专题01 二次根式综合10大题型（培优版，期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 二次根式综合（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 二次根式的混合运算★★ 题型二 与二次根式有关的化简求值问题★★★ 题型三 比较二次根式的大小★★★ 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用★★★ 题型五 含字母的二次根式化简★★★ 题型六 分母有理化★★ 题型七 复合二次根式化简★★★ 题型八 与二次根式有关的规律探究问题★★★ 题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节）★★★ 题型十 二次根式的应用★★ 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的概念与有意义的条件 能准确判断二次根式有意义的条件，确定自变量的取值范围 基础必考点，常出现在选择题 / 填空题，常与分式、零指数幂结合考查 二次根式的性质 能根据二次根式的性质对式子进行化简，尤其是含字母的化简 高频易错点，易忽略绝对值的非负性，需注意字母的取值范围 二次根式的化简与运算 能熟练进行二次根式的加减、乘除及混合运算，掌握分母有理化 计算类核心考点，常出现在计算题、化简求值题中，是后续勾股定理计算的基础 二次根式的非负性应用 能利用的性质，解决 “几个非负数和为 0” 的问题 中档常考点，多与绝对值、平方的非负性结合考查，常出现在填空题 二次根式的化简求值 能结合整体代入、因式分解等方法，对含二次根式的代数式进行化简求值 高频中档题，常结合勾股定理、代数式变形考查，易出现计算错误 知识点01 二次根式的性质 性质 文字语言 示例 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 知识点02 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 补充：1）积的算术平方根： 2）商的算术平方根： 注意点：1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点03 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 示例：都是最简二次根式，不是最简二次根式 同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 注意点：1）同类二次根式与根号外的因式无关． 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如： ． 知识点05 二次根式的混合运算 解题关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 常见运算方法：（1） （2） 题型一 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算__________，再算__________，最后算加减，有括号先算__________的； 2）灵活运用__________. 3）正确使用__________. 4）有些运算中__________可使运算简便. 答案：1）乘方 乘除 括号内 2）运算律 3）乘法公式 4）约分 【典例1】（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可确定原式的范围． 【详解】 ； ∵， 又∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴原式的值在4和5之间． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于任意实数a和b，定义新运算：，则的运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照新运算规则代入对应数值，利用二次根式的乘法公式计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算求解即可； （3）根据二次根式的混合运算求解即可； （4）根据二次根式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 与二次根式有关的化简求值问题 答｜题｜模｜板 对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 易｜错｜点｜拨 运算顺序错误；乘法公式展开时符号出错；整体代入时未先化简代数式 【典例1】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，则代数式的值是_______． 【答案】2026 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式配方，再代入已知条件计算，简化运算过程． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 【变式4】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴，把作为整体，得： 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2) (3)2026 【分析】（1）根据题例解答即可； （2）由已知求出，进而即可求解； （3）由已知得，进而可得，可得，进一步代入即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型三 比较二次根式的大小 答｜题｜模｜板 【典例1】（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 【变式1】（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用 答｜题｜模｜板 （其中a，b，c为常数），则x=a，y=b，z=c. 【典例1】（25-26八年级下·广东潮州·期中）若，则______． 【答案】2 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0，计算出x的值，进而计算出y的值，即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若，则的值是（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的化简，能够熟练使用相关的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用绝对值的性质化简原式，整理后即可求出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即， ∴， ∴， 则， 整理得， 两边平方得， 移项得． 【变式2】（2026九年级下·重庆·专题练习）若实数x，y满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：． 将代入，得， 即， 解得， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 含字母的二次根式化简 答｜题｜模｜板 在解决二次根式的有关问题时，如果被开方数能化成一个代数式的平方的形式，就可以利用这一性质进行化或求值.在解题过程中一定要注意a的取值范围. 易｜错｜点｜拨 直接去掉绝对值符号，不分类讨论；忽略字母的隐含取值范围。 【典例1】（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ∵题目给出 ∴ 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数 ∴ 即 因此□中的符号为． 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，，据此计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简等式得到的符号，最后根据象限坐标特征判断点的位置． 【详解】解：∵二次根式有意义，且为非零实数 ∴ 化简等式左边： ∵， ∴左边 由题意得 ∵，， ∴ 两边同时除以得 ，即 ∵为非零实数， ∴ ∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限． 【变式3】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 【变式4】（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 题型六 分母有理化 答｜题｜模｜板 易｜错｜点｜拨 分子漏乘该有理化因式. 【典例1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）规定，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据新定义得到，然后利用分母有理化求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； （3）解： 【变式2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，值为5 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 先根据分式的四则运算法则对式子进行化简，再将，代入求解即可． 【详解】解：， , ， ； ∵ 则原式． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 题型七 复合二次根式化简 答｜题｜模｜板 通过对中的进行配方，得到完全平方式，再开方化简. 【典例1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 28．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：； 【类比归纳】 (1)填空： (2)请你仿照小明的方法化简； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型八 与二次根式有关的规律探究问题 【典例1】（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 观察多项式规律，分别分析a的指数部分和根号部分的规律，结合选项进行判断． 【详解】解：将多项式拆分为两部分： a的指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，依此类推，第n项为， 根号部分：第1项为，第2项为，第3项为（即2），第4项为，依此类推，第n项为， 因此，第n个多项式为， 故选：C 【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】 或 【分析】观察已知等式的数字变化特征，归纳得出第个等式的一般规律．再利用所得规律建立关于和的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）观察已知等式： 等式：时，， 等式：时，， 等式：时，， 归纳可得，为正整数时，猜想等式为： （2）等式 符合上述规律， ， ， 对 变形得 ， 开平方得 ， 解得或， 当时， ， 当时， 综上所述：的值为或． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ； （3）解： ． 题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节） 【典例1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 【变式1】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【答案】(1)；； (2) (3)①20；② 【分析】（1）利用勾股定理求出即可得到答案； （2）作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接，由轴对称的性质可得，则当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值；证明四边形是矩形，得到，由勾股定理可得，则的最小值为； （3）①，，点P为上一点，且，则，可证明，再仿照（2）求出的最小值即可； ②，，点P为上一点，且，则，可证明，同理求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ， ∴； （2）解：如图所示，作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为17，即的最小值为17， ∴的最小值为； ②如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；②8 (3)①相等；②32 (4)94 (5)13 (6)17 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，正确理解勾股定理的几何意义并构造图形是解题的关键． （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据（3）的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比（5）的结论直接求解最小值． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：①，，， ，， ， 如图所示，为所求： ② 故答案为：； （3）解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：32； （4）解：由（3）可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为9， ， ， ，， ，， ； 故答案为：94； （5）解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：13； （6）解：由（5）可得： 故答案为：17． 题型十 二次根式的应用 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）若（m，n为两个连续奇数，，），求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】根据是连续奇数得到，将代入二次根号内化简，得到，再利用奇数相加的性质证明p为偶数． 【详解】证明：∵ m，n为两个连续奇数，且， ∴ ， 又∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∵ m，n都是奇数，奇数加奇数为偶数， ∴ p一定是偶数． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2)该草地的面积为平方米 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【答案】(1)正数时，代数式有最小值，最小值为 (2)， (3)当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是元 【分析】（1）根据例题求得代数式的最小值； （2）根据，进而求得，即可求解． （3）根据题意得出，进而求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：令 ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，代数式有最小值，最小值为8． （2）解： 当且仅当时， ∴， 又∵ ∴ ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （3）由题意得： 当且仅当时，即 当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是120元． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：； （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：. （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是∶各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． (1)根据二次根式的被开方数是非负数解答； (2)结合(1)求得a、b的值，然后开平方根即可． 【详解】与有意义， ，， ， ． 原式． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系结合二次根式的性质化简即可； （2）由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简计算． 【详解】（1）解：∵ ，，是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ； （2）解：由三边关系得，即， ∴， ∴原式 ． 5．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能截出，见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为； （2）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（1）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：若两个含有二次根式的代数式a，b满足，且m是有理数，则称a与b是关于m的“有理二次根式”． (1)若n与是关于4的有理二次根式，则n的值为________． (2)若与是关于6的有理二次根式，求q． (3)已知，，若a与b是关于2的“有理二次根式”，且m，n为整数，请求出m，n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接列方程计算n； （2）根据定义得到乘积等于6，展开整理后解方程，经分母有理化得到q的值； （3）展开乘积后，根据结果是有理数，无理项的系数必为0，有理项等于2，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得 ， 展开左边得 ， 整理得， ∴； （3）解：由题意得 ， 展开左边得，， 整理得 ， 因为结果为有理数，为整数，是无理数， 因此无理项系数为0， 可得方程组， 解得． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了配方法求最值． （1）根据题中已知条件，运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，求得该式的最小值； （2）运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，证得，即可证明无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）过点A作于点D．先运用已知条件，得出，的长，再在，中，根据勾股定理，得到，整理得到 ，从而求得，最后运用配方法，求出当时，取得最大值． 【详解】（1）解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为． （2）解： ， ∵无论x取何实数，都有， ∴， ∴， 即 ∴无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）解：过点A作于点D． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴在中， ， 在中， ， ∴， 即， 化简得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 2．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可； （2）先对分母进行有理化，再求解即可； （3）①先求出的长度，再利用面积法求解； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F再表示出的面积，求出P点到各边的距离即可． 【详解】（1）∵ ∴的有理化因式为； （2）① ； （3） 设中边上的高为h， ∴，即 ∴ ∴点A到边的距离为； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F    ∵平分，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①详见解析；② 【分析】（1）根据秦九韶公式或海伦公式计算即可； （2）①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，．由等面积法求解，可得，证明，可得，．延长到点，使得．则为线段的垂直平分线．证明为等边三角形．再进一步求解即可； ②由（2）知，，则．如图，连接，，．设到各边的距离为．由等面积法求解，设直线的函数表达式为，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：依题意，在中，,,． 根据秦九韶公式，的面积． ． ． 依题意，在中，，，， 则． 根据海伦公式，的面积． ． （2）解：①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，． 则的面积．    由（1）知，． ， ． 在Rt中，， ． ∵， ． 又，． ． ，． 延长到点，使得． 则为线段的垂直平分线． ． 又， 为等边三角形． ． ． ②由（2）知，，则． 如图，连接，，．   在的平分线上， 到的距离与到的距离相等． 同理，到的距离与到的距离相等． 即到各边的距离相等． 设到各边的距离为． 则，，的距离分别为，，．则． 又， ． ． 在轴上方，故可设． 设直线的函数表达式为，． 则， ． 直线的函数表达式为． 是的平分线， 点在上， ． 解得． ． 【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形，角平分线的性质，正比例函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式综合（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 二次根式的混合运算★★ 题型二 与二次根式有关的化简求值问题★★★ 题型三 比较二次根式的大小★★★ 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用★★★ 题型五 含字母的二次根式化简★★★ 题型六 分母有理化★★ 题型七 复合二次根式化简★★★ 题型八 与二次根式有关的规律探究问题★★★ 题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节）★★★ 题型十 二次根式的应用★★ 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的概念与有意义的条件 能准确判断二次根式有意义的条件，确定自变量的取值范围 基础必考点，常出现在选择题 / 填空题，常与分式、零指数幂结合考查 二次根式的性质 能根据二次根式的性质对式子进行化简，尤其是含字母的化简 高频易错点，易忽略绝对值的非负性，需注意字母的取值范围 二次根式的化简与运算 能熟练进行二次根式的加减、乘除及混合运算，掌握分母有理化 计算类核心考点，常出现在计算题、化简求值题中，是后续勾股定理计算的基础 二次根式的非负性应用 能利用的性质，解决 “几个非负数和为 0” 的问题 中档常考点，多与绝对值、平方的非负性结合考查，常出现在填空题 二次根式的化简求值 能结合整体代入、因式分解等方法，对含二次根式的代数式进行化简求值 高频中档题，常结合勾股定理、代数式变形考查，易出现计算错误 知识点01 二次根式的性质 性质 文字语言 示例 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 知识点02 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 补充：1）积的算术平方根： 2）商的算术平方根： 注意点：1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 知识点03 二次根式的加减法 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 示例：都是最简二次根式，不是最简二次根式 同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 注意点：1）同类二次根式与根号外的因式无关． 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如： ． 知识点05 二次根式的混合运算 解题关键：二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 常见运算方法：（1） （2） 题型一 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算__________，再算__________，最后算加减，有括号先算__________的； 2）灵活运用__________. 3）正确使用__________. 4）有些运算中__________可使运算简便. 【典例1】（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于任意实数a和b，定义新运算：，则的运算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 与二次根式有关的化简求值问题 答｜题｜模｜板 对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值. 易｜错｜点｜拨 运算顺序错误；乘法公式展开时符号出错；整体代入时未先化简代数式 【典例1】（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，则代数式的值是_______． 【典例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知：，则的值为______． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题：已知．求：的值及的值． 【变式4】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴，把作为整体，得： 请回答下列问题：(1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 题型三 比较二次根式的大小 答｜题｜模｜板 【典例1】（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________． 【变式1】（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【变式2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 题型四 二次根式的双重非负性的综合应用 答｜题｜模｜板 （其中a，b，c为常数），则x=a，y=b，z=c. 【典例1】（25-26八年级下·广东潮州·期中）若，则______． 【变式1】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）若，则的值是（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2】（2026九年级下·重庆·专题练习）若实数x，y满足，，则的值为________． 【变式3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 题型五 含字母的二次根式化简 答｜题｜模｜板 在解决二次根式的有关问题时，如果被开方数能化成一个代数式的平方的形式，就可以利用这一性质进行化或求值.在解题过程中一定要注意a的取值范围. 易｜错｜点｜拨 直接去掉绝对值符号，不分类讨论；忽略字母的隐含取值范围。 【典例1】（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足，则________． 【变式4】（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 题型六 分母有理化 答｜题｜模｜板 易｜错｜点｜拨 分子漏乘该有理化因式. 【典例1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）规定，则的值是______． 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【变式2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 题型七 复合二次根式化简 答｜题｜模｜板 通过对中的进行配方，得到完全平方式，再开方化简. 【典例1】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 28．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：； 【类比归纳】(1)填空： (2)请你仿照小明的方法化简； 【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【变式2】（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 题型八 与二次根式有关的规律探究问题 【典例1】（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【变式2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 题型九 二次根式与勾股定理综合（跨章节） 【典例1】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【变式1】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 题型十 二次根式的应用 【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）若（m，n为两个连续奇数，，），求证：p一定是偶数． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）计算：． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）已知，求的值． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）化简 (1)若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：． (2)已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 5．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：若两个含有二次根式的代数式a，b满足，且m是有理数，则称a与b是关于m的“有理二次根式”． (1)若n与是关于4的有理二次根式，则n的值为________． (2)若与是关于6的有理二次根式，求q． (3)已知，，若a与b是关于2的“有理二次根式”，且m，n为整数，请求出m，n的值． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 2．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    3．（24-25八年级上·福建三明·期末）设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $