广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.己知向量a=(2,-1,3),b=（-4,2,x),且dL6,则x=() A. C.4 D.6 2已知直线的倾斜角为子且过点(1,3)则它在前上的截距为（) A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.圆C1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的位置关系为(). A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 4.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试.己知某次跳绳测试中，某班学 生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为 (结果精确到整数)() 频数（人数） 18-------- 15 12 9 080100120140160180跳绳次数 A.127 B.136 C.133 D.138 5.若2 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（) m+2 m A.(-∞，-1) B.（-2,-1) C.(-2,0) D.(-1,0) 6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C: + ,=1的周长为() 3 A.12 B.14 C.16 D.20 第1页 共5页 7.已知点F,F分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PFF2的内切圆的圆心为I(m,1) ,则椭圆C的标准方程是() A. x2 y2 x2,y2 24+27 =1B 81c2在gD D. 64+2=1 8.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2,3,4，··，2024共2023个正 整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后 甲再擦去一个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜：否则（如2和 4),判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() 1011 1012 1013 1014 A. B. C. D. 2023 2023 2023 2023 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A(c1,y1) ,B(c2,y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（) A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) B.x1x2=4 C.若x1+x2=5,则AB=7 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 10.下列命题中为真命题的是() A.若d,d都是直线的方向向量，则必有d=d B.O为空间任意-点，若正-01+名O店+0心，且4以C,P四点共插，则t号 C若武，后为不共线的非梦向量。云=编-动.6=-可+0式则a8 D.若向量e,e2,e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e+k2e2+3e=0,则 k1=2=k3=0 11.己知圆C:(x-1)2+（y-3)2=4,点P为直线：x+y=0上一动点，过点P向圆C引两条切线 PA,PB,切点分别为A,B,则下列说法正确的是() A.若Q为圆C上任意一点，则PQ的最小值为2√2-2 B.四边形PACB的面积的最小值为4 C.当点P在原点处时，直线AB的方程为x+3y-4=0 D.直线AB过定点(0,2) 第2页 共5页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.动点A在圆C:x2十y-6x-8y+21=0上运动，则点A到x轴的最近距离是 B有片，及是双清线号兰=1a>06>0治在右点，过月的直与及电结的左右阿支分精花 于A,B两点若△ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为 14.“曼哈顿距离(Manhattan Dis tan ce)”是由l9世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在 空间（或平面）直角坐标系中的绝对轴距”总和例如：在空间直角坐标系中，点A(x1,1,1), B(2,2,2)之间的曼哈顿距离为d(A,B)=x2-c1+y2-y1+2一21现己知在空间直角坐 标系中，点O为坐标原点，动点P满足d(O,P)=1,则动点P围成的几何体的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知圆C:x2+2-6ay-16=0,若圆C上存在两点关于直线m:2x-5y+15=0对称. (1)求a的值 (2)过点A(3,10)的直线l与圆C交于P,Q两点，且PQ=8,求直线的方程. 16.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）根据两队比赛 的历史数据分析。甲、乙两队在第一局比赛中取鞋的概率均为行但受心理等因素的影响。前一局比 赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一 局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加 0,反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概 1 1 1 率降低0若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为2 (1)求比赛三局结束的概率： (2)求乙3：1取胜，比赛结束的概率 第3页 共5页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC,AB⊥AD,AB=BC=1 ,AD=3,平面PAD⊥平面ABCD,PA=5,PD=2√2. R (1)证明：AD⊥PC. (2)点M在线段PD上，若CM//平面PAB,求PM. (3)求二面角B-PC-D的正弦值. 18.如图1，过球O上不在同一大圆上的A,B,C三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧AB,BC与 AC,则这三条劣弧围成的曲面△ABC(阴影部分)称为球面△ABC,这三条劣弧称为球面△ABC 的边.A,B,C三点称为球面△ABC的顶点.设二面角C-OA一B为∠A,二面角C-OB-A为 ∠B,二面角B-OC-A为∠C,则球面△ABC的面积SAABC=(kA+人B+∠C-T)R2,其中 R为球的半径，∠A,《B,《C均用弧度制表示.以球心O为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标 系.已知A(0,0,6),B(m,2√6，-2)，C(2√2，n,-2)三点均在球O的球面上，其中m>0,n<0. 图1 图2 (1)求m,n的值： (2)求点O到平面ABC的距离： (3)求球面△ABC的面积. 第4页 共5页 19.己知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为(0,2√⑤)，离心率为√5记C的上、下顶点分别为A1,A2 ,过点(0,4)的直线与C的上支交于M,N两点 (1)求C的方程： ②直线AM和A,N的率分别记为k和2，求爬+子 名k2的最小值： (3)直线A1M与A2N交于点P,证明：点P在定直线上. 第5页 共5页 2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上期末数学模拟试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.A,B,D 10.C,D 11.A,B,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.√7 14.3 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)a=1 (2)x=3或20x-21y+150=0 16.(1) 21 50 (2） 87 500 17.(1)证明见解答 第1页共11页 (2)PM= 2V2 3 3)V6 6 18.(1)m=2√2，n=-2v6 (2)2 (3)36π 19.(1) x2 416=1 (2)-1 (3)点P在定直线上y=1 数学参考解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.A 【解答过程】 a16台a:6=2×(-④+(-1)×2+3x=0,得x=0 故选：A 2.A 【解答过程】 π 由题意可知直线的斜率k=tan4=1, 所以直线方程为y-3=x-1,即y=x+2, 所以它在y轴上的截距为2， 故选：A. 3.C 【解答过程】 x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心01(1,2)，半径r=1, (x-1)2+(y+2)2=9,圆心为02(1，-2)，R=3, 1O102=√(1-1)2+(2+2)2=4=R+m,故两圆外切. 故选：C 4.D 【解答过程】 该班共有6+8+12+18+6=50人， 因为6+8=14≤25,6+8+12=26>0， 所以中位数在区间[120,140)内，设为x, 第2页共11页 则6+8+140-120 x-120 12=25,解得x= 55 +120≈138. 故选：D 5.B 【解答过程】 因为一2 y m+2 m =1表示焦点在y轴上的椭圆， 所以-m>m+2>0,解得-2<m<-1. 故选：B 6.D 【解答过程】 ·=1去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得 解 x≥0 x≥0 x≤0 【详解】曲线C: y =1等价于 y≥0 或 y≤0 或 y≥0 或 3 +号=1 -+=1 x<0 y≤0 --号=1 x>0 对于{y≥0 表示以(4,0)和(0,3)为顶点线段，其长度为√4+32=5， +影=1 x≥0 对于{y≤0 表示以(4,0)和(0，-3)为顶点线段，其长度为V42+(-3)2=5, 景-=1 x≤0 对于 y≥0 表示以(-4,0)和(0,3)为顶点线段，其长度为√/(-4)2+32=5， -+号=1 x≤0 对于 y≤0 表示以(-4,0)和(0，-3)为顶点线段，其长度为√(-4)2+(-3)2=5， = 所以曲线C: =1的周长为4×5=20. 4 3 故选：D 7.B 【解答过程】 依题金，设然圆C的方程为三+芳-1a>5>叭.南PL.3在CL,符16+9 62 =1, 1 显然△P乃乃的内切圆与直线乃乃相切，则该圆半径为1，而SaPR=号(2a+2c)1=Q+c, 又5m=方2c3=36于是a=28=02-2-0,因 1 1612 a2+ a2 =1,解得 a2=28,b2=21, 第3页共11页 所以椭圆C的标准方程 x2,y2 28+21=1. 故选：B 8.B 【解答过程】 由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2,3,4，…，2024中有1011个奇数，1012个偶数 (1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶 数， 从而所剩两数不互质，故乙胜 (2)若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜 理由如下：设裁判擦去的是2，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： (2,3),(4,5),·,(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),·,(2023,2024). 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互 质，故甲必获胜 甲获胜的概率为1012 2023 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.A,B,D 【解答过程】 对选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4， 所以p=4,F(2,0),故A正确. 对选项B,当直线的斜率不存在时，1：x=2,所以x1x2=2×2=4, 当直线U的斜率存在时，设l:y=k(x-2), 得： {y=k在-2)→k2-(42+8)x+42=0,所以14=4 ∫y=8x 故B正确， 对选项C,AB=x1十x2+p=5+4=9,故C错误. 对选项D,如图所示： 第4页 共11页 A A(x1,y1) M M 0 B(x2,y2) y2=4x 过A,B,M分别向准线作垂线，垂足为A1,B1,M1, 因为AA1=AF,BB1=BF, 所以AB=|AF+|BF=|AA1|+BB=2MM1, 即：以AB为直径的圆与C的准线相切，故D正确. 故选：ABD 10.C,D 【解答过程】 对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选 项A错误； 对于选项B:由题意可得：A正=Op-OA=-0A+0B+t0心， 所0p=0i+5o后+od, 因为A,B,C,P四点共面，所以由共面向量定理的推论可得2十} 4+g+t=1, 即t=g:故选项B错误： 对于选C因为=-=-4（可+）=-6所以á。数越项C正确： 对于选项D:假设存在不全为零的实数1，k2,3,使得k1e+2e+3=0, 不妨设1≠0，则G--经-c含， k1 k1 此时ei,e,e共面，与，e,e⑧不共面矛盾， 所以只有%1=2=3=0时，1e+2e2+ge3=0,故选项D正确 故选：CD 11.A,B,D 【解答过程】 圆C:(z-1)2+(侧-3)2=4的圆心为(1,3)，半径r=2,圆心C到直线的距离为 d=1+3 =2√2. V12+12 对于A,PQlmin=d-r=2V2-2,故A正确： 对于B,四边形PACB的面积 s-x MCIx2-PGAGFx AGI-VIPGF-2- 2/PC2-4,要求四边形PACB的面积的最小值，只需PC最小， 第5页共11页 又PCmin=d=2V2,所以Smin=2√(2V②)2-4=4，故B正确： 对于C,当点P在原点时，PC=V而，PC的中点坐标为22) 13Y 所uC%的方溶为(：一》+(-)=（罗） 即x2-x+y2-3y=0, 与(x一1)2+(y-3)2=4相减，可得直线AB的方程为x+3y-6=0,故C错误： 对于D,因为点P为直线l:x十y=0上一动点，所以可设P(t,-t), PC=√(1-t)2+(3+t)2=√2t2+4t+10,PC的中点坐标为 /1+t3-t 2,2 所以以C为轻的圆的方相为(-号)'+(-3。)° V2t2+4t+10 即x2-(t+1)x+y2+(t-3)y-2t=0,与(x-1)2+(g-3)2=4相减， 可得直线AB的方程为(t-1)x-(t+3)y+6+2t=0,即t(x-y+2)-(x+3y-6)=0, 由C-y十2=0，解得{.x=0,所以直线AB过定点(0,2)，故D正确 (x+3y-6=0," 故选：ABD x+y=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 【解答过程】 由题设C:(x-3)2+(y-4)2=4,故圆心C(3,4)且半径为r=2, 所以动点A到x轴的最近距离是4-T=2. 故答案为：2 13.v7 【解答过程】 根据双曲线的定义，可得BF|-BF|=2a, 因为△ABF2是等边三角形，即BF2|=AB, 所以BF|-|BF3=2a,即B|-|AB|=|A=2a, 又AF2-AF=2a,所以AF2|=AF|+2a=4a, 因为△AFF中，AF=2a,AF2|=4a,∠FA=120o, 所以EB2=AF2+AF2-2AHAF2cos120°， 即4e2=4a2+16a2-2×”2a×4ax(-=28a2,解之得c=Va, 由此可得双曲线的离心率e==V7 第6页共11页 故答案为：√厅 14.4 3 【解答过程】 设P(,y,z),依题意，d(O,P)=x+y+z=1, 当0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1时，设M1(1,0,0),M2(0,1,0),M3(0,0,1) MP=(c-1,9,z)=(-y-z,,z,MM=(-1,1,0),M1M=（-1,0,1), 因此M1P=yM1M2+zM1M3,点P,M1,M2,M3共面， 点P围成的图形是边长为√2的正三角形及内部， 由对称性知，动点P围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为√2的正三角形， ,11 4 所以动点P围成的几何体的体积V=8%-AM肠M=8MOM场=8×3×豆×1X1×1= 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1) a=1 【解答过程】 因为圆C:x2+y2-6ay-16=0可化为x2+(y-3a)2=9a2+16, 所以圆心为C(0,3a),半径为V√9a2+16, 因为圆C上存在两点关于直线m:2x-5y+15=0对称，则直线2x-5y+15=0经过圆心， 将C(0,3a)代入2x-5y+15=0,即2×0-5×3a+15=0,解得a=1. (2) x=3或20x-21y+150=0 【解答过程】 依题意，设圆心C(0,3)到直线距离为d,因为PQ=8,则 d=12 PQ =V√25-42=3 2 当直线斜率不存在时，直线方程1为x=3,符合题意： 当直线l斜率存在时，设直线1方程为y-10=k(x-3),即kx-y-3k+10=0, 所以圆心C到直线的距离d=-3一3张+10=3，解得k=20 V√k2+1 21 第7页共11页 直线U的方程为划=10三2c-3,即20x一21y+150三0 综上所述，直线的方程为x=3或20x-21y+150=0. 16.(1) 21 50 【解答过程】 记“比赛三局结束”为事件A,则甲或乙均连胜3局， 13、 721 所以P(A)=2×2×5×10=50 (2) 87 500 【解答过程】 记“乙3：1取胜，比赛结束”为事件B, 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 111 22,111,13 则乙每局的概率依次为220=55十10 =22+10=5 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， ,11,133111,13 则乙每局的概率依次为22+10=亏'亏-0=2'2+10=5 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则2每的的制率货次为片日+品-多多品一品品。一多 11 所以 17.(1) 证明见解答 【解答过程】 作PE⊥AD,垂足为E,连接CE. 在△PAD中，cos∠PDA=PD+AD-PA-V 2PD·AD sin∠PDA=Y2 2 2 PE=PD-n∠PDA=2:号=2，AE=VPAe-PE=1. 2 所以AE=BC,四边形ABCE是正方形， 所以CE⊥AD. 因为CE∩PE=E,所以AD⊥平面PCE 因为PCC平面PCE,所以AD⊥PC (2) PM=2V3 3 【解答过程】 第8页 共11页 因为四边形ABCE是正方形，所以AB‖CE 因为ABC平面PAB,所以CE/平面PAB. 若CM/平面PAB,因为CE∩CM=C,所以平面CEM/平面PAB. 因为平面PADn平面CEM=EM,平面PADn平面PAB=PA,所以EM‖PA, 器-5-号周为P-MD-2V区.所以PN=3y2 3 (3) V6 6 【解答过程】 以E为坐标原点，EC,ED,EP所在直线分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则PC=(1,0,-2),BC=(0,1,0), CD=（-1,2,0) 设平面PBC的法向量为元=(c1,1,a), mPC 21-2z=0, 则 取元=(2,0,1). 元.BC=班=0， 设平面PCD的法向量为元=(c2,2,2), 则 元.Pd=x2-2z2=0, 取元=(2,1,1) 元.CD=-x2+2=0, 2×2+1 C0s7,元= -V30 V22+1×V22+1+1 6, .sinm,元= = 6 即二面角B-PC-D的正弦值为Y6 ZA D 18.(1) m=2v2,n=-2√6 【解答过程】 根据OA=OB=OC,可得36=m2+24+4=8+n2+4, 解得m=士2v2,n=士2V√6，因为m>0,n>0,所以m=2v2,n=-2√， (2) 第9页共11页 2 【解答过程】 由(1)得B(2v2,2√6，-2)，C(2√2，-2√6，-2)，AB=(2V2,2V6,-8),AC(2V2,-2V6,-8), 设平面ABC的一个法向量为6=(x0,0,z0), .AB=2V2x0+2V6y0-8=0 则 令0=2V2,y0=0,z0=1, .AC=2V2x0-2V60-8=0 所以平面ABC的一个法向量为6=(2v2,0,1), .0A6 所以点O到平面ABC的距离为 V8+1 =2 61 (3) 36π 【解答过程】 依题意0A=(0,0,6),0B=(2V2,2V6,-2),0C=(2V2,-2V6,-2), 设平面OAB,平面OBC,平面OAC的法向量为 =(1,1,z),=(2,2,2),=(3,,23), 则/ .0A=6a1=0 .0B=2√21+2V61-221=0 ,令x1=V3,则y1=-1,=0,则 =(3,-1,0), 则 店-0启=2V2,+2V购-2=0，令2=1，则w=0,=V.则时=(1,0，v② 2.0d=2V22-2V62-22=0 哈.0A=6%=0 则 令x3=V3,则g=1,3=0,则=（√3,1,0）， g.0d=2W2a3-2V6g-2s=0 所以cos∠A=1cos(,1= .g1 远2 |cos4B到=cos(,1= 1.1 .2 =2 cos <Cl=Icos= |.3 1 . 21 结合O,A,B,C四点的位置，可知∠A,∠B,∠C均为钝角， 2尔 所以KA=∠B=人C= 3 校球面△ABC的面积S,=(字+产+会-对×02-3 19.(1) y22 416=1 【解答过程】 设双曲线的标准方程为 第10页 共11页 y 2x2 a2 62 =1(a>0,b>0) e=&=√5 由题意可得 c2=a2+b2,解得a=2,b=4, c=2v5 所以双曲线的标准方程为买 416 =1; (2) -1 【解答过程】 双曲线的上下顶点为A1(0,2),A2(0,-2),设直线MN的方程为y=kx+4, M(x1,1),N(x2,2), y=kc+4 联立 -=1 消去y,可得(4k2-1)z2+32kx+48=0, 2k 48 则x1十x2= 4k2-1 ,1C2= 4k2-1 且4k2-1<0, 所以kx1x2= 2(1+x2), A 所以点=一2 2 k21+2 k2122+222 -(e1+2)+2x2-1 k2 12+2 1 ·kar2+6 kx1x2+61 -2(ac1+c2)+61 3 所以=-动，所以号+起=号-2=伪--1 肾1三1时，片十的最小值为卫 (3) 点P在定直线上y=1 【解答过程】 直线A1M的方程为y=k1x+2,直线A2N的方程为y=k2x-2, 联中名州-虎专解物- (y=2x-2 即点P在定直线上y=1. 第11页 共11页