2026年中考三轮高频考点冲刺训练--特殊四边形的证明与计算

2026年中考三轮高频考点冲刺训练--特殊四边形的证明与计算 一、平行四边形的4种核心证明方法 平行四边形是所有特殊四边形的基础，证明时要紧扣「对边、对角、对角线」三类关系，共5条合法路径： 1.两组对边分别平行。即证明四边形的两组对边，每一组都互相平行，这是最基础的定义法。 2.两组对边分别相等。即证明四边形的两组对边，每一组的长度都相等，可通过全等三角形推导边的等量关系。 3.一组对边平行且相等。这是中考最常用的判定，必须同时证明这一组对边既平行、又长度相等，缺一不可。 4.对角线互相平分。即证明四边形的两条对角线，交点是它们各自的中点，两条对角线都被交点平分。 易错提醒：等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但不是平行四边形，所以单独的“一组对边平行”或“一组对边相等”都不能判定平行四边形。 2、 矩形的3种核心证明方法 矩形的证明逻辑是「平行四边形+特殊条件」，或直接判定，共3条路径： 1.定义法：先证明四边形是平行四边形，再证明其中一个内角是直角。这是最稳妥、最不容易出错的方法。 2.对角线判定法：先证明四边形是平行四边形，再证明它的两条对角线长度相等。 3.直接判定法：无需先证平行四边形，直接证明四边形中有三个内角是直角。因为四边形内角和为360°，三个直角可推出第四个角也是直角，同时能得到两组对边分别平行。 易错提醒：单独的“对角线相等的四边形”不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，必须先证平行四边形，再证对角线相等。 3、 菱形的3种核心证明方法 菱形的证明逻辑和矩形类似，也是「平行四边形+特殊条件」，或直接判定，共3条路径： 1.定义法：先证明四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边长度相等。 2.对角线判定法：先证明四边形是平行四边形，再证明它的两条对角线互相垂直。 3.直接判定法：无需先证平行四边形，直接证明四边形的四条边长度都相等。 易错提醒：单独的“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，比如普通的垂美四边形对角线也垂直，必须先证平行四边形，再证对角线垂直。 4、 正方形的4种核心证明方法 正方形是矩形和菱形的结合体，证明时必须同时满足矩形和菱形的特征，共4条常用路径： 1.矩形+邻边相等：先证明四边形是矩形，再证明它有一组邻边长度相等。 2.矩形+对角线垂直：先证明四边形是矩形，再证明它的两条对角线互相垂直。 3.菱形+一个直角：先证明四边形是菱形，再证明它有一个内角是直角。 4.菱形+对角线相等：先证明四边形是菱形，再证明它的两条对角线长度相等。 易错提醒：“对角线相等且互相垂直的四边形”不一定是正方形，必须先证平行四边形，再同时证明对角线相等且垂直，才能判定为正方形。 5、 通用证明逻辑链（万能解题模板） 1.先明确目标：确定你要证明的是哪一种特殊四边形。 2.再选最优路径：结合题目给的已知条件，选择最便捷的判定方法，优先用定义法，逻辑最严谨。 3.搭好推导桥梁：用全等三角形、平行线性质、勾股定理等工具，一步步证明判定所需的所有条件，不要跳步。 4.按层级下结论：比如证明正方形，要先写清“证平行四边形→证矩形/菱形→证正方形”，层级清晰，避免逻辑混乱。 考点一：平行四边形的判定与计算 1．（2026·北京门头沟·二模）如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，由等边对等角得到，进而得到，根据30度角的性质求出，进而根据三角函数计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， ， 在中，， ， 在中，， ． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出，确定点的位置，再连接、即可． （2）先利用平行四边形的性质得到，，进而推出；再结合（1）中所作的，通过证明，得到、；接着利用邻补角的性质推出，从而证明；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：在平行四边形中，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 4．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 5．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点二：矩形的判定与计算 1．（2026·广东中山·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交OD于点F，连接OE、CE． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，可得，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质得出，根据矩形的性质得出，，，求得，根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为矩形，， ∴，，， 故； 又∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故． 2．（2026·北京密云·二模）如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据，，判定四边形是平行四边形，再结合， 得到一个内角为直角，根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得证． （2）利用平分和四边形是矩形，结合求出 的长度，即的长度，由平分和 推出，设，利用勾股定理在中建立方程，求解得到的长度． 【详解】（1）证明：由题意易得，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， ， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 3．（2026·云南保山·二模）如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形； （2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形是平行四边形，                     ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：， ， ， ，                     ， ， ∵四边形是矩形， ， ∴在中，根据勾股定理得，， ，                         ， ， ． 4．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 考点三：菱的判定与计算 1．（2026·上海青浦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设，由求出，再由证明即可． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴设 ∴ ∵ ∴（舍负）， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点是边的中点． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据条件先证明四边形是平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点作于点，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ，，且， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：设， ∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可得四边形为平行四边形，进而根据邻边相等可证明； （2）根据直角三角形斜边上中线的性质，三角形的内角和，平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， F，G分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴， ∵F为边的中点， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴． 考点四：正方形的判定与计算 1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 4．（2026·河南安阳·一模）如图，在中，，． (1)用无刻度直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)补全图形：延长交于点，连接，．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆即可； （2）先证明四边形是矩形．再由即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）是的直径， ． 又， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 5．（2026·河南信阳·一模）如图，矩形中，． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，，交于点，，； (2)点在上，点在上，，连接，，求证：四边形是正方形； (3)若，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图； （2）连接，，证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，然后结合即可证明四边形是正方形； （3）首先利用勾股定理求出，然后解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接，， ∵垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∴点A，B，C都在以为直径的圆上， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据中位线的性质可得，得出，即可得证； （2）依题意得出，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得，根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴ ∵在平行四边形中，，，，分别是各边的中点， ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵矩形的周长是，面积是， ∴ ∴ ∴ ∴，即菱形的边长为 6．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【详解】（1）证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可； （2）根据菱形的性质及直角三角形的斜边中线的性质求出，再在中，解直角三角形求得，最后根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在中，， ∴． 8．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 9．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合一个角是直角，即可判定矩形； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例，求出，则，再结合矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又， ． ∴四边形是矩形． （2）解：在矩形中，， ． ， ． ， 又， ． ， ，， ， ， ， ∴在矩形中，． 10．（2026·北京丰台·一模）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 11．（2026·湖南株洲·一模）如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）先根据作图得到两组对边分别相等，判定四边形为平行四边形，再结合，即可证明其为矩形； （2）先用勾股定理求出的长度，再通过平行线性质和直角证明，利用相似三角形对应边成比例建立与的函数关系，最后根据点在线段上确定的取值范围即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵点为线段上一动点， ∴的取值范围是． 12．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 14．（2026·宁夏银川·一模）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）证，得，再由，，根据等腰三角形三线合一的性质得，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，求出，再由勾股定理求出，则，然后由锐角三角函数定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，，、分别是边、的中点，连结并延长到点，使，连结、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)连结．若，，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合三角形中线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推得，，再由垂直平分线的性质可得，四边形是菱形即可得证； （2）结合菱形性质可知，，再由中位线性质推得、由解直角三角形的计算推出，最后根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）证：、分别是边、的中点，， ，， ，， 即， ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 则， ， 中，． 16．（2026·湖北武汉·一模）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考三轮高频考点冲刺训练--特殊四边形的证明与计算 一、平行四边形的4种核心证明方法 平行四边形是所有特殊四边形的基础，证明时要紧扣「对边、对角、对角线」三类关系，共5条合法路径： 1.两组对边分别平行。即证明四边形的两组对边，每一组都互相平行，这是最基础的定义法。 2.两组对边分别相等。即证明四边形的两组对边，每一组的长度都相等，可通过全等三角形推导边的等量关系。 3.一组对边平行且相等。这是中考最常用的判定，必须同时证明这一组对边既平行、又长度相等，缺一不可。 4.对角线互相平分。即证明四边形的两条对角线，交点是它们各自的中点，两条对角线都被交点平分。 易错提醒：等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但不是平行四边形，所以单独的“一组对边平行”或“一组对边相等”都不能判定平行四边形。 2、 矩形的3种核心证明方法 矩形的证明逻辑是「平行四边形+特殊条件」，或直接判定，共3条路径： 1.定义法：先证明四边形是平行四边形，再证明其中一个内角是直角。这是最稳妥、最不容易出错的方法。 2.对角线判定法：先证明四边形是平行四边形，再证明它的两条对角线长度相等。 3.直接判定法：无需先证平行四边形，直接证明四边形中有三个内角是直角。因为四边形内角和为360°，三个直角可推出第四个角也是直角，同时能得到两组对边分别平行。 易错提醒：单独的“对角线相等的四边形”不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，必须先证平行四边形，再证对角线相等。 3、 菱形的3种核心证明方法 菱形的证明逻辑和矩形类似，也是「平行四边形+特殊条件」，或直接判定，共3条路径： 1.定义法：先证明四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边长度相等。 2.对角线判定法：先证明四边形是平行四边形，再证明它的两条对角线互相垂直。 3.直接判定法：无需先证平行四边形，直接证明四边形的四条边长度都相等。 易错提醒：单独的“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，比如普通的垂美四边形对角线也垂直，必须先证平行四边形，再证对角线垂直。 4、 正方形的4种核心证明方法 正方形是矩形和菱形的结合体，证明时必须同时满足矩形和菱形的特征，共4条常用路径： 1.矩形+邻边相等：先证明四边形是矩形，再证明它有一组邻边长度相等。 2.矩形+对角线垂直：先证明四边形是矩形，再证明它的两条对角线互相垂直。 3.菱形+一个直角：先证明四边形是菱形，再证明它有一个内角是直角。 4.菱形+对角线相等：先证明四边形是菱形，再证明它的两条对角线长度相等。 易错提醒：“对角线相等且互相垂直的四边形”不一定是正方形，必须先证平行四边形，再同时证明对角线相等且垂直，才能判定为正方形。 5、 通用证明逻辑链（万能解题模板） 1.先明确目标：确定你要证明的是哪一种特殊四边形。 2.再选最优路径：结合题目给的已知条件，选择最便捷的判定方法，优先用定义法，逻辑最严谨。 3.搭好推导桥梁：用全等三角形、平行线性质、勾股定理等工具，一步步证明判定所需的所有条件，不要跳步。 4.按层级下结论：比如证明正方形，要先写清“证平行四边形→证矩形/菱形→证正方形”，层级清晰，避免逻辑混乱。 考点一：平行四边形的判定与计算 1．（2026·北京门头沟·二模）如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 3．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 4．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 5．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 考点二：矩形的判定与计算 1．（2026·广东中山·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交OD于点F，连接OE、CE． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知，，求的长． 2．（2026·北京密云·二模）如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 3．（2026·云南保山·二模）如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 4．（2026·云南·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 5．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 考点三：菱的判定与计算 1．（2026·上海青浦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的度数． 考点四：正方形的判定与计算 1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 2．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 4．（2026·河南安阳·一模）如图，在中，，． (1)用无刻度直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）． (2)补全图形：延长交于点，连接，．求证：四边形是正方形． 5．（2026·河南信阳·一模）如图，矩形中，． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，，交于点，，； (2)点在上，点在上，，连接，，求证：四边形是正方形； (3)若，，直接写出四边形的周长． 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 5．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 6．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 8．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 9．（2026·云南昭通·一模）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 10．（2026·北京丰台·一模）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 11．（2026·湖南株洲·一模）如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 12．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 13．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 14．（2026·宁夏银川·一模）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 15．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，，、分别是边、的中点，连结并延长到点，使，连结、、． (1)求证：四边形是菱形． (2)连结．若，，则的长为______． 16．（2026·湖北武汉·一模）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 17．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $