20.1 勾股定理及其应用 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 知识点1 勾股定理的简单应用 1．勾股定理的适用范围 勾股定理只适用于直角三角形．或一个三角形不是直角三角形，必须添加辅助线构造直角三角形才能用勾股定理． 2．勾股定理简单应用形式 （1）已知直角三角形任意两边，求第三边； （2）已知直角三角形任意一边，确定另外两边的数量关系； （3）构造方程或方程组计算与直角三角形有关的长度、高度、距离、面积等问题； （4）证明含有平方关系的几何问题； 知识点2 勾股定理与最短路径 1．最短路径问题的方法 ①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条线展开，转化为平面问题后，借助“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，进而构造直角三角形，借助勾股定理求解． ②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换，转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题． 2．最短路径常见的模型 常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开和将军饮马模型、“造桥选址”模型、费马点等. 知识点3 勾股定理与折叠问题 折叠问题中常见的几何模型 知识点3 勾股定理与方向角问题 （1）方向角问题的思路 画图→标出方向角→寻找或构造直角三角形→用勾股定理求解． （2）方向角常见的模型 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 2．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 6．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为_____． 10．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______． 11．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时 ；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 12．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 14．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 15．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 3．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 5．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 8．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有________条． 10．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 11．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 12．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 14．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是________． (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________． ②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹） ③若的整数部分为，小数部分为，求的值． 15．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 2．如图，在中，，，，则BC的长是（   ） A．13 B． C．14 D． 3．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，甲每个网格边长均为，乙每个网格边长均为，若正方形的面积均为且各顶点均在甲、乙两个网格线的交点上．以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 7．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．52 B．104 C．48 D．96 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则________． 10．如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为___________． 11．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是_______________． 12．如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为_________秒时，与的一边垂直． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 14．已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 15．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 知识点1 勾股定理的简单应用 1．勾股定理的适用范围 勾股定理只适用于直角三角形．或一个三角形不是直角三角形，必须添加辅助线构造直角三角形才能用勾股定理． 2．勾股定理简单应用形式 （1）已知直角三角形任意两边，求第三边； （2）已知直角三角形任意一边，确定另外两边的数量关系； （3）构造方程或方程组计算与直角三角形有关的长度、高度、距离、面积等问题； （4）证明含有平方关系的几何问题； 知识点2 勾股定理与最短路径 1．最短路径问题的方法 ①解决立体图形中最短距离问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条线展开，转化为平面问题后，借助“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，进而构造直角三角形，借助勾股定理求解． ②平面图形的最短路径通常是作轴对称变换，转化为“两点之间线段最短”的模型来解决问题． 2．最短路径常见的模型 常见的有圆柱体的展开、长方体的展开、楼梯的展开、绕绳的展开和将军饮马模型、“造桥选址”模型、费马点等. 知识点3 勾股定理与折叠问题 折叠问题中常见的几何模型 知识点3 勾股定理与方向角问题 （1）方向角问题的思路 画图→标出方向角→寻找或构造直角三角形→用勾股定理求解． （2）方向角常见的模型 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 2．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，由勾股定理可得，再由题意得到，则，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为， ∴， 又∵三边的平方和为338， ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴斜边长为13， 故选：C． 3．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 4．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 6．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 7．运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 8．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知点A坐标为，则点A到原点的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了两点间距离公式． 利用两点间距离公式求解点A到原点的距离即可． 【详解】解：点A的坐标为，原点坐标为， ∴A到原点的距离为． 故答案为：． 10．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 11．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时 ；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得 ，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得 ， 又 ， 故， 设， ∴， ∴， ∴ ， 故， 故答案为：8． 12．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为_____． 【答案】3或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和BC的长度，再分两种等腰情况（和）进行计算． 先在中，由、得，；再分和两种情况：当时，，可得；当时，由等腰三角形三线合一得，可得． 【详解】解：在中， ∵ ，，， ∴ ，． ∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴ ． 分两种情况： 情况一：当时：，解得． 情况二： 当时， ∵ ， ∴ ，． 解得． 故答案为：或． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 14．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 15．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 2．等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形是解题关键． 利用等边三角形的高平分底边的性质，将问题转化为解直角三角形，再通过勾股定理计算出高的长度． 【详解】解：∵是等边三角形，边长，是边上的高， ∴， 在中，，， 由勾股定理： ∵， ∴， ∴， 解得，即边上的高为． 故选：． 3．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【详解】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 4．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 5．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 6．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 8．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有________条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 10．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 12．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 14．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是________． (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________． ②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹） ③若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的周长公式，实数与数轴的对应关系，勾股定理解三角形，无理数的估算以及代数式的求值．无理数在数轴上表示的内容，体现了实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握勾股定理求解三角形边长并正确估算无理数是解决本题的关键． （1）根据圆的周长公式，即（d为直径）计算即可； （2）①先由勾股定理计算的长，再由勾股定理计算的长，由圆的半径可得的长，由此可解； ②通过构造直角三角形，作出长度为1和长度为2的直角三角形，利用勾股定理求出长度为的线段，即可确定位置； ③先估算的大小，从而确定的整数部分和小数部分，再代入式子求解即可． 【详解】（1）解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为， ∵向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴由勾股定理可得， ∵，，， ∴由勾股定理可得， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点， ∴， ∵在数轴上，点A表示的数是，则点表示的数为； 故答案为：； ②在数轴上取点Q，表示的数为1，取点N，表示的数为2， 过点N作轴，且满足， ∴， 在中，， 以点Q为圆心、的长为半径画弧，与数轴负半轴交于点， 即点M表示，如图： ③∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的整数部分为， 小数部分为， ∴ 15．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得，，，，，，则，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形， ，，，，，， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，，，，则BC的长是（   ） A．13 B． C．14 D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．作交的延长线于点D，由含30度角的直角三角形的性质，可得，再用勾股定理解和即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图为一块光学直角棱镜的截面，记为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O射入，折射后到达边上的点D，恰有，再经过反射后，从点E射出，，垂足为点E，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理计算得出，再由等面积法计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 5．如图，甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，甲每个网格边长均为，乙每个网格边长均为，若正方形的面积均为且各顶点均在甲、乙两个网格线的交点上．以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与网格问题和勾股定理的应用，先根据题意将S求出来，再根据图象分别将正方形的边长关系求出是解决本题的关键． 【详解】解：甲图中， 乙图中， ∵正方形的面积均为， ∴， ∴， 故A，B，C错误，D正确； 故选D． 6．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 8．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．52 B．104 C．48 D．96 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质等知识，理解题意是关键；由题意得，，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，由题意得四边形是正方形，则， 由题意得， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图、垂直平分线的性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据作图可知，是线段的垂直平分线，得到，再利用勾股定理求得，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵由题意得，是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理：， ∴． 故答案为：． 10．如图，将沿边向右平移得到．若，，，恰为的中点，则平移的距离为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，平移的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得，可设，则，根据勾股定理即可求出的长度，然后根据平移的性质结合中点的定义、线段和差关系即可得到平移的距离． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得：，， 由平移的性质可得：， 恰为的中点， , ，即平移的距离为， 故答案为：． 11．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是_______________． 【答案】140 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【详解】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 12．如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为_________秒时，与的一边垂直． 【答案】或4或 【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 设点的运动时间为秒，则，过点作，根据在中，，得出，根据勾股定理得出，分三种情况：当时；当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒，则， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， 当时，点与点重合， 此时，， ∴秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 当时，如图， 则， 即， 解得：秒； 综上，当点的运动时间为或4或秒时，与的一边垂直． 故答案为：或4或． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为． (1)计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； (3)连接，则的长度是 ．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 【答案】(1)这个长方体的长、宽、高分别、、 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为、、x，根据底面积为列方程即可； （2）过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于点B，该点表示的数为；过数轴上点B作垂线，然后再以B这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点C，连接，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为、、x， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 答：这个长方体的长、宽、高分别、、． （2）解：如图所示， ∵， ∴点即为所求； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，在数轴上表示无理数，二次根式的化简，求长方体的对角线，设出长方体的长、宽、高，根据底面积列出方程，是解题的关键． 14．已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $