北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1．已知数列首项为，且，则为 A．7 B．15 C．30 D．31 2．下列求导正确的是 A． B． C． D． 3．已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为 A．19，-2 B．21，-2 C．15，-1 D．16，-1 4．函数的图像经过原点，且它的导函数的图像是如图所示的一条直线，则的图像不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为 A． B． C． D． 6．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．如果等差数列的前20项的和为100，那么、的最大值为 A．25 B．50 C．100 D．不存在 8．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是 A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 10．已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为 A．32 B．16 C．12 D．8 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则________． 12．函数在处的切线方程为________． 13．已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 14．已知函数，，有成立，则的取值范围是________． 15．已知函数，给出如下四个结论： ①对任意，都不是偶函数； ②任取，，在上单调递减； ③任取，，在上单调递减； ④存在，使得当且时，恒成立； 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16．设等差数列的公差不为0，，且． （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 17．AI软件已经在我们的学习生活中广泛应用．为了解某市中学生和大学生对AI软件的使用情况，从该市随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款AI软件结果如下： 软件一 软件二 软件三 软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对AI软件的喜爱互不影响． （Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用软件一的概率； （Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记为这3人中最喜爱使用软件二的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为．写出，，的大小关系；（结论不要求证明） 18．“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 搜索量 6.2 8.1 6.1 7.2 8.1 7.4 6.2 6.5 6.4 8.3 8.1 6.3 假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率． （Ⅰ）从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； （Ⅱ）在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列； （Ⅲ）在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率． 19．已知函数． （Ⅰ）求在上的最大值和最小值： （Ⅱ）求过原点的切线方程． 20．已知函数． （Ⅰ）求在处的切线方程； （Ⅱ）判断的单调性； （Ⅲ）若不等式在上无解，求的取值范围． 21．已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”． （I）对于：-1，-1，2，2，-1，-1，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”； （Ⅱ）当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列： （Ⅲ）已知数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C B A C D B 二、填空题（每小题5分，共25分） 11． 12． 13．9，1 14． 15．①②③ 注：13第1空3分，第2空2分；15选1个2分，选2个3分，错选多选0分． 三、解答题（共85分） 16．（I）设等差数列的公差为，． 因为． 所以， 解得或（舍去）． 所以的通项公式为． （II）， 依题意有，解得或（舍去）， 使成立的的最小值为8． （第1问7分，第2问6分） 17．（I）记“中学生最喜爱使用软件一”为事件， “大学生最喜爱使用软件一”为事件， 200名中学生中有80名满足条件，80名大学生中有30名满足条件， 则，， 则． （II）抽取的8人中，最喜爱软件二的人数为， 的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望． （III）． （第1问4分，第2问6分，第3问3分） 18．（I）设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件，总天数10天，满足条件的天数为3天（3号、7号、9号），因此． （II）在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件，12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天，用频率估计概率，， ， ， ， ． 分布列为 0 1 2 3 （III）设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件，“第天高于8万”为事件，“第天低于7万”为事件，“第天不低于7万且不高于8万”为事件，， 由（II）可得，同理可得，，则 ． （第1问4分，第2问6分，第3问4分）} 19．（I）， 令得或， ，，， -1 0 2 3 0 + 0 0 故最大值为，最小值为． （II）设切点为，切线斜率， 切线过原点得， 即， 解得或， 当时，切线为；当时，切线为． 综上，所求切线方程为和． （第1问9分，第2问6分） 20．（I）， ， ， 切线方程为，即 （II）， 令，则， 令，则， 1 - 0 + 0 所以在处取得极小值0， 所以（当且仅当时为零）， 因此在上单调递增． （III）不等式无解，即对任意有， 即， 令， ， 则在上，，单调递减， 因此， 因此的取值范围是． （第1问4分，第2问5分，第3问6分） 21．（I）不是“2级恒负”，是“4级恒正”． （II）假设存在“2级恒正”且“7级恒负”的数列． 另一方面， ， 矛盾，所以不存在既是“2级恒正”又是“7级恒负”的数列． （III）的最大值为． 当时，构造数列如下： 即第个数是，其余数全为-1，则 ， 而 所以数列为既“级恒正”又“级恒负”的数列． 下面证明：当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列． 假设存在这样的数列，从数列中取前项，记为数列，则数列满足既“级恒正”又“级恒负”． 一方面， 另一方面： 矛盾，所以当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列． 所以的最大值为． （第1问4分，第2问5分，第3问6分） 学科网（北京）股份有限公司 $