期末综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以代数、几何、统计概率三大模块整合高一（下）核心知识，通过多样化题型考查空间观念、推理能力与数据意识，实现知识逻辑与核心素养的综合落地。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|5题（复数、向量）|运算求解与几何意义结合|复数与向量均基于线性运算体系，从数与形两方面构建代数表达| |几何|9题（解三角形、立体几何）|空间想象与逻辑推理并重|解三角形与立体几何通过边角关系、线面垂直等串联，体现平面到空间的认知进阶| |统计概率|4题（抽样、概率、统计）|实际情境中的数据处理|从抽样方法到概率计算再到统计分析，形成完整数据应用链条|

高一（下）期末数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.（5分）已知（1+i）z＝2i，则复数z＝（　　） A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 解：（1+i）z＝2i，可得z1+i.故选：A. 2.（5分）已知平面向量满足，且，则等于（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，所以，所以.故选A. 3.（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红 色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人， 欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（　　） A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 解：依题意得：某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人， 欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队， 则应抽取高三的人数为：.故选：C. 4.（5分）将一枚骰子连掷两次，则第一次的点数减第二次的点数差为的概率为（） A. B. C. D. 解：依题意，设第一次与第二次相应的点数分别是，则相应的数组共有个，其中满足的数组共有个（分别为），因此所求的概率等于，故选D. 5.（5分）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（　　） A.2 B. C. D.﹣2 解：由，得.根据投影向量的定义可知：在方向上的投影向量为.故选：C. 6.（5分）在中，，，，则（） A.      B. C.      D. 解：由余弦定理可得，所以。由正弦定理得，所以.故选C. 7.（5分）中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”， 即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一 侧棱垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”ABC﹣A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3，AC ＝2，则其中“阳马”B﹣A1ACC1与“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积之比为（　　） A.1：2 B.2：3 C.1：4 D.4：5 解：设BC＝a，由阳马的定义及AC⊥BC可知， 四边形A1ACC1是矩形，BC⊥平面A1ACC1， ∴阳马B﹣A1ACC1的体积为：， 由堑堵的定义可知，AC⊥BC，且CC1⊥平面ABC，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的体积为： ， 所以阳马B﹣A1ACC1与堑堵ABC﹣A1B1C1的体积之比为：. 故选：B. 8.（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA， 则A等于（　　） A. B. C. D. 解：设△ABC的外接圆半径为R， 根据2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA，得4RsinBcos（B+C）﹣2RsinAcosC＝2RsinCcosA， 即2sinBcos（B+C）﹣sinAcosC＝sinCcosA，可得2sinBcos（B+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）， 结合cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA，sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，得﹣2cosAsinB＝sinB，而B∈（0，π），sinB＞0，可得cosA，结合A∈（0，π），可得A. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9.（6分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且.下列结论不正确的是（ ） A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 解：根据面面垂直的性质，可知A错误，因为当时，与可能平行，可能在平面内，也可能相交但不一定垂直；根据面面垂直的判定，可知B错误，因为当时，与可能平行，也可能相交但不一定垂直；根据面面平行的性质，可知C正确；根据面面平行的判定，可知D错误，因为当时，与可能平行，也可能相交.综上，故选ABD. （多选）10.（6分）为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分如下。下列结论正确的是（） 甲： 乙： A.甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数 B.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数 C.从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定 D.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定 解：由题可得甲的中位数是，低于乙的中位数，A错误；甲得分的平均数，低于乙得分的平均数，B正确；甲的方差为，乙的方差为，则乙比甲稳定，C正确，D错误.故选BC． （多选）11.（6分）在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的 是（　　） A. B. C.若，则是在方向上的投影向量 D.若点P是线段AD上的动点，且，则λμ的最大值为 解：如图所示： 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，分别为平行于的单位向量， 由平面向量加法可知：为∠BAC的平分线表示的向量， ∵，∴AD为∠BAC的平分线， ∵D为BC的中点，∴AD⊥BC， ∴在的投影为， ∴则是在方向上的投影向量，故C错误； 对于D，如图所示： ∵P在AD上，即A，P，D三点共线， ∴设，0≤t≤1， ∵，∴， ∵，∴， 令y＝λμ， ∴当时，λμ取得最大值，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.（5分）已知,若,则 . 解：由题意，得.因为，所以，解得.故答案为：9。 13.（5分）已知正四棱柱底面边长为1，侧棱长为2，棱柱的各个顶点都在球面上，则球的 半径为　 　. 解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，且正四棱柱底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的外接球的直径2R，则R.故答案为：. 14.（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为 S，已知a＝4，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则△ABC的周长的取值范围是　 　. 解：根据题意可知，2S＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2+2bc＝2bc﹣2bccosA， 所以，即， 又A为锐角，所以，所以. 所以，所以， 根据正弦定理可得， 所以b+c＝5sinB+5sinC＝5[sin（A+C）+sinC]＝5（sinAcosC+cosAsinC+sinC） ＝8sinC+4cosC， 且， 因为△ABC是锐角三角形，所以，所以， 即，所以， 又，所以， 所以， 即，所以△ABC的周长的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若∥，且，求的坐标； （2）若，且与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 解：（1）∵，∥， ∴， ∵， ∴， ∴或； （2）若，且与的夹角为锐角， 根据平面向量的减法法则可得，， ∵与的夹角为锐角， ∴且与不共线， 即（m﹣1）×1+（2m﹣1）×3＞0且（m﹣1）×3﹣（2m﹣1）×1≠0， ∴且m≠2，即m的取值范围是. 16.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7， . （1）求∠A； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：b＝7；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 解：（1）因为a＝7，， 所以2sinBcosBbcosB， 又因为A为钝角，所以B为锐角，即cosB≠0， 所以sinBb， 由正弦定理可得：， 即， 可得sinA，所以A； （2）若选①：b＝a＝7，由（1）可得B＝A，显然该△ABC不存在； 若选②：，则sinB， 由正弦定理可得：， 即，可得b＝3， sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB（）， 所以S△ABCabsinC7×3； 若选③：，即c•，可得c＝5， 由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即49＝b2+25﹣2×b×5×（）， 解得b＝3（负值已舍）， 所以S△ABCcbsinA5×3. 17.（15分）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始 时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶 有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜， 三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了n道.假设对 每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值. 解：（1）根据题意，设A＝“甲猜对灯谜”，B＝“乙猜对灯谜”，C＝“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”， 共有30道灯谜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道， 则，，且事件A、B相互独立， 则 . 故要求的概率为. （2）根据题意，设D＝“丙猜对灯谜”，E＝“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”， 由于甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则P（E）， 故， 解得n＝18. 18.（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证： （1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD. 【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点. 又因为E为PC的中点， 所以OE∥PA. 又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE. （2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC. 又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD. 19.（17分）如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1， △ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝2AA1＝2A1B1＝2BB1. （1）证明：BC⊥平面ABB1A1； （2）求点B到面ACC1A1的距离； （3）在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F﹣AB﹣C的大小为，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由. 解：（1）三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1AB＝2AA1＝2A1B1＝2BB1， 则四边形ABB1A1为等腰梯形， 且∠ABB1＝∠BAA1＝60°，设AB＝2x，则BB1＝x， 由余弦定理，则， 由勾股定理的逆定理得AB1⊥BB1， ∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1， 故由AB1⊥BB1知AB1⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1， ∴AB1⊥BC， 又∵△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，即BC⊥AB， 又AB∩AB1＝A，AB⊂平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1， ∴BC⊥平面ABB1A1. （2）由棱台性质知，延长AA1，BB1，CC1交于一点P， ，则， 故， BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面PAB， 故BC即三棱锥P﹣ABC中面PAB的高， 由（1）中所设，AB＝BC＝2x，∠PAB＝∠PBA＝60°⇒△PAB为等边三角形， 故PA＝PB＝AB＝2x， ，解得x＝1， 故AB＝BC＝PA＝PB＝2，， 所求的点B到平面ACC1D1的距离即到面PAC的距离，设为d， VP﹣ABC＝VB﹣PAC， 即， 解得. （3）∵BC⊥平面ABB1A1，BC⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面PAB， 平面ABC∩平面PAB＝AB，取AB中点N， 正△ABC中，PN⊥AB， 则PN⊥平面ABC，PN⊂平面PNC， ∴平面PNC⊥平面ABC， 于是，作FE⊥CN，平面PNC∩平面ABC＝CN， 故FE⊥平面ABC，再作ED⊥AB，连结FD，则ED即FD在平面ABC上的射影， 由三垂线定理，AB⊥FD， 故∠FDE即二面角F﹣AB﹣C的平面角， 设，由几何关系，， 则DE＝2﹣2t，若存在F使得二面角F﹣AB﹣C的大小为， 于是， 解得， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）期末数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.（5分）已知（1+i）z＝2i，则复数z＝（　　） A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 2.（5分）已知平面向量满足，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3.（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红 色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人， 欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（　　） A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 4.（5分）将一枚骰子连掷两次，则第一次的点数减第二次的点数差为的概率为（） A. B. C. D. 5.（5分）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（　　） A.2 B. C. D.﹣2 6.（5分）在中，，，，则（） A.      B. C.      D. 7.（5分）中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”， 即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一 侧棱垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”ABC﹣A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3，AC ＝2，则其中“阳马”B﹣A1ACC1与“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积之比为（　　） A.1：2 B.2：3 C.1：4 D.4：5 8.（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcos（B+C）﹣acosC＝ccosA， 则A等于（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9.（6分）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且.下列结论不正确的是（ ） A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 （多选）10.（6分）为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分如下。下列结论正确的是（） 甲： 乙： A.甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数 B.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数 C.从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定 D.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定 （多选）11.（6分）在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的 是（　　） A. B. C.若，则是在方向上的投影向量 D.若点P是线段AD上的动点，且，则λμ的最大值为 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.（5分）已知,若,则 . 13.（5分）已知正四棱柱底面边长为1，侧棱长为2，棱柱的各个顶点都在球面上，则球的 半径为　 　. 14.（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为 S，已知a＝4，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则△ABC的周长的取值范围是　 　. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若∥，且，求的坐标； （2）若，且与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 16.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7， . （1）求∠A； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：b＝7；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17.（15分）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始 时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶 有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜， 三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了n道.假设对 每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值. 18.（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于 点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证： （1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD. 19.（17分）如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1， △ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝2AA1＝2A1B1＝2BB1. （1）证明：BC⊥平面ABB1A1； （2）求点B到面ACC1A1的距离； （3）在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F﹣AB﹣C的大小为，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $