专题11 圆 （山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题11 圆（原卷版） 考点1 利用圆周角定理及其推论求解 1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 考点2 切线的性质定理 1．（2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 考点3 求不规则图形面积 1．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 2．（2021·山西·中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 一、单选题 1．（2025·山西吕梁·二模）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点C在上，点D是弧的中点，连接，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．（2025·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 11．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山西大同·一模）如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山西·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山西·三模）如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，，点为的中点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 20．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 22．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在中，，先以点C为圆心画弧，使其恰好与边相切于点E，再以边为直径，在BC边的上方作半圆且恰好经过点E．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 故选：A． 23．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 24．（2025·山西临汾·一模）如图是某宣传版面的平面示意图，其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分，小强测得，，，则这块宣传版面的周长为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山西大同·三模）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 27．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 28．（2025·山西晋中·一模）如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 29．（2025·山西大同·二模）如图，已知的直径，，则的长为 ． 30．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 31．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 三、解答题 32．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 33．（2025·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 34．（2025·山西·一模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点，过点作的切线交的延长线于点．试判断与的位置关系，并说明理由． 35．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 36．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 37．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 38．（23-24九年级上·山西大同·期中）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）      任务： (1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 39．（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务：(1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 40．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为．另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形： ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2、连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ．．．．．． 任务： (1)材料中的依据1是指___________；依据2是指___________． (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整． (3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值． 41．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 42．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题． 【问题初探】 （1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由； 【问题再探】 （2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度． 43．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：． 证明：连接，，过点作边上的高，则． ， ， ． ． 任务： (1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______． 44．（2025·山西阳泉·模拟预测）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米=2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题． 实践名称 坐地日行几万里 实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米 方案设计 ①如图，为地球截面示意图，为地轴，为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即．点是北回归线（北纬）上一点，即； ②太阳光线可近似地看作平行线，即； ③分别为两点的地平面，即为的切线，切点分别是； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如； ⑤夏至日正午时，太阳光直射北回归线，即点，，三点共线，； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角 ······ ······ 任务： (1)求出点的纬度． (2)结合小聪的方案，计算漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留．参考数据：） 45．（2025·山西朔州·二模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．试判断与的位置关系，并说明理由． 46．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若，，求直径的长． 47．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积． 48．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 49．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题背景： 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形中，，P是对角线上的一个动点（不与点重合），，连接，过点作的垂线交射线于点，交射线于点，连接． 探索发现： (1)如图1，当是对角线的中点时，此时线段的长为_____，的度数为_____． (2)如图2，当时，请你解答如下问题： ①求线段的长； ②判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，直接写出的值． 50．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆（解析版） 考点1 利用圆周角定理及其推论求解 1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 4．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 考点2 切线的性质定理 1．（2021·山西·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 3．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， 所以则图中摆盘的面积 故选B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 考点3 求不规则图形面积 1．（2023·山西·中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 2．（2021·山西·中考真题）如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 3．（2020·山西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，为半径的与相切于点，与相交于点，的延长线交于点，连接交于点，求和的度数． 【答案】45°，22.5° 【分析】连接OB,即可得,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°． 【详解】 解：连接． 与相切于点， ．． 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ． ． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换． 一、单选题 1．（2025·山西吕梁·二模）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，即可解答，正确理解切线的性质是解题的关键． 【详解】解：与相切， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点，由折叠的性质可得，则可证明和是等边三角形，垂直平分，进而可得，解直角三角形得到，则，可求出，同理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点． 由折叠可知． 和是等边三角形，垂直平分． ， ， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ， 故选：A． 3．（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径地理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设于点， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， 故选：D ． 4．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 5．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，．由圆周角定理可得，根据点是的中点，可知，即可证为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等知识，正确连接辅助线是解题关键． 6．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点C在上，点D是弧的中点，连接，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用圆周角定理成为解题的关键． 根据圆周角定理可得，再根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等可得，进而可得，易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选C． 8．（2025·山西吕梁·一模）如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角定理得，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角定理以及等腰三角形的等边对等角即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点D作的切线与的延长线交于点P．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，然后根据圆的切线的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，   是的直径， ， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，连接，交于点，连接，，可得过圆心，，进一步求解，结合可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵正八边形内接于， ∴过圆心，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 12．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据正五边形的内角和可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据五边形的内角和可得的度数，最后根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的内切圆分别切，于点，， ∴，， ∴， ∴在五边形中，， 由圆周角定理得：， 故选：B． 13．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直径所对的角是直角得到，再由等腰三角形性质确定，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出所对的圆心角，最后由弧长公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 为半圆的直径， ， ， 是的角平分线，即， ， ， ， ， ，则， 的长为，则的长为， 故选：D． 【点睛】本题考查求弧长，涉及直径所对的角是直角、等腰三角形性质、圆周角与弧的关系、三角形内角和定理、弧长公式等知识，熟记圆周角定理及其推论、弧长公式等知识是解决问题的关键． 14．（2025·山西大同·一模）如图，在中，，点O在边上，经过点B，交于点D，连接，恰好是的切线．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先证明得到，根据勾股定理求得，代入比例式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 故选：C． 15．（2025·山西·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质成为解题的关键． 由题意可得，根据等边对等角可得，再根据切线的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，对角线是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 故选C． 16．（2025·山西·三模）如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，可得是等边三角形，求出，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，则，，根据阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 又，， ∴ ∴ 又∵在中，， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴ 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，则，， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 17．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，，点为的中点，过点作的切线与的延长线交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形面积公式、圆周角的性质及切线的性质，熟练掌握扇形面积公式、圆周角的性质及切线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得是等腰直角三角形，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 18．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作交与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，作交与点M， ∵六边形是正六边形， 设正六边形的边长为a，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴B、H、D三点共线，， ∴ ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2025·山西·模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    20．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 21．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，坐标与图形，设中间正六边形的中心为，连接根据的坐标分别为，得出，求出，即可求出，得出结果． 【详解】解：如图，设中间正六边形的中心为，连接． 点的坐标分别为， ， ． ， ， 点的坐标为． 故选：B． 22．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在中，，先以点C为圆心画弧，使其恰好与边相切于点E，再以边为直径，在BC边的上方作半圆且恰好经过点E．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积和等腰直角三角形等知识，连接，根据对称性可得两个阴影面积和是的面积减去弓形的面积，然后求解即可． 【详解】解：连接， ∵以点C为圆心画弧，使其恰好与边相切于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， 关于所在直线对称， ∴下方阴影与上方空白处重合， ∴两个阴影面积和是的面积减去弓形的面积， 的面积， 弓形的面积， 阴影面积为：， 故选：A． 23．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积解答即可． 【详解】解：设的中点为Ｇ，连接， ∵正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴三个空白的面积分别为：，，， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：Ａ． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积，熟练掌握公式是解题的关键． 24．（2025·山西临汾·一模）如图是某宣传版面的平面示意图，其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分，小强测得，，，则这块宣传版面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的公式和等边三角形的性质，解决此题的关键是作出合适的辅助线，延长交于点O，得到弧所在圆的半径，根据弧长公式即可算出弧长； 【详解】解：延长交于点O， 由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角边， 又， ∴，， ∴， ∴圆弧的长度为：． ∴则这块宣传版面的周长为． 故选：C 25．（2025·山西大同·三模）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差，转化为求矩形面积和扇形面积的差，通过对图形进行合理的组合与拆分来找到面积关系即可得解．本题主要考查矩形面积公式、扇形面积公式以及图形面积的转化思想．解题的关键在于通过设空白部分面积为辅助量，将阴影部分面积差转化为矩形面积与两个扇形面积的差，灵活运用面积公式进行计算． 【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为． ∵，， ∴． ∵以、为圆心，长为半径画弧，，且， ∴一个扇形面积，两个扇形面积 ． 阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为，即． ∵， ∴． 故选：C． 26．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出等边三角形的边长为，过点作的垂线，求出的面积，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为， 所以， 过点作的垂线，垂足为， 由是等边三角形得， ， ，， 则， 所以， 又因为， 所以“莱洛三角形”的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，解题关键是熟知扇形的面积公式及等边三角形的性质． 二、填空题 27．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【详解】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 28．（2025·山西晋中·一模）如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，由折叠性质可知，根据正弦求出，通过三角形外角性质得出，最后由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 29．（2025·山西大同·二模）如图，已知的直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，半圆或直径所对圆周角等于，锐角三角函数的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．如图所示，连接，可得，，是等腰直角三角形，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 故答案为： ． 30．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 【答案】 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 31．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 三、解答题 32．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 33．（2025·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先根据等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理及等量代换得到，然后根据切线的判定定理可得结论； （2）先根据垂径定理推导 是的中位线，则，，证明，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 34．（2025·山西·一模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点，过点作的切线交的延长线于点．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理．根据角平分线的定义求得，根据垂径定理的推论求得，再根据切线的性质求得，根据平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：．理由如下： 如图，连接． 平分， ， ， ， 与相切于点， ， ． 35．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：垂直且平分， ， ． ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 36．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 37．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于 (2) 【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解； （2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图2，连接． 点恰好落在上， （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ， ． ， ， ． （三角形内角和是， ， 与相切． 故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是； （2）解：如图2，过点作于点， ， 与相切， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的内角和定理等，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键． 38．（23-24九年级上·山西大同·期中）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）      任务： (1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】(1)依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 (2)，，， (3)2 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可； （3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【详解】（1）解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ， ， ； （3）解：弦切角， 由（2）可知：， ， 为直径， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 39．（2025·山西晋中·三模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直径所对的圆周角是直角即可解答； （2）根据圆周角定理进行线段的转换，再利用勾股定理即可解答； （3）直接利用（2）中原理即可解答． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：于点， ， ， 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； （3）解：根据（2）中结论可得， ， 故答案为：． 40．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是数学小组研究性学习的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为．另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形： ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2、连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ．．．．．． 任务： (1)材料中的依据1是指___________；依据2是指___________． (2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整． (3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)四边形的内角和等于；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形内角和和直角三角形的性质进行解答即可； （2）证明，根据三角函数定义得出，即可证明结论； （3）根据矩形的性质得出，，设，则，根据勾股定理求出，根据三角函数定义得出，证明四边形为“垂直四边形”，得出． 【详解】（1）解：的依据是四边形的内角和等于；的依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）解：如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ∴， ∴， 即“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． （3）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴四边形为“垂直四边形”， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解新定义． 41．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 42．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题． 【问题初探】 （1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由； 【问题再探】 （2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）垂直且相等，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）延长交于点，根据，得出，证明，即可证明，根据三角形内角和定理得出，证出，即可证明； （2）根据和均为等腰直角三角形，，即可得出，，，证出，即可得，在 中，勾股定理求出，得出，即可求出； （3）如图中，连接，根据，，得出，即可得，，证明，根据相似三角形的性质求出，根据共线，求出，即可得，即四点共圆，根据圆周角定理得出，勾股定理求出，根据直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：（1）， 证明：延长交于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）∵和均为等腰直角三角形，， ， ， ， ∴， ， ， ， 在 中，， ， ， ； （3）如图中，连接， ∵，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵共线， ， ， ， ， 四点共圆， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 43．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：． 证明：连接，，过点作边上的高，则． ， ， ． ． 任务： (1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______． (2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． (3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内切圆，矩形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键． （1）设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，利用即可求解； （2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决； （3）先证明，结合菱形性质得出，再分别利用三角形的同高面积求出，，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，， ∴于，于，于， ∵的半径为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ． ； （3）解：∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 44．（2025·山西阳泉·模拟预测）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米=2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题． 实践名称 坐地日行几万里 实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米 方案设计 ①如图，为地球截面示意图，为地轴，为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即．点是北回归线（北纬）上一点，即； ②太阳光线可近似地看作平行线，即； ③分别为两点的地平面，即为的切线，切点分别是； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如； ⑤夏至日正午时，太阳光直射北回归线，即点，，三点共线，； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角 ······ ······ 任务： (1)求出点的纬度． (2)结合小聪的方案，计算漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留．参考数据：） 【答案】(1)北纬 (2)大约千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、切线的性质、平行线的性质，理解题意是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得出，再利用平行线的性质得出，进而得出的度数，即可得出答案； （2）过点作于点，在中利用正弦的定义求出的长，再利用圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：为的切线， ，即与的夹角为， ， ， ， ， ， 点的纬度为北纬． （2）解：如图，过点作于点，则， 由（1）得，， ， 在中，， ， 点每日绕地轴旋转大约千米， 答：漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约千米． 45．（2025·山西朔州·二模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，连接，交于点G，由切线的性质得出，由角平分线的定义和圆周角定理得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，再由直径所对的圆周角等于90度得出，进而可得出． 【详解】解：，理由如下： 连接，交于点G， ∵是的切线， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由圆周角定理可知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 46．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由圆的切线的性质以及圆周角定理证明，再证明即可； （2）连接，可得，由勾股定理求得，则，可证明，那么，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下：如答图1，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如答图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 47．（2025·山西临汾·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，扇形面积的求解，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角证明，再由圆的切线得到，即可求证； （2）连接，记与交于点，由圆周角定理得，则，解求出，求出，，，可求，，则由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴； （2）解：连接，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 49．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题背景： 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形中，，P是对角线上的一个动点（不与点重合），，连接，过点作的垂线交射线于点，交射线于点，连接． 探索发现： (1)如图1，当是对角线的中点时，此时线段的长为_____，的度数为_____． (2)如图2，当时，请你解答如下问题： ①求线段的长； ②判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由直角三角形的性质可得，推出，由三角形内角和定理求出，求出，进而得到，推出，证明，推出，结合，利用三角形内角和定理即可求解； （2）①过点P作于点G，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质得到，求出，利用（1）中，由勾股定理求出，设，利用，列出方程求解即可；②取中点，连接，利用直角三角形的性质得到，推出四点共圆，由圆周角定理得到，利用正切的定义即可得到线段与的数量关系； （3）同理（2）②得四点共圆，在上取点，使得，求出，得到，设，则，求出，利用余弦的定义求出，由勾股定理求出，再根据，得到计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是对角线的中点， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点P作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； ②取中点，连接， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴，即； （3）解：如图，同理（2）②得四点共圆，在上取点，使得， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，四点共圆的性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 50．（2025·山西朔州·三模）阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了平移的性质，坐标与图形，尺规作图，平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质，尺规作图，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质解答即可； （2）过点B作，然后在射线上截取，连接，即可； （3）先求出，可得，点，然后分三种情况讨论，结合平行四边形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】解：（1）由平移的性质得：平移的距离， ∵，是线段的三等分点，， ∴， 即； 故答案为：2 （2）如图，即为所求； （3）∵点的坐标分别是，，     ∴，， ∴， ∴， ∴点， 若四边形或为平行四边形，此时轴，轴，且， ∴点； 若四边形为平行四边形，此时沿的方向平移至的位置， ∵点的坐标分别是，，   ∴点D先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点E， ∴点先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点， ∴； 综上所述，点G的坐标为或或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$