专题07 实数（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 辽宁多地期末真题汇编，覆盖实数6大考点，含基础辨析、运算求解及新定义探究题，适配七年级下册至八年级上册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约20题|无理数识别、大小比较|结合数轴考查实数位置（如考点04数轴点表示）| |填空题|约10题|平方根性质、估算|利用平方根性质求参数（如考点03已知平方根求正数）| |解答题|约27题|混合运算、实际应用、规律探究|正方体体积估算（考点05）、“和谐组合”新定义（考点06）|

专题07 实数 高频考点概览 考点01无理数 考点02求（算术）平方根、立方根与实数混合运算 考点03利用（算术）平方根与立方根的性质求解 考点04实数大小比较与无理数的估算 考点05实数的应用 考点06新定义与规律探究类实数题 考点01 无理数 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列实数中，为无理数的是（　　） A．2.3 B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在0，，，这四个数中，无理数是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在实数，，，中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）在实数：，，3，，，（相邻每个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响，下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.1313 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列实数：，其中无理数为（   ） A． B．0 C． D． 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列各实数中，不是无理数的是（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 考点02 求（算术）平方根、立方根与实数混合运算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根；②的算术平方根是；③是9的平方根④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）化简的结果为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是______；的算术平方根是______；的立方根是______． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）计算：； 7．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1) (2) 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：     （2）计算： 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算：． 考点03 利用（算术）平方根与立方根的性质求解 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则x的值是（   ） A．2025 B．1 C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如果单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D．5 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则________ 7．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c，求的算术平方根． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 考点04 实数大小比较与无理数的估算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列实数中，最小的实数是（    ） A．－3 B．1 C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）下列四个实数中，最小的是（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在下列四个数中，最大的实数是（　　） A． B． C． D．0 7．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若、是连续的两个整数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用“”，“”或“”填空：___________1． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 12．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 考点05 实数的应用 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一个正方体的体积是，估计这个正方体的棱长在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）的面积为12，边上的高是边长的4倍，的长是______． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为_____． 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为．求物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为cm2？请说明理由． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【阅读材料】 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且，则． 并给出了证明：和为相邻的两个整数，， ， ， ， 请利用小明的结论和方法解决以下问题： (1)若和为两个相邻整数，求a的值； (2)若和为相差4的两个整数，求a的值． 考点06 新定义与规律探究类实数题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）观察填空（1）_____（2）若则x=___ 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）定义新运算：对于任意实数，都有：，其中等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为__________． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______．      1     2               3    …   …   …   …  … 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实数 高频考点概览 考点01无理数 考点02求（算术）平方根、立方根与实数混合运算 考点03利用（算术）平方根与立方根的性质求解 考点04实数大小比较与无理数的估算 考点05实数的应用 考点06新定义与规律探究类实数题 考点01 无理数 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或不能表示为整数比的数，熟记无理数定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数比的数即可得到答案． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是整数，属于有理数，不符合题意； C、因为不是完全平方数，其平方根无法表示为整数或分数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列实数中，为无理数的是（　　） A．2.3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的识别，根据无理数的定义，即无限不循环小数，判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A. 2.3是有限小数，可化为分数，属于有理数； B. 是分数形式，分数均为有理数，虽然其小数形式为无限循环小数，但仍属于有理数； C. 是非完全平方数的平方根，无法表示为分数，是无限不循环小数，属于无理数； D. 是整数，整数属于有理数； 综上，只有选项C是无理数， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无理数即可． 【分析】解：A． 0是整数，属于有理数； B． ，结果为整数，属于有理数； C． 是分数形式，属于有理数； D． 中，7不是完全平方数，无法表示为整数或分数，属于无理数； 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列各数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，不符合题意； B、3.14是有限小数，可以表示为分数，属于有理数，不符合题意； C、属于无理数，符合题意； D、是分数形式，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在0，，，这四个数中，无理数是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：在0，，，这四个数中，是无理数，故B正确． 故选：B． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）在实数，，，中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键．根据无理数的定义解答即可，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个） 【详解】有理数有：，，； 无理数有： 故选：D 7．（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）在实数：，，3，，，（相邻每个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数）逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：（即）：有限小数，属于有理数； ：整数，属于有理数； 3：整数，属于有理数； ：化简为，是无理数，故为无理数； ：是无理数，减去有理数2仍为无理数； （无限不循环）：符合无理数定义； ：有限小数，可化为分数，属于有理数； 综上，无理数共3个， 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响，下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.1313 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1），需逐一分析各选项是否为有理数或无理数． 【详解】解：选项A：是圆周率，属于无限不循环小数，是无理数，仍为无限不循环小数，因此是无理数． 选项B：可表示为无限循环小数，属于有理数． 选项C：∵，∴为有理数； 选项D： 0.1313是有限小数，属于有理数． 故选A． 9．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，能准确区分有理数和无理数． 根据无理数和有理数的定义，逐一分析每个选项中的数，判断其是否为无理数． 【详解】A、是分数，分数属于有理数（有理数包括整数和分数），所以不是无理数，该选项错误； B、，因为7不是完全平方数，是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，符合无理数的定义，所以是无理数，该选项正确； C、是整数，整数属于有理数，所以不是无理数，该选项错误； D、是整数，整数属于有理数，所以不是无理数，该选项错误． 故选：B． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列实数：，其中无理数为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义和算术平方根，无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列各实数中，不是无理数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，根据无理数定义解答是解题的关键．据此判断每个选项即可． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是无理数，不符合题意； D、是整数，为有理数，符合题意． 故选：D． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个数即可． 【详解】解：3.16是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是无理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； （每两个2之间依次多1个1）是无限不循环小数，是无理数； 1.3是有限小数，是有理数． 故无理数有2个． 故答案为：2． 考点02 求（算术）平方根、立方根与实数混合运算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根；②的算术平方根是；③是9的平方根④的算术平方根是； 其中，不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根和平方根的定义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：①、负数没有算术平方根，故①错误； ②、当时，的算术平方根是，而非，故②错误； ③、9的平方根为±3，-3是9的平方根，故③正确； ④、（因），故④正确， 综上，不正确的有①和②，共2个， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）化简的结果为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可求解，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查算术平方根与立方根的性质．根据算术平方根的非负性及立方根的符号性质，逐一分析各选项即可． 【分析】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意；     C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是______；的算术平方根是______；的立方根是______． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义直接计算． 【详解】解：①，4的平方根是； ②，4的算术平方根是2； ③由于，所以的立方根是； 故答案为：，2，． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用算术平方根与立方根、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用实数的运算法则进行计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行求解即可． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根与立方根的计算是解题的关键； （1）先计算算术平方根和乘方，再计算减法，即可求解； （2）根据实数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：     （2）计算： 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简三次方根，绝对值和负整数的幂运算，然后按照运算法则进行作答，即可求解； （2）先化简绝对值，再去括号，，然后按照运算法则进行作答，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先化简算术平方根，立方根和绝对值，然后按照实数运算法则进行计算，即可求解； 【详解】解： ； 考点03 利用（算术）平方根与立方根的性质求解 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】本题考查的是偶次方的非负性，算术平方根的非负性，乘方的运算，根据两个非负数相加得0，则每个加数均为0，得到，，求出x，y值，代入结论即可求解． 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 则， 解得：， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若，则x的值是（   ） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性； 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值的值均非负，它们的和为零时，每个部分必须同时为零． 【详解】解：∵，且， ∴且， ∴，， ∴，， 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如果单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据同类项即含有字母相同且相同字母的指数相同，确定m，n的值，再计算算术平方根解答即可． 本题考查了同类项，解方程，算术平方根，熟练掌握定义解答是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解： 与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则________ 【答案】 【分析】本题考查了平方根； 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，解二元一次方程组．根据立方根和算术平方根的性质可求出a，b的值，再估算出的整数部分，可求出c的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是2，的算术平方根是3， ， 解得：， ∵， ∴， ∵的整数部分为c， ∴， ． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 【答案】(1)或；； (2)或 【分析】本题考查了乘方、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根、立方根的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据乘方、算术平方根、立方根的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算术平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵的平方是4， ∴，   ∴或； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵的立方根是8， ∴， ∴ （2）， 当时，原式， 当时，原式． 考点04 实数大小比较与无理数的估算 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列实数中，最小的实数是（    ） A．－3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小． 观察选项，只有A选项是负数，其他选项是正数，即可判断． 【详解】解：根据实数大小比较规则：负数小于正数，所以A选项中的是唯一负数，必小于B、C、D选项中的数． 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）下列四个实数中，最小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是 故选：B 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列数中，比小的实数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，比较各选项与的大小关系，再逐一判断各选项是否更小． 【详解】解： ∴比小的实数是 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若数轴上的四个点A，B，C，D分别表示实数，4，，那么点A，B，C，D自左到右的顺序是：（    ） A．DABC B．ADCB C．ACDB D．DACB 【答案】B 【分析】本题考查无理数的比较大小，实数与数轴，先估算的大小，然后排列顺序解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即顺序为， 故选：B． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键． 设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C不符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在下列四个数中，最大的实数是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握如何估算无理数大小是解题的关键． 先估算的大小，然后根据正数大于0，0大于负数，比较各个选项中的这4个数的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这4个数中最大的是． ∴A、C、D选项均不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若、是连续的两个整数，且，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，确定出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵、是连续的两个整数， ∴，， ∴， 故选：D． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用“”，“”或“”填空：___________1． 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，无理数的估算，根据无理数的估算得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______； 【答案】 【分析】本题考估算无理数的大小，不等式的性质，根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间” 【详解】解：∵ ∴， ∴的“雅区间”是， 故答案为： 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． (1)填空：的整数部分的值为　　； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.54 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探究的近似值的过程如下： 面积为110的正方形的边长是 设，其中， 画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积为 ， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． (1)求的整数部分； (2)仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）．（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，据此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3． （2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下： 面积为13.8的正方形的边长是，且， 设，其中， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ， 当时，可忽略，得，解得， ． 考点05 实数的应用 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一个正方体的体积是，估计这个正方体的棱长在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根及无理数估算，熟练掌握立方根求法及无理数估算方法是解决问题的关键．先由立方根定义求出正方体的棱长，再通过比较相邻整数的立方确定其范围即可得到答案． 【详解】解：设棱长为，则， 故， ，， ，则， 因此，棱长在2和3之间， 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）的面积为12，边上的高是边长的4倍，的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．设为，则边上的高为，根据题意得，再利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：设为，则边上的高为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 所以的长为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键． 根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长，然后根据面积公式求解即可． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， ∴这个长方形的面积为 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是：在地球上约为，在月球上约为．求物体在地球上离地面与在月球上离月球表面自由下落的时间各是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意求出时间是解题的关键． 分别将代入，将代入，求出时间比较大小即可． 【详解】解：在中，当时， ， ， 解得：（负值舍去）； 在中，当时， ， ， 解得：（负值舍去）． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为cm2？请说明理由． 【答案】不能截得长宽之比为，且面积为cm2的长方形纸片，见解析 【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方形的长与宽进行验证即可． 【详解】解：不能， 因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2=36（cm2）， 所以大正方形的边长为6cm， 设截出的长方形的长为3b cm，宽为2b cm， 则6b2=30， 所以b=（取正值）， 所以3b=3=＞， 所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片． 【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【阅读材料】 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，且，则． 并给出了证明：和为相邻的两个整数，， ， ， ， 请利用小明的结论和方法解决以下问题： (1)若和为两个相邻整数，求a的值； (2)若和为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，等式的性质，完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并正确应用是解题的关键． （1）结论列式解答即可； （2）利用材料的解答方法解答即可． 【详解】（1）解：∵和为两个相邻整数， ∴由材料的结论可知：， ∴， ∴； （2）解：∵和为相差4的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得：， ∴， ∴． 考点06 新定义与规律探究类实数题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算，根据题意可先求出，再根据题意求解即可. 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：A 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）观察填空（1）_____（2）若则x=___ 【答案】 24.77、 0.006137 【分析】依据被开放数小数点向左或向右移动2n位,对应的算术平方根的小数点向左或向右移动n位求解 【详解】（1）∵ ∴24.77 （2）∵ ∴x= 0.006137 【点睛】此题考查算术平方根的性质,熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）定义新运算：对于任意实数，都有：，其中等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．如：，那么不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义的实数运算和解一元一次不等式，根据题意列出不等式是关键．根据新定义得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 即为 解得 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______．      1     2               3    …   …   …   …  … 【答案】20 【分析】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数是， 故答案为：20． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $