专题02 相交线与平行线解答题压轴4大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦相交线与平行线解答题压轴，汇编浙江多地期末真题，覆盖4大高频考点，突出性质综合应用与分层探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题（压轴）|多题|平行线性质、角关系探究、折点/三角板综合|结合三角板旋转（如台州期末题）、动点问题（如杭州期末题）、生活情境（如探照灯问题），层次分明，适配期末压轴训练|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相交线与平行线解答题压轴 ☆4大高频考点概览 考点01根据平行线的性质探究角的关系（压轴题型） 考点03平行线的性质综合之三角板问题（压轴题型） 考点02平行线的性质综合之折点问题（压轴题型） 考点04平行线的性质综合其它问题（压轴题型） 目目 考点01 根据平行线的性质探究角的关系 1.(24-25七年级下浙江期末)如图1，已知直线12，且13和1、12分别交于A、B两点，点P在线段AB 上 北 北E R 图1 图2 图3 (1)如图1，∠1，∠2，∠3之间的等量关系是 如图2，A点在B处北偏东40·方向，A点在C处的北 偏西45°方向，则∠BAC=°. (2)如图3，∠1，∠2，∠3之间的有何等量关系？请说明理由. 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直 线b分别交于点E、F. G a 图1 图2 (1)如图1，若∠AG0+∠BFE=180°，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在间题(1)的条件下，若N为AC上一点，且∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与 ∠AOG之间的数量关系，并说明理由， 3.(24-25七年级下浙江杭州期末)如图1，已知ab,点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，AD与 BC交于点E. 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 2 图3 (1I)当AD⊥BC,∠ABC=50°，求∠ADC的度数： (2)如图2，BF平分∠ABC交AD于点F,DG平分∠ADC交BC于点G, ①若∠ABC=40°，∠BED=80°，求∠AFB+∠CGD的度数； ②当∠BED=a《,求∠AFB+∠CGD的度数（用含a的式子表示）； (3)如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI,N为∠IPB的角平分线PM上一点，且 ∠NCD=∠BCN,设∠CIP为∠1，∠IPN为∠2，∠CNP为∠3，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是 4.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图，已知MNPQ,小楚将一块直角三角板ABC的点A放置在直线 PQ上，点B在直线PQ与直线MN之间，边AC与直线MN相交于点D,边BC与直线MN相交于点E,其中 ∠CAB=90°，∠B=60°. A (1)若∠CDM=68°，求∠BAQ的度数； (②)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变。 ①当∠BAQ=∠NEB时，求∠DAP的度数； ②说明∠DAP与∠NEB的差是定值. 5.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图1，ABCD,点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB,CD 之间，连接EF,FH, D 图1 图2 图3 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：∠BEF+∠FHD=∠EFH (2)如图2，点M在直线AB与CD之间，且MEIHF,若∠MEF=2∠BER∠FHD=42°，求∠MEF的 度数 (3)如图3，连结MH,移动点M至直线AB上方，使得MHEF,延长ME交直线HF于点P,若 ∠MHD=n∠PHD,∠EPH=C(n为整数且n≥1)，求∠PEF:∠PEB的值（用含n的代数式表示）. 6.(24-25七年级下·浙江湖州期末)如图，直线AB,CD被直线MN所截，AB‖CD,一块含30°角的直 角三角板EFG(∠G=90°，∠EFG=30°)按如图1放置，点E,F分别在直线AB,CD上，且 EG‖MN,∠EFN的平分线FH交直线AB于点H. B M D 图1 备用图 (I)填空：∠AEG+∠CFG∠G(填“>”，“<”或“=”)： (2)当FH MN时，求∠MND的度数； (3)将三角板EFG沿直线AB左右移动，并保持EG‖MN(点F不与点N重合)，设 ∠MND=a(0°<<90°)，在平移的过程中求∠EHF的度数（用含a的代数式表示）. 7.(24-25七年级下·浙江杭州期末)如图，直线ABCD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F, ∠BEF的平分线交CD于点P. B F D (I)若∠EPF=40°，求∠EFP的大小. (2)点G是射线FP上一个动点（不与点F,P重合），∠FEG的平分线交直线CD于点H(点H在线段FP上)， 过点H作HN‖PE交直线AB于点N. ①当点G在线段FP上时，依题意补全图形，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系. ②当点G在线段FP的延长线上时，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系， 8.(24-25七年级下·浙江宁波·期中)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路 两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线 3/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动 的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQIMN,且∠BAM:∠BAN=2:1. 0 6 P B D P M (图1) (图2) (I)填空：∠BAN=°； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互 相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D ,且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求 出其数量关系；若改变，请说明理由 9.(2425七年级下浙江台州期末)如图，直线m‖n,直线m,n分别与直线AB交于A,B两点.点C 在直线m上且在点A右侧，∠ABC=40°.点D在直线m上，DF‖AB交直线n于点F,CE平分∠BCD 交直线n于点E.设∠BFD=. C D B B 图1 备用图 (1)如图1，当点D在点C右侧时，若《=40·， ①求∠BCD的度数； ②求证DF‖CE; (2)当点D在直线m上运动时，设∠BEC=B,直接写出x与B的数量关系. 10.(24-25七年级下浙江宁波期末)如图，已知直线l12,直线l3和直线l112交于点C和D,点P是直线 CD上的一个动点. 4/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E D (图1) (备用图) (备用图) (1)如图1，点P在段段CD上，∠PAC=30°，∠PBD=45°，则∠APB= (2)如果点P运动到C,D之间时，试探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系，并说明理由； (3)若点P在C,D两点的外则运动时（点P与点C,D不重合），∠PAC∠APB,∠PBD之间的关系是否发生改 变？请说明理由. 目目 考点02 平行线的性质综合之折点问题 1.(24-25七年级下，浙江杭州期末)已知直线AB‖CD,点F在CD上，射线FE与AB交于点E.点P在射 线FE上（不与点E,F重合），点Q在射线EA上（不与点E重合），连接PQ. /B B 图① 图② (1)如图1，若点P在线段EF上，∠AQP=115°，∠PFD=75°，求∠QPF的度数. (2)如图2，点P在线段EF上，QM平分∠AQP,且与∠CFP的角平分线交于点M,若MQ|PF, MFI‖PQ,求∠AEF的度数， (3)当60°<∠FEA<90°时，PG⊥PQ交直线CD于点G,ENPG交直线CD于点N,若 ∠PQE=专∠PEQ=&,请直接写出∠NEP的度数.（用含a的代数式表示） ∠NEP=180°-FEN=180°-(3a-90°)=270°-3a 2.(24-25七年级下·浙江丽水·期末)如图，将两个直角三角尺作如下摆放， ∠EGF=∠MPN=90°，∠GFE=∠PNM=30°，直线AB过点E,MN在直线CD上，EG平分∠AEF 5/13 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E D (1)求∠BEF的度数， (2)试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. (3)将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4·，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记 旋转时间为t,当△PMN旋转一周时，整个运动停止.当EF与△MPN的任意一边平行时，求出所有满 足条件的t的值. 3.(24-25七年级下浙江宁波期末)已知直线12,13和1,12分别交于C,D点，点A,B分别在直线l1, 12上，且位于l的左侧，点P在直线l3上，且不和点C,D重合. A 2 图1 图2 (1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数. (2)如图2，当点P在直线13上运动时，试判断∠APB,∠1，∠2的数量关系，直接写出结果，不需要说明理 由. 4.(24-25七年级下·浙江宁波期末)如图，在四边形ABCD中，己知ADIBC,∠B=∠D. D (1)求证：ABIICD; (2)如图2，以BC边上一点P为顶点作直角∠EPF,两直角边分别交AB、CD于E、F两点，则求 ∠AEP十∠DFP的度数. (3)如图3，在(2)的条件下，CD边上存在一点N,使得∠ANP=96°，连接PN.延长PE交DA延长线 6/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点M,若PF、AB恰好平分∠NPC、∠MAN,且∠PFN=2∠DAN,求∠NPF的大小. 5.(24-25七年级下浙江湖州期末)己知，直线PQ‖m川n,A,B,C分别是直线PQ,m,n上的点，连 结AB,AC,若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部 (1)如下图，若∠1=40°，∠2=35°，求∠3的度数； P m 3 C (2)如下图，以AB为边向左侧作∠BAD=60°，与直线n交于点D(点D在点C的左侧)，作∠ADC的平 分线DE,交AC于点E,连结EB并延长，交直线PQ于点F,记EF与直线m的夹角为B,∠EDC=Q.若 ∠ABF=B. m ①求x与B的数量关系； ②求∠FEC-∠AED的值. 6.(24-25七年级下浙江期末)(1)如图1，已知直线12，且l3和l1,12分别交于A,B两点，点P在AB上， 则∠1、∠2、∠3的等量关系是 ·如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向， 则∠BAC= B 图1 图2 (2)如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E,BE交CD于点F,∠1+∠2=90°，试说明：ABICD;并 探究∠2与∠3的数量关系. 7/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B B 图3 目目 考点03 平行线的性质综合之三角板问题 1.(24-25七年级下·浙江台州期末)三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ABC=30°， ∠DFE=45°，MNPQ,点A,C在直线MN上，点E,F在直线PQ上.固定三角板ABC,将三角板 DEF向右平移. M C N M PE 图1 图2 图3 (I)如图2，当点B落在线段DF上时，求∠ABD的度数； (2)在三角板DEF平移过程中，连接BD,记∠ABD为c,∠BDF为P ①如图1，当点D在直线BC左侧时，一B的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请 说明理由， ②如图3，继续向右平移三角板DEF,当点B在直线DE左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由. 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)已知三角板ABC与DEF,∠B=∠C=45°，∠DEF=60°， ∠DFE=30°，将它们按下列要求放置. E (A) B D A(D A(D) 图1 图2 图3 (1)如图1，当AE平分∠BAC时，求证：BCI‖AF (2)如图2所示，若EF‖BC,求∠EAB的度数 (3)如图3，将三角板DEF固定不动，∠EFD的角平分线FG交DE于点G,改变另一个三角板ABC的位置， 顶点A与顶点E始终保特重合，旋转三角板ABC,当BC与FG平行时，求∠FEB的度数.（∠FEB度数不大 8/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 于180°). 3.(24-25七年级下·浙江湖州期末)三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数 学探究.如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.AB,AC 分别交DG于M,N点. 309 30 D 2 G M M D B E 图1 图2 图3 (1)求∠1和∠2的度数： (2)现把三角板绕B点逆时针旋转n·,如图2，当0<n<90,且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示∠2的度数； ②若此时∠1=号∠2，求n的值： (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含45·的三角板CDE固定不动，将 含30°的三角板ABC绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行.如当∠ECB=15°时， ABDE.当∠ECB在0°至180°之间变化时，直接写出其它所有符合条件的∠ECB的度数. 4.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)小嵊与小州两位七年级同学在复习平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”.三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC=30°， ∠DEF=45°，GHMN、点A,B在直线GH上，点D,F在直线MN上 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论. 问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移 ①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数. ②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE,记∠BCE为，∠CEF为F,当点E在BC左侧时， B一心的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1。的速度顺时针 旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH=t°， ∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE,DF)平行时，请直接写 出所有满足条件的t的值. 9/13 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G M F D 图1 图2 图3 5.(24-25七年级下浙江期末)如图，直线PQIMN,一副三角尺 (∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置， 其中点E在直线PQ上，点B,C均在直线MN上，且CE平分∠ACN. P M B M 图① 图② 图③ (1)求∠DEQ的度数， (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G), 设旋转时间为t(s)(0≤t≤60). ①在旋转过程中，若边BGCD,求t的值， ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转(C,D的 对应点为H,K).请直接写出当边BGHK时t的值， 6.(24-25七年级下浙江金华期末)如图，三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上，其中∠A=60°， ∠B=30°. B 图① 图② 图③ (I)如图①，若∠APC=40°，求∠BPD的度数 (2)如图②，若ABII CD,PN平分∠BPD,求∠APN的度数 (3)在(1)的条件下，将三角尺ABP绕点P以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转t秒(0<t≤50)后得到 三角尺ABP,如图③，当∠APB=专∠BPD时，求t的值. 10/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25七年级下浙江绍兴期末)如图，直线MNPQ,直角三角板的30°角顶点A在直线MN上，直 角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间.∠NAB的平分线AD交直线PQ于点D,设∠ADP的度数为x° M M 图1 图2 备用图 (1)如图1，若BCAD,求x的值； (2)过点C的直线分别交MN,PQ于点E,F(点E不与点A重合). ①若∠EFD=180°一2x,如图2，请判断EF与AB的位置关系，并说明理由； ②若∠EAC的角平分线交直线PQ于点G,求∠AGF的度数（用含x的代数式表示）. 目目 考点04 平行线的性质综合其它问题 1.(24-25七年级下·浙江湖州·期末)如图，AB、CD和EF被BD所截，已知∠1=∠2，EG平分∠AEC交 BD于点G. 图1 图2 (1)如图1，∠BAE=140°，∠FEG=15°，∠DCE=110°，试判断EF与CD的位置关并说明理由： (2)如图2，己知AB‖CD. ①若∠BAE=35°，∠FEG=30°，求∠C的度数； ②试探索∠BAE、∠FEG与∠C之间的数量关系， 2.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)如图，A,B分别是∠MON两边上的定点，C是射线0N上的动点， 过点C作线段CDIOA(点D在∠MON内部)，且CD=OA,连结AB,BD己知∠MON=72°， ∠0AB=48°. 11/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N (I)求∠DCN的度数. (2)若DB⊥AB,求∠D的度数 (3)在点C从点O出发，沿着射线ON移动的过程中，是否存在点C,能使∠ABD=2∠D？若存在，求出 ∠D的度数，若不存在，请说明理由 3.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)如图1，某一动直线AB分别截两平行直线a,b于点A,B,点C为直 线b上（位于点B右侧）一点，满足∠BAC=30°，∠BCA角平分线CD交直线a于点D.在直线a上， 点D左侧任取一点E,点A右侧任取一点F;在直线b上，点B左侧任取一点G,点C右侧任取一点H. CD右边取点I满足CI⊥CD,满足∠CDI=45o,DI交直线AB于点J,∠JAD的角平分线交DI于点K.设 ∠ABC=&(0°<a<180°且≠60°). bGB H D 图1 备用图1 备用图2 (1)若=30°，求∠CAF-∠KAD的度数，写出过程；若=90°，直接写出∠CAF-∠KAD的度数； (2)若∠CAF-∠KAD=0°，求a的度数； (3)若|∠CAK-110°|=60°，求a的度数 4.(24-25七年级下·浙江宁波期末)如图1，已知直线AB引CD,∠CMN=60,射线ME从MD出发，绕 点M以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度顺时针返回，到达MD后继续改变 方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后 停止运动，此时ME也同时停止运动。 A N B A M D M D 图1 图2 (1)当射线ME运动的时间为10秒时，求∠NME的度数 (2)若射线NF先运动30秒，然后射线ME一起运动，设ME运动的时间为t,当运动过程中MENF时，求 12/13 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t的值 (3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P,过点P作 PQ⊥ME于点P,交直线AB于点Q,则在运动过程中，若设∠NME的度数为m,请求出∠NPQ的度数（结 果用含m的代数式表示). 5.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)如图1，ADI‖BC,∠BAD=63°，∠BCD=100°，M是线段BC上 一点，过点M分别作MEAB,MFCD,分别交AD于点E,点F. B M C B M E F D N A E F 图1 图2 (1)求∠EMF的度数； (2)点N为直线AD上的一个动点，连接MN ①如图2，当点N在点A的左侧，且∠MNF=10°时，判断MN与MF的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N,使得∠FMN=2∠MNF?若存在，请求出∠MNF的度数；若不存 在，请说明理由， 13/13 专题02 相交线与平行线解答题压轴 4大高频考点概览 考点01 根据平行线的性质探究角的关系（压轴题型） 考点03平行线的性质综合之三角板问题（压轴题型） 考点02平行线的性质综合之折点问题（压轴题型） 考点04平行线的性质综合其它问题（压轴题型） 地 城 考点01 根据平行线的性质探究角的关系 1．（24-25七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个直角三角板的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于点E、F．    (1)如图1，若，请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在问题（1）的条件下，若N为上一点，且，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点C作，等量代换得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：．理由： ∵，， ∴， ∴． （2）解：．理由： 如图，过点C作，    ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，而， ∴， 如图，记的交点为， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键． 6．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，直线，被直线所截，，一块含角的直角三角板（，）按如图1放置，点E，F分别在直线，上，且，的平分线交直线于点H． (1)填空： （填“”，“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)将三角板沿直线左右移动，并保持（点F不与点N重合），设，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)= (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，正确作辅助线和分类讨论是解答本题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，进而可求解； （2）由平行线的性质可得；由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； （3）可分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴, 故答案为：=； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中 ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点在点的左侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 同理得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴； 综上，的度数为或． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，的平分线交于点P． (1)若，求的大小． (2)点G是射线上一个动点（不与点F，P重合），的平分线交直线于点H（点H在线段上），过点H作交直线于点N． ①当点G在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系． ②当点G在线段的延长线上时，用等式表示和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟悉几何图形的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补以及角平分线的性质可得到结果； （2）①先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果；②先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①当点G在线段上时，图形如图所示． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴设． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即． ②当点G在线段的延长线上时，图形如图所示． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴设． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两等同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)当秒或秒时，两灯的光束互相平行 (3)和关系不会变化，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 9．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)① ② ③ 【分析】本题考查的是平行线性质的应用及角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的性质是解题关键， （1）①先求，再求，即可求出结论；②先求，证明即可证明结论； （2）分三种情况：当点D在点C 右侧时；当点D在点C 左侧、在点A右侧时；当点D在点A左侧时分别根据平行线的性质求出结论即可； 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ； ②平分，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如下图：当点D在点C 右侧时，，， ， ， ，， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点C 左侧、在点A右侧时，，， ， ， ，， ， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点A左侧时，，， ， ，， ， 平分， ，即； 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)不成立，或，理由见解答 【分析】本题主要考查了平行㦱的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过点P作平行线，构造内错角． （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据 ，即； （2）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据 ，可得； （3）根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，图2中根据，可得；图3中，根据，可得． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论：， 证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）不成立， 如图2； 理由：过点P作，   ， ， ， ， ， ， ②如图3： ， 理由：过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，或． 地 城 考点02 平行线的性质综合之折点问题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数． (2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． (3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； （1）过点作，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解； （3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，根据平行线的性质得出，进而即可求解；当在上方时，根据平行线的性质，同理可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：设 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴ 又∵，即 解得： ∴ （3）解：当在下方时，如图所示， ∵ ∴ ∵， ∴ 由（1）可得 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴． 当在上方时，如图所示，过点作 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的值为10或20或25 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； （2）过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于C，D点，点A，分别在直线，上，且位于的左侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，点P在线段上，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)的度数为； (2)或或． 【分析】本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线． （1）作辅助线使，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，进而得到，，即可求出的度数； （2）作辅助线使，分情况讨论得到，，的数量关系，①当点P在直线，上方，利用平行线的性质得到；②当点P在直线，中间时，利用平行线的性质得到，③当点P在直线，下方，利用平行线的性质得到． 【详解】（1）解：过点P作如图1， 又直线， ， ， ， ， ， ． 故的度数为． （2）过点P作，①当点P在直线，上方时如图2， 又直线， ， ， ， ， ， ， 即：； ②当点P在直线，中间时如图3，又直线， ， ， ， ， ， ，即； ③当点P在直线，下方时如图4，又直线， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论； （2）过点P作，证明，得到即可解答； （3）过点N、F作，，设，，，根据平行的性质得到，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：过点P作，如图1所示： ， 由（1）得，， ， ， ， （3）解：过点N、F作，，如图所示： ， ． 平分、， ，， 不妨设 ，，， ，① ， ，， ， ，② ， ， ， ， ， 又 ， ，③ 由①②③式可得，，即 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 【答案】(1) (2)①， 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·浙江·期末）（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；(3)证明见解析，． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）作即可得到，代入求得的度数． （3）和的平分线交于，且，可得，可得，得到，将等角代换，即可得出． 【详解】解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵∠ ∴， ∴； ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 平行线的性质综合之三角板问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置． (1)如图1，当平分时，求证：； (2)如图2所示，若，求的度数 (3)如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质； （1）根据角平线的定义得到的度数，进而求出的度数，即可得到，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）过点作，根据平行线的性质解答即可； （3）分为两种情况画图，过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ，   ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ，， ． ； （3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我们重要的学习工具，可以利用这些工具进行很多数学探究．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．，分别交于M，N点． (1)求和的度数； (2)现把三角板绕B点逆时针旋转，如图2，当，且点C恰好落在DG边上时： ①请用含n的代数式表示的度数； ②若此时，求n的值； (3)选用工具中的两把直角三角板，直角顶点重合叠放如图3所示，现将含的三角板固定不动，将含的三角板绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行．如当时，．当在至之间变化时，直接写出其它所有符合条件的的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了邻补角、直角的性质，平行线的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，结合题意求解即可； （3）结合图形，分，，，，，五种情况进行分析，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）解：①如图2，∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）当时， ， 如图所示位置， ∵，， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵，， ∴共线， ∴， ∵， ∴共线， ∴； 当时， 如图所示位置， ∵， ∴， ∴； 如图所示转到位置， ∵， ∴； 当时， 如图所示位置， 根据题意得； 如图所示位置，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示：同理得；； 当时，如图所示：同理得；； 综合可得：符合条件的的度数． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 5．（24-25七年级下·浙江·期末）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） ， , 平分， ∴， ∴； （3）由得 当时，， 解得，（舍）； 当时，， 解得，； 当时，， 解得（舍）； 当时，， 解得，， 综上所述，或． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)60； (2)①平行，见解析；②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； （2）解：①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 地 城 考点04 平行线的性质综合其它问题 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数． （1）根据平行线的性质求解即可． （2）过点作，由平行线的性质得出，根据线段的和差关系即可得出，再证明，再由平行线的性质即可得出的度数． （3）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，设，则，过点作．根据平行线的性质列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）解：如图1，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 由（1）知， 所以， 所以． 所以． （3）解：存在，理由如下： 设，则， 过点作． 因为， 所以． 如图2，当点在点左侧时，， 由（2）知， 所以， ∴， 解得：， 即：． 如图1，当点在点右侧时，， 由（2）知， 所以，， 解得：， 即：． 综上所述：的度数为或． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，某一动直线分别截两平行直线a，b于点A，B，点C为直线b上（位于点B右侧）一点，满足，角平分线交直线a于点D．在直线a上，点D左侧任取一点E，点A右侧任取一点F；在直线b上，点B左侧任取一点G，点C右侧任取一点H．右边取点I满足，满足，交直线于点J，的角平分线交于点K．设（且）． (1)若，求的度数，写出过程；若，直接写出的度数； (2)若，求α的度数； (3)若，求α的度数． 【答案】(1)的度数为，过程见解析，的度数为15° (2)α的度数为 (3)α的度数为 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、代数式求值、解绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）当将时，根据平行线的性质、角平分线的定义可得、，进而得到，同理可求时； （2）由，则，然后求解即可． （3）分三种情况，画出图形，先把用表示，然后代入解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：当时，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线为， ∴， ∴； ∴当时，； 当时，如备用图1， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴． 当时，， （2）解：当时，如图1，此时， ∵，即∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时，备用图1，此时， ∵，即，解得：． （3）解：当时，如图1，∵， ∵， ∴，解得：． 当时，如图2，由（1）可知∵， ∴ ∵， ∴，解得：． 当时，如图3，由（1）可知∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度顺时针返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动． (1)当射线运动的时间为10秒时，求的度数． (2)若射线先运动30秒，然后射线一起运动．设运动的时间为，当运动过程中时，求的值． (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)的值为10或66或130或138； (3) 【分析】（1）用平角分别减去，即可作答．； （2）由题意分三种情况讨论：当时，在的左侧，在的右侧，由，可得，解得；当时，在的左侧，在的右侧，可得，解得；当时，在的右侧，在的左侧，则，解得； （3）延长交于点，由，，则，可得，再由，即，可求． 本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵射线从出发，绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转10秒， ∴ ∵ ∴ （2）解：，， ， ， ， 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ， ； 当时，在的左侧， ， 在的右侧， ， ； 当时，在的右侧， ， 在的左侧， ， ； 当时，， ， 综上所述：的值为10或66或130或138； （3）延长交于点， 的度数为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线性质，，则，再由平行线性质求出，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ． （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $