2026年山西中考数学备考——圆的相关计算

**基本信息** 聚焦圆的性质与综合应用，通过18道题覆盖切线、直径、垂径定理等核心知识点，题型含证明与计算，注重几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线性质与判定|6题（如2、3、10题）|证切线、角相等，需连半径用切线垂直性质|切线性质→半径垂直切线→与圆周角、圆心角结合推理| |直径相关计算|5题（如1、4、13题）|求角度、长度，用直径对直角及中位线|直径→90°圆周角→构造直角三角形→勾股或相似计算| |圆与三角形综合|7题（如8、9、14题）|全等/相似证明、面积计算，结合垂径定理|垂径定理→弦长关系→与三角形全等/相似判定结合→综合运算|

2026山西中考备考——圆的相关计算 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于另一点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E，交AB于点F．若⊙O的半径为3，CE＝2，求DF的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，OD⊥AB交AC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，求证：∠ECD＝∠EDC． 3．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC，BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠E＝∠C，OE交BC于点F，求证：OE∥BD． 4．如图所示，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA＝40°，求∠ABC的度数． 5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数． 6．如图，AC为⊙O的直径，过点C的切线与弦AB的延长线交于点D，OE为半径，OE⊥AB于点H，连接CE．求证：∠COE＝2∠DCE． 7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若AB＝DE，求证：点B是弧DE的中点； （2）若CD＝2，AB＝8，求⊙O的半径r． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF，连接OC、BC． （1）求证：△CFO≌△CEB； （2）若OA＝2，求阴影部分的面积． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，与AB相切于点D，与AC交于点E，连接CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若AC＝16，⊙O的半径为6，求BC的长． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B＝∠D＝30°． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若，求的长度（结果保留π）． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点D是边BC上一点，以CD为直径作半圆O，与AC交于AC的中点E，连接BE． （1）求证：BE是半圆O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°，求证： （1）AD＝CD； （2）AB是⊙O的直径． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是直径AB上方半圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点； （2）若AC＝6，DE＝2，求BC． 14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的直径AB的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，点C为AB上方⊙O上一点，连接AC，CD，CD与AB交于点E，过点C作⊙O的切线CF交AB的延长线于点F． （1）求证：∠ECF＝∠OED； （2）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 16．如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，AD与⊙O相切于点D，连接CD． （1）求证：CD∥AO； （2）若BC＝6，的长为π，求AD的长． 17．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD＝∠C． （1）求证：OD⊥AC； （2）若AE＝8，AB＝10，求OD的长． 18．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝4∠A． （1）求∠D的度数； （2）若CD＝2，求AD的长． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：如图，连接OD，BD， 由题意可得： ∴∠ODE＝90°， ∴， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵AB＝BC， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵∠OBD＝∠ODB， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴OD∥BF， ∴， 即， 解得． 2．【解答】证明：过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接OC，则OA＝OC， ∴∠OCE＝90°，∠A＝∠OCA， ∴∠OCA+∠ECD＝90°， ∵OD⊥AB交AC于点D， ∴∠A+∠ADO＝90°， ∴∠ADO＝∠ECD， ∵∠ADO＝∠EDC， ∴∠ECD＝∠EDC． 3．【解答】证明：连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ∴∠CBD＝90°， ∴∠C+∠CDB＝90° ∵AE是⊙O切线 ∴∠EBO＝90° ∴∠E+∠EOB＝90°， 又∵∠E＝∠C ∴∠EOB＝∠CDB ∵OB＝OD ∴∠ODB＝∠OBD ∴∠EOB＝∠OBD ∴OE∥BD 4．【解答】解：∵PA与⊙O切于点A， ∴∠OAP＝90°， ∵∠OPA＝40°， ∴∠AOP＝50°， ∴． 5．【解答】解：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 而∠D＝30°， ∴∠COD＝60°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A， ∴∠A60°＝30°． 6．【解答】证明：连接AE，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴AC⊥CD， ∴∠ACE+∠DCE＝90°， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠DCE＝∠CAE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠COE＝∠OAE+∠OEA， ∴∠COE＝2∠OAE， ∴∠COE＝2∠DCE． 7．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB， ∴， ∵AB＝DE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B是的中点． （2）解：连接OA， ∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，且AB＝8， ∴∠ACO＝90°，AC＝BCAB＝4， ∵CD＝2，OD＝OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， ∵OC2+AC2＝OA2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径r长为5． 8．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠A+∠B＝90°． ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA（等边对等角）． ∴∠OCA+∠B＝90°． ∵AB⊥CD，OF⊥AC， ∴∠CFO＝∠CEB＝90°． ∴∠BCE+∠B＝90°． ∴∠OCF＝∠BCE（同角的余角相等）， 在△CFO与△CEB中， ， ∴△CFO≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知△CFO≌△CEB， ∴OC＝BC（全等三角形对应边相等）． ∵OC＝OB， ∴OC＝BC＝OB，△OCB为等边三角形． ∴∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2＝CB（等边三角形的性质）． ∴OE＝BE＝1，， ∴． 9．【解答】（1）证明：如图，连接OD， 由题意可得：OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∴∠A+∠AOD＝90°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠AOD， ∵， ∴∠AOD＝2∠ACD， ∴∠ABC＝2∠ACD； （2）解：由题意可得： OC＝OD＝6， ∴AO＝AC﹣OC＝16﹣6＝10， ∵∠ADO＝90°， ∴， ∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△AOD∽△ABC， ∴，即， ∴BC＝12． 10．【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝30°， ∴∠DOA＝60°， ∵∠D＝30°， ∴∠DAO＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：AO＝AD•tan30°＝2， ∵∠BOC＝180°﹣2∠B＝120°， ∴若，则． 11．【解答】（1）证明：连接OE，DE， ∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，E是AC的中点， ∴BE＝QE＝CEAC，∠C＝30°， ∴∠A＝∠ABE＝60°，∠OEC＝∠C＝30°， ∵∠AEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BEO＝180°﹣∠AEB﹣∠OEC＝90°， ∴OE⊥BE， ∵OE是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：∠DOE＝∠OEC+∠C＝60°， 由（1）知∠BEO＝90°， ∴∠OBE＝30°， ∴OB＝2OE， 设⊙O的半径为R， ∴， ∴R＝2， ∴阴影部分的面积＝三角形OBE的面积﹣扇形ODE的面积22． 12．【解答】证明：（1）连接BD，如图， ∵∠1＝∠ACB＝25°， 而∠ABC＝50°， ∴∠2＝50°﹣25°， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AD＝CD； （2）∵∠BAD＝65°，∠1＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣∠1﹣∠BAD＝90°， ∴AB为⊙O的直径． 13．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BE＝CE， ∴E为BC的中点； （2）解：∵O为AB的中点，E为BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴， ∵OD＝OE+DE， ∴OB＝OD＝5， 在Rt△BEO中，BO2＝BE2+OE2， ∴52＝BE2+32， ∴BE＝4（负值已舍）， ∴BC＝2BE＝8． 14．【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠CAD＝∠OAC，即AC平分∠DAB； （2）解：连接CB， ∵AD⊥CD，AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由（1）得∠CAD＝∠OAC， ∴△ACB∽△ADC， ∴， ∵AD＝4，AC＝5， ∴． 15．【解答】（1）证明：如图，CF与⊙O相切于点C，连接OC，则OC＝OD， ∴CF⊥OC，∠OCD＝∠D， ∴∠OCF＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠DOB＝90°， ∴∠OED+∠D＝90°， ∴∠ECF＝∠OED； （2）解：∵BF＝2， ∴OC＝OB＝OF﹣2， 在直角三角形OCF中，∠OCF＝90°， 由勾股定理得：OC2+CF2＝OF2， ∴（OF﹣2）2+42＝OF2， 解得：OF＝5， ∴OB＝OF﹣2＝5﹣2＝3． 16．【解答】（1）证明：连接OD． ∵AD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AD， ∴∠ADO＝90°， 在Rt△ADO和Rt△ABO中，， ∴Rt△AOD≌Rt△AOB（HL）， ∴∠AOD＝∠AOB， ∴， 又∵， ∴∠AOB＝∠C， ∴CD∥AO； （2）设∠COD＝n°， 由题意可得：OC＝3，， ∴n＝60， ∴， ， ∴． 17．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径 ∴∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 又∵∠AOD＝∠C， ∴∠AOD+∠A＝90°， ∴∠ADO＝90°， ∴OD⊥AC； （2）解：∵OD⊥AE，O为圆心， ∴D为AE中点，AE＝8， ∴ADAE＝4， ∵AOAB＝5， ∴OD3． 18．【解答】（1）解：连接OC，如图， ∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥DP， ∴∠OCD＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A， ∴∠OCD＝∠A+∠OCA＝2∠A， ∵∠OCD+∠D＝90°， 而∠D＝4∠A． ∴2∠A+4∠A＝90°，解得∠A＝15°， ∴∠D＝4×15°＝60°； （2）解：∵∠COD＝30°，CD＝2， ∴OD＝2CD＝4， 根据勾股定理可得OC2， ∴OA＝OC＝2， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 19:02:16；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $