专题03 二元一次方程（组）12大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程（组）12大高频考点，汇编浙江温州、杭州等地期末真题，覆盖基础判断、解的应用及参数求解等核心题型。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/解答|多题量|含方程判断、解的验证、参数计算、新定义等12考点|梯度分布，从基础（如方程判断）到能力提升（如错解复原），融入浙江多地期末真题，突出同解问题、构造方程组等创新应用|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03二元一次方程（组） ☆12大高频考点概览 考点01二元一次方程的判断 考点07二元一次方程组的特殊解法（重点题型） 考点02判断是否为二元一次方的解 考点08构造二元一次方程组求解（重点题型到） 考点03利用二元一次方程的解求参数（重点题型） 考点09已知二元一次方程组的解的情祝求参数 考点04用含有一个字母的式子表示另一个（高频题型） 考点10二元一次方程的错解复原问题（常考题型 考点05已知二元-次方程组的解球参数 考点11二元一次方程组同解问题 考点06解二元一次方程组（计算）（常考题型） 考点12二元一次方程组中新定义类 目目 考点01 二元一次方程的判断 1.(24-25七年级下·浙江温州期末)下列各式是二元一次方程的是（) A.x+吉=1B.xy=-1 C.x=y-2 D.x=y+c 2.(24-25七年级下·浙江湖州期末)下列方程中，属于二元一次方程的是() A.3x+y2=1B.x-2y=6C.袁+3y=5 D.3x-2=X 3.(24-25七年级下·浙江宁波期末)下列方程中，是二元一次方程的是() A.xy=1-yB.X+2y=3x-2C.3x-1=2 D.x+1=2- 4.(24-25七年级下·浙江金华期末)下列属于二元一次方程的是（) A.3x+5=0 B.2x-3y=5 C.y=9 D.4x-吉=7 5.(24-25七年级下·浙江嘉兴期末)下列方程属于二元一次方程的是(). A.2x+3=1B.X+2y=3 C.x2+2x-3=0D.袁-y=0 6.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)下列方程中，是二元一次方程的是() A.X2+y=2 B.￥-2y=0 C.=y+5 D.2x2+5x-7=0 7.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)下列方程中，是二元一次方程的是() A.x+y=1 B.xy=1 C.支-y=1 D.x2-X-1=0 1/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 判断是否为二元一次方程的解 1.(24-25七年级下.浙江宁波期末)属于二元一次方程2x+3y=5的解是() X=1 X=2 (X=0 （x=-1 A.{y=1 B y=-1 (y=5 D.1y=2 2.(24-25七年级下·浙江杭州·期末)下列是方程x+2y=5的解的是（ (x=1, X=-1 (X=2 (X=2, A.{y=2 y=2 y=1 D.{y=-1 3.(24-25七年级下·浙江台州期末)下列哪组数是方程x+y=2的解() (x=1 X=1 X=-1 (x=-1 A.1y=1 B. (y=-1 C. (y=1 D. y=-1 4.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)下列各组数中，可以作为方程2x=3y的一个解的是() 【x=2 (X=-3 (X=3 (x=-2 A.{y=-3 B.1y=2 C. (y=2 D.{y=-3 5.(24-25七年级下浙江杭州期末)已知二元一次方程2x-3y=-1,则此方程的解可能是() (X=0 (8=-1 X=1 (X=1 A. (y=0 B. y=1 C. ly=-1 D.1y=1 6.(24-25七年级下·浙江温州期末)下列各组数是方程2x+y=10的解的是( x=5 x=4 (X=3 ∫x=2 A. y=-1 B y=0 (y=4 D.1y=5 目目 考点03 利用二元一次方程的解求参数 (x=a 1.(24-25七年级下浙江金华期末)若y=b是方程3x+y=1的一组解，则6a+2b+1的值为（) A.3 B.-3 C.5 D.-5 ∫x=-1 2.(24-25七年级下浙江杭州期末)若{y=a是二元一次方程2x+3y=7的一个解，则a=（） A.0 B.1 C.2 D.3 ∫X=2 3.(24-25七年级下浙江台州期末)1 知y=m是方程2x-y=1的一个解，则m的值(） A.2 B.3 C.4 D.5 （x=-1 4.(24-25七年级下.浙江杭州·期末) 已知y=1是方程ax+2y=3的-组解，那么a的值是(） A.1 B.-1 C.3 D.-3 X=3 5.(24-25七年级下浙江金华期末)已知y=-2是方程3x-my=7的一个解，则m的值为（） A.-2 B.-1 C.0 D.1 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (X=2 6.(24-25七年级下-浙江杭州：期末)若y=-1是关于y的方程3x-2y=2m和5x+y=3n的公 共解，则m十n= 目目 考点04 用含有一个字母的式子表示另一个 1.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)己知二元一次方程2x-10=y,用关于y的代数式表示x,正确的是 () A.2x=10+y B.x=0 C.y=2x-10 D.x=5+y 2.(24-25七年级下·海南省直辖县级单位期中)把3x-2y=5化为用含x的代数式表示y的形式为() A.y=5-3x B.y=5 C.y=3x-5 D.y= 3.(24-25七年级下·浙江温州期中)已知方程2x-y=3,用含x的代数式表示y,则y= 4.(24-25七年级下·浙江期中)已知方程2x+y=3,用含x的代数式表示y,则y= 5.(24-25七年级下·浙江宁波·期末)已知二元一次方程2x-3y=4,用含x的代数式表示y= 目目 考点05 已知二元一次方程组的解求参数 X=1 3x+ay=5 1.(24-25七年级下浙江宁波期未)若y=-2是方程组2bx+2y=2的解，则a+b的值是 (X=2 ax+by =7, 2.(24-25七年级下浙江杭州期末)已知y=1，是二元一次方程组 ax-by=1的解，则6a-b的 值为 |x=1 3x+2y=m 3.(24-25七年级下-浙江杭州月考)已知y=2是二元一次方程组(x-y=1的解，则m-n的值 是() A.1 B.2 C.3 D.4 （x=1 【ax-2y=0 4.(24-25七年级下浙江衢州期末)已知y=2是二元一次方程组2bx+y=2的解，则a+b的值 是() A.0 B.1 C.2 D.3 (4x+y=12 ∫x=b 5.(2425七年级下浙江杭州期末)已知关于，y的方程组3x-2y=a的解为y=4,求a,b的值. 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 解二元一次方程组（计算） 1.(24-25七年级下浙江杭州期末)解方程组： m-号=2 (012m+3n=13 (5x-2y=17 (23x+4y=5 2.(24-25七年级下·浙江台州期末)解方程组： ∫x=y+1 ()1x+y=3 x+2y=4 (212(x+2y)-y=10· 2x+y=2 3.(2425七年级下浙江衢州期末)解方程组：气4x-5y=-3· -x+4y=9① 4.(24-25七年级下·浙江湖州期末)解方程组： x+3y=19② 5.(24-25七年级下·浙江金华期末)解方程组： 5x=3y (1x-y=4 字-学 (22x-5y=15 6.(24-25七年级下·浙江宁波·期末)解下列方程组： (x+2y=-4 (1x-y=5 受+号=6 24x+y)-56x-y)=2 目目 考点07 二元一次方程组的特殊解法 ax+by=c (X=1 1.(24-25七年级下·浙江·期末)若关于xy的方程组 ex+fy=d的解为y=2,则方程组 1a(x-1)-3by=3c (e(x-1)-3fy=3d的解是() X=4 x=-2 x=-4 【x=2 A.{y=-2B.{y=4 c.1y=2 D.{y=-4 2ax-3by=2c ∫x=2 2.(24-25七年级下浙江宁波：期末)已知关于x,y的方程组3ax+2by=16c的解是y=3,则关于 4/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12a(x+1)-3by=2c x,y的方程组(3x+1)+2by=16c的解是(） B.{=3 x=1 c. ∫x=2 D.y=3 (ax+by=C1 【x=2 3.(24-25七年级下浙江嘉兴期末)若关于x,y的二元一次方程组气ax+b2y=c2的解为y=3,则 (a1x+b1y=a1-2b1+c1 关于x,y的方程组a2x+b2y=a2-2b2+c2的解为（） |x=1 X=2 (x=3 (X=3 A. (y=5 B y=3 c.y=2 D.1y=1 a x+by=C1 (x=3 4.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)已知方程组 a2x+by=c2的解是{y=4,则方程组 3a1(x+1)+2b1(y-1)=4c1 (3a2(x+1)+2b2(y-1)=4c2的解是 5a+2mb=12 ∫a=7.6 5.(24-25七年级下浙江杭州期末)已知关于a、b的方程组3a-4nb=47的解为b=3.9, 则关于 （10x-4m=7-2my x、y的方程组 3x+4n=22+2ny 的解为 6.(24-25七年级下浙江湖州期末)对于实数a,我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]=a-；若 a为负数，则[a]=a+方.例如：[1]=1-专=专，[-0.5]=-0.5+专=0.则方程组 [m-1]+4[n-2]=2 [m-1]-2[n-2]=支的解为 2a-3b=4.7 【a=4.3 7.(2425七年级下浙江绍兴期末)若方程组3a+5b=19,4的解是{6=13，则方程组 12(x-1)-3(y+1)=4.7 3(x-1)+5(y+1)=19.4的解为 x+y=C1 X=2 8.(24-25七年级下·浙江宁波期末)若关于x,y的方程组 3x-4y=c2的解为y=-3,则关于x, x+1+y-1=C1 y的方程组(3(x+1)-4y-1)=c2的解为 2a-3b=13 【a=8.3 9.(2425七年级下浙江嘉兴月考)已知方程组3a+5b=30.9的解是{b=1.2,则 2(x-2)=13+3(y+1) 3(x-2)=30.9-5(y+1)的解是 a x+biy=C1 (x=5 10.(24-25七年级下浙江宁波期未)已知关于，y的方程组a2x+b2y=c2的解为y=3,直接写 5a1(m+3)-2b1(n-2)=c1 出关于m、n的方程组5a2(m+3)-2b2(a-2)=c2的解为 5/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点08 构造二元一次方程组求解 1.(24-25七年级下浙江期末)规定新运算：m★n=am+bn,其中a,b是不等于0的常数，且 |a≠|b|.已知x★y=a,y★x=b,则xy的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 2.(24-25七年级下浙江杭州期末)对x,y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+ny(其中m,n 均为非零常数)，若号※号=1,1※2=3.则2※1的值是() A.3 B.5 C.9 D.11 3.(24-25七年级下·浙江杭州期末)对于任意实数a,b,定义关于“@”的一种运算如下：a@b=2a+b.如 3@4=2×3+4=10.若x@(-y)=5,且2y@x=-1,则x+y=」 4.(24-25七年级下·浙江湖州期末)定义一种新的运算：a☆b=2a一b,例如： 3☆(-1)=2×3-(-1)=7.若a☆b=0,且关于x,y的二元一次方程 (a+1)x-by-a+3=0,当a,b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 目目 考点09 已知二元一次方程组的解的情况求参数 (x+2y=6k 1.(24-25七年级下·浙江宁波期末)关于x,y的二元一次方程组 (x-y=3k的解，也是二元一次方程 2x+y=3的解，则k的值为() A.3 B.青 D.-3 ax-y=2 2.(24-25七年级下·浙江金华期末)若关于x,y方程组 (4x+by=1有无数组解，则a与b的值分别是 () A.a=4,b=-1 B.a=4,b=1 C.a=2,b=1 D.a=8,b=-克 【x+2y=k+3 3.(24-25七年级下浙江温州期末)已知关于xy的方程组2x一3y=3k一2无论k取何值，x+9y的 值都是一个定值，则这个定值为 (x+y=3m 4.(2425七年级下浙江台州期末)已知关于x,y的方程组2x-y=6n(m,n为实数)的解满足 2x+3y=0,则畀= 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=a 5.,(24-25七年级下浙江杭州期末)若二元一次方程组的解y=b满足a=2b或b=2a,则称该方程组 2x+y=m+1 为二倍解方程组.已知关于x,y的方程组x-y=2m-7是“二倍解方程组，则m的值为 x-y=4a 6.(24-25七年级下浙江宁波期末)已知关于xy的方程组x+2y=a+6的解满足2x+y=1,则 a= x+2y-6=0 7.(24-25七年级下浙江期末)已知关于x,y的方程组x-2y+mx+4m=0 (1)若方程组的解满足x+y=0,求m的值； (2)无论实数m取何值，方程x-2y+mx+4m=0总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中x为整数，且m是自然数，求m的值. 目目 考点10 二元一次方程的错解复原问题 x+by=3 1.(2425七年级下·浙江金华期末)己知关于x,y的方程组 ax+2y=-5，甲同学看错了字母a解得 (X=4 (x=3 y=1；乙同学看错了字母b解得y=-1, 则该方程组的解为() X=1 X=2 (X=-1 (X=-2 A.y=-2 B.{y=-1 y=2 D.1y=1 |ax+y=10 2.(24,25七年级下浙江绍兴期末)甲、乙两个小马虎，在解方程组x十y=7时，由于粗心，甲看 X=1 (x=-1 错了方程组中的α，得到方程组的解为 y=6, 乙看错了方程组中的b,得到方程组的解为y=12, 则原方程组正确的解是 ax-by=13 ,íx=-5 3.(24-25七年级下·浙江宁波期末)已知关于x,y的二元一次方程组 cx-y=4的解为y=-14 /x=5 ，小强因看错了系数c,得到的解为y=1,则5a-b-c= x+y=5 2x-y=1 4.(24-25七年级下·浙江·期末)(1)已知关于x,y的方程组 4ax+5by=-22与1ax-by-8=0有 相同的解，求(a+b)2020的值. ax+5y=-17 X=4 (2)在解方程组 4x一by=1时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,而得到解为y=3，乙看错 ∫x=-3 了方程组中的b, 而得到解为y=-1·求原方程组的解. 目目 考点11 二元一次方程组同解问题 719 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2x+y=3 ax+by=3 1.(24-25七年级下浙江绍兴期中)若方程组气2ax+by=4与方程组 x-y=0 有相同的解，则a, b的值分别为() A.1,2 B.1,0 C.,- D.-3, 5x+2y=3 1x-2y=3 2.(24-25七年级下·浙江嘉兴期末)已知关于x,y的方程组 ax-2by=8和2ax+by=6有相同的 解，则3a+b=() A.12 B.13 C.14 D.15 5x+y=3 1x-2y=5 3.(24-25七年级下·浙江期末)己知1 mx+5y=4与5x+y=1有相同的解，则 m2-2mn+n2=. 4.(24-25七年级下浙江金华期末)定义：如果关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数且 a≠0，b≠0满足c=b+1=a+2,我们就称方程ax+by=c为“阶梯方程” (1)下列方程是阶梯方程”的是_· ①x-2y=-3 ②2x-3y=4 ③x+2y-3=0 ④x+y= (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解， ax+by=c (3)若方程组 x+2y=1的解为整数，求整数a的值. 目目 考点12 二元一次方程组中新定义类 1.(24-25七年级下浙江金华期末)定义：若代数式P(x)满足P(a)=kP(b),其中k为非零常数， 则称x=a是关于x=b的k级平衡数系.例如：对于代数式P(x)=2x+1,当x=2时P(2)=5,当 x=0时P(0)=1,满足P(2)=5P(0),则称x=2是关于x=0的5级平衡数系. (1)若P(x)=mx2-8x+n(m≠0)，且x=3是关于x=1的9级平衡数系，求n的值. (2)若P(x)=2x2+mx-n,且x=4是关于x=1的3级平衡数系，其中m-n=10,求m,n的值. 2.(24-25七年级下，浙江湖州期末)定义：把ax+y=b(其中a,b是常数，x,y是未知数)这样的方 程称为“优美二元一次方程”.当y=2x时，“优美二元一次方程x十y=b”中x的值称为优美二元一次方程 的“优美值”.例如：当y=2x时，“优美二元一次方程3x-y=4化为3x-2x=4,解得：x=4,故其“优 美值”为4. (1)求“优美二元一次方程5x-y=1的“优美值”； (2)若“优美二元一次方程言x+y=m的优美值”是-3，求m的值： 8/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)是否存在n,使得优美二元一次方程号x+y=n与优美二元一次方程4x-y=n-2的“优美值”相同？ 若存在，请求出n的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由. 3.(24-25七年级下浙江宁波期末)阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 己知实数x、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7X+5y的值 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运 算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式 的值，如由①-②可得x-4y=-2,由①+②×2可得7x+5y=19这样的解题思想就是通常所 说的“整体思想” 解决问题： 2x+y=7 ()已知二元一次方程组气x+2y=8,则x-y= (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、 3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元 (3)对于实数x、y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘 法运算，已知3*5=15,4*7=28，那么1*1= 4.(24-25七年级下·浙江金华期末)定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c(abc≠0，a≠c)中的 常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程x十by=c的“友 好方程”为cx+by=a. (1)求方程x十2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,求方程ax十by=c与它的友好 方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x,y的二元一次方程(3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好 方程”，求号的值。 9/9 专题03 二元一次方程（组） 12大高频考点概览 考点01 二元一次方程的判断 考点07二元一次方程组的特殊解法（重点题型） 考点02判断是否为二元一次方程的解 考点08构造二元一次方程组求解（重点题型） 考点03利用二元一次方程的解求参数（重点题型） 考点09已知二元一次方程组的解的情况求参数 考点04用含有一个字母的式子表示另一个（高频题型） 考点10二元一次方程的错解复原问题（常考题型） 考点05已知二元一次方程组的解求参数 考点11二元一次方程组同解问题 考点06解二元一次方程组（计算）（常考题型） 考点12二元一次方程组中新定义类 地 城 考点01 二元一次方程的判断 1．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的最高项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可知，只有B选项中的方程是二元一次方程， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数均为1；③为整式方程．逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 方程只含有一个未知数x，属于一元一次方程，不符合条件； B. 方程含有两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； C. 方程中，项的次数为，即未知数的次数超过1，不符合条件； D. 方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，不符合条件． 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）下列方程属于二元一次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、，只有一个未知数，是一元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故符合题意； C、，只有一个未知数，且未知数最高次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； D、，含有分式，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程满足的条件：①含有两个未知数；②未知数的次数为1；③整式方程．逐一分析各选项即可． 【详解】A． ，含项，次数为2，不符合； B． ，化简为，符合二元一次方程定义； C． ，分母含未知数，属于分式方程，不符合整式条件； D． ，仅含一个未知数且次数为2，不符合． 故选：B． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】解：A. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，最高次数为，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；      C. ，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，最高次数为，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；      故选：A． 地 城 考点02 判断是否为二元一次方程的解 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可． 【详解】解：A．， ∴是方程的解，故此选项符合题意； B．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值是二元一次方程的解，把未知数的值代入二元一次方程，如果左右两边的值相等，则未知数的值是二元一次方程的解，否则不是二元一次方程的解． 【详解】解：A选项：把代入， 可得：左边右边， 是方程的解， 故A选项符合题意； B选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故B选项不符合题意； C选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故C选项不符合题意； D选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故D选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解； 将各选项中的x和y值代入方程，验证是否满足等式． 【详解】解：A．当，时，代入方程得，等式成立，故A正确； B．当，时，代入方程得，等式不成立； C．当，时，代入方程得，等式不成立； D．当，时，代入方程得，等式不成立； 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各组数中，可以作为方程的一个解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．将各选项代入方程，验证是否成立． 【详解】A、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意； B、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意； C、，，左边，右边，，成立，故本选项符合题意； D、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知二元一次方程，则此方程的解可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解．将各选项代入方程验证是否满足等式，即可求出答案． 【详解】解：将各选项的和代入方程： A：，，代入得，不满足； B：，，代入得，不满足； C：，，代入得，不满足； D：，，代入得，满足方程． 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列各组数是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将各选项中的和代入方程，验证是否等于10即可． 【详解】解：A．，，代入方程：，不满足； B．，，代入方程：，不满足； C．，，代入方程：，满足方程， D．，，代入方程：，不满足； 故选：C． 地 城 考点03 利用二元一次方程的解求参数 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若是方程的一组解，则的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程解的性质，将已知方程的解代入，得到关于和的关系式，再通过代数变形求解目标表达式． 【详解】解：已知是方程的解，代入得： ， 将方程两边乘以2，得： 当时， 则原式． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知是方程的一个解，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知是方程的一组解，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程解的概念，掌握方程解的概念是解答本题的关键． 根据方程解的概念，将，代入方程即可求出的值． 【详解】解：是方程的一组解， 将，代入方程，得， 解得：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把已知条件代入方程计算即可求解，理解并掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：B ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则_____． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的解，：把分别代入方程和求解即可． 【详解】解：把分别代入方程和得：，， 解得：， 则． 故答案为：7． 地 城 考点04 用含有一个字母的式子表示另一个 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，通过移项和系数化为，将用表示，即可求解． 【详解】解：原方程为． 移项：将常数项移到右边，得． 系数化为1：两边同时除以2，得． 故选：B． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）把化为用含的代数式表示的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项、系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得， 故选：． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知方程，用含x的代数式表示y，则______． 【答案】2x-3 【分析】先移项，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，-y=3-2x， 系数化为1得，y=2x-3． 故答案为：2x-3． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的一般步骤是解答此题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 【答案】 【分析】将看作已知数，根据移项求出． 【详解】解：， 移项得． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程及等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的性质表示即可． 【详解】解：∵， 根据等式的性质可得 ， ∴． 故答案为： 地 城 考点05 已知二元一次方程组的解求参数 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若是方程组的解，则的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 将代入得到，进而得到，即可求出的值． 【详解】解：将代入得， 即 ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为___________． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入方程组，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案． 【详解】解：将代入二元一次方程组可得：， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据题意求出的值是解题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】把代入到方程组中得到关于a、b的方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确计算是解题的关键． 地 城 考点06 解二元一次方程组（计算） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决问题的关键． （1）利用代入消元法解答即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①，得③， ②+③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题关键． 利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：得：                       解得  ③                                          将③代入②得：                         解得，                     ∴方程组的解为 5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 由②得：③ 把③代入①得，， 解得，， 把代入③得，， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得，， ①+②得，， 解得，， 把代入①得，， 则方程组的解为． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将方程组化简，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①②，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 方程组可化为， ②，得③， ①③，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 地 城 考点07 二元一次方程组的特殊解法 1．（24-25七年级下·浙江·期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的意义． 整理方程组，从形式上和原方程组相同，然后根据方程组的解进行求解即可． 【详解】解：， 整理得， 对照得，， 解得， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意得，关于，的方程组的解是，进而可得关于，的方程组的解． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组的解是，即， ∴关于，的方程组的解是， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是找到两个方程组解之间的关系，先将所求方程组变形后仿照原方程组解得规律得出，求解即可． 【详解】整理，得， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得， 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，利用换元思想是解决本题的关键． 将方程组中的两个方程两边同除以4，整理得，运用换元思想，得，进而可求得方程组的解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 故答案为： 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是， 解得， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为______． 【答案】或 【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断． 【详解】解：当，，即，时， 解得： 当，，即，时， 解得：， 当，，即，时， 解得： （舍去） 当，，即，时， 解得：（舍去） 综上所述，或. 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若方程组的解是，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是比较两个方程组的结构相似之处，得出． 通过观察两个方程组的之间的关系，得出即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中，， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为____________________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．根据已知条件，利用换元法列出关于，的方程，解方程求出，即可． 【详解】解：关于，的方程组的解为， 关于，的方程组中，， 解得：，， 关于，的方程组的解为：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）已知方程组的解是，则的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意、掌握换元思想成为解题的关键． 根据方程组的解是，与方程组的形式相同，可得，从而求出x和y值即可解答． 【详解】解：∵方程组的解是 ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ___________． 【答案】 【分析】把，，看作一个整体根据第一个方程组的解，得出，，解出即可． 【详解】解：根据题意可知：，， 解得，， 故答案为：． 地 城 考点08 构造二元一次方程组求解 1．（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于任意实数，，定义关于“@”的一种运算如下：@．如@．若@，且@，则______． 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出所求． 【详解】解：根据题中的新定义化简得： ， ①＋②得：， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为______． 【答案】 【分析】根据公式求得，将方程转化得到，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则方程可转化为， ∴， ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键． 地 城 考点09 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则________ 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法求出，，代入计算即可． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 将，代入得：， 整理得， 移项得， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为_______． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，利用加减消元法可得原方程组的解为，再根据“二倍解方程组”的定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”， ∴或， ∴或， 解得或， 故答案为：3或4． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 地 城 考点10 二元一次方程的错解复原问题 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 4．（24-25七年级下·浙江·期末）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求的值． （2）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．求原方程组的解． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可． （2）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，求出a，b的值，再代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：（1）联立， 解得：， 把x，y的值代入其余的两个方程得：， 解得：， 则原式=（1-2）2020=（-1）2020=1． （2）将代入方程4x-by=1得b=5， 将代入方程ax+5y=-17得a=4， 将a=4，b=5代入原方程组得， 解此方程组得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键． 地 城 考点11 二元一次方程组同解问题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组与方程组有相同的解，则a，b的值分别为（    ） A．1，2 B．1，0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，由两个方程组的解相同这个条件，可以重新组合两个方程组为，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， 故选：A 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 得：， 解得：， 将代入，得， 解得：， ∴； 将代入，得， ，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的同解问题，建立不含字母项的新二元一次方程组，并求解是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）已知与有相同的解，则___． 【答案】144 【分析】重新组成新的方程组，解出x，y的值，再代入得m，n的值，最后代入计算． 【详解】解：， ①×2+②得，11x=11， x=1，代入②得y=-2． 此方程的解：， 把x=1，y=-2代入，得， 解得：m=14，n=2， ∴=144， 故答案为：144． 【点睛】本题考查解二元一次方程组、掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值法是解题关键． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 地 城 考点12 二元一次方程组中新定义类 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：若代数式满足，其中k为非零常数，则称是关于的k级平衡数系．例如：对于代数式，当时，当时，满足，则称是关于的5级平衡数系． (1)若，且是关于的9级平衡数系，求n的值． (2)若，且是关于的3级平衡数系，其中，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，列出方程进行求解即可； （2）根据新定义，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）由题意，得：， 整理，得：， 又， 联立，解得：； ∴，． 2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4． (1)求“优美二元一次方程”的“优美值”； (2)若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值； (3)是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则“优美二元一次方程”化为：，解方程即可求解； （2）令，则“优美二元一次方程”化为：，将把代入，即可求解； （3）令，则“优美二元一次方程”化为：，令，则“优美二元一次方程”化为：，根据“优美值”相同，列出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，． 其“优美值”为． （2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：， 把代入，得． （3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，， 其“优美值”为． 令，则“优美二元一次方程”化为：，， 其“优美值”为． 假设“优美值”相同， ∴，∴． ∴即“优美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需___________元. (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么___________. 【答案】(1)－1 (2)30 (3)-11 【分析】（1）两式相减可求出x﹣y的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，即可求出结论； （3）根据“3*5＝15，4*7＝28”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，即可求出1*1的值． 【详解】（1）解： ， 由①﹣②可得x﹣y＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得： ， 由①×10﹣②×5可得5m+5n+5p＝30， 即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． （3）解：依题意得：， 由①×3﹣②×2可得a+b+c＝﹣11， 即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）利用整体思想，求出x﹣y的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果； （3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果． 本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的“友好方程”为， ∴， ①﹣②，得， 解得， 把代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）方程的“友好方程”为， ∴， ①②得， 由 ∴， 把代入①式，得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”， ∴， 由①得，代入②中，得： ， 则， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $