广东省中山市第一中学2023-2024学年高二上学期期末热身数学试题

中山市第一中学2023-2024学年第一学期高二年级数学热身练 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 3．直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 4．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．在长方体中，，，，是的中点，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．在等比数列中， ，其前三项的和，则数列的公比 (　　) A． B． C．或1 D．或1 7．若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知，，，，则下列说法正确的是（    ） A．点关于平面对称 B．点关于轴对称 C．三点构成直角三角形 D．三点构成钝角三角形 10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为2 11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1），例如，．下列说法正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C．数列为等比数列 D．数列的前n项和为，则 12．在正三棱柱中，已知，空间点满足，则（    ） A．当时，为正方形对角线交点 B．当时，在平面内 C．当时，三棱锥的体积为 D．当，且时，有且仅有一个点，使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知，，其中，若，则的值为 ． 14．数列的通项公式为，，其前项和为，则的最大值为 ． 15．已知点，，若圆上存在点Р满足，则实数a的取值范围是 ． 16．设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，记的外接圆和内切圆半径分别是R，r，则的值为 ． 四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（满分10分）已知圆C经过点和且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值． 18．（满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点． （1）证明：平面ABP； （2）若，求点P到平面BCE的距离． 19．（满分12分）已知数列的前n项和，且，其中． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和． 20．（满分12分）马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上． (1)当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直； (2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置． 21．（满分12分）在平面直角坐标系中，若动点到点的距离比它到轴的距离大1的轨迹为曲线H．设直线过点且与曲线H交于两点，且． （1）求曲线H的方程； （2）若点是直线上任意一点，设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为，求证：． 22．（满分12分）对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中． (1)已知数列的通项公式为，数列的前n项和为． ①求； ②记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，求实数的值． (2)北宋数学家沈括对于上底有ab个，下底有cd个，共有n层的堆积物（堆积方式如图），提出可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”．试证明上述求和公式． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 中山市第一中学2023-2024学年第一学期高二年级数学热身练 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．A 9.ABD 10．AB 11．ACD 12． ACD 13．/ 14． 15． 16． 8．A【详解】如图所示：延长与交于， 因为， 设， 则， ， 11．ACD 【详解】对A，与11互质的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正确； 对B，当时，与8互质的正整数有1,3,5,7， 故，则数列不是递增数列，故B错误； 对C，时，一定是2的倍数， 则与互素的数为：1,3,5,7,9,11 ,，即正奇数， 故，，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确， 对D，，则① ② ①②得 ， 则，而，故，故D正确.故选：ACD. 12．【答案】ACD 【详解】对于A，，∴ ∴为正方形对角线交点，故A对； 对于B，，时，，平面，故B错. 对于C，时，，∴ ∴平面，，，故C对. 对于D，如图建系，，，，，，， ，，则，点为正方形对角线交点，点唯一，故D对.故选：ACD. 16．【详解】将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则.由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然是方程的两个解，所以， 所以的面积. 又，所以. 所以，.故答案为：. 17．【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离. 所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为. 18．【小问1详解】设为的中点，连接,， 是的中点，， ,且， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面,平面. 【小问2详解】由于侧棱平面，面， ，，则以点为坐标原点,以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系, ，，，，，， ，，，设平面的法向量, 则有，即，令,则， 点到平面的距离. 19．【详解】（1）证明：对于，当时，， 当时，由得，两式相减得，由于， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）当为奇数时，；，所以. 当为偶数时，； 所以. 所以. 20．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则， 易知底面圆，而底面圆，所以， 又在中，，所以， 因为是正三角形，所以， 且，，所以，， 同理可证，又，平面，所以平面， 即拉绳所在直线和平面垂直； （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系， 设， 所以 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线和平面所成的角为， 则 ， 当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处. 21【详解】（1）解：动点到点的距离比它到轴的距离大1等价于动点到点的距离与它到的距离相等。 由抛物线的定义可知：曲线H的方程为 （2）证明：由题可知直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立得，恒成立， 如图，由（1）可得，，所以，且，， 又设，则，     所以 又，所以. 22．【详解】（1）①由题意，， 所以， ，即 . ②由题意知，， 所 ，即，所以； （2）证明：设数列的通项公式为， 则由题意知，需证明的公式中，S即为数列的前n项和，即为数列的第n项， 且，．又 ， 且， 由（1）知 ， 所以， ， 所以 ， 又，， 则 ，所以 成立. 中山市第一中学2023-2024学年第一学期高二年级数学热身练 参考答案 1． 【答案】B 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是，故选：B. 2．B 【详解】，因为向量夹角范围为， 故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，故选：B. 3．A 【详解】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率，因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直，故选：A. 4．D【详解】由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为.故选：D. 5．C【详解】（1）由题意得，，，． 则，， 设与所成的角为，则， 所以， 所以与所成的角的余弦值为． 6．C 【详解】∵在等比数列中，，其前三项的和， ∴，解得，或．∴的公比等于或1．故选：C． 7．C 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，，故选：C. 8．A【详解】如图所示：延长与交于， 因为， 设， 则， ， 9.【答案】ABD 【详解】A选项，与的横坐标和纵坐标相同，竖坐标互为相反数， 故点关于平面对称，A正确； B选项，与的横坐标相同，纵坐标和竖坐标互为相反数， 故点关于轴对称，B正确； C选项， ，故C错误；D正确. 故选：ABD. 10．AB 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.故选：AB 11．ACD 【详解】对A，与11互质的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正确； 对B，当时，与8互质的正整数有1,3,5,7， 故，则数列不是递增数列，故B错误； 对C，时，一定是2的倍数， 则与互素的数为：1,3,5,7,9,11 ,，即正奇数， 故，，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确， 对D，，则① ② ①②得 ， 则，而，故，故D正确.故选：ACD. 12．【答案】ACD 【详解】对于A，，∴ ∴为正方形对角线交点，故A对； 对于B，，时，，平面，故B错. 对于C，时，，∴ ∴平面，，，故C对. 对于D，如图建系，，，，，，， ，，则，点为正方形对角线交点，点唯一，故D对.故选：ACD. 13．/ 【详解】由已知可得，，.因为，所以，解得，， 所以，.故答案为：. 14． 【详解】【详解】由可知数列为等差数列，，所以使最大值为20 15． 【详解】由已知可得，圆可化为， 圆心为，半径.因为，所以， 所以点在以为直径的圆上.圆心为的中点，半径. 由题意可得，圆与圆有公共点P，则应满足， 即有，所以实数a的取值范围是.故答案为：. 16． 【详解】将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则.由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然是方程的两个解，所以， 所以的面积. 又，所以. 所以，.故答案为：. 17．【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离. 所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为. 18．【小问1详解】设为的中点，连接,， 是的中点，， ,且， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面,平面. 【小问2详解】由于侧棱平面，面， ，，则以点为坐标原点,以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系, ，， ，，，， ，，， 设平面的法向量, 则有，即，令,则， 点到平面的距离. 19．【详解】（1）证明：对于，当时，， 当时，由得，两式相减得，由于， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）当为奇数时，；，所以. 当为偶数时，； 所以. 所以. 20．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则， 易知底面圆，而底面圆，所以， 又在中，，所以， 因为是正三角形，所以， 且，，所以，， 同理可证，又，平面，所以平面， 即拉绳所在直线和平面垂直； （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系， 设， 所以 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线和平面所成的角为， 则 ， 当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处. 2121【详解】（1）由已知得，，，解得，可得， 则的方程为 （2）①设，则过点的切线方程为：，联立椭圆方程得到，， 因为直线与椭圆相切，得， 化简得，，所以，，又因为，故，过点P作的两条切线分别交圆O于点A，B，故必有； ②由①得，必过圆心，过作，必有，设三角形的面积为，，设，，圆的半径为，，， 设，当且仅当，即时，取最大值， 面积的最大值为. 22．【详解】（1）①由题意，， 所以， ，即 . ②由题意知，， 所 ，即，所以； （2）证明：设数列的通项公式为， 则由题意知，需证明的公式中，S即为数列的前n项和，即为数列的第n项， 且，．又 ， 且， 由（1）知 ， 所以， ， 所以 ， 又，， 则 ，所以 成立. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市第一中学2023-2024学年第一学期高二年级数学热身练参考答案 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．A 9.ABD 10．AB 11．ACD 12． ACD 13．/ 14． 15． 16． 8．A【详解】如图所示：延长与交于，因为， 设，则，， 11．ACD【详解】对A，与11互质的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正确； 对B，当时，与8互质的正整数有1,3,5,7，故，则数列不是递增数列，故B错误； 对C，时，一定是2的倍数，则与互素的数为：1,3,5,7,9,11 ,，即正奇数， 故，，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确， 对D，，则① ② ①②得， 则，而，故，故D正确.故选：ACD. 12．【答案】ACD【详解】对于A，，∴ ∴为正方形对角线交点，故A对； 对于B，，时，，平面，故B错. 对于C，时，，∴ ∴平面，，，故C对. 对于D，如图建系，，，，，，， ，，则，点为正方形对角线交点，点唯一，故D对.故选：ACD. 16．【详解】将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，.所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则.由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然是方程的两个解，所以， 所以的面积. 又，所以.所以，. 17．【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离.所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为. 18．【小问1详解】设为的中点，连接,， 是的中点，，,且，，四边形是平行四边形，，又平面平面,平面. 【小问2详解】由于侧棱平面，面， ，，则以点为坐标原点,以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,，，，，，，，，，设平面的法向量,则有，即，令,则，点到平面的距离. 19．【详解】（1）证明：对于，当时，， 当时，由得，两式相减得，由于， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）当为奇数时，；，所以. 当为偶数时，； 所以.所以. 20．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则， 易知底面圆，而底面圆，所以，又在中，，所以， 因为是正三角形，所以， 且，，所以，，同理可证，又，平面，所以平面，即拉绳所在直线和平面垂直； （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设， 所以 设平面的法向量为，则， 令，则，故，设直线和平面所成的角为， 则，当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处. 21【详解】（1）解：动点到点的距离比它到轴的距离大1等价于动点到点的距离与它到的距离相等。由抛物线的定义可知：曲线H的方程为 （2）证明：由题可知直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立得，恒成立， 如图，由（1）可得，，所以，且，，又设，则，     所以 。又，所以. 22．【详解】（1）①由题意，， 所以， ，即 . ②由题意知，， 所 ，即，所以； （2）证明：设数列的通项公式为， 则由题意知，需证明的公式中，S即为数列的前n项和，即为数列的第n项， 且，．又 ，且， 由（1）知 ， 所以， ， 所以 ， 又，， 则 ，所以 成立. 中山市第一中学2023-2024学年第一学期高二年级数学热身练 参考答案 1． 【答案】B 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是，故选：B. 2．B 【详解】，因为向量夹角范围为， 故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，故选：B. 3．A 【详解】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率，因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直，故选：A. 4．D【详解】由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为.故选：D. 5．C【详解】（1）由题意得，，，． 则，， 设与所成的角为，则， 所以， 所以与所成的角的余弦值为． 6．C 【详解】∵在等比数列中，，其前三项的和， ∴，解得，或．∴的公比等于或1．故选：C． 7．C 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，，故选：C. 8．A【详解】如图所示：延长与交于， 因为， 设， 则， ， 9.【答案】ABD 【详解】A选项，与的横坐标和纵坐标相同，竖坐标互为相反数， 故点关于平面对称，A正确； B选项，与的横坐标相同，纵坐标和竖坐标互为相反数， 故点关于轴对称，B正确； C选项， ，故C错误；D正确. 故选：ABD. 10．AB 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.故选：AB 11．ACD 【详解】对A，与11互质的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正确； 对B，当时，与8互质的正整数有1,3,5,7， 故，则数列不是递增数列，故B错误； 对C，时，一定是2的倍数， 则与互素的数为：1,3,5,7,9,11 ,，即正奇数， 故，，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确， 对D，，则① ② ①②得 ， 则，而，故，故D正确.故选：ACD. 12．【答案】ACD 【详解】对于A，，∴ ∴为正方形对角线交点，故A对； 对于B，，时，，平面，故B错. 对于C，时，，∴ ∴平面，，，故C对. 对于D，如图建系，，，，，，， ，，则，点为正方形对角线交点，点唯一，故D对.故选：ACD. 13．/ 【详解】由已知可得，，.因为，所以，解得，， 所以，.故答案为：. 14． 【详解】【详解】由可知数列为等差数列，，所以使最大值为20 15． 【详解】由已知可得，圆可化为， 圆心为，半径.因为，所以， 所以点在以为直径的圆上.圆心为的中点，半径. 由题意可得，圆与圆有公共点P，则应满足， 即有，所以实数a的取值范围是.故答案为：. 16． 【详解】将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则.由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然是方程的两个解，所以， 所以的面积. 又，所以. 所以，.故答案为：. 17．【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离. 所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为. 18．【小问1详解】设为的中点，连接,， 是的中点，， ,且， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面,平面. 【小问2详解】由于侧棱平面，面， ，，则以点为坐标原点,以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系, ，， ，，，， ，，， 设平面的法向量, 则有，即，令,则， 点到平面的距离. 19．【详解】（1）证明：对于，当时，， 当时，由得，两式相减得，由于， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以. （2）当为奇数时，；，所以. 当为偶数时，； 所以. 所以. 20．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则， 易知底面圆，而底面圆，所以， 又在中，，所以， 因为是正三角形，所以， 且，，所以，， 同理可证，又，平面，所以平面， 即拉绳所在直线和平面垂直； （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系， 设， 所以 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线和平面所成的角为， 则 ， 当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处. 21【详解】（1）解：动点到点的距离比它到轴的距离大1等价于动点到点的距离与它到的距离相等。由抛物线的定义可知：曲线H的方程为 （2）证明：由题可知直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立得，恒成立， 如图，由（1）可得，，所以，且，，又设，则，     所以 。又，所以. 22．【详解】（1）①由题意，， 所以， ，即 . ②由题意知，， 所 ，即，所以； （2）证明：设数列的通项公式为， 则由题意知，需证明的公式中，S即为数列的前n项和，即为数列的第n项， 且，．又 ， 且， 由（1）知 ， 所以， ， 所以 ， 又，， 则 ，所以 成立. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$