专题04 二元一次方程（组）的实际应用10大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组实际应用，汇编浙江多地期末真题，覆盖10大高频考点，以古代算经、几何图形、生活场景为情境，注重问题解决能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |非选择题|题量丰富|几何图形、古代问题、行程问题、方案优化等|融入《孙子算经》《九章算术》文化素材，结合无人机运输、盲盒生产等现实情境，梯度设计合理，适配期末综合复习|

专题04 二元一次方程（组）的实际应用 10大高频考点概览 考点01 根据几何图形列二元一次方程组 考点06二元一次方程实际应用之行程问题 考点02根据古代问题列二元一次方程组（必考题） 考点07二元一次方程实际应用之几何问题（重点题） 考点03其它实际问题列二元一次方程组（重点题） 考点08二元一次方程实际应用之方案问题（重点题） 考点04二元一次方程实际应用之分配问题（高频题） 考点09二元一次方程实际应用之销售问题（重点题） 考点05二元一次方程实际应用之图表信息题 考点10二元一次方程实际应用之其它问题（常考题） 地 城 考点01 根据几何图形列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为_________cm． 【答案】10 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得：， 解得：， ∴每个小长方形的长为10cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，设宣传画的一边长为x，另一边长为y，根据等量关系列出方程组，根据矩形的周长公式即可求解，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设宣传画的一边长为x，另一边长为y， 则， ， 故选：B． 地 城 考点02 根据古代问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车，多少个人？设共有辆车，个人，根据题意可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：设有辆车，个人， 由题意可得：， 变形得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解答本题的关键．根据题目中的等量关系，小圈舍和大圈舍容纳的鹿数总和为50，建立方程即可. 【详解】解：设小圈舍有x间，每间容纳4只鹿，总容纳只；大圈舍有y间，每间容纳6只鹿，总容纳只，根据总鹿数50只， 可得方程：， 即， 故选：C 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列方程组． 直接根据题意作答即可． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， 每人出8元，多3元：总钱数为元，比物品价格多3元，因此， 每人出7元，少4元：总钱数为元，比物品价格少4元，因此， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记载了一个称重问题：5只麻雀、6只燕子分别放在天平秤上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换1只，天平秤就平衡．已知麻雀、燕子总重1斤．问：麻雀、燕子每只重多少？设每只麻雀重x斤，每只燕子重y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．根据5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤，分别得出等式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 故选：C． 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题，其大意是：“每车坐5人，2车空出来，其余车均坐满；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？”设共有个人，辆车，则可列出的方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：A． 地 城 考点03 其它实际问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．用张制作盒身，张制作盒底，先根据有45张铁皮可得，再根据每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，恰好配套制作糖果盒可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设安排天生产桌子，天生产椅子，根据 用25天时间生产一批这样的餐桌椅，1 张桌子配 4 把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的 4 倍可列方程组． 【详解】解：设安排天生产桌子，天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选C． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）小明新编描述孙悟空追妖精的数学诗考大家：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，飞速多少才称雄？意思为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里．悟空飞行的速度是多少？若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里，列出方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 则可列方程组为：； 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了丰富同学们的课余生活，班主任李老师到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，李老师一共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一副羽毛球拍的价格是x元，一副乒乓球拍的价格是y元，根据购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍列出方程组求解即可． 【详解】解；设一副羽毛球拍的价格是x元，一副乒乓球拍的价格是y元． 由题意得，， 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校有空地60平方米，计划将其中的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x平方米，葡萄园的面积为y平方米，下列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．根据“菜园和葡萄园的面积为60平方米的，葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米”列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确的翻译句子，列出二元一次方程即可． 【详解】解：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g）， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g， ∴可列方程为：，即：． 故选A． 7．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 由白沙枇杷价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，可得；买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元，可得，进而可得二元一次方程组． 【详解】解：设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤， 依题意得，， 故选：A． 8．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设该队胜场，负场，根据9场比赛中得到12分列二元一次方程组即可求解． 【详解】设该队胜场，负场，由题意得 ， 故选：A． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，根据等量关系式：玩偶A的个数×2=玩偶B的个数，玩偶A用的布料+玩偶B用的布料=136米，列出方程组即可． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，由题意可得， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键． 地 城 考点04 二元一次方程实际应用之分配问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是______ ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多______ 个    【答案】 2005 197 【分析】设做了竖式纸盒个，横式纸盒个，有张长方形纸板．根据所需正方形纸板和长方形纸板的张数列出方程组，再根据未知数均为整数的特点，判断出为的倍数，进而求解． 【详解】解：设张长方形纸板，根据题意列得， ， 得， ， ， 是的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组，再根据未知数的特点，判断出长方形纸板的张数正好是的倍数是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则 （1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示） （2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个． 【答案】 12 【分析】（1）根据方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形即可得出结论； （2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为7：3，求出m＝4n，m，n为正整数，且10＜m＜15，得出m＝12，n＝3，再设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张． 故答案为：（3m+2n）；（m+2n）； （2）由题意得：（3m+2n）：（m+2n）＝7：3， 解得：m＝4n， ∵m，n为正整数，且10＜m＜15， ∴m＝12，n＝3， ∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3＝42（张），正方形12+2×3＝18（张）， 设做成竖式盒子x个，横式盒子y个， 根据题意得：， 解得：， ∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6＝12（个）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3 【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解． 【详解】（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， 由题意可得：，解得： 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：x＝3y， ∴x：y＝3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生? （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 【答案】（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生；（2）方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆 【分析】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可． 【详解】解：（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生， 根据题意得：， 解得：， 则每辆小客车和每辆大客车各能坐20，45名学生； （2）根据题意得：， 整理得：， 当时，；时，，，， 方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 地 城 考点05 二元一次方程实际应用之图表信息题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： 价格（万元/台） 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台型车比购买一台型车多20万元，购买2台型车比购买3台型车少60万元． （1）请求出和； （2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 【答案】（1）a=120，b=100；（2）1120万元 【分析】（1）根据“购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．”即可列出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台，根据总节油量=2.4×A型车购买的数量+2×B型车购买的数量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x值，再根据总费用=120×A型车购买的数量+100×B型车购买的数量即可算出购买这批混合动力公交车的总费用． 【详解】解：（1）根据题意得： 解得： （2）设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台 根据题意得：2.4x+2（10-x）=22.4 解得：x=6 ∴10-x=4 ∴120×6+100×4=1120（万元） 答：购买这批混合动力公交车需要1120万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据A、B型车价格间的关系列出关于a、b的二元一次方程组；（2）根据总节油量=2.4×A型车购买的数量+2×B型车购买的数量列出关于x的一元一次方程． 地 城 考点06 二元一次方程实际应用之行程问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列方程，王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ， 根据题意得 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（    ）题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平路、上坡路、下坡路各需的时间与到校上学需要的时间、放学回家需要的时间建立等式关系即可． 【详解】依据题意得，小明骑车在平路所需的时间为小时，上坡路所需的时间为，下坡路所需的时间为，则上学共需时间为小时，放学回家共需的时间为小时，40分钟小时，30分钟小时，共可列出方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解上坡路与下坡路的距离相等． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地______千米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键. 【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完， 如图，设，， 根据题意得，， 解得， ∴最远为千米， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【答案】(1)a的值为，b的值为120 (2)①；②两车相遇时，离A地千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； （2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离． 【详解】（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为，b的值为120； （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时， 乙一小时行驶的路程为：千米， ∴相遇时甲还没行驶到60千米处， ∴相遇时甲行驶的时间为：小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米， 答：两车相遇时，离A地千米． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 地 城 考点07 二元一次方程实际应用之几何问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为整数，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确得到，是解题的关键； 围绕长方形与内部小长方形的边长、面积关系，结合所给，及长方形周长公式，对选项逐一分析． 【详解】解：∵长方形周长为60，，， ∴ 整理得 小长方形面积， A．若， 则，， 所以，该选项不符合题意； B．若， 则，， 所以，故该选项不符合题意； C．若，代入： 小长方形面积，故该选项不符合题意； D．由，得， 因为，需是的倍数， 当时，，满足，此时； 当时，，不满足，舍去． 故当、为整数时，，故该选项不符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可； 【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等， 根据题意得：，即． 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得方程组： ， 解得：， 该图案的面积为： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为____． 【答案】 【分析】本题主要考查长方体和圆柱的体积公式，等积公式等相关知识，得到 是解题关键. 设长方体的底面积为圆柱的底面积根据题意可知，， 整理得，根据题意可知，解得由此可算出瓶子的容积. 【详解】设长方体的底面积为圆柱的底面积 根据题意可知，，整理得， 根据题意可知，， 解得 ∴该瓶子的容积为 故答案为： . 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是______． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，正方形的性质，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，用，表示是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，则，阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，由阴影的周长为10可求解值判定①；由阴影周长为8可求解值，即可求，进而判定②；由大长方形的面积为30，可求，假设三个正方形的周长为24，可求得，不成立，故可判定③． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ， 阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， ∵阴影的周长为10， ， ， 即，故①正确； ∵阴影周长为8， ， 解得：， ， ， 即正方形的面积为1，故②正确； ∵大长方形的面积为30， ， ， ， ， 假设三个正方形的周长为24， ， ， （不成立）， ∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误， 故答案为：①②． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)见解析 (2)可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个 (3)最多可以加工成19个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程． （1）根据图2进行填表即可； （2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张； 填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个． （3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得： ， ∴， ∵m，n，均为非负整数， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∵， ∴最多可以加工成19个铁盒． 地 城 考点08 二元一次方程实际应用之方案问题 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 【答案】(1)乙丙 (2)存在，租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆 (3)3520元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）先计算三种车型的人均成本，人均成本越低，整体租车的人均花费越少，因此选择人均成本较低的两种车型即可； （2）设租用乙种车x辆，丙种车y辆，由题意得：，若方程有正整数解，则存在租车方案，否则不存在； （3）先比较各车型的单位座位成本，优先选择单位座位成本低的车型，列举所有可行的租车方案并计算费用，通过比较得出最低费用． 【详解】（1）解：租用乙丙两种车型； 租用甲种车型，人均需要（元），租用乙种车型，人均需要（元），租用丙种车型，人均需要（元）， 由于，则乙丙两种车型的人均成本最低， 答：从人均成本最低的角度考虑，学校应该选择乙丙两种车型． （2）解：存在； 设租用乙种车x辆，丙种车y辆， 由题意得：， 则， 由于x、y都为正整数， 则只能取4的倍数， 当时，，当时，为负数， 答：租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆． （3）解：由（1）知，，丙种车的人均成本最低， 优先考虑人均成本低的车型，所租的车尽量坐满： 方案一：由（2）知租用乙种车4辆，丙种车4辆，租车费用为（元）； 方案二：租用9辆乙种车，总费用为（元）； 方案三：租用6辆丙种车，2辆甲种车，总费用为（元）； ∵， ∴租车的最低费用为3520元； 答：研学活动租车的最低费用为3520元． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40 dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 方法② 1 方法③ 2 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少______dm 【答案】任务一：，，； 任务二：元； 任务三：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据需要横杠和竖杠的数量列方程组． 任务一、根据方法、、中裁出的横杠的数量及一根材料的长度计算出可裁剪出的竖杠的最多数量即可； 任务二、设用方法裁剪了根，用方法裁剪了根，根据每根材料可裁出的横杠和竖杠的数量列方程组求解即可； 任务三、根据用方法裁剪每根材料浪费，用方法裁剪每根材料浪费，计算出总共浪费了多少材料即可． 【详解】任务一、解：方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠， 最多可以裁剪根竖杠； 方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠，则可以裁剪， 最多可以裁剪根竖杠； 方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠，则可以裁剪， 最多可以裁剪根竖杠； 故答案为：，，； 任务二、解：设用方法裁剪了根，用方法裁剪了根， 根据题意可得：， 解方程组得：， 用方法裁剪了根，用方法裁剪了根， 所需要的费用为(元)， 答：用方法裁剪了根，用方法裁剪了根，所需要的费用为元； 任务三、解：由任务二可知，用方法裁剪了根，每根浪费，总共浪费了， 用方法裁剪了根，每根浪费， 一共浪费了， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨． 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅． 素材3 型车每辆需租金300元/次，型车每辆需租金320元/次． 问题解决 任务一：分析数量关系 1辆型车和1辆型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二：确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案． 任务三：选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】任务一：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨，任务二：共有3中租车方案．分别是：方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确列出方程是解题的关键． 任务一：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物，一次可运货吨，用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨．据此列出方程组并解方程组即可得到； 任务二：依题意租用型车a辆，型车b辆得：根据杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅，据此列方程，求出租车方案的解即可； 任务三：求出方案1、方案2、方案3的费用，比较后即可得到答案． 【详解】任务一： 解：设1辆型车载满杨梅一次可运货吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货吨， 依题意得： 解得： 答：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨． 任务二： 解：依题意租用型车a辆，型车b辆得： ， ， ， 、都是正整数， 当或或 答：共有3中租车方案．分别是： 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆； 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆． 任务三： 解：方案1费用为：（元）； 方案2费用为：（元）： 方案3费用为：（元）； 选择方案1． 答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位教师带队．现有A，B，C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： A型车 B型车 C型车 每辆车可乘坐旅客数（人） 每辆车租金（元） (1)租用车辆最多不能超过 辆；最少不能少于 辆． (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)8，5 (2)租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为元 【分析】本题考二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由教师人数决定租用车辆最多不能超过8辆，再计算只租用A和C型车的数量，即可求解； （2）设租用A型车x辆，B型车y辆，结合每辆车都坐满，分别计算当租用车辆为5，6，7，8时x，y的值，再计算最少费用． 【详解】（1）解：每辆汽车至少安排1位教师带队，且共8位教师， 租用车辆最多不能超过8辆， （辆）（人），（辆）， （辆）（人）， 综上，租用车辆最少不能少于5辆，租用车辆最多不能超过8辆． 故答案为：8；5． （2）解：设租用A型车x辆，B型车y辆， 当共租用5辆时，则租用C型车辆． ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用6辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合． 当共租用8辆时，则租用C型车辆， ， 化简：， ， 因为x，y为整数，所以不符合 当共租用7辆时，则租用C型车辆， ， ， 化简：， 所以，，， 当租用B型车4辆，C型车3辆时，租车费用； 当租用A型车1辆，B型车2辆，C型车4辆时，租车费用； 当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用； 所以当租用A型车2辆，C型车5辆时，租车费用最小为． 6．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】任务1：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元；任务2：公司购买门票至少需要元；任务3：符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档门票13张；方案二：购买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张；见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用； 任务1：设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元，根据“购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元”，列方程组求解即可； 任务2：赠送的档门票全部用完时，公司花费最少，据此列式计算即可； 任务3：设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票张，根据“购买门票共花了4040元”列出二元一次方程，求出方程的整数解即可得出答案． 【详解】解：任务1： 设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元； 任务2： 因为每购买1张A档门票就赠送1张C档门票，且共有30名员工， 所以公司购买门票至少需要（元）； 任务3： 设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票张， 由题意得：， 整理得：， ∵a，b均为非负整数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， ∴符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档门票13张；方案二：购买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用： 任务1：根据题意求出拆除旧教学楼的实际面积，新建教学楼的实际面积，即可； 任务2：根据题意，列出方程组，即可求解； 任务3：求出多余资金，即可． 【详解】解：（1）拆除旧教学楼的实际面积为， 新建教学楼的实际面积为， 完成表格如下： 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x 新建教学楼面积 y （2）由题意，得 解得， 此时 答：学校实际新建教学楼面积为． （3）方法一：（元） 方法二：多余资金为， 扩大绿化面积为： 答：扩大的绿化面积为． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货吨；用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货吨．现有吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金元，B型车每辆每次需租金元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨 (2)最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）设1辆A型车装满货物一次运吨，1辆型车装满货物一次运吨，根据题意列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意的得到，结合均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次运吨，1辆型车装满货物一次运吨， 由题意得， 解得， 所以1辆A型车和1辆型车都装满货物一次分别可运货3吨，4吨； （2）解：由题意得：， ∴满足方程的整数解为，，， ∵租车费用， ∴三种费用分别为元，元，元． 所以最省钱的方案是租用A型车9辆，B型车1辆，租车费用为元． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 地 城 考点09 二元一次方程实际应用之销售问题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 (2)①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键． （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙：     元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． (1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； (2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 【答案】(1)小明购买苹果4千克，购买梨2千克 (2)①元/千克；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组． （1）设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据苹果和梨原来单价表示出现在单价，再根据苹果a千克，梨b千克表示出平均单价即可； ②根据按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，得出，根据支付的金额始终与小明相同，得出，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：小明购买苹果4千克，购买梨2千克； （2）解：①∵苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克， ∴苹果单价元/千克，梨单价元/千克， 搭配销售方式水果平均单价为：元/千克； ②按搭配销售方式购买，需要付款： ， ∵按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同， ∴，即 ∴按搭配销售方式购买，需要付款（元）， ∵支付的金额始终与小明相同， ∴， 解得：． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 【答案】(1)个体户A加工销售的香榧每克利润为元； (2) (3)该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）由每克利润总利润总重量，再列式计算即可； （2）由每克利润总利润总重量，列式表示企业B加工销售的香榧单克利润，再建立方程求解即可； （3）先求解商店从企业共购入盒，设该次交易的销售数量为盒，当售价不满元时，可得，此时方程无解；当售价大于或等于元时，设满减元，此时，且，可得，再利用方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（元/克） ∴个体户A加工销售的香榧每克利润为元； （2）解：由题意可得：， 解得：； （3）解：由题意可得：商店从企业共购入（盒）， 设该次交易的销售数量为盒， 当售价不满元时，则 ， 此时方程无解； 当售价大于或等于元时，设满减元， 此时， ∴， ∴， ∵都为正整数，且， ∴①，， ②，， ③，， ④，， ⑤，，此时总售价为（元），而，不符合题意，舍去， ∴该次交易的销售数量可能为盒，盒，盒，盒． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． (1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？ (2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． (3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元． 【答案】(1)盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元 (2)见解析 (3)2或8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可； （3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2）解：班长算错了，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买本笔记本， 由题意得：， 解方程得：， 又∵y需为正整数， ∴不符合题意，舍去， ∴班长算错了； （3）解：设记号笔的单价为m元， 由题意得：， 解方程得：， 又∵y为正整数，m为不大于10元的整数， ∴或8， 故答案为：2或8． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 【答案】(1)可兑换36支水笔芯 (2)①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个；②方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒；方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒；方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 【分析】本题结合学生实际考查了二元一次方程组和分类讨论思想，在第（2）问的②中，三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，根据班级人数求出三周共兑换的水笔芯数是易错点． （1）由6个矿泉水瓶换1支水笔芯，5个牛奶盒换1支水笔芯以及矿泉水瓶喝牛奶盒的数量直接求水笔芯的数量； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个，根据总数190，以及水笔芯34支两个等量关系列二元一次方程组即可； ②根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得（支， 答：可兑换36支水笔芯； （2）①设第二周矿泉水瓶和牛奶盒各收集了个，个， 根据题意得：， 解得：， 第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各120个、70个； ②班级42名同学，故水笔芯共（支， 第一二周共兑换了70支水笔芯，故第三周用矿泉水瓶兑换了14支水笔芯， 所用矿泉水瓶为（个， 用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋可根据矿泉水瓶（或牛奶盒）兑换垃圾袋的数量进行分类： 矿泉水瓶兑换1个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量30个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换2个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量60个，牛奶盒（个； 矿泉水瓶兑换3个大垃圾袋时，矿泉水瓶数量90个，牛奶盒25个， 所以可得方案： 方案一：第三周需收集114个矿泉水瓶，75个牛奶盒， 方案二：第三周需收集144个矿泉水瓶，50个牛奶盒， 方案三：第三周需收集174个矿泉水瓶，25个牛奶盒． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通奶茶（杯） 加料奶茶（杯） A m B n ①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数． 【答案】任务1：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；任务2：①；②班主任购买奶茶总杯数为12杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的解是解题的关键． （1）设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，依题买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元列出方程组，计算求解即可； （2）①根据题意得A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和；②根据题意列出方程，可得．再由m，n，均为正整数，求解作答即可． 【详解】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元； 任务2：①根据题意得：买奶茶总杯数是 ∴A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为； ②， ∴． 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴． 答：班主任购买奶茶总杯数为12杯． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【答案】(1)文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本 (2)此次书店的总利润为480元 (3)此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用； （1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可； （2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案． 【详解】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本， 由题意得：， 解得：， 答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本； （2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为， （元）， 答：此次书店的总利润为480元； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒， 由题意得：， 解得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．    素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 【答案】任务1：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；任务2：①；②班主任购买奶茶总杯数为12杯． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的解是解题的关键． （1）设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，依题意得，，计算求解即可； （2）①根据题意得A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和； ②根据题意列出方程，可得．再由m，n，均为正整数，求解作答即可． 【详解】任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元； 任务2：①根据题意得：买奶茶总杯数是 ∴A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为， 故答案为：； ②， ∴． 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴（杯）． 答：班主任购买奶茶总杯数为12杯． 地 城 考点10 二元一次方程实际应用之其它问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）截至2025年12月14日，浙江省城市篮球联赛（“浙”）A组部分球队积分如下表： 球队 胜场 负场 积分 温州队 16 0 32 杭州队 15 1 31 诸暨队 12 5 29 … … … … (1)由表可知，胜一场可得______分，负一场可得______分； (2)截至12月14日台州队共比赛16场，积分为26分，求台州队胜场数与负场数各是多少． 【答案】(1)2；1 (2)胜场数为10；负场数为6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）设胜一场可得分，负一场可得分，根据积分情况列二元一次方程组求解即可； （2）设台州队胜场数为，则负场数为，根据积分列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场可得分，负一场可得分， 则，解得：， 即胜一场可得分，负一场可得分； （2）解：设台州队胜场数为，则负场数为， 则， 解得：， 则（场）， 答：台州队胜场数为，负场数为， 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 【答案】(1)大于等于60克且小于等于90克 (2)甲种食材200克，乙种食材100克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，据此求出取值范围； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意知，单选甲种食材一份营养餐中蛋白质含量最少，为（克）， 单选乙种食材一份营养餐中蛋白质含量最多，为（克）， ∴一份营养餐中蛋白质含量的范围为：大于等于60克且小于等于90克； （2）设一份营养餐需甲种食材x克，乙种食材y克， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种食材200克，乙种食材100克． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键． （1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可； （2）求出当时的的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ②①得：  ， 解得：， 把代入①得：， 所以， ∴， 答：，． （2）解：当时，， 解得． 答：当水位时，时间为． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 【答案】(1)，， (2)，． (3)第二批货物的原料是60吨，成品率提高了 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组是解题的关键． （1）根据题意分别用表示即可； （2）根据“第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．”列出方程组，即可求解； （3）设第二批货物的原料有吨，产品有吨，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意填写表格如下： 地 地 公路运费（元） 铁路运费（元） （2）解：由题意得：， 解得：． （3）解：设第二批货物的原料有吨，产品有吨，由题意得： ， 解得：， ∵第一批成品率： 第二批成品率： ∴第二批成品率提高了． 答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块． (1)已知丙木板有12块． ①根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ______ / 乙 / ______ 丙 12 12 / 合计 ______ ______ ②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值． (2)已知三种木板共有块（），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？ 【答案】(1)①见解析；② (2)能做45个或48个或51个长方体木箱 【分析】（1）①通过分析三种木板制作木箱各部分（长侧面、短侧面、箱底 ）的数量关系，完成表格填写；②根据长侧面、短侧面数量关系列方程组，求解、 ． （2）设甲、乙木板数量，用含式子表示丙木板数量，再根据长侧面、短侧面、箱底数量关系列方程，结合取值范围确定木箱数量． 本题主要考查了长方体结构中各面数量关系、方程（组）的建立与求解，熟练掌握根据实际问题中的数量关系构建方程（组）是解题的关键． 【详解】（1）解：① 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 / 乙 / 丙 12 12 / 合计 ②解： 解得 （2）解：方法一：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块． 此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块． 根据题意，得①，② 由①得，，代入②得，． 因为，由尝试检验可知：或或， 对应的分别为30，32，34，这时或48或51． 答：能做45个或48个或51个长方体木箱． 方法二：设甲木板有块，乙木板有块，则丙木板有块． 此时长侧面有块，短侧面有块，箱底有块． 解得 因为， 当时，， 当时，， 当时，． 则能做45个或48个或51个长方体木箱． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材 2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出a和b的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和坐垫 a 张． 方法三：裁切靠背 b 张和坐垫6张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和l张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）?并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案． 【答案】任务一：3，2；任务二：480把；任务三：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用； 任务一：根据“该板材长为，”按照不同的裁剪方法，分别列方程求解即可； 任务二：根据“总长度除以制作一把椅子所需要的长度”求解即可； 任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张裁切靠背2张和坐垫6张，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：任务一： 方法二：由题意得，， 解得：， 故答案为：3； 方法三：由题意得，， 解得， 故答案为：2； 任务二：由题意得，（把）， 答：能制作成480把学生椅． 任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张裁切靠背2张和坐垫6张， 由题意得，， 解得， ∵（张）， 答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 【答案】任务1：7；5；2；任务2：方法②方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根； 任务3： 至少需要的费用为元，剩余材料为20dm 【分析】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程． 任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠； 任务2：利用方法②与方法③列出方程组求解即可； 任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，再每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余），计算出a，b的值，最后用裁剪若干根的用料（可剩余）来补全即可． 【详解】解：任务1：（根） 方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪7根． （根）， 方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根． （根）， 方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根． 任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得： ，解得：． 答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料； 任务3：根据题意：需制作围栏：（副） 即的横杠：（根） 的竖杠：（根） 的竖杠：（根） 长的围栏材料无剩余裁剪时：，即， ， 为正整数， ， 长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料， 长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠， 需要长的围栏材料无剩余裁剪（根） 则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根） 还需要的竖杠（根） （根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根， 共需要长的围栏材料（根） 剩余材料为：， 至少所需要费用：（元）． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 【答案】任务1：；任务2：这个矿泉水瓶的质量是10克；任务3：支撑点向左平移 【分析】二元一次方程组的应用； 任务1：依据题意，由左盘砝码质量右盘物体质量，进而列式计算可以得解； 任务2：依据题意，设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2可列方程组，计算即可得解； 任务3：依据题意，由左盘量码质量右盘物体质量，矿泉水瓶水的质量，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1： 左盘砝码质量右盘物体质量， 解得． 所以的长为． 任务2： 设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组： ， 解得． 答：这个矿泉水瓶的质量是10克． 任务3： 左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量， ． 解得：． ，所以支撑点向左平移． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价＝ 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 【答案】（1）样品1的单价为21.6元/千克；（2）用含m，n的代数式表示样品2的单价元/千克；（3）满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比为38：30：37；（4）商店销售样品2的日利润为1984元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用， （1）根据什锦糖的单价计算公式计算即可； （2）根据什锦糖的单价计算公式计算即可； （3）根据题意列方程求解即可； （4）根据题意列式求解即可 【详解】（1）元/千克． （2）（元/千克） （3）由题意得： ∴． ∵，都是正整数， ∴， ， ∴什锦糖混合甲乙丙三种糖的质量比例为 （4）由题意得： ∴商店销售样品2的日利润为1984元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程（组）的实际应用 10大高频考点概览 考点01 根据几何图形列二元一次方程组 考点06二元一次方程实际应用之行程问题 考点02根据古代问题列二元一次方程组（必考题） 考点07二元一次方程实际应用之几何问题（重点题） 考点03其它实际问题列二元一次方程组（重点题） 考点08二元一次方程实际应用之方案问题（重点题） 考点04二元一次方程实际应用之分配问题（高频题） 考点09二元一次方程实际应用之销售问题（重点题） 考点05二元一次方程实际应用之图表信息题 考点10二元一次方程实际应用之其它问题（常考题） 地 城 考点01 根据几何图形列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，6块同样大小的小长方形刚好拼接成一个大长方形ABCD，已加AB＝15cm，则每个小长方形的长为_________cm． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 地 城 考点02 根据古代问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车，多少个人？设共有辆车，个人，根据题意可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记载了一个称重问题：5只麻雀、6只燕子分别放在天平秤上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换1只，天平秤就平衡．已知麻雀、燕子总重1斤．问：麻雀、燕子每只重多少？设每只麻雀重x斤，每只燕子重y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题，其大意是：“每车坐5人，2车空出来，其余车均坐满；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？”设共有个人，辆车，则可列出的方程组为（    ）． A． B． C． D． 地 城 考点03 其它实际问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）小明新编描述孙悟空追妖精的数学诗考大家：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，飞速多少才称雄？意思为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里．悟空飞行的速度是多少？若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了丰富同学们的课余生活，班主任李老师到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需70元，李老师一共用470元购买了5副同样的羽毛球拍和8副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校有空地60平方米，计划将其中的土地开辟为菜园和葡萄园，已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米，问菜园和葡萄园的面积各多少平方米？设菜园的面积为x平方米，葡萄园的面积为y平方米，下列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜场，负场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 二元一次方程实际应用之分配问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为________． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是______ ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多______ 个    3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则 （1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示） （2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少长学生? （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你设计出所有的租车方案． 地 城 考点05 二元一次方程实际应用之图表信息题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： 价格（万元/台） 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台型车比购买一台型车多20万元，购买2台型车比购买3台型车少60万元． （1）请求出和； （2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 地 城 考点06 二元一次方程实际应用之行程问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路．在平路、上坡路和下坡路上，他踦车的速度分别为．他骑车从家到学校需要40分钟；骑车从学校回家需要30分钟．设小明从家到学校的平路有，上坡路有，则依题意所列的方程组是（    ）题 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地______千米． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 地 城 考点07 二元一次方程实际应用之几何问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为整数，则 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期末）若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为______． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为____． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是______． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 地 城 考点08 二元一次方程实际应用之方案问题 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40 dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 方法② 1 方法③ 2 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少______dm 3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨． 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅． 素材3 型车每辆需租金300元/次，型车每辆需租金320元/次． 问题解决 任务一：分析数量关系 1辆型车和1辆型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二：确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案． 任务三：选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）学校要组织七年级学生外出参观科技馆，由8位教师带领位学生包车出行，每辆汽车至少安排1位教师带队．现有A，B，C三种车型可供选择，这三种车型的每辆可乘坐旅客数和租金如下表： A型车 B型车 C型车 每辆车可乘坐旅客数（人） 每辆车租金（元） (1)租用车辆最多不能超过 辆；最少不能少于 辆． (2)如果每辆车都坐满，通过计算设计租车方案，使得租车费用最少，并求出最少费用． 6．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务： 素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼．拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共． 素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的，而新建教学楼则只完成了计划的，实际拆、建总面积与原计划一致． 素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积． 任务1：填表． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x _________ 新建教学楼面积 y __________ 任务2：求学校实际新建教学楼面积． 任务3：求扩大的绿化面积． 原计划 实际 拆除旧教学楼面积 x 新建教学楼面积 y 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某物流公司用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货吨；用3辆A型车和4辆B型车装满货物一次可运货吨．现有吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可运货多少吨？ (2)若A型车每辆每次需租金元，B型车每辆每次需租金元．请选出最省钱的租车方案，并求出此时的租车费用． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 地 城 考点09 二元一次方程实际应用之销售问题 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． (1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； (2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）诸暨枫桥盛产香榧，香榧具有驱虫、补充能量、润肠通便的功效．某同学对某个体户A加工销售的香榧及某企业B加工销售的香榧做了初步的调查，得出以下表格． 香榧重量（克/盒） 成本（元/盒） 售价（元/盒） 销售方式 个体户A 1000 100 每盒单售 企业B 640 60 10盒/箱， 整箱批发销售 (1)求个体户A加工销售的香榧每克利润（每克利润总利润总重量） (2)已知个体户A加工销售的香榧和企业B加工销售的香榧单克利润相等，求的值； (3)某商店C从企业B批发购入7箱香榧，在网店进行分盒售卖，售卖单价为180元/盒，并以“售价每满（大于等于）300元减30元”进行促销，分多次交易全部售罄．其中某次交易的单盒平均利润为元，则该次交易的销售数量可能为多少盒？ 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． (1)求盲盒和笔记本的单价各为多少？ (2)后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． (3)班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某中学为了培养学生的环保意识，开展了为期三周的“环境保护，从我做起”主题活动，各班级可以通过回收可利用垃圾来兑换水笔芯和垃圾袋．某班42名同学在活动中积极响应，班长对每周的收集情况进行了统计，根据下列统计表和兑换表，解决下列问题： 第一周 第二周 第三周 矿泉水瓶个数 72 牛奶盒个数 120 总共 192 190 兑换表 6个矿泉水瓶换1支水笔芯 5个牛奶盒换1支水笔芯 30个矿泉水瓶换1个大垃圾袋 25个牛奶盒换1个大垃圾袋 (1)第一周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯，可兑换多少支？ (2)第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒全部兑换了水笔芯34支，则 ①第二周收集的矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？ ②第三周班长先用部分矿泉水瓶兑换了水笔芯，再用剩余的矿泉水瓶和牛奶盒（两者都有）兑换了4个大垃圾袋．这样三周后，每位同学恰好都分到了2支水笔芯，则第三周需收集矿泉水瓶和牛奶盒各多少个？（直接写出所有可能的方案） 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通奶茶（杯） 加料奶茶（杯） A m B n ①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．    素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 地 城 考点10 二元一次方程实际应用之其它问题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）截至2025年12月14日，浙江省城市篮球联赛（“浙”）A组部分球队积分如下表： 球队 胜场 负场 积分 温州队 16 0 32 杭州队 15 1 31 诸暨队 12 5 29 … … … … (1)由表可知，胜一场可得______分，负一场可得______分； (2)截至12月14日台州队共比赛16场，积分为26分，求台州队胜场数与负场数各是多少． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）制作一份营养餐，准备选用富含蛋白质的甲、乙两种食材共300克（单选甲、乙或甲乙都选均可）．每克甲种食材所含蛋白质克，每克乙种食材所含蛋白质克，其它食材蛋白质含量忽略不计． (1)求一份营养餐中蛋白质含量的范围； (2)若一份营养餐中蛋白质含量为70克，请问甲、乙种食材如何搭配？ 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某工厂与两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买原料运回工厂，制成产品运到地．已知公路的运价为元/（吨），铁路的运价为元/（吨）． (1)设一批原料有吨，生产成的产品有吨．填写下表（结果用含的代数式表示）； 地 地 公路运费（元） ____________ 铁路运费（元） ____________ ____________ (2)第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从地运回工厂运费67500元，制成产品运到地运费39000元．求的值． (3)工厂从地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往地的价格为每吨8000元．因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨？与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了？ 地 地 公路运费（元） 铁路运费（元） 5．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有块，乙木板有块． (1)已知丙木板有12块． ①根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ______ / 乙 / ______ 丙 12 12 / 合计 ______ ______ ②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求，的值． (2)已知三种木板共有块（），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？ 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 / 乙 / 丙 12 12 / 合计 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一把学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成，图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材 2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫，已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法，求出a和b的值， 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背9张和坐垫 a 张． 方法三：裁切靠背 b 张和坐垫6张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成多少把学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和l张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）?并给出一种只用方法二和方法三的裁切方案． 7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根． 解决问题 任务要求 解决办法 任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？ 任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接） 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）问题：探究什锦糖的混合比例 【基本信息】 糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 售价（元/千克） 30 20 12 进价（元/千克） 24 16 8 什锦糖的单价＝ 【样品实验】 （1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价； （2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价； 【解决问题】 （3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比． （4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $