地 城 考点08 多项式乘多项式与图象面积问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是找到阴影部分的面积与大长方形面积的关系；设小正方形边长为，大正方形边长为，利用小正方形和大正方形的面积比，得到，代入阴影部分的面积与大长方形的面积即可. 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ∵小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴，， 即：， ∵， ， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成． 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为_______． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示实际问题中的数量关系,完全平方公式，代数式求值．设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据大长方形面积等于48，可找出，进而即可得出结论． 【详解】解：设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴正方形①与正方形③的面积之和为， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，正确理解题意，分析图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积为，再表示出未覆盖的面积为，利用正方形的面积为，构成等式，化简可得到结果． 【详解】解：设长方形的长是，宽是， 正方形的边长为， ，， ， 两个长方形覆盖的面积为， ， 两个长方形覆盖的面积为， ， 即， ， ， ， ， ， 长方形的周长的， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为______．    【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是数形结合，并正确表示出阴影部分的面积．根据图形分别表示出，，，再根据当时，；当，时，，列出等式并化简即可求解． 【详解】解：由图可得： ，，， 当时，， ， ， ， ， 当，时，， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如 图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积． 【答案】16 【分析】该题考查了多项式乘法的应用，作交的延长线于点M，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据阴影部分的面积等于，列式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点M，如右图所示， 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵正方形的边长为4， 则阴影部分的面积是： ， 即的面积是16． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 地 城 考点09 多项式乘法中规律问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解． 【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为， ∴， ∴， ∴含项的系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了整式乘法的计算能力．根据题中“三乘”对应的展开式进行代入求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴m的值是24， 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】(1)成立，过程见解析； (2)①0；②； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【详解】（1）展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． （3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 6．（24-25七年级下·浙江·期末）回答下列问题： （1）填空： ________；________；_________． （2）猜想：____________．（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方） ①； ②． 【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；② 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2； （a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3； （a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4； （2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn； （3）①原式=210+29+28+…+23+22+2 =（2-1）•（210+29•1+28•12+…+23•16+22•18+2•19+110）-110 =211-111-1 =211-2； ② = = = = = 【点睛】此题考查了数字的规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键． . 7．（24-25七年级下·浙江·期末）（1）填空： _________； __________； __________________． （2）猜想：______（其中为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ①； ②． 【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①4094；② 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2； （a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3； （a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4； （2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn； （3）① = = = = =4094； ② = = = = = = 地 城 考点10 平方差公式与几何图形问题 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，边长为a的正方形和长为b、宽为a的长方形拼成一个新长方形，利用面积的不同表示方法可以说明下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式表示图形面积，准确识图表示图形面积是关键． 用两种方法分别表示出图形的面积，即可得出等式． 【详解】解：方法一：表示边长为a的正方形和长为b、宽为a的长方形的面积之和为， 方法二：表示一个长为，宽为的长方形面积为 ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（    ）    A．21 B．24 C．34 D．42 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已 知M是的中点，点P在线段 上，分别以，为边，作正方形和正方形，设，．    (1)如图1，用关于a，b的代数式表示正方形和正方形的面积之差． (2)如图2，连结，，若 ，求四边形的面积， (3)如图3，连结，，，若正方形 和正方形  的面积之和为50， 四边形的面积为24，求的面积． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握两个公式是解题的关键． （1）结合所给的已知条件先求出两个正方形的边长，从而计算出它们各自的面积，从而求出两正方形的面积之差； （2）根据题意得出 ，再代入即可求解． （3）根据（2）可得，正方形 和正方形的面积之和为，根据正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24，得出，，即可得，，根据完全平方公式得出，，再根据 即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ， ∵四边形和四边形是正方形， ，， 令正方形和正方形的面积之差为， ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：根据（1）（2）可得正方形和四边形的面积之差为，， 正方形 和正方形的面积之和为， ∵正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24， ∴，， ∴，， ∴，， ∴（负值已舍去），（负值已舍去）， ∴ ． 6．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形． 【字母表示】 （1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差； 【观察归纳】 （2）观察图②，写出，，之间的等量关系； 【问题解决】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）；（3）． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示大正方形与小正方形的面积差即可； （2）根据（1）中两种方法所表示的面积相等对称等式即可； （3）利用（2）的结论代入计算即可． 【详解】解：（1）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为， 所以大正方形与小正方形的面积之差； 由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即， 因此大正方形与小正方形的面积之差为或； （2）由（1）可得， 即，，之间的等量关系为； （3），， ． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，把数量相同的花种撒播在甲、乙两块土地上（阴影部分），若，则甲、乙两块土地的撒播密度的比为______．（撒播密度） 【答案】 【分析】本题主要考查比、完全平方公式和平方差公式，牢记完全平方公式和平方差公式是解题的关键．设花种数量为，可知甲的撒播密度，乙的撒播密度，进而可求得答案． 【详解】解：设花种数量为，根据题意得： 甲的撒播密度为： ， 乙的撒播密度为： ． ∴甲、乙两块地的撒播密度比为：． 故答案为：． 地 城 考点11 完全平方公式与几何图形问题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a，的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，含参数的一元一次方程的解法，根据空白部分的面积与阴影部分的面积相等，列方程解答即可； 【详解】解：∵空白部分的面积与阴影部分的面积相等， ∴， ∴， ∴； 故选B 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则． ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴长方形的面积为 故选A ． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，边长为的大正方形剪去4个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为，则根据题意可知，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的约分，完全平方公式的应用． 根据题意分别表示出底面积与表面积，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：由图可得，底面积为，表面积为，根据题意可得： ， 即， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积加上1个三角形的面积，减去空白三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分面积等于 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形的周长为8，可推出，根据三角形的面积是3，推出，再由线段中点的定义得到，根据列式求解即可． 【详解】解；设， ∵正方形的周长为8， ∴， ∴； ∵三角形的面积是3， ∴，即， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）将边长分别为m，的两个正方形按如图所示方式摆放，其中点B，C，E在同一条直线上，点G在上，记阴影部分面积为S．若，，则的值为_______． 【答案】200 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键． 先根据，，计算出的值，再用含m，n的式子表示出，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 由题意知，，， ， ， ， 故答案为：200． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【答案】(1)40 (2)10 (3)8 【分析】题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可； （2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案． （3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：作辅助线如图所示 ∵ ∴， ∴； （2）解：作辅助线如下图 设， ∴，， ∴， 由题意得：，， ∴ （3）解：设，且（） 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得． 地 城 考点12 求完全平方中字母的系数 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方式的结构，中间项为平方项两数乘积的2倍或倍，从而建立方程求解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：多项式是完全平方式，可表示为， 比较中间项系数得：，即， 解得：或， 因此，的值为5或1， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式是完全平方式，则k的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方式的特点是解题的关键．根据完全平方公式得出，即得答案． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是_______． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是明确完全平方公式的形式． 根据完全平方公式的形式，确定出一次项系数与常数项的关系，进而求出的值． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：7或． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟记完全平方公式，并根据平方项确定出这两个数．根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（12-13七年级下·浙江杭州·期末）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特点，变形为，即可得到答案．此题考查了完全平方式的特点：两数的平方和与这两数乘积的二倍的和（或差）等于这两个数的和（或差）的平方，熟练掌握完全平方式的特点是解题． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则______． 【答案】 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征进行分析，两倍的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾的两位数的情况下，对中间项2倍乘积要分正负两种情况，这点特别注意．根据首末两项分别是和2的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若是一个完全平方式，则n的值是 _______ 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先利用完全平方公式把已知等式的左边展开，然后根据完全平方式的结构特征，列出关于，的方程，解方程即可． 【详解】解：，是一个完全平方式， ，， 解得：，， 故答案为：． 地 城 考点13 利用乘法公式求代数式的值 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，分解因式，设，则，将原方程转化为关于的方程，通过代数变形直接求解的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故选D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为_______． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式，将两式相加后利用完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得：， ∴， 故答案为：36． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，则的值为______． 【答案】1 【分析】利用平方差公式将变形后代入已知数值，计算整理后再代入已知数值即可求得答案．本题考查平方差公式的应用，将变形为是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：1 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式的求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．先将两式相加，再利用完全平方公式的知识即可求解． 【详解】解：将两式相加， 可得：， 即：， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点14 通过对完全平方公式的变形进去求值 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为_________． 【答案】3 【分析】此题考查了完全平方公式和几何综合，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由正方形的性质设，，得到，，表示出，，由得到，然后得到，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：∵正方形，正方形 ∴设， ∴， ∵ ∴， ∵正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵正方形与正方形的面积之和为7 ∴ ∴ ∴ ∴长方形的面积为3． 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，两张边长分别为的正方形纸片． (1)如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35． ①求两张纸片的面积和； ②求两张纸片的边长差； (2)如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①65；②； (2)8 【分析】（1）①由题意得，根据进行计算即可； ②由题意得，由即可求出答案； （2）由题意得，根据求出的值，结合图象利用三角形面积公式即可求解． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】（1）①由图可知， ，即， ∴两张纸片的面积和； ② ， ； （2）由题意得，， 如图： 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，用图1所示的4张完全相同的长方形和1张小正方形无缝衔接拼成图2所示的一个大正方形，其中长方形的长为a，宽为b，且． (1)若，，求小正方形的边长． (2)用两种不同的方法表示图2中的阴影面积，并写出一个等式． (3)若，，利用（2）中的等式求小正方形的面积． 【答案】(1)4 (2)或或 (3)28 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用利用完全平方公式变形求解等知识． （1）根据小正方形的边长为代入计算即可． （2）方法1：直接计算四个长方形的面积，方法2：用大正方形的面积减去空白正方形的面积．根据阴影部分面积相等即可得出等式． （3）利用（2）种得出的等式代入计算即可． 【详解】（1）解：小正方形的边长为：． 答：小正方形的边长为4 （2）解：方法1：． 方法2：． ∴或或 （3）解：当，时， ． 答：小正方形的面积为28． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为． (1)如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积． (2)借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系． (3)现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题主要考查完全平方公式的几何验证。掌握通过图形分割与面积加减关系推导代数恒等式，理解 “以形证数” 的数学思想是解题的关键。通过大正方形与内部四个长方形的面积关系，推导小正方形面积表达式，从而验证完全平方公式的几何意义。 （2）本题主要考查完全平方公式的几何意义。掌握通过图形分割利用面积相等关系验证代数恒等式，理解 “数形结合” 思想在公式推导中的应用是解题的关键。通过大正方形面积由小正方形面积与四个长方形面积组成的关系，推导完全平方公式的变形等式。 （3）本题主要考查多项式乘法、完全平方公式的应用及代数代入法。掌握多项式展开法则，灵活运用完全平方公式进行变形，结合条件判断符号是解题的关键。通过展开多项式并合并同类项，结合已知，利用完全平方公式变形求解即可。 【详解】（1）由题意可知：正方形的边长为;小正方形的边长为， 小正方形的面积为：， 即， 大正方形的面积为： ， 即， 长方形的面积为：， 则小正方形的面积为： ， ∴ （2）由题意可知：正方形的边长为;小正方形的边长为 大正方形的面积为： 即 长方形的面积为： 小正方形的面积为： 即 则大正方形的面积为： ∴ （3）由题意可知，， ∵， ∴.         ∴， ∴， ∴ 地 城 考点15 整式的乘除中新定义类题型 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．当，则___________；当时，对任意有理数都成立，则满足的关系式是 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算． （1 ）根据新运算的定义，得，故那么，． （2 ）由，得，故．由当时，对任意有理数都成立，得到当时，对任意有理数都成立．那么， 【详解】解：（1 ）， ． （2 ）， ． ． 若当时，对任意有理数都成立， 当时，对任意有理数都成立． 当时，对任意有理数都成立． 故答案为： 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“◎”如下：．根据以上规定解答下列各题： (1)计算：的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可； （2）根据题目中给出的信息先求出，然后再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，有理数混合运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． (1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． (2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． (3)在（2）的条件下，若，当时，求的值． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意； 对于②，将互换后，得到，符合题意； 对于③，将互换后，得到，符合题意； 对于④，将互换后，得到，符合题意； 故答案为：②③④ （2）∵是对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意，得： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它的运算律．对于运算： 实数a，b，规定．小滨通过计算，，发现． 小江：该运算满足． 小美：该运算满足． 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】小江的说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算．根据新定义运算分别计算进行判断即可． 【详解】解：小江的说法正确，理由如下： 因为 ． 所以． 小美的说法错误，理由如下： ． ． 所以． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $