21.6 菱形 分层练习 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础应用、综合推理、拓展探究三层设计，实现从单一知识点到跨情境综合应用的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（角度、线段、面积）|选择填空为主，直接应用性质求解，如角度计算、线段长度基础题| |提升层|性质综合应用|解答题形式，结合全等、中位线等，如性质证明、多步计算问题| |拓展层|判定与性质综合|跨知识情境题，如坐标系中菱形存在性、动态几何问题，需判定与性质结合推理|

冀教版（2024）八年级下册 21.6 菱形 分层练习 利用菱形的性质求角度 1、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A.114° B.120° C.123° D.147° 2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF平分∠BAC交BD于点E，且点E为线段AF的中点，连接FC并延长至点G，使得CF＝CG，连接AG，若∠BAC＝2α．则∠G＝（　　） A.60° B.30°+α C.90°﹣α D.2a 3、如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为（　　） A.110° B.120° C.130° D.140° 4、如图，在菱形ABCD中，∠A＝70°，以点D为圆心，DC长为半径作弧，交菱形的一边于点E（异于点A，C），则∠DEC的度数是                   ． 5、“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝80°，E是线段AO上一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是           ． 6、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF． （1）求证：AE＝AF； （2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数． 7、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 利用菱形的性质求线段长 1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 2、如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（　　） A.1 B. C.0 D. 4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，连接CF，CF交BE于点G，则GF的长为     ． 5、如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 利用菱形的性质求点的坐标 1、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的边AO在y轴上．若点C的坐标为（﹣12，﹣5），则点A的坐标为（　　） A.（0，12） B.（13，0） C.（0，13） D.（0，15） 2、如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D.（﹣2，﹣2） 3、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　） A. B. C. D. 4、在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是     ． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点，AB⊥y轴于点B．以AB为边作菱形ABCD，若点C在x轴上，则点D的坐标为                           ． 6、在如图所示的直角坐标系中，菱形ABCD的边长是2，E（0，2）为BC的中点．y轴垂直平分BC，垂足为点E．请分别求出点A，B，C，D的坐标． 7、如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，求旋转后点C的对应点的坐标． 利用菱形的性质求面积 1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　） A.6 B. C. D.12 2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG＝2.5，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A.48 B.36 C.24 D.18 3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为         ． 4、如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为     ． 5、如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积． 6、如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 利用菱形的性质证明 1、在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A.AC⊥BD B.OB＝OD C.AB∥DC D.AC＝BD 2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　） ①AP＝CQ； ②∠AEC的度数不变； ③∠APD+∠CQD＝180°； A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，添加以下条件仍不能判定△ADE≌△CDF的是（　　） A.∠ADE＝∠CDF B.∠AED＝∠CFD C.DE＝DF D.BE＝BF 4、如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，EF与AC相交于点G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF是等边三角形；③∠AGE＝∠AFC．其中结论正确的有       个． 5、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，DF＝BE，连接AF、CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB； （2）点H、G分别是AF、CE上的点，若AH＝CG，∠AEH+∠AFD＝90°，试判断四边形HEGF是什么图形，并证明你的结论． 6、如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F分别是边BC，CD上一点，连接AE，EF． （1）如图1，当∠AEF＝60°时，求证AE＝EF； （2）如图2，当AE＝EF时，求证：∠AEF＝60°． 添一个条件使四边形是菱形 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．添加下列条件中不能使四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.∠ADB＝∠CBD B.AD∥BC C.OB＝OD D.OA＝OB 2、如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD 3、如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A.AB＝AC B.AE＝CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 4、如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是                             ．（写出一个即可） 5、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，要使四边形ABCD为菱形可添加一个条件为                             （只写出一个即可）． 6、如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使四边形BFDE为菱形．（不需要说明理由） 7、如图，将▱BEDF的对角线EF向两个方向延长，分别至点A和点C，且使EA＝FC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）请你添加一个条件，使四边形ABCD为菱形．（不需要说明理由） 证明四边形是菱形 1、如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 3、如图，下列条件中不能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ADB＝∠CDB D.AD∥BC 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的形状是        ． 5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有         ．（只填写序号） 6、如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在线段AB，CD上，且BE＝DF，连接BD，EF交于点O． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）连接BF，DE（如图2），若BF＝DF，求证：四边形BFDE是菱形． 7、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．点E，点F在AC上，AF＝CE． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若AC平分∠BAD，求证：四边形EBFD是菱形． 综合应用菱形的判定和性质求解 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A. B. C.40 D.24 2、如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　） A.10 B.12 C.18 D.24 3、如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为       ． 5、如图，在△ACE和△DBF中，点A、B、C、D在同一直线上，点E和点F分别在直线AD的两侧，连接EB、FC、EF，EF交AD于点O，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD，∠FBC＝∠FCB． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）点M是AE的中点，连接OM，若∠FCB＝50°，∠CFD＝15°，求∠MOA的度数． 6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB． （1）求证：四边形ABOE是菱形； （2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长． 综合应用菱形的判定和性质证明 1、下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 2、下列关于菱形的说法，错误的是（　　） A.菱形的邻边相等 B.菱形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 3、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 4、如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB和AD上，且BE＝DF．点G，H分别在CD和BC上，且EG∥AD，FH∥AB，EG与FH交于点M．求证：四边形AEMF为菱形． 冀教版（2024）八年级下册 21.6 菱形 分层练习（参考答案） 1利用菱形的性质求角度 1、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A.114° B.120° C.123° D.147° 【答案】C 【解析】∵在菱形ABCD中，∠ABC＝66°， ∴，∠AOD＝90°，O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠DOE＝∠DBC＝33°， ∴∠AOE＝90°+33°＝123°， 故选：C． 2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF平分∠BAC交BD于点E，且点E为线段AF的中点，连接FC并延长至点G，使得CF＝CG，连接AG，若∠BAC＝2α．则∠G＝（　　） A.60° B.30°+α C.90°﹣α D.2a 【答案】C 【解析】∵AF 平分∠BAC，∠BAC＝2α， ∴ ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， 又∵点E为线段AF的中点， ∴OE∥CF，AC⊥BD ∴AC⊥FG， 又∵CF＝CG， ∴AF＝AG ∴∠G＝∠F＝90°﹣∠FAC＝90°﹣α 故选：C． 3、如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为（　　） A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠1＝25°， ∴∠BAD＝2∠1＝50°，AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝130°， 故选：C． 4、如图，在菱形ABCD中，∠A＝70°，以点D为圆心，DC长为半径作弧，交菱形的一边于点E（异于点A，C），则∠DEC的度数是                   ． 【答案】70°或55°． 【解析】如图，DE1＝DE2＝DA＝DC， 当点E在AB上时，连接CE1，则∠A＝∠DE1A＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DE1A＝40°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝110°， ∴∠CDE1＝110°﹣40°＝70°， ∴； 当点E在BC上时，∠DE2C＝∠DCB＝70°， 综上所述，∠DEC的度数是70°或55°， 故答案为：70°或55°． 5、“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝80°，E是线段AO上一点，且BC＝CE，则∠OBE的度数是           ． 【答案】25°． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABO＝∠CBO＝40°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°＝∠ACB， ∵BC＝CE， ∴， ∴∠OBE＝65°﹣40°＝25°， 故答案为：25°． 6、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF． （1）求证：AE＝AF； （2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE与△ADF中， ∵． ∴△ABE≌△ADF（AAS）． ∴AE＝AF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B+∠BAD＝180°． 而∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°． 又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAE＝30°． 由（1）知△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°． ∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴∠AEF＝60°． 7、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝45°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝45°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°﹣α＝45°+α， ∴α＝30°， ∴∠BAP＝α＝30°． 2利用菱形的性质求线段长 1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，OB＝4， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝8，AC⊥BD， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝2×3＝6， ∴OA＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD＝×6×8＝24， ∴5CE＝24， ∴CE＝， 故选：C． 2、如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△COD是直角三角形， ∵点E是CD的中点， ∴CD＝2OE＝6， 故选：D． 3、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（　　） A.1 B. C.0 D. 【答案】D 【解析】如图，过点C作AE的垂线，垂足为点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2，AC平分∠DAB，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°． ∴∠CAB＝∠DAB＝30°． ∴AC＝2CF． ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBF＝60°， ∴∠BCF＝30°， ∴BF＝BC＝1， ∴CF＝， ∴AC＝2CF＝2， ∴AE＝AC＝2． ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是（3﹣2）． 故选：D． 4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，连接CF，CF交BE于点G，则GF的长为     ． 【答案】． 【解析】如图，取BE的中点H，连接FH， ∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°， ∵F为AE的中点，H为BE的中点， ∴，FH是△ABE的中位线， ∴，AB∥FH， ∴AB∥FH∥CD， ∵BE⊥AB， ∴FH⊥BE，CD⊥BE， ∴∠FHE＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴FH＝CE， 在△FHG和△CEG中， ， ∴△FHG≌△CEG（AAS）， ∴， 在Rt△FHG中，由勾股定理得：， 故答案为：． 5、如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形． （2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB， ∴ED∥BC，∠AEF＝∠G， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠G＝∠AFE， 又∵∠AFE＝∠GFB， ∴∠G＝∠GFB， ∴GB＝FB， ∵AD＝AB，AE＝AF， ∴ED＝BF， ∴GB＝ED， ∴四边形EGBD是平行四边形． （2）解：过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）可得，GE∥BD， ∵∠FGB＝30°，GE∥BD， ∴∠DBC＝30°， ∴∠ABH＝2∠DBC＝60°， ∵GB＝AE＝6， ∴AB＝AD＝12， ∵∠ABH＝90°， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴GH＝12， 在Rt△ABH中，， 在Rt△AGH中，． 3利用菱形的性质求点的坐标 1、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的边AO在y轴上．若点C的坐标为（﹣12，﹣5），则点A的坐标为（　　） A.（0，12） B.（13，0） C.（0，13） D.（0，15） 【答案】C 【解析】如图所示，设BC与x轴交于D， ∵四边形ABCO是菱形， ∴OA＝OC，OA∥BC， ∴BC⊥OD， ∵点C的坐标为（﹣12，﹣5）， ∴OD＝12，CD＝5， ∴， ∴OA＝OC＝13， ∴A（0，13）， 故选：C． 2、如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D.（﹣2，﹣2） 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为（2，﹣2）， 故选：B． 3、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于点D， ∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB＝OA＝2，AB∥OC， ∴∠BAD＝∠COA＝60°， ∴AD＝AB＝， ∴BD＝＝＝3， ∴OD＝AD+OA＝3， ∴B（﹣3，3）， ∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′， ∴B'（﹣3+1，3﹣1）， 即B'（1﹣3，2）， 故选：A． 4、在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是     ． 【答案】． 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝AB＝AD＝2， ∴xC＝2． ∵∠DAB＝120°， ∴∠DAO＝60°， ∴∠ADO＝30°， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点，AB⊥y轴于点B．以AB为边作菱形ABCD，若点C在x轴上，则点D的坐标为                           ． 【答案】（2，0）或（4，0）． 【解析】如图， ∵点，AB⊥y轴于点B， ∴AB＝3，OB＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝3， 分两种情况： ①当点C在x轴负半轴时，OC＝＝＝1， ∴OD＝CD﹣OC＝3﹣1＝2， ∴D（2，0）； ②当点C在x轴正半轴时，OC＝＝＝1， ∴OD＝CD+OC＝3+1＝4， ∴D（4，0）； 综上所述，点D的坐标为（2，0）或（4，0）， 故答案为：（2，0）或（4，0）． 6、在如图所示的直角坐标系中，菱形ABCD的边长是2，E（0，2）为BC的中点．y轴垂直平分BC，垂足为点E．请分别求出点A，B，C，D的坐标． 【答案】解：∵菱形ABCD的边长是2， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵E为BC中点， ∴BE＝EC＝BC＝1， ∵E（0，2）， ∴B（﹣1，2），C（1，2）， ∵y轴垂直平分BC， ∴∠AEB＝90°， ∴BE2+AE2＝AB2， ∴AE＝， ∴OA＝2+， ∴A（0，2+），D（2，2+）． 7、如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，求旋转后点C的对应点的坐标． 【答案】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时， A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵∠BAD＝60°，AD＝4， ∴∠OAD＝30°， ∴OD＝2， ∴AO＝＝＝2＝OC， ∴点C的坐标为（0，﹣2）， 同理：当点C旋转到y轴正半轴时， 点C的坐标为（0，2）， ∴点C的坐标为（0，2）或（0，﹣2）． 4利用菱形的性质求面积 1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　） A.6 B. C. D.12 【答案】C 【解析】如图，连接BD，过点D作DE⊥AB交AB于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB，S△ABD＝S△BCD， 又∵∠ABC＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴， ∵菱形ABCD的边长为4，即AD＝4， ∴在Rt△ADE中，， ∴， ∴菱形ABCD的面积是． 故选：C． 2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G是AB的中点，若OG＝2.5，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A.48 B.36 C.24 D.18 【答案】C 【解析】∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AC＝2AO，， ∵OG＝2.5，BD＝8， ∴AB＝2OG＝5，BO＝4， ∴， ∴AC＝2AO＝6， ∴菱形ABCD的面积是． 故选：C． 3、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为         ． 【答案】96． 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝2OA＝16， ∵DH⊥BC， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH＝2×6＝12， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96， 故答案为：96． 4、如图，在边长为8的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为     ． 【答案】 【解析】连接AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝8，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO， ∵E为AD边的中点， ∴DE＝4， ∵∠DEF＝∠DFE， ∴DF＝DE＝4， ∵DE∥BC， ∴∠DEF＝∠BCF， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BF＝BC＝8， ∴BD＝BF+DF＝8+4＝12， ∴OB＝OD＝6， 在Rt△BOC中，OC＝＝2， ∴AC＝2OC＝4， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝24， 故答案为：24． 5、如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∵CE∥BD，EB∥AC， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴四边形OCEB是矩形， ∴OE＝CB； （2）解：由（1）知，AC⊥BD，BC＝OE＝2， ∵OC：OB＝1：2， ∴设OC＝x，则OB＝2x， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，即4＝x2+4x2， 解得（负值已舍）， ∴，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴菱形ABCD的面积是：． 6、如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 【答案】解：（1）如图所示； （2）设BD，AC交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3， ∵∠CAB＝30°， ∴BO＝AO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∴菱形ABCD的面积＝＝＝18． 5利用菱形的性质证明 1、在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A.AC⊥BD B.OB＝OD C.AB∥DC D.AC＝BD 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，AB∥DC， AC不一定等于BD，D符合题意， 故选：D． 2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　） ①AP＝CQ； ②∠AEC的度数不变； ③∠APD+∠CQD＝180°； A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】D 【解析】∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，DP＝AQ， ∴∠ACP＝∠D＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝CD＝AC ∴AD﹣AQ＝CD﹣DP，即DQ＝CP ∴△ACP≌△CDQ（SAS）， ∴∠APC＝∠CQD，∠APC＝∠CQD，AP＝CQ，故①正确； ∵∠APD+∠APC＝180°， ∴∠APD+∠CQD＝180°，故③正确； ∵∠D＝60°，∠APD+∠CQD＝180°， ∴∠QEP＝120°， ∴∠AEC＝∠QEP＝120°，故②正确． 故选：D． 3、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，添加以下条件仍不能判定△ADE≌△CDF的是（　　） A.∠ADE＝∠CDF B.∠AED＝∠CFD C.DE＝DF D.BE＝BF 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝CB，∠A＝∠C， ∵∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， 故A不符合题意； ∵∠AED＝∠CFD，∠A＝∠C，AD＝CD， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， 故B不符合题意； ∵DE＝DF，AD＝CD，∠A＝∠C这三答条件不符合全等三角形的判定定理， ∴添加条件DE＝DF仍不能判定△ADE≌△CDF， 故C符合题意； ∵BE＝BF，AB＝CB， ∴AB﹣BE＝CB﹣BF， ∴AE＝CF， ∵AE＝CF，∠A＝∠C，AD＝CD， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， 故D不符合题意， 故选：C． 4、如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，EF与AC相交于点G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF是等边三角形；③∠AGE＝∠AFC．其中结论正确的有       个． 【答案】3． 【解析】①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠CAD， ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠CAD＝60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴∠B＝∠CAD＝60°，BC＝AC， ∵BE＝AF， ∴△BEC≌△AFC （SAS）， 故①正确； ②∵△BEC≌△AFC， ∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF， ∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°， ∴∠ACF+∠ECA＝60， ∴△CEF是等边三角形， 故②正确； ③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG； ∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG， ∴∠AGE＝∠AFC， 故③正确正确． 故答案为：3． 5、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，DF＝BE，连接AF、CE． （1）求证：∠AFD＝∠CEB； （2）点H、G分别是AF、CE上的点，若AH＝CG，∠AEH+∠AFD＝90°，试判断四边形HEGF是什么图形，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B，AD＝BC， 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB； （2）四边形HEGF是矩形， 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB， ∵∠AFD＝∠CEB， ∴∠AFD＝∠DCE， ∴AF∥CE， ∵△ADF≌△CBE， ∴AF＝CE， ∵AH＝CG， ∴AF﹣AH＝CE﹣CG， 即HF＝GE， ∴四边形HEGF是平行四边形， ∵∠AEH+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB， ∴∠AEH+∠CEB＝90°， ∴∠HEG＝180°﹣（∠AEH+∠CEB）＝90°， ∴四边形HEGF是矩形． 6、如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E，F分别是边BC，CD上一点，连接AE，EF． （1）如图1，当∠AEF＝60°时，求证AE＝EF； （2）如图2，当AE＝EF时，求证：∠AEF＝60°． 【答案】证明：（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠DCB＝120°，∠B＝60°＝∠AEF， ∵BH＝BE， ∴△BEH是等边三角形，AH＝EC， ∴BE＝BH＝HE，∠BHE＝60°， ∴∠AHE＝∠DCB＝120°， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF， ∴∠BAE＝∠CEF， 在△AEH和△EFC中， ， ∴△AEH≌△EFC（ASA）， ∴AE＝EF； （2）如图，过点A作AM⊥直线HE于M，过点E作EN⊥直线CD于N， ∵△BEH是等边三角形， ∴∠BHE＝60°＝∠AHM， ∵∠BCD＝120°， ∴∠ECN＝60°＝∠AHM， 又∵∠M＝∠N＝90°，AH＝EC， ∴△AMH≌△ENC（AAS）， ∴AM＝EN，∠MAH＝∠CEN， 又∵AE＝EF， ∴Rt△AME≌Rt△ENF（HL）， ∴∠MAE＝∠FEN， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF， ∴∠B＝∠AEF＝60°， 6添一个条件使四边形是菱形 1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．添加下列条件中不能使四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.∠ADB＝∠CBD B.AD∥BC C.OB＝OD D.OA＝OB 【答案】D 【解析】当∠ADB＝∠CBD时，则：AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意； 当AD∥BC时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意； 当OB＝OD时， ∵AD＝BC，∠AOD＝∠COB＝90°， ∴△AOD≌△COB（HL）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意； OA＝OB无法得到四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 2、如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　） A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝CD D.AC＝BD 【答案】B 【解析】当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形， 故选：B． 3、如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A.AB＝AC B.AE＝CE C.CD⊥AB D.CD平分∠ACB 【答案】D 【解析】当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE＝EC， ∴四边形DECF是菱形． 其余选项均无法判断四边形DECF是菱形， 故选：D． 4、如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是                             ．（写出一个即可） 【答案】AB＝AD（答案不唯一）． 【解析】这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 5、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，要使四边形ABCD为菱形可添加一个条件为                             （只写出一个即可）． 【答案】AB＝CD（答案不唯一）． 【解析】添加一个条件为AB＝CD，理由如下： ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD为菱形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 6、如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）请添加一个条件，使四边形BFDE为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵▱ABCD， ∴AB＝CD，∠A＝∠C， ∵AE＝CF ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （2）解：当BF＝FD时，四边形BFDE是菱形． 理由：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BF＝FD， ∴四边形BFDE是菱形． 7、如图，将▱BEDF的对角线EF向两个方向延长，分别至点A和点C，且使EA＝FC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）请你添加一个条件，使四边形ABCD为菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BF∥DE，BF＝DE， ∴∠AFB＝∠CED， ∵EA＝FC， ∴EA+EF＝FC+EF， ∴AF＝CE， 在△AFB和△CED中， ， ∴△AFB≌△CED（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 注：答案不唯一，如：连接BD，当BD⊥AC时，四边形ABCD是菱形． 7证明四边形是菱形 1、如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ∴AE＝AF， ∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形． 故选：B． 2、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 故选：D． 3、如图，下列条件中不能使▱ABCD成为菱形的是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ADB＝∠CDB D.AD∥BC 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形， 故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴由AD∥BC不能使▱ABCD成为菱形， 故D符合题意， 故选：D． 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的形状是        ． 【答案】菱形． 【解析】∵AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD， ∴四边形ADCE的形状是菱形， 故答案为：菱形． 5、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形； ④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形． 其中，正确的有         ．（只填写序号） 【答案】①③． 【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确； ∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是矩形，故②错误； ∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故③正确； ∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形， 不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误； 故答案为：①③． 6、如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在线段AB，CD上，且BE＝DF，连接BD，EF交于点O． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）连接BF，DE（如图2），若BF＝DF，求证：四边形BFDE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CE， ∵BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵BF＝DF， ∴平行四边形BFDE是菱形． 7、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．点E，点F在AC上，AF＝CE． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若AC平分∠BAD，求证：四边形EBFD是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝DO， ∵AF＝CE， ∴EO＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2）∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， 又∵AO＝CO， ∴DO⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． 8综合应用菱形的判定和性质求解 1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　） A. B. C.40 D.24 【答案】B 【解析】∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD； ∵点E，F分别为AD，AO的中点， ∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线， ∴OD＝2EF＝6， ∵平行四边形ABCD中，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝AD， ∴， ∴菱形ABCD的周长＝． 故选：B． 2、如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　） A.10 B.12 C.18 D.24 【答案】B 【解析】∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD＝6， ∴OC＝OD＝3， ∴四边形CODE是菱形， ∴DE＝OC＝OD＝CE＝3， ∴四边形CODE的周长＝4×3＝12． 故选：B． 3、如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴O为AC的中点，且M为AB的中点， ∴MO为△ABC的中位线， ∴BC＝2MO＝20cm， ∴菱形ABCD的周长＝4BC＝80cm， 故选：C． 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为       ． 【答案】2． 【解析】∵AD∥BC， ∴∠FDE＝∠BCE， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝EC， 在△BCE与△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCFD是菱形， ∴BD＝DF＝CF＝2， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵∠A＝90°， ∴AB＝＝＝， ∴BF＝＝＝2， 故答案为：2． 5、如图，在△ACE和△DBF中，点A、B、C、D在同一直线上，点E和点F分别在直线AD的两侧，连接EB、FC、EF，EF交AD于点O，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD，∠FBC＝∠FCB． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）点M是AE的中点，连接OM，若∠FCB＝50°，∠CFD＝15°，求∠MOA的度数． 【答案】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AC＝DB， ∵∠A＝∠D，AE＝DF ∴△AEC≌△DFB（SAS）， ∴BF＝EC，∠ACE＝∠DBF， ∴EC∥BF， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵∠FBC＝∠FCB， ∴FB＝FC， ∴四边形BECF是菱形． （2）解：∵∠FCB＝50°，∠CFD＝15°， ∴∠D＝∠FCB﹣∠CFD＝35°， ∴∠A＝∠D＝35°， ∵四边形BECF是菱形， ∴BC⊥EF，即∠AOE＝90°， ∴， ∴∠MOA＝∠A＝35°． 6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB． （1）求证：四边形ABOE是菱形； （2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OB， ∵AE∥BD，OE∥AB， ∴四边形ABOE是平行四边形， 又∵AB＝OB， ∴平行四边形ABOE是菱形； （2）解：如图，连接BE，交OA于F， ∵四边形ABOE是菱形， ∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝2，BF＝EF＝BE， ∵S四边形ABOE＝12＝OA•BE＝×4×BE＝2BE， ∴BE＝6， ∴BF＝3， ∴OB＝＝， ∴BD＝2OB＝2， 即BD的长为2． 9综合应用菱形的判定和性质证明 1、下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　） A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③ C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 2、下列关于菱形的说法，错误的是（　　） A.菱形的邻边相等 B.菱形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】∵菱形的性质有：四边相等，对角线互相垂直平分， 菱形的判定有：四边相等的四边形是平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴C选项不符合题意， 故答案为：C． 3、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 【答案】证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF， ∵DE＝DF， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）如图，由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，BC＝DC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴OF＝BD＝OB， ∴∠DBC＝∠OFB， ∴∠BDC＝∠OFB． 4、如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB和AD上，且BE＝DF．点G，H分别在CD和BC上，且EG∥AD，FH∥AB，EG与FH交于点M．求证：四边形AEMF为菱形． 【答案】证明：∵EG∥AD，FH∥AB， ∴四边形AEMF为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形． ∴AB＝AD． ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝AD﹣DF，即AE＝AF， ∴四边形AEMF为菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $