2026年中考数学三轮押题06：特殊四边形（全国通用）

**基本信息** 以特殊四边形从一般到特殊的递进关系为逻辑主线，覆盖基础到压轴题，强化性质判定应用与综合模型迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|10题|基础+中档，结合全等、坐标|以平行四边形为基础，衔接特殊四边形，强调对边、对角、对角线性质| |矩形|10题|折叠、勾股定理、最值|在平行四边形基础上增加直角与对角线相等特性，突出折叠动点问题| |菱形|10题|对角线计算、轴对称|以四边相等和对角线垂直为核心，结合对称与面积公式应用| |正方形|10题|旋转、全等相似综合|综合平行四边形、矩形、菱形性质，作为几何压轴载体| |综合|10题|折叠旋转、动点探究、函数结合|串联特殊四边形性质，侧重模型识别与数形结合|

■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题06：特殊四边形 》》》 押题依据 猜押考点 2025年考查省份 考情分析 押题依据 基础+中档题，选择/填空/解答，5-8分： 平面几何核心基础，衔 考查对边平行且相等、对角相等、对角线互 接矩形、菱形、正方形， 平行四边 形（判定 相平分；判定：两组对边平行、一组对边平 中考必考；命题侧重基 全国所有省份（必考） 行且相等、对角线互相平分、两组对角相等： 础性质应用与简单推 与性质) 2025重点：平行四边形与全等三角形结合、 理，是几何综合题的载 坐标中的平行四边形。 体。 全国所有省份（高频）： 中档题，选择/填空/解答，69分；考查 特殊四边形核心考点， 江苏、浙江、广东、山 矩形（判 东、河南、河北、四川、 四个角为直角、对角线相等且平分；判定： 兼具平行四边形性质与 定与性 重庆、湖北、湖南、安 有一个角是直角的平行四边形、三个角是直 直角、对角线相等特性； 角的四边形、对角线相等的平行四边形；2025 徽、福建、陕西、山西、 常结合折叠、动点考查， 质) 贵州、广西、北京、上 重点：矩形折叠问题、矩形与勾股定理结合 是几何中档题高频命题 海 矩形中最值问题。 点。 全国所有省份（高频）：中档题，选择/填空/解答，69分；考查 江苏、浙江、广东、山 四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线 特殊四边形高频考点， 菱形（判 东、河南、河北、四川、 平分内角；判定：一组邻边相等的平行四边 对称性强，常与全等、 定与性 重庆、湖北、湖南、安 形、四条边相等的四边形、对角线互相垂直 勾股定理结合；命题侧 质) 徽、福建、陕西、山西、 的平行四边形；2025重点：菱形对角线计算 重性质灵活应用，折叠、 贵州、广西、北京、上 菱形与轴对称结合、菱形面积（对角线乘积 对称类题型常见。 海 一半)。 全国所有省份（必考）：中档+压轴题，选择/填空/解答，8-14 江苏、浙江、广东、山分；考查四边相等、四角为直角、对角线相 特殊四边形终极形态， 综合平行四边形、矩形 正方形 东、河南、河北、四川、等垂直平分、既是轴对称也是中心对称；判 (判定与 菱形所有性质；是中考 重庆、湖北、湖南、安 定：有一个角是直角的菱形、一组邻边相等 性质) 徽、福建、陕西、山西、 的矩形、对角线相等垂直的平行四边形；2025 几何压轴核心载体，侧 重模型识别、综合推理 贵州、广西、北京、上 重点：正方形旋转/折叠、正方形中全等与 与探究能力。 海 相似综合、正方形动点探究。 全国所有省份（高频） 江苏、浙江、广东、山 压轴题，解答压轴，10-16分；考查特殊四 特殊四边 形综合 东、河南、河北、四川、 边形间转化、折叠/旋转模型、动点最值、 中考几何压轴核心，综 合度高；2025真题高频 (模型与 重庆、湖北、湖南、安 存在性探究；2025侧重：正方形+菱形综 重性质串联、模型迁移 压轴) 徽、福建、陕西、山西、 合、矩形折叠+相似、特殊四边形与函数结 贵州、广西、北京、上 合、几何最值问题。 与数形结合能力。 海 》》》 押题预测 题型一、平行四边形（判定与性质) 1.(2026河南焦作·二模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°，点E为边BC上 一点，且BE=3CE,若BC=4,则OE的长为() B A.1 B.2 C. D. 【答案】A 【详解】解：如图，取BC中点F,连接OF,可知CF=2, D F E :在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O, ∴.O是AC的中点， OF是△ABC中位线， .OF∥AB, :∠F0C=LBAC=90°， .BE=3CE, CE=1, 即E是CF的中点， OECF1 2.(2026河南南阳一模)如图，在口ABCD中，CM⊥AD于点M，,点P在边AB上运动，PE⊥BC于点 E,PF⊥CM于点F,连接EF.若AB=8,BC=10,CM=6.4,则EF的长不可能是() D 2 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A.7.4 B.8 C.8.4 D.9 【答案】A 【详解】解：连接PC, D :PE⊥BC于点E,PF⊥CM于点F,CM⊥AD于点M, :四边形PECF是矩形， ..PC=EF, :EF的最小值即为PC的最小值， 当PC⊥AB时，PC取得最小值， D-CNC. :PC=4D:CM_10x64=8, AB -8 EF的最小值为8， 则EF的长不可能是7.4. 3.(2026吉林长春二模)如图，在口ABCD中，AB∥x轴，点B,D在反比例函数y=《(k≠0)的图象上， 若。ABCD的面积是16，则k的值是() D A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【详解】解：设AD,BC分别交x轴于E,F两点，连接BD,过B作BH⊥x轴，如图， ■ V 由题意可得，四边形ABHO为矩形， 由对称性可得，BD过原点O,则O为线段AC和BD的中点， 根据题意可得，AB∥EF∥CD,AB=CD, AE=ED,BF=CF,即E,F分别为AD,BC的中点， 四边形ABFE为平行四边形，且Sm=,m亨8 ·矩形ABH0的面积=S。4BFE=8, 由反比例函数k的几何意义可得k=S矩形ABHO=8, 由图象可得，图象过一、三象限，k>0, k=8, D选项符合题意. 4.(2026浙江杭州一模)已知：如图，平行四边形ABCD中，点E是AB的中点.连接DE,，过点E作 欧七DE交BC边于点F,若4B22,8C=3,∠B=459,则的值为( A B F A. B. 5-7 c D. 【答案】B 【详解】解：延长DE,交CB的延长线于点G,连接DF,如下图： A D E :四边形ABCD是平行四边形， 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞盘 AD∥BC,AD=BC=3, ∴.∠A=∠EBG,∠ADE=∠G, :E是AB中点， .AE BE, .△ADE≌△BGE AAS, .BG=AD=3,DE=GE, 即E是DG的中点， :EF⊥DE,即EF⊥DG,E是DG中点， “EF垂直平分线段DG, .DF=FG, 设BF=x, .FG=BG+BF=3+x,DF=3+x, 过D作DH⊥BC,交BC的延长线于H, :平行四边形中∠DCH=∠ABC=45°，CD=AB=2N2, DH=CD-sim45°=2V2×Y5-2,CH=CD-c0s450=2, 2 ..FH=CF+CH=(BC-BF)+CH=(3-x)+2=5-x 在RtoDHF中，由勾股定理得DF2=DH2+FH2, 代入DF=3+x得：(3+x)2=22+(5-x)2, 化简，得：9+6x+x2=4+25-10x+x2, 解得x 4’ 即BF=5 :.CF=BC-BF=3-5-1 44 BF=4-5 CF-77 4 5.(2026山东菏泽·二模)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,点E、F分别 为BC、CD的中点，连接AE、OF,若OF=2，,则AE= D B 【答案】2 【详解】解：·四边形ABCD是平行四边形， ·点O是BD的中点， 又：点F为CD的中点， OF是aBCD的中位线， :AD=BC =20F, :0F=2, .BC=2×2=4, :AB⊥AC, :△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， :点E为BC的中点， .AE是RtAABC斜边BC上的中线， AE=BE=CE=1BC=2. 2 6.(2026河北唐山·二模)将一个平行四边形纸片ABCD进行折叠，第一次折叠经过点A,使边AD和AB 重合，折痕交边CD于点E,展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B,使边BC和AB重合，折痕交边 CD于点F,展开后如图所示.当CE=EF时，若AB=9,则AD的长是 D F E A 【答案】6 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ∠AED=∠BAE,∠CFB=∠ABF. 由第一次折叠可得∠DAE=∠BAE, ∠DAE=∠AED, ∴.AD=DE. 由第二次折叠可得∠CBF=∠ABF, 6 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠CFB=LCBF, .CF=BC. AD=BC, .DE CF, .CE DF. CE=EF, .CE=EF DF AB=9, .CE=EF DF=3, .AD=DE DF+EF =6. 7.(2026陕西西安模拟预测)如图，在口ABCD中，BC=8,∠B=60°，点E,G分别在边AB,CD上， 且AE=CG,连接EG,在EG上方作等腰直角三角形EFG,∠F=90°.当点B,F之间的距离最小时， △EFG的面积为 D G B 【答案】24 【详解】解：如图所示，连接AC交EG于点H,过点H作EK垂直CD,交CD于点K,交AB于点P,过 点C作CO垂直AB于点Q,过点F作MN∥EK,交BA延长线于点M,交CD于点N,过点H作HJ⊥MN ,垂足为J, :四边形ABCD是平行四边形， :四边形PKNM,四边形PQCK,四边形MPHJ,四边形JHKN均为矩形， ∴.PK=MN=CQ,PM=HJ=NK,∠JHK=90°，∠EAH=∠HCG, M ○ H ■■■ 在Rt△CQB中，BC=8,∠B=60°， :sin60°=C≌-Cg BC 8 解得C0=45, .PK MN =CO=43, 「∠AEH=∠CGH 在△AEH和△CGH中， ∠AHE=∠CHG, AE=CG :△AEH≌aCGH(AAS),AH=CH,EH=GH, :点H是线段EG,AC的中点， :四边形ABCD是平行四边形， 点H是线段PK的中点，即HK=PK=25, :∠EFG=90°，FE=FG, .EH=HG=FH,∠FHK=90°， :∠JHK=90°， ∠FHJ+∠JHG=∠JHG+∠GHK=90°，即∠FHJ=∠GHK, ∠FHU=∠GHK 在△FHJ和△GHK中， ∠HJF=∠HKG=90°， FH=HG .△FHJ≌AGHK(AAS,HJ=HP=HK=2V5, :点F在经过点M的且位于直线MN上的一条线段上运动，矩形MJHP是正方形， 当点F与点M重合时，BF取得最小值， 此时HF是正方形MJHP的对角线， ∴.HF=VHJ2+MJ2=2√6，EG=2HF=4V6, :△EFG是等腰直角三角形， S6=EG-f=x46x26=24, 21 8.(2026湖南怀化一模)如图，在口ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE,过点D作DF‖AE,交 BC的延长线于点F,连接AF,交CD于点P. 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ E C (I)求证：△ABE≌△DCF; (2)若AD=3,AB=4,BE=2EC,求CP的长. 【答案】(1)证明见解析 CP 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=DC,AD BC,ABI DC,ADIBC, ∠ABE=∠DCF, :AEDF, D :四边形ADFE是平行四边形. B .AD=EF, :BC=EF, BC=BE+EC,EF EC CF,.BE =CF 在AABE和△DCF中， (AB=DC ∠ABE=∠DCF,△ABE≌△DCF(SAS), BE=CF (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC=3,DC=AB=4, BE =2EC,..BE CF =2. ADI CF, △FCP∽△ADP, .CP CF 2 ·DP=AD3 ■了 CP 2 CD-CP3 2 ECP=DC】 9.(2026安微阜阳·二模)如图1，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,∠ABC=90°，AD=DC=2,AB=3, 点E在边AB上，AE=2,F为边CD的中点，连接DE,BF. D D 图1 图2 图3 (I)求证：DE∥BF (2)如图2，若∠DAB=60°，AC与DE相交于点M,连接BM. ①求证：BM⊥AD. ②如图3，若N为BM的中点，连接AN,求sinNAB的值. 【答案】(1)见解析 20见解析；②7 14 【详解】(1)证明：：DC=AE=2,AB=3,F为边CD的中点， :BE=AB-AE =1,DF=FC=1, BE=DF· 又BE∥DF, :四边形BFDE是平行四边形， .DE∥BF 。 (2)①证明：如图1，连接CE, D DC=AE,DCI‖AE, 图1 :四边形AECD为平行四边形. AD=DC, 10 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ·四边形AECD为菱形， ·∠DCA=∠ECA= 22ECD=ZDAE=30°，LABC=180°-∠DAB=1209 2 :∠DEC=∠DEA=1∠AEC=60°. :DC∥AB,∠ABC=90°， .∠DCB+∠ABC=180°， .∠DCB=90°， :∠BCE=∠DCB-∠ECD=30°，∠CEB=60°， :∠BCE=∠ECA,∠CEB=∠DEC· ∠BCE=∠ECM 在△BCE与△MCE中， CE=CE, ∠CEB=∠CEM ∴△BCE≌aMCE(ASA, :CB=CM,EB=EM, :CE垂直平分BM, 又：四边形AECD为菱形， DA‖CE, .BM⊥AD. ②由①可知CE垂直平分BM,点N即为CE与BM的交点. 如图2，过点N作NP⊥AB于点P. D M :在RtABNE中，∠CEB=60°，∠ENB=90°，BE=1, EP 图2 ∠EBN=30°， EN =BE- 在AEPN中，∠NEP=60∠EPV=0,EN= .∠ENP=30°， 11 ■■■ :.EP=EN= 1 21 4 ·P=VEw2-EP=5 在RteAPN中，AP=AE+EP= 4,p=3 .AN =AP2+NP2 ∴.sin∠NAB= AN 14 10.(2026河南省直辖县级单位一模)【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角 线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行 四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”. 如图1，在平行四边形ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则平行四边形 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点， A D D E B 图1 图2 图3 【应用】 (I)①菱形 (填“可能”或“不可能”)是“垂中平行四边形”. ②如图1，平行四边形4BCD是垂中平行四边形，其中AC是“垂中对角线，则化的值为 (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=6√3，AD>AB,若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角 线”，求AB的长 (3)如图3，在ABC中，BE⊥AC于点E,CE=2AE=4,BE=3,若BC是某个“垂中平行四边形的边， 点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形” 的周长 【答案】1)①不可能② 3 (2)3V6 (3)10+2V13或10+43或10+√73 【详解】(1)解：①不可能.因为菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是AD中点，所以菱形不 12 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 是“垂中平行四边形”； ②过点D,作DH∥BF,交AC于点G,交BC于点H,如下图， A -- :四边形ABCD是“垂中平行四边形”， B H C 1 FD=-AD,FDI BH,AD =BC, 2 :四边形BFDH是平行四边形， BH=FD=AD=BC,即点H也是BC中点， 2 .AE=EG=CG, 即E AE AE 1 AC AE+EG+CG 3AE 3 (2)解：过点B作BE⊥AC,垂足为F,交AD于点E,如下图 E D 矩形ABCD是“垂中平行四边形”， :AB=AD=×6N5=3,4D=BC=6N5, 1 :四边形ABCD是矩形， :∠BAE=LABC=90°， :BE⊥AC,垂足为F, :∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠BCA=90°， ∠ABE=∠BCA, 又LABC=LEAB=90°， .Rt△ABE∽Rt△BCA, :4E=4B ·ABBC :AB2=AE.BC=33x63=54, AB=3v6. (3)解：：CE=2AE=4, 13 AE=2, 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作AD,∥BC,过点C作CD,∥AB,AD与CD,相交于点D,延长BC交AD于点F,如下图 F D 四边形ABCD是平行四边形， AF AE 1 BCEC2即r-号8c-54D, ·点F是AD中点， 'BE⊥AC, :四边形ABCD是“垂中平行四边形”， AB=CD=AE2+BE2=22+32=13, AD=BC=BE2+CE2=32+42=5, P24BcD=2AB+2AD=10+2V13: ②过点C作CD,∥AB,与BE的延长线交于点D,过点D作DE‖BC,交BA的延长线于点F,如下图 D :四边形BCDF是平行四边形， B AB∥CD,BF=CD,BC=FD, ABA=,即B=CD=BF,点A是BF中点， 2 :BE⊥AC, ·四边形BCDF是“垂中平行四边形 由①知AB=V13,BC=5, PRCDF =2BC+2CD =2BC+44B=10+413; ③过点A作AD,∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD,过点B作BF‖CD,交DA的延长线于点F,四 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 边形BCDF是平行四边形，如下图 D E .BF CD,BC=FD, ADI BC, 是器-t0-8c-m,0E-E-} 2 2 点A是DF的中点， :BE⊥AC,BD是对角线， :四边形BCDF是“垂中平行四边形”， 2 在Rt△CDE中，CD=VDE2+CE2 2 由①知BC=5, Pe8CDF =2BC+2CD=10+73. 题型二、矩形（判定与性质） 11.(2026广西贵港·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不 与点A,B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为() A.4.8 B.4 C.3.2 D.2.4 【答案】D 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, i4C18m,01=0c=54C=4,0B=0D=号BD=3. 在RtaA0B中，AB=V0A2+0B2=V42+32=5, 如图所示： 15 :PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, :四边形OEPF是矩形，则EF=OP, 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小， :S.408=0A.OB=AB.OP, 2 .Op= 0A0B_4×3=2.4, AB 5 ∴.EF的最小值为2.4. 12.(2026山东菏泽·二模)如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠A=90°，点P从点A出发，沿A一 B→C→D运动到点D.图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的 值为() 12 ■ O4a12 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.2 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AD于点E, B E 图① ∠CED=∠CEA=90°， :BC∥AD,∠A=90°， .∠B=90°， .四边形ABCE为矩形， .CE=AB=4,BC=AE, 16 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 由图形可知三AD·AB=12, 、 ∴.AD=6, 设BC=AE=x,则DE=6-x,CD=12-4-x=8-x, 由勾股定理CE2+DE2=CD2, 16+(6-x)2=(8-x)2, 解得x=3, BC=3, a=4+3=7. 13.(2026广东一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,D是边AB上一点（不与点 A,B重合)，作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.若O是EF的中点，则OD的最小值是() B A.5 B.12 60 D. 【答案】C 【详解】解：连接CD, D :DE⊥AC、DF⊥BC, B ∴.∠DEC=∠DFC=90°， :∠ACB=90°， ·四边形CEDF是矩形， EF=CD,∠EDF=90°， 又：O是EF的中点， .OD=1EF, 2 :.OD=-CD, 2 当CD⊥AB时，CD取得最小值，即OD取得最小值， 17 ■了 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V52+I22=13, 1 1 S。ABC= X4CxBC=×ABxCD, 2 2×5x12=x13xCD, 1 解得CD=60 3 ∴OD= 16030 2*1313' 即0D的量小准为治 14.(2026安徽芜湖二模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E,F分别在边AB,CD上，且 满足AE=CF=3,连接DE,FB,点G,H分别在DE,BF上移动（不与端点重合），且满足GE=HF, 则下列说法不正确的是() D F A.连接BD,DB⊥EF B。AG的设小恒为号 C.EF=GH D.当GE=2时，四边形GEHF为矩形 【答案】C 【详解】解：如图，连接BD, F E :四边形ABCD是矩形，AB=8,AD=4, .∠A=90°，BC=AD=4,CD=AB=8, AE=3, .BE AB-AE=8-3=5,DE=AD2+AE2=5, 同理可得：BF=DF=5, .BE DE BF DF, 四边形BEDF是菱形， 18 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ DB⊥EF,则说法A正确； 如图，连接AG, D F H G E B 由垂线段最短可知，当AG⊥DE时，AG的值最小， 此时有=号0E4G-D-E. 2 :AG=AD.AE =4x3_12 DE 55 12 即4G的最小值为号，说法B正确： 如图，连接GF,EH, F B :四边形BEDF是菱形， DE∥BF, 又：GE=HF, :.四边形GEHF是平行四边形， 假设EF=GH, :平行四边形GEHF是矩形， “.FG⊥DE,但由已知条件不能得出这个结论， :假设不成立，即EF=GH不成立，说法C错误； 如图，连接GF,EH, D F E DE=5,GE=2, .DG=DE-GE=3, .DG=AE, 19 ■飞 :四边形ABCD是矩形， ∠A=90°，AB∥CD, .∠GDF=LAED, 在AGDF和△AED中， (DG=EA ∠GDF=∠AED, DF=ED :.△GDF≌△AED(SAS, .∠DGF=∠A=90°， .FG⊥DE, 由上已得：四边形GEHF是平行四边形， :.四边形GEHF为矩形，则说法D正确. 15.(2026山东青岛一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处.若 AD=3,AB=2,则GM的长为() G D B. 25 C D. 5 12 13 16 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作GN⊥BC于点N,则LGNM=∠GNC=90°， G D H B :四边形ABCD是矩形， ∠D=∠C=∠A=90°，AD=BC=3,AB=CD=2, 四边形GNCD是矩形， 20 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ .GD=CN,CD=GN=2, :将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处. :.BM-CM=1BC=3 2 21 设GM=AG=x,则GD=NC=3-x, MW=CM-NC=3-x=x-多 2 在RIMNG中，Gw2=AMN2+GN2,即2-(x-+2, 解得x=25 12 即GM的长为2 5 16.(2026四川成都二模)如图，Rt△0AB的直角边0A=6,斜边0B=10,点P为线段AB上动点.若F 为线段A0上一点，且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG,连接OG,则 0G的最小值为 D B 【答案】4 【详解】解：连接PG,以AF为边作等边△AFM,连接MG,如图所示： 则AM=FM=AF=2,∠AFM=60°， 根据旋转可得：FP=FG,∠PFG=60°， .△PGF是等边三角形，LAFM=∠PFG, :∠AFM+∠MFP=∠MFP+∠PFG,即∠AFP=∠MFG, :△PAF≌△GMF(SAS), ∴.∠GMF=∠PAF=90°，即点G在MG上运动， 21 ■飞倍 :垂线段最短， :当OG⊥MG时，OG取得最小值，过点F作FN⊥OG于点N,如图所示， 则∠FNG=∠FN0=90°， :∠FMG=∠MGN=90°， .四边形FNGM为矩形， .NG=FM=2,FM∥OG, ∠F0N=LAFM=60°， .∠0FN=90°-60°=30°， .∠FN0=90°，F0=A0-AF=6-2=4, :ON=F0=2, 2 .0G=0N+NG=2+2=4, 0G的最小值为4. C写P是8C上一点，若 17.(2026广东深圳二模)矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，且4E=}, ACCF5,连接EF,过点E作EG1EF交DC的延长线于G,则DC AB_BF_3 C G D B 【答案】 【详解】解：如图所示，过点E分别作BC,CD的垂线，垂足分别为H,M, 22 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ D M 即EH⊥BC,EM⊥CD, :四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°，四边形EHCM为矩形， 则∠HEM=90°，EM=HC,EH=CM, :EG⊥EF, ∴.∠HEF+∠FEM=LFEM+∠MEG=90°， :∠HEF=∠MEG; :4B3 AC 5 设AB=CD=3a,AC=5a,则在Rt△ABC中，BC=AD=√AC2-AB2=4a, BF 3 CF5' ·EF三2，CF=C 2 :AB⊥BC,EH⊥BC,即∠EHC=∠ABC=90°， .AB∥EH, .∠CEH=LCAB, .△CEH∽△CAB, :E、1 AC-5' CE EH CH 4 AC AB BC-5' 则EH=Cw-gacH=EM=1gBH=BC-CH-HF=BF-8H-7沿 5 在△EHF和△EMG中， I∠HEF=∠MEG ∠EHF=∠EMG=90° △EHF-△EMG, 23 ■■■ 16a GM EM 5 4 HF EH 12a3' .GM=14a 5 CG=CM+GM=12a+14a=10a,DG=CG-CD=4 5153 DG_3_1 DC 3a 9 18.(2026山西阳泉一模)如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，BC=6,AB=4, AD=3.折叠四边形纸片ABCD,使得点D的对应点E落在边BC上，点A的对应点为F,折痕与AB, CD分别交于点G,H,EF与AB交于点M.若LBME=LC,则线段BE的长为一· A------- D G M 【答案】 【详解】解：过点D作DT⊥BC于点T,则∠DTB=∠DTC=90° Ar- G M B :AD∥BC,∠A=90 ∠B=180°-∠A=90° ∴.∠A=∠B=∠DTB=90° “四边形ADTB为矩形， .AB=DT=4,AD=BT=3 .CT=BC-BT=3, :CD=DT2+CT2=5 :∠1=∠C,∠B=∠DTC=90° 24 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ .△MBE∽△CTD :.MB-BE_ME CT DT CD MB-BE ME 3 4 5 设MB=3x,BE=4x,ME=5x 由折叠可得∠A=∠F=90°，AG=FG,AD=FE=FM+ME=3 :∠1=∠2，∠F=∠B=90 ∴.△GFM∽△EBM 同理可设FM=3y,FG=4y,GM=5y, AB=AM+BM [3y+5x=3 9y+3x=41 解得=品 ·BE=4x5=5 1231 19.(2026四川广安·二模)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为线段AD的中点，延长BE与 CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°， B (I)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD=10,DF=6,求四边形ABCF的面积S. 【答案】(1)见详解 (2)72 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， :CD∥AB, ·∠FDE=∠BAE, 又E为AD中点， ·AE=DE, 25 ■■■ :∠DEF=∠AEB, :△DEF≌△4EB(ASA, :EF EB, 又：AE=DE, ·四边形ABDF是平行四边形， :LBDF=90°， :四边形ABDF是矩形； (2)解：由(1)可知，四边形ABDF是矩形， AD BF =10,DF=AB=6, :由勾股定理可得：BD=VBF2-DF2=V102-62=8, :四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=6, :四边形ABCF的面积为SE形r+Sc=6x8+7×6×8=72. 20.(2026湖北襄阳模拟预测)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8,CB=6,将ABC绕点A顺时针 旋转得到ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E. G E D B B 图1 图2 图3 (I)如图1，连结CE、DB,请写出CE与DB之间满足的数量关系，并证明： (2)如图2，延长CE交DB于O,请判断O是否为DB的中点，请说明理由； (3)如图3，当AE∥BC时，求线段CO的长. 【答案】(I) EC 4 DB5·见解析 (②)O为DB的中点，见解析 3)7N2 【详解】0)解6惠由知下 26 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 :∠ACB=90°，CA=8,CB=6, AB=AC2+BC2=10. :ABC绕点A顺时针旋转得到ADE, .△ABC≌△ADE ∴.AC=AE,AB=AD,CB=ED,∠CAB=∠EAD, AC AE ∠CAE=LBAD, AB AD △AEC∽△ADB, EC AC 8 4 DB AB 105 (2)结论：O为DB的中点，理由如下： 证明：延长CO,过D点作DF⊥CF于F,过B点作BG⊥CF于G D ∠DFE=∠BGC=90°， AC AE, ∠AEC=∠ACE. 又：∠AED=∠ACB=90°， ∠DEF=180°-∠AED-LAEC=90°-∠AEC,LBCG=90°-LACE, ∴∠DEF=∠BCG, ∠DFE=∠BGC 在ADEF和△BCG中， ∠DEF=∠BCG CB=ED △DEF≌△BCG(AAS), .DF=BG, ∠DOF=∠BOG 在ADOF和△BOG中， ∠DFO=∠BGO, DF=BG 27 ■飞 .△DOF≌BOG(AAS), .DO=BO, .O为DB的中点： (3)解：过B点作BM⊥AE于M, D E M B 图3 .AE∥BC,∠ACB=90°， ∠EAC=∠ACB=∠BMA=90°， :.四边形AMBC是矩形， .AM=BC=6,BM=AC=8. 根据旋转得AE=AC=8,根据勾股定理，得CE=√AC2+AE=8√2 EM=8-6=2. :∠DEM=LBME=90 .DE∥BM, .△DEG∽△BMG, MG-BM8 4 GE DE 6 3' .MG=4a,EG=3a, ∴.4a+3a=2, 解得a另 .MG=8 EG=6 7 :AE∥BC, ∴.△EG0n△CB0, 6 ·.EO_EG7_1, CO BC 67 28 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ :C0=7EC=7x82=72 8 8 题型三、菱形（判定与性质） 21.(2026广东深圳二模)小馨同学按如下步骤作四边形ABCD;(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心， 1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画 弧，两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=48°，则LCBD的大小是() M DI N A.64° B.650 C.66° D.67° 【答案】C 【详解】解：作图可得AB=AD=BC=DC, .四边形ABCD是菱形， AD∥BC,∠ABD=∠CBD, ∠A=48°， .∠MBC=∠A=48°， 2C8D=180P-∠MBC)=l80-48=6. 22. (2026陕西渭南·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别为OB、OD 的中点，连接AE、AF、CE、CF,若四边形AECF的周长为4V3,AC=2√2，则菱形ABCD的边长为 () D A.2√2 B.2W3 C.4 D.6 【答案】D 【详解】：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 0A=0C,0B=0D,AC⊥BD, 29 ■■■ ■产 又：点E、F分别为OB、OD的中点， .OE-108-0D- 0, 又：0A=OC,AC⊥BD即AC⊥EF, :四边形AECF是菱形， 又：四边形AECF的周长为4√3，AC=2√2， :CF=5,0C=}AC=2, 2 0F=VCF2-0C2=1, 0D=20F=2, CD=V0C2+0D2=V6, 即菱形ABCD的边长为√6 23.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，ABC中，AB=BC=5,AC=6,分别以点A和点C为圆心，AB长 为半径作弧，两弧交于点D,连接AD,CD,以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AC于点E,连接DE, 则DE的长为() D A.5 B.2√5 C.6 D.2W5 【答案】D 【详解】解：如图，连接BD交AC于点F, B D 由作图得AB=AD=CD=AE, 30 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 又：AB=BC=5, .AB=BC=AD=CD=AE=5, .四边形ABCD是菱形， .BD L AC,AF=CF=AC=3, 2 .DF=VAD2-AF2=V52-32=4, EF=AE-AF=2, DE=VDF2+EF2=V42+22=2V5. 24.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，点O是对称中心，AD=6,BD=8,已知点E、 F分别是边AB、BC上的点，连接EF,交菱形对角线BD于点P,将△BEF沿EF折叠，使点B落在对角 线BD上的点B处，且OB'=DB',则四边形EBFB的面积为() E p B B.95 C.3 D.3 2 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC, A D B B :四边形ABCD是菱形， :AC L BD,OB=OD=IBD=4,0A=OC=-AC, 0A=√AD2-0D2=√36-16=2V5, 根据翻折的性质得PB=PB',EF⊥BB', ∠BPE=∠BPF=90°， 又：∠PBE=∠PBF,PB=PB, 31 ■ △PBE≌△PBF(ASA), .PE PF, .四边形EBFB是菱形， :OB'=DB',OB=OD=1BD=4, OB'=DB'=2,BB'=6, :PB=IBB'=3,OP=1, 2 :∠BPE=∠BOA=90°，∠PBE=∠OBA, △PBE∽△OBA, BE BP AB OB 即B距3 641 解得BE=2 9 由勾定理PE=e-P8-图93 2 .EF =35, :四边形EBg的面积为gF-6×35=9W5. 25.(2026山东临沂一模)如图在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,点 D关于AC所在直线对称，过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,则线段OC的长为 () D C E A.5 B.5 C.2W5 D.2√5 【答案】B 【详解】解：：点B,点D关于AC所在直线对称， AC⊥BD,OB=0OD, :AB∥CD, 32 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ .∠AB0=∠CD0, :∠A0B=∠C0D=90°， .△AOB≌ACOD(ASA, .AB=CD, 则四边形ABCD为平行四边形， :AC⊥BD, ·平行四边形ABCD为菱形， :AD=CD=BC=5, 则BE=8, 在RtACED中，DE=VCD2-CE2=4, 在RtaBED中，BD=VDE2+BE2=4V5, 则0B=0D=2V5, 在RtaB0C中，0C=VBC2-0B2=V5, 26.(2026湖南长沙二模)如图，在矩形ABCD中，以点C为圆心，CD长为半径作弧交对角线AC于点 E,分别以点D,E为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点F、连接BF交AC于点G,连接EF,DF, 则g的值为 AG 【答案】2 【详解】解：如图，连接AF,BE,由作图痕迹可知CE=CD=DF=EF, ·四边形CDFE是菱形， ..EF CD, :四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD,AB=CD, .AB∥EF,AB=EF, :四边形ABEF是平行四边形， 33 :点G是AE的中点， AE =2. AG C 27. (2026四川南充一模)如图，以∠MON的顶点0为圆心，以适当的长为半径画弧交OM于A,交ON 于B,再分别以点A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧相交于点C,连接AC、BC、OC、AB.若 0C=10,四边形0ACB的面积为15，则AB的长为 M B 【答案】3 【详解】解：设AB与OC相交于点D,如图： M N 由题意得，OA=OB=BC=AC, :四边形OBCA是菱形， :菱形0ACB的面积为15， S&NOI-OCAB=x10xAB=15 2 2 5AB=15 解得AB=3. 28.(2026辽宁抚顺一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,CD=4,EF垂直平分AC,交AC于点0， 点M,N在对角线AC上.当AN=CM=I时，四边形EMFN的周长为· 34 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞 D M E B 【答案】3④2 2 2 【详解】解：如图，连接AF, D M A E B 在矩形ABCD中，∠D=90°，AD=3,CD=4, AC=√AD2+CD2=V32+42=5, :EF垂直平分AC,交AC于点O, 1 5 AO=OC-AC-AF-CF. AN =CM =1, A0-AN=OC-CM =2,即N0=M0=3 “四边形ABCD是矩形， .ABII DC, .∠FC0=∠EA0, :∠FC0=∠EA0,∠FOC=∠E0A,OC=0A, △FC0≌△EAO AAS), 0F=0E, :OF=OE,NO=M0,EF⊥NM, :四边形FNEM是菱形， 设AF=CF=x,则DF=CD-CF=4-x, 在RIAADF中，由勾股定理得，AD?+DF2=AF2, 32+4-刘2=2，解得x=25, , 35 ■■■ 即AF=25 , .OF=AF2-A0 .NF=OF2+NO 周- :四边形EMFN的周长为4NF=4× 3V413V41 8 2 29.(2026北京大兴一模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,CD∥AB,点E,F分别为AC,BC的 中点，DE∥CF. B (I)求证：四边形EFCD为菱形； (2)若∠ADC=90°，EF=2,求AD的长. 【答案】(1)见详解 (2)AD=25 【详解】(1)证明：：点E,F分别为AC,BC的中点， :.EF=AB,CF=IBC,EF AB, 2 2 :CD∥AB, CD∥EF, :DE∥CF :四边形EFCD为平行四边形， AB=BC,EF=AB,CF=IBC 2 .EF=CF, :.四边形EFCD为菱形； (2)解：由(1)得四边形EFCD为菱形， .ED=EF=CD=2, :∠ADC=90°，点E为AC的中点， 36 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 1 ED=。AC, 2 即AC=4, 在RteADC中，AD=VAC2-CD2=16-4=2V3· 30.(2026黑龙江哈尔滨一模)在ABC中，AB=AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上， AD平分∠CAM,CD∥AB. 图1 图2 (I)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)如图2，当LABC=60°时，连接BD,交AC于点O,过点D作DE⊥BD,交BN于点E,在不添加任 何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形. 【答案】(1)证明见解析 (2)△ABC,△BCD,△ABD,△ACD 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠B=∠ACB, :AD平分∠CAM, .∠CAD=∠MAD, :∠MAC=∠CAD+∠MAD=∠B+∠ACB, .∠CAD=∠MAD=LB=∠ACB, .AD∥BC, :CD∥AB, :四边形ABCD是平行四边形： (2)解：：AB=AC,∠ABC=60°， :ABC是等边三角形， .AB=BC, :平行四边形ABCD是菱形， :BC=CD,∠DBC=∠ABC=30°， 37 ■■■ DE⊥BD, ∠BDE=90°， .∠DEC=90°-30°=60°， :CD∥AB, ∠DCE=∠ABC=60°， :.△CDE是等边三角形， .CD =CE, .BC=CE, .S。ABc=S.DCE, 四边形ABCD是菱形， 1 SAac=S4cD=S.m=ScD=2S菱形BcD :.与△CDE面积相等的三角形有△ABC,△BCD,△ABD,△ACD 题型四、正方形（判定与性质） 31.(2026河北张家口一模)如图，四边形ABCD是正方形，点E,G分别是边AB,AD上的动点，且 AE=AG,分别作EF⊥AB,GF⊥AD,EF与GF交于点F,设AE=x, 正方形ABCD的周长 四边形AEFG的周长=y,则下 列图象能反映y与x函数关系的是() B D. 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .∠A=90°， :EF⊥AB,GF⊥AD, ∠FGA=∠FEA=90°， 38 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ :四边形AEFG是矩形， 又：AE=AG, ∴.矩形AEFG是正方形， 四边形AEFG的周长为4AE=4x, :正方形ABCD的周长 四边形AEFG的周长='， .y= 4AB AB 4x x :点E在AB上， x≤AB, y=4B≥1， ·只有B选项中的函数图象符合题意. 32.(2026辽宁抚顺一模)如图，AB∥CD,∠ABC是直角且AB=BC,其中AB=6,CD=8,则AD的 长度为() B A.23 B.2√58 C.10 D.210 【答案】B 【详解】解：过点A作AE⊥DE,交CD的延长线于点E, B :AB∥CD,∠ABC是直角， LBAC=∠ABC=∠E=90°， :四边形ABCE是矩形， AB=BC, :.四边形ABCE是正方形， 如图可得，AE=EC=BC=AB=6,DE=EC+CD=6+8=14, 39 ■产 在ADE中，根据勾股定理可得，AD=√AE2+DE2=V62+142=2V58, 33.(2026广东深圳一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E 旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为()， B A.3 B. 5-2 C.2 p. 【答案】B 【详解】解：如图，过点F分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I,交CD于点J, D G J-≥F B E C 由旋转的性质可知，AE=EF,∠AEF=90°， ∠AEB+∠CEH=180°-∠AEF=90°， :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=6,AD∥BC, ∴.∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90°， .∠BAE=∠CEH, :点E是边BC的中点， ECEC-3. :FI⊥BI, ∠EIF=∠ABC=90°， 在△ABE和△EIF中， ∠BAE=∠CEH ∠ABC=∠EIF, AE=EF .△ABE≌△EIF(AAS), 40 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■飞倍 .EI=AB=6,FI BE =3, .CI EI -EC =3, :FJ⊥CD, LFJC=∠EIF=∠DCI=90°， 四边形CIFJ是矩形， CI =3=FI, :四边形CIFJ是正方形， .CJ FI CI =FJ =3=EC FJ//IC, .∠CEH=∠JFH, 在△CEH和△JFH中， [∠CEH=∠JFH ∠CHE=∠JHF, EC=FJ :△CEH≌△JFH(AAS), cc :CD=6,CJ=3, .DJ CD -CJ =3, :AD∥BC,FJ∥BC, AD∥FJ, ∴.△ADG∽△FJG, :=31 :GD=AD=6=2' 6/=30=1, .GH =GJ+= 5 34.(2026湖北襄阳模拟预测)如图，点E为边长为5的正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE, EF⊥CE交CB延长线于点F,连接AF,EF与AB边交于点G,若EG=2FG,则BF的长为() 41 分■ G B A. B.1 D.2 【答案】C 【详解】解：如图，过E作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N, A D E G B .∠EMB=∠ENB=90°， :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， :BD平分∠ABC,∠ABC=90°， ∴.EM=EN, .四边形EMBN是正方形， .EM =EN BM BN EM BC, △EMG∽△FBG, GM EMEG ·BG BF FG 2、 设BG=x,MG=2x,则BN=EN=ME=BM=3x, 3 :.BF-x.CN=5-3x. :CE⊥EF,EN⊥CF, .∠NEF+∠NEC=90°，∠NCE+∠NEC=90°，∠ENF=-∠CNE=90°， ∠NEF=∠NCE, .△NEF∽△NCE, 怨需即+经 5-3x3x 解得x=1,x2=0(不合题意，舍去)， 名 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 3 3 BF=。x= 2 21 3.(2026江宁鞍三模)如图.在4C巾，∠C4B=90,G行，40平分∠C48,连接BD,满 足LDBA=∠C,若AD=42,则PC的长为() D B A.22 B.3√2 C.25 D.√5 【答案】D 【详解】解：：AD平分∠BAC, ∠BAD=LCAD, :∠DBA=LC, .△CAP∽△BAD, AP=AC1 AD AB2' .AD=4v2, AP=2√2， 过点P分别作PE⊥BA于点E,PF⊥AC于点F,如图所示： D LBAC=90°，AD平分∠BAC, B E :PF=PE, :LBAC=∠PEA=∠PFA=90°， :四边形AEPF为正方形， 4E=4F=EP=PF-4P=2 2 :∠C=∠C,∠BAC=∠PFC=90°， △CPF∽△CBA, CaiB,即CF=C41 CF。Pp PF AB 2' 43 ■了 ∴.CF=PF=l, 在Rt△CPF中，∠PFC=90°，PF=2,CF=1, 由勾股定理得CP=√PF2+CF2=V22+12=√5. 36.(2026河南南阳一模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点O是对角线BD的中点，以点O为圆心， OA的长为半径作圆心角为90°的扇形OEF,则图中阴影部分的面积为 B 【答案】2π-4 【详解】解：连接OA,作OM⊥BA,ON⊥AD. A D GN/H M :正方形ABCD中，AD=AB,∠BAD=90°，点O为BD的中点， B BD=√2AB=4√2， :0A=BD=22, 2 ON =OM AN=AM =2,ZBAD=90 四边形OMAN是正方形， 扇形EOF的面积是： 90mx(22 =2π 360 :四边形OMAN是正方形 .0M=0N, :∠G0H=∠M0N=90°， ∠G0M=∠H0N, 在aOMG和△ONH中， 44 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠OMG=∠ONH ∠GOM=∠HON, OM=ON ∴aOMG≌△ONH(AAS), ·S留造希0G4m=S国克形0WAN=22=4. 则阴影部分的面积是：2π-4， 37.(2026辽宁营口一模)如图，正方形ABCD中，AB=52,AC是对角线，E是AC上一点，过点E 作EF⊥BC,垂足为R,连接DE,若AE=5FC,则DE的长为 3 D 【答案】5v5 【详解】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M,则∠EMC=∠EMD=90°， D M :正方形ABCD中，AB=5√2，EF⊥BC, :∠EMC=LEFC=LFCM=90°，LECM=45°，AB=BC=CD=5V2,AC=√AB2+BC2=10, :四边形EFCM为矩形，∠CEM=90°-∠ECM=45°=∠ECM, .EM CM :.四边形EFCM为正方形， .EF =CF, EF2+CF2=CE2, ..FC=- cE 2 45 AEFC 3 AE=5x5cE=cE,即CE=3AC= 3 2 3 4 4×10=15 21 EM-CM= cE=2x15155 2 22 4 DM CD-CM=52_1525 4 4 .DE=EM2+DM2 55 4 2 38.(2026山东临沂一模)如图，在平行四边形纸片ABCD中，LB=60,AB=4,将纸片沿对角线AC折 叠，点B落在点E处，CE与AD交于点F,连接DE·若CE⊥AD,则DE的长为· D B:- 【答案】22 【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G, B'- G :四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°， AD=BC,AD∥BC, .∠BAF=180°-∠B=120°， :AB=4,将纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD交于点F, AE=AB=4,∠BCA=∠FCA :∠B=60° .∠BAG=30° BG=-AB=2 2 :AG⊥BC, 名 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ ∠BCA=∠FCA=45° ..AG=CG, :AD∥BC AG⊥AD, :CE⊥AD, AG∥FC, :四边形AFCG是平行四边形， :AG⊥AD .四边形AFCG是矩形， AG=CG, :四边形AFCG是正方形， .AF=CG 又：AD=BC, .DF=BG=2, 在ABC中，∠B=60°，∠ACB=45 .∠BAC=75 :折叠， ∠BAE=2∠BAC=150° ∠EAF=∠BAE-∠BAD=150°-120°=30°， 车RteAEF中，EFAE=2 :在RtAEFD中，ED=VEF2+FD2=√22+22=2V2. 39.(2026河南周口·三模)综合与实践 在矩形ABCD中，点P是射线BC上一个动点，连接AP,过点B作BM⊥AP于M,过点D作DN⊥AP于 N. D 图1 图2 备用图 (1)观察猜想 47 ■■■ 如图1，若AB=BC,点P在边BC上（不与点B、C重合）. ①写出图1中一个与∠BAP相等的角： ②用等式表示线段BM、MN、DN的数量关系： (2)类比探究 如图2，若AB=BC，点P在BC的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段 BM、MN、DN之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若B3 特BC亏BC=5CP,请直接写出N 'D的值. 【答案】(I)①∠ADN(答案不唯一)②BM+MN=DN (②)DN+MN=BM,理由见解析 或7 1612 【详解】(1)解：①∠ADW(答案不唯一)②BM+MN=DN, 理由如下： 因为四边形ABCD是矩形，AB=BC, 所以四边形ABCD是正方形， 所以∠BAD=90°，∠BAP+∠DAP=90°，AB=AD, 因为BM⊥AP于M,DN⊥AP于N, 所以∠AMB=∠AND=90°，∠ABM+∠BAP=90°，∠ADN+∠DAP=90°， 所以LBAP=∠ADN,∠ABM=∠DAN, 在△ABM和aDAN中， ∠AMB=∠AND ∠ABM=∠DAN, AB=DA 所以△ABM≌△DAN(AAS), 所以BM=AN,AM=DN, 因为AN+MN=AM, 所以BM+MN=DN. (2)解：DN+MN=BM,理由如下： 如图，过点B作BM⊥AP于M,过点D作DN⊥AP于N, 48 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ M ◇入 B C P 因为四边形ABCD是矩形，AB=BC, 所以四边形ABCD是正方形， 所以∠BAD=90°，∠BAP+∠DAP=90°，AB=AD, 因为BM⊥AP于M,DN⊥AP于N, 所以∠AMB=∠AND=90°，∠ABM+∠BAP=90°，∠ADN+∠DAP=90°， 所以∠ABM=∠DAN, 在△ABM和△DAN中， ∠AMB=∠AND ∠ABM=∠DAN, AB=DA 所以△ABM≌△DAN(AAS), 所以BM=AN,AM=DN, 因为AM+MN=AN, 所以DN+MN=BM. (3)解：分两种情况： 当P在C左侧时， M 因为0-号0=5GP 设AB=3k,BC=5k,CP=k, 所以BP=BC-CP=4k, 在R1aABP中，AP=VAB2+BP2=V3k+(4k)2=5k, 49 ■了 所以3k4=5kBM,则BM=12k, 5 因为AD∥BC, 所以LDAN=∠APB, 因为∠DNA=∠ABM=90°，AD=AP 所以△ADN≌△PAB(AAS), 所以AN=BP=4k, MN=AN-AM-4k-9k-Ik 55 MP=AP-AM=5k- MN 11 MP=16 16 当P在C右侧时， A D 、M 因为B、3 BC-3'BC=SCP, 设AB=3k,BC=5k,CP=k, 所以BP=BC+CP=6k, 在R1aABP中，AP=VAB2+BP2=V3k)2+(6k)2=35k, S.-14B-BP=1AP.BM, 2 所以3k:6k=3V5k,BM,则BM-65k 5 在R1aA8M中，AM=VAB-BM=3k°- 35k 5 因为AD∥BC, 50 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 所以∠DAN=∠APB, 因为∠DNA=∠ABM=90°， 所以△ADN∽△PAB, 所u0即专 AN 5k 6k 35k 解得AN=2√5k, MN-AN-AM-25k-35 2k, 5 MP=4P-AM=315k-315125 -k= , 5 5 75 MN 5 MP-12V5- 12 k 5 40.(2026安徽阜阳·二模)在四边形ABCD中，AC,BD为两条对角线，∠BCD=90°. 图1 图2 (1)如图1，若LBAC=2LACD. (i)求证：AB=AC; (i)已知AB=10,BC=12,∠ADB=2∠CBD,求CD的长； (②)如图2，若CA平分∠BCD,AB⊥AD,过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E,求证： BC+CD=2AE. 【答案】①①D证明见解析；()CD三 (2)证明见解析 【详解】(1)解：(i)证明，如图，作∠BAC的平分线交BC于H,则LBAH=∠CAH, :∠BAC=2∠ACD, B ∴.∠CAH=∠ACD .AH∥CD 51 ■了 :∠BCD=90° .∠AHB=∠AHC=90. AH =AH △ABH≌△ACH(ASA), :AB=AC; (i)如图，延长AD,BC相交于点F, ∠ADB=2∠CBD, ∴.∠CBD=∠F, .DB=DF, 又：LBCD=90°， .BC=CF=12, AB =10,BC =12,AB=AC, :BH=CH=-BC=6 .AH=AB2-BH2=8,FH =CH +CF=18 .:AH∥CD .∠AHF=∠DCF,∠HAF=∠CDF, ∴.△CDFn△HAF CD CF AH FH CD 12 ÷818 CD- (2)如图，过点A作AG⊥BC于G, y B G :AB⊥AD,AE⊥CE .四边形AECG为正方形， :AG=AE=CG=GE, 52 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ AB⊥AD, .∠BAG=∠DAE=90°-∠GAD, 在△ABG和ADE中， ∠BAG=∠DAE AG=AE ∠AGB=∠AED .△ABG≌△ADE(ASA) :BG=DE :BC+CD=BG+CG+CD=DE+CG+CD=CG+CE=2AE. 题型五、特殊四边形综合（模型与压轴） 41.(2026江西萍乡一模)如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿折线A→D→C的方 向运动，同时动点F以相同的速度沿折线D→C→B的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停 止运动，连接AF,BE交于点G,点H是边CD上的另一动点，连接BH和HG,则BH+HG的最小值为() A.17 B.2W5 C.2W5-1 D.17-1 【答案】D 【详解】解：当E在AD上，F在CD上时，由这两点运动速度相同，故AE=DF,由正方形性质知 ∠BAE=∠ADF=90°，BA=AD, BA=AD 由 ∠BAE=∠ADF AE=DF △BAE≌△ADF(SAS), .∠EBA=∠FAD, ∠EBA+∠GAB=∠FAD+∠GAB=∠BAD=90°， :∠BGA=180°-90°=90°， 故由圆周角性质得G在以AB为直径，AB中点O为圆心的圆上，以CD为对称轴将点B翻转上去得到点B 53 ■飞倍 如图所示 B H F D C E G A 则BH+HG=B,H+HG,故B,H,G三点共线时BH+HG最短，若B,G,O三点不共线，则△B,GO中 B,0-G0≥BG, 故当B,G,O三点共线时BG最短，此时B,H,G,O四点共线，由于圆的半径为1，∠B,BO=90°， 故由勾股定理得B,0=√B,B2+B02=√17 BH+HG最小为B,G=B,0-0G=V17-1, 此时实际上E在CD上，F在BC上，如图所示 B H G B 此时△BAF≌△CBE，,但∠BGA=90°不变 苏扬州一模)如图，R△ABC中，∠ACB=90,AC=6,tamB=,点P为 的一点，以PA、PC为邻边作APCQ,则PQ的最小值是() 54 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了产 B C 12 24 A. B. 5 C.5 D.6 5 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=6,tanB=4C-3 BC 4 :BC=4AC=8,AB=AC2+BC2=N62+82=10, 如图，设AC与PQ相交于点O,过点O作OP⊥AC于点R, A C .∠AP0=90°， :四边形APCQ是平行四边形， a01=0c-4c=3,00=0p-P0, :当OP的长取最小值，PQ的长取最小值， 由垂线段最短可得，当OP⊥AC时，即P与P重合时，OP取最小值， 此时，OP=OR=OAtsin∠OAR=OAsin∠BAC=3x8-12 105 ∴.P2的最小值是20P=2× 1224 55· 43.(2026安徽合肥二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为边CD中点，G为边AD上一点， P为对角线BD上一点，连接PC,将△DPC沿PC翻折，得到△FPC,连接PE,AF,BF,下列说法错 误的是() 55 G B C F A.BF的最小值为2 B.AF的最小值为2√5-2 C.连接PG,若PG1PC,则PG的最小值为25 D.PE+PC的最小值为5 【答案】D 【详解】解：由翻折可知CF=CD=AB=2, 即点F在以C为圆心，2为半径的圆上， A选项，当点F在线段BC上时，BF取得最小值， 则BFmn=BC-CF=4-2=2,故A正确； B选项，连接AC,当点F在线段AC上时，AF取得最小值， 则AC=√AB2+BC2=25,AFmn=AC-CF=2V5-2,故B正确； D选项，作点C关于直线BD的对称点C,连接C'E交BD于点P, C G A下 D P 此时PE+PC=PE+PC'=C'E为最小值， 以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 56 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 则B(0,0),C(4,0),D(4,2),E(4,1), B C F 设直线BD的解析式为y=c, 代入点D(4,2),则2=4，可得k= 2 则直线BD的解析式为y=2, 1 设C(m,),则线段CC的中点在直线y=)x上， 2 则中点坐标为H m+4n+0) 22 :n+0=1xm+4 22×2，即n=m+4 2 则uc m+4 2 在RtaBCD中，sin∠CBD=CD 2 =V5 BDV22+425' m+4-4 2 2 m+4 在RtABCH中， 4 sin∠CBH= CH V(2 5, BC 4 5 解得m=2.4,n=3.2, 即C'(2.4,3.2), 则CE=V4-24+1-3.2-.62+(-2.2=V256+4.84=V74=85 PE+PC的最小值为1 ,故D错误； 5 C选项，：PG⊥PC, ∠GPC=90°， 当点G与点D重合，且CP⊥BD时，PG取得最小值， 此时PG=PD, 57 ■ 在RtABCD中，BD=√22+42=2V5, 1 S.BCD= xBC.CD=xCPxBD, 2 2 即CP=BC:CD4×24V5 BD255 在RtAPCD中，PD=VCD2-CP2=,22- 45y-25 5 即PG倒设小值为2，放C正裤 44.(2026安微蚌埠.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P 从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,过点B作BH⊥PQ于 点H,连接DH,若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，下列说法错误的 是() D A PE B A.线段PC+PD最小值为2W13 B.DH的最小值V13-√2 C.四边形APQD面积的最小值为6 D.线段P2长度的最大值为3v2 【答案】C 【详解】解：：矩形ABCD,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点， AB-CD-4AD-8C-3.BC1CD.BE-AE-4B-2.FC-CD-4R-2.EFRC CD∥AB, 如图，作点D关于AB的对称点R,连接AR,PR,CR,则PD=PR,AR=AD=3, 58 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ D R PC+PD=PR+PD≥CR, :当点R,E,C三点共线时，PC+PD最小，最小值为CR的值， 在RtA CDR中，CR=VDR2+CD2=V3+3)2+42=2W13, 即线段PC+PD最小值为2√3，故A选项正确，不符合题意； 连接EF交P2于M,连接BM,取BM的中点O,连接OH,OD,过点O作ON⊥CD于N,连接AN,则 MO=0B, D E B .四边形BCFE为矩形，MF∥ON∥BC,△FMQ∽△EMP, ME-PE-2'FN-CN=1.DN-DF+FN-3. 、FM_FQ_1 EM-EF=3BC-2 .F1 ON-(FM+BC)=2. 0D=√DN2+0N2=V32+22=√3， :BH⊥PQ, .∠BHM=90°， 0M=0B, :OH=BM=x√EMP+BE=V2, 2 :DH≥OD-OH, 59 ■ DH≥3-√， 由于M和B点都是定点， 所以其中点O也是定点，当O,H,D共线时，此时DH最小， :DH的最小值为3-√2，故B选项正确，不符合题意； 设FQ=t,则PE=2t, DQ=2+t,AP=2-2t, 四边形4P0D的面积为4P+DQ4D=2-21+1+2小×3=+6， :.四边形APQD的面积随t的增大而减小， 当t最大时，四边形APQD的面积取得最大值， 当点P,A重合时，t取得最大值，此时PE=2,则t=1, 四边形4POD的面积的最小值为-+6=45，放C选项错误，符合题意： 如图，过点P作PK⊥CD于点K,则PK=AD=3,DK=AP, D A DK=AP=2-2t,KQ=2+1-2-21=31, ·P0=VPK2+K02=V32+(3)2=9+9r, 当t最大时，PQ取得最大值， .PQ的最大值为√9+9=3√2，故D选项正确，不符合题意. 45.(2026广东一模)如图，在四边形ABCD中，己知AC⊥BD,AC=4,BD=6,则AD+BC的最小 值是() D B 60 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A.7 B.5 C.213 D.13 【答案】C 【详解】解：如图，将线段BD沿DA方向平移，使点D与点A重合，得到线段AE, D AD∥BE,AD=BE;BD=AE,BD∥AE B E :AC⊥BD,且BD∥AE, AC⊥AE,即LCAE=90°. AC=4,BD=6, :AE BD=6. 在Rt△CAE中，根据勾股定理：CE=√AC2+AE2=V√42+62=√6+36=√52=2V3 由AD=BE,可得AD+BC=BE+BC. BE BC 2 CE. :AD+BC的最小值为CE的长度，即2√13. 46.(2026广西崇左一模)如图所示，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对 角线AC上一动点，连接PB,PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果保留根号) 【答案】(5+ 【详解】解：如图所示，连接BD,DQ, 当点P,D,Q三点共线时，△PBQ的周长最小， 即当点P在P处时，△PBQ的周长最小 因为Q为BC的中点， 61 B 所以在Rt△CD2中， D0=VCD2+CQ2=V22+12=V5(cm. 连接BP', 因为四边形ABCD是正方形， 所以AC垂直平分BD 所以P'B=P'D, 所以△PBQ周长的最小值=△P'BQ的周长 =P'B+P'O+BO =P'D+P'O+BO =DO+BO =(5+1小cm. 47.(2026河北秦皇岛一模)如图，在边长为6正方形ABCD中，点E,F分别是边BC,CD上的动点， 且BE=CF,DE,AF交于点P,则CP的最小值为 D B E 【答案】3√5-3 【详解】解：在正方形ABCD中，AD=DC=BC=6,∠ADF=∠DCE=90°， BE CF, BC-BE=CD-CF,即CE=DF, :△ADF≌△DCE(SAS), .∠DAF=∠CDE, 又∠CDE+∠ADE=90°， 62 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 则∠DAF+∠ADE=90°，故∠APD=90°， 根据“直角对直径”，点P的轨迹是以AD为直径的圆， 设AD中点为0（圆心），连接0C,则圆半径r=4D=3, 点C到圆O上点的最小距离为：点C到圆心O的距离减去半径， O D 在Rta0DC中，0D=3,CD=6,∠0DC=90°， B E 由勾股定理得：0C=V0D2+CD2=V32+62=3V5, 因此CP的最小值为0C-r=35-3. 48.(2026山东菏泽一模)如图，在口ABCD中，AB=8,BC=10,∠D=60°，动点E,F分别在边 AB,AD上，且AE=AF,以EF为边作等边三角形EFP,且点P始终在ABCD的内部或边上，当△EFP的 面积最大时，DF的长为 A E B 【答案】6 【详解】解：如图，在口ABCD中，AB=8,BC=10,∠D=60°， 则∠BAD=180°-60°=120°， F D 4 B H.C :△EFP是等边三角形， EP=FP=EF,∠EPF=60°， 连接AP, .AE=AF,EP=FP,AP=AP, 63 ■ △AEP≌△AFP(SSS, .∠1=∠2=60°，∠3=∠4=30°， .∠AEP=180°-∠1-∠3=90°， 作∠BAD的平分线交BC于点H, ∠B=∠BAH=∠DAH=60°， ∴.△ABH是等边三角形， :∠BAH=∠1， :直线AP和直线AH重合， 即点P在AH上运动， AEFP的面积EP,EPsin60°日 -EP2, 4 则EP最大时，△EFP的面积最大， 根据题意可得当点P与点H重合时，EP最大，即△EFP的面积最大， 此时，如图， F D 2 P(H) 则BE=AE=4, .AE AF=4, .DF=10-4=6. 49.(2026江苏扬州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点F是对角线BD上一点， AF⊥FE交BC于点E. A B (①)若EB=EF,求BE的长； 回若点P在D上运动，试深究华的比值是香变化？若不变，莆求出这个比值：若变化，诗说明里由： 64 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ (3)线段EF的最小值是 【答案】()BE=2 ②不变， 6)4v5 5 【详解】(1)解：如图，连接AE, A F E :四边形ABCD是矩形，AF⊥FE, ∠ABE=LAFE=90°， 在RtAABE和RtAAFE中， AE=AE EB=EF .Rt△ABE≌RtAAFE HL, .∠AEB=∠AEF, EB EF, .AE⊥BF, ∠BAE+∠ABD=90°， :∠ADB+∠ABD=90°， ∠BAE=∠ADB, :an∠BAE=tan∠ADB,即BE.AB AB AD .BE=AB2 42 =2, AD 8 (2)解：如图，过点F作MN‖AB,交AD于M,交BC于N,则四边形ABNM是矩形， M D 65 ■飞 .4F=P,p=P以】 48 .MF=。DM, 2 :四边形ABNM是矩形， MN=AB=4,∠AMF=∠FNB=90°， '∠MAF+∠AFM=LAFM+∠EFN=90°， .∠MAF=∠EFN, △AMFn△FNE, EF FN AF AM' MF a,DM 2a,AM AD-DM =8-2a,FN MN MF =4-a, EF 4-a 1 AF8-2a2' 即 ,1 的比值不变，为 )暗：由2)可知，吹-即EF :当线段AF取最小值时，线段EF取最小值， 根据垂线段最短可得，当AF⊥BD时，AF取最小值，此时点E与点B重合，如图所示， BE) 在R1aABD中，BD=VAB2+AD2=V42+82=4V5, S.wDBDF .AF=ABAD_4x8 8/5 BD4V5=5' .EF=14F=45 2 5 即线段EF的最小值是4 5 50.(2026陕西宝鸡一模)按要求解答： (1)【问题提出】如图1，AB∥CD,AB=CD,连接AC、BD交于点O,若AC=6,则OC的长为： 66 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ D 图1 (2)【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E在AD边上，AB=4AE=4,点F是对角线BD上的动点， 连接AF、EF,求AF+EF的最小值： B 图2 (3)【问题解决】如图3，矩形ABCD是某公园的一片花海，水井E和入口F在AD边上，现要在CD边上的 G点修一个凉亭，沿FG、BG修两条石板路，CD边的中点Q处是游客服务中心，MN是一条观光长廊， 点M在线段EF上，点N在BC边上，在BG与MN的交点P处修一个观景台，从观景台P向游客服务中心 修一条石子路PQ.己知AB=AF=80m,BC=115m,DE=CD,且EM=CN,求石板小路BG与FG的 长度之和最小时，石子路9的长.（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊 的宽度均忽略不计) EM A 图3 【答案】(1)3 (2)5 (3)40m 【详解】(1)解：：AB∥CD,∠A=∠C,∠B=∠D, 又AB=CD, .△AOB≌△COD(ASA), .0A=0C, :0A+0C=AC=6,.0C=3: (2)解：：四边形ABCD是正方形，AB=4AE=4, .∠ADC=90°，∠ADF=∠CDF,AE=1,AD=CD=AB=4,则DE=3 67 ■ 连接CF、CE,如图2， E 图2 在△ADF和CDF中，AD=CD,∠ADF=LCDF,DF=DF, △ADF≌△CDF(SAS), .AF CF,:.AF EF CF EF CE, :当点F在CE与BD的交点处时，AF+EF最小，最小值为CE的长， 在Rt△CDE中，DE=3,CD=4, CE=CD2+DE2=5, AF+EF的最小值为5； (3)解：：四边形ABCD是矩形，AB=AF=80m,BC=I15m,DE=CD, .AD∥BC,∠A=∠ADC=∠C=90°，AD=BC=115m,则DE=CD=AB=80m, .AE DF =35 m, 作点F关于CD的对称点F,连接GF'、BF',BF'交CD于点G,交MN于点P,如图3， EM F D G2 G H 图3 .DF'=DF =35m,GF=GF', AF'=AD+DF'=I50m,BG+FG=BG+F'G≥BF',当点B、G、F三点共线时，BG+FG最小，最小 为BF',此时点P在点P的位置，连接PQ, AE DF DF'=35m,.EF'=AD -AE DF'=AD BC, :EM CN,.EF'-EM BC-CN MF'=BN, :AD∥BC,.∠BNP'=∠FMP', 在BNP'和△FMP'中，∠BNP'=∠F'MP',∠BP'N=∠F'P'M,NB=MF', 68 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ .△BNP'≌△F'MP'(AAS, .BP'=FP',MP'=NP',即点P是MN、BF'的中点， 过点P作PH上BC于点H,则PHBCO,PH=CD=CQ=40m, .四边形PHCQ是矩形， .P'O=CH, :P'H∥CQ∥AB, ∴∠ABF'=∠HP'B,则tan∠ABF'=tan∠HP'B, 6职0船 8040' .BH=75m, .P'O=CH=BC-BH =40m, :.石板小路BG与FG的长度之和最小时，石子路PQ的长为40m 69 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题06:特殊四边形 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 平行四边形（判定与性质） 全国所有省份（必考） 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，5–8 分；考查对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定：两组对边平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角相等；2025 重点：平行四边形与全等三角形结合、坐标中的平行四边形。 平面几何核心基础，衔接矩形、菱形、正方形，中考必考；命题侧重基础性质应用与简单推理，是几何综合题的载体。 矩形（判定与性质） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档题，选择 / 填空 / 解答，6–9 分；考查四个角为直角、对角线相等且平分；判定：有一个角是直角的平行四边形、三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形；2025 重点：矩形折叠问题、矩形与勾股定理结合、矩形中最值问题。 特殊四边形核心考点，兼具平行四边形性质与直角、对角线相等特性；常结合折叠、动点考查，是几何中档题高频命题点。 菱形（判定与性质） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档题，选择 / 填空 / 解答，6–9 分；考查四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角；判定：一组邻边相等的平行四边形、四条边相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形；2025 重点：菱形对角线计算、菱形与轴对称结合、菱形面积（对角线乘积一半）。 特殊四边形高频考点，对称性强，常与全等、勾股定理结合；命题侧重性质灵活应用，折叠、对称类题型常见。 正方形（判定与性质） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档 + 压轴题，选择 / 填空 / 解答，8–14 分；考查四边相等、四角为直角、对角线相等垂直平分、既是轴对称也是中心对称；判定：有一个角是直角的菱形、一组邻边相等的矩形、对角线相等垂直的平行四边形；2025 重点：正方形旋转 / 折叠、正方形中全等与相似综合、正方形动点探究。 特殊四边形终极形态，综合平行四边形、矩形、菱形所有性质；是中考几何压轴核心载体，侧重模型识别、综合推理与探究能力。 特殊四边形综合（模型与压轴） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 压轴题，解答压轴，10–16 分；考查特殊四边形间转化、折叠 / 旋转模型、动点最值、存在性探究；2025 侧重：正方形 + 菱形综合、矩形折叠 + 相似、特殊四边形与函数结合、几何最值问题。 中考几何压轴核心，综合度高；2025 真题高频，重性质串联、模型迁移与数形结合能力。 押题预测 押题预测 题型一、平行四边形（判定与性质） 1．（2026·河南焦作·二模）如图，在中，对角线，交于点O，，点E为边上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 3．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，轴，点B，D在反比例函数的图象上，若的面积是16，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2026·浙江杭州·一模）已知：如图，平行四边形中，点是的中点．连接，过点作交边于点．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东菏泽·二模）如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 6．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，在上方作等腰直角三角形，．当点，之间的距离最小时，的面积为__________． 8．（2026·湖南怀化·一模）如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 9．（2026·安徽阜阳·二模）如图1，在直角梯形中，， ，点E在边上，，F为边的中点，连接． (1)求证：． (2)如图2，若，与相交于点M，连接． ①求证：． ②如图3，若N为的中点，连接，求 的值． 10．（2026·河南省直辖县级单位·一模）【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 (1)①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． (2)如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． (3)如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 题型二、矩形（判定与性质） 11．（2026·广西贵港·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 12．（2026·山东菏泽·二模）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 13．（2026·广东·一模）如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 15．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 17．（2026·广东深圳·二模）矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则________． 18．（2026·山西阳泉·一模）如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 19．（2026·四川广安·二模）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 20．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)如图1，连结、，请写出与之间满足的数量关系，并证明； (2)如图2，延长交于，请判断是否为的中点，请说明理由； (3)如图3，当时，求线段的长． 题型三、菱形（判定与性质） 21．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 23．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 24．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，点O是对称中心，，已知点E、F分别是边、上的点，连接，交菱形对角线于点P，将沿折叠，使点B落在对角线上的点处，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C．3 D． 25．（2026·山东临沂·一模）如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧交对角线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点、连接交于点，连接，，则的值为___________． 27．（2026·四川南充·一模）如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 28．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，垂直平分，交于点，点，在对角线上．当时，四边形的周长为____． 29．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 30．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 题型四、正方形（判定与性质） 31．（2026·河北张家口·一模）如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 33．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 34．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，点为边长为的正方形的对角线上一点，连接，交延长线于点，连接，与边交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 35．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·河南南阳·一模）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，的长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______________． 37．（2026·辽宁营口·一模）如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 38．（2026·山东临沂·一模）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 39．（2026·河南周口·三模）综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． (1)观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； (2)类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若，，请直接写出的值． 40．（2026·安徽阜阳·二模）在四边形中，为两条对角线，． (1)如图1，若． （i）求证：； （ii）已知，求的长； (2)如图2，若平分，，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：． 题型五、特殊四边形综合（模型与压轴） 41．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 42．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 43．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，E为边中点，G为边上一点，P为对角线上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，下列说法错误的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．连接，若，则的最小值为 D．的最小值为 44．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在矩形中，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，下列说法错误的是（   ） A．线段最小值为 B．的最小值 C．四边形面积的最小值为6 D．线段长度的最大值为 45．（2026·广东·一模）如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 46．（2026·广西崇左·一模）如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 47．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在边长为6正方形中，点分别是边，上的动点，且交于点，则的最小值为___________． 48．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，，，，动点E，F分别在边上，且，以为边作等边三角形，且点P始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 49．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 50．（2026·陕西宝鸡·一模）按要求解答： (1)【问题提出】如图1，，，连接、交于点，若，则的长为______； (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点在边上，，点是对角线上的动点，连接、，求的最小值； (3)【问题解决】如图3，矩形是某公园的一片花海，水井和入口在边上，现要在边上的点修一个凉亭，沿、修两条石板路，边的中点处是游客服务中心，是一条观光长廊，点在线段上，点在边上，在与的交点处修一个观景台，从观景台向游客服务中心修一条石子路．已知m，m，，且，求石板小路与的长度之和最小时，石子路的长．（水井、入口、凉亭、游客服务中心、观景台的大小及小路和观光长廊的宽度均忽略不计） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $