专题16正方形 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

本讲义聚焦初中数学正方形专题，系统梳理定义（有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形）、性质（边、角、对角线、对称性）、判定定理（定义法、矩形/菱形基础、对角线法）及常用公式，构建与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，形成完整学习支架。 资料亮点在于18类分层题型设计，涵盖证明、计算、折叠等，每题型配核心解题技巧，典例与变式结合。通过几何直观呈现图形变换，培养逻辑推理与数形结合思维，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过过关检测查漏补缺，提升综合解题能力。

专题16正方形 （4知识点+18题型+过关检测） 【题型1 证明四边形是正方形】 2 【题型2 正方形的判定定理理解】 5 【题型3 添一个条件使四边形是正方形】 10 【题型4 正方形性质理解】 13 【题型5 根据正方形的性质求角度】 15 【题型6 根据正方形的性质求线段长】 17 【题型7 根据正方形的性质求面积】 22 【题型8 正方形折叠问题】 25 【题型9 求正方形重叠部分面积】 32 【题型10 根据正方形的性质证明】 38 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 45 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 50 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 56 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 60 【题型15 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 72 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 78 【题型17 四边形中的线段最值问题】 84 【题型18 四边形其他综合问题】 93 1. 知识目标：理解正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰梳理正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间的从属关系，掌握正方形的轴对称、中心对称性质。 2. 能力目标：能熟练运用正方形的性质求解角度、线段长度、图形面积；掌握正方形的各类判定方法，可独立完成正方形相关证明题、折叠题、动点题、最值题及综合题型。 3. 素养目标：培养几何直观、逻辑推理和数形结合思维，能灵活结合特殊平行四边形性质解决综合几何问题，提升几何建模与动态分析能力。03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从属关系：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形和菱形的所有性质。 知识点2：正方形的性质（核心） 1. 边的性质：四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质：四个角都是直角，均为90°。 3. 对角线性质：对角线相等、互相垂直、互相平分；每条对角线平分一组对角；对角线与边的夹角为45°。 4. 对称性：既是轴对称图形（4条对称轴：两条对角线、两组对边中点连线），又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 知识点3：正方形的判定定理 判定1（定义法）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 判定2（矩形基础）：一组邻边相等的矩形是正方形。 判定3（菱形基础）：有一个角是直角的菱形是正方形。 判定4（对角线法）：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 知识点4：正方形常用公式 设正方形边长为，对角线长为： 1. 周长： 2. 面积： 3. 对角线与边长关系： 04 题型•汇总 【题型1 证明四边形是正方形】 核心解题技巧 1. 优先选最简判定路径，遵循“先证平行四边形→再证矩形/菱形→最后证正方形”的递进逻辑；2. 矩形证正方形：只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直；3. 菱形证正方形：只需证明一个内角为90°或对角线相等；4. 任意四边形证正方形：需证明对角线垂直、平分且相等，条件缺一不可；5. 证明过程条件要完整，杜绝跳步，严格对应判定定理。 【典例1】．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便可得到正方形：a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角．顺次添加的条件：①；②；③．则正确的结论是（    ） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 【答案】C 【详解】解：①对条件组合， ∵a两组对边分别相等， ∴该四边形是平行四边形， ∵c一组邻边相等， ∴该平行四边形是菱形， ∵d一个角是直角， ∴该菱形是正方形，故①正确； ②对条件组合， ∵b为一组对边平行且相等， ∴该四边形是平行四边形， ∵d一个角是直角， ∴该平行四边形是矩形， ∵c一组邻边相等， ∴该矩形是正方形，故②正确； ③对条件组合， ∵a两组对边分别相等已经可判定该四边形是平行四边形，添加b一组对边平行且相等仍只能得到平行四边形，再添加c一组邻边相等只能得到菱形，无法得到正方形，故③错误； 因此正确的是①②． 【变式1】．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断每个条件即可． 【详解】解：①∵该图形是平行四边形，且对角线互相垂直且相等， ∴该平行四边形既是对角线互相垂直的平行四边形（菱形），又是对角线相等的平行四边形（矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ②∵该图形是矩形，对角线互相垂直， ∴该四边形是正方形，符合题意； ③∵该图形是菱形，对角线相等， ∴该四边形是正方形，符合题意； ④∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加上对角线相等，即可判定对角线相等的菱形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ⑤∵该图形是平行四边形，有一组邻边相等可得它是菱形，有一个角是直角可得它是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； 综上其中能判定四边形为正方形的有5个． 【变式2】．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【答案】③④⑤⑥（答案不唯一） 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据③对角线相等判定平行四边形为矩形，最后根据④对角线互相垂直的矩形是正方形得到结论． 【详解】解：选择③④⑤⑥，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ∴ 平行四边形是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形） ， ∴ 矩形是正方形，（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 【变式3】．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 【题型2 正方形的判定定理理解】 核心解题技巧 1. 牢记判定层级：平行四边形条件+直角+邻边相等=正方形；2. 区分易混判定：对角线相等的菱形是正方形，对角线垂直的矩形是正方形；3. 排除错误命题：对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形（需加互相平分）；4. 辨析题型优先用排除法，熟记“缺一不可”的判定条件，避免概念混淆。 【典例2】．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】B 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，∴A正确； B、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，∴B错误； C、有三个角是直角的四边形是矩形，是矩形的判定定理，∴C正确； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是正方形的判定定理，∴D正确． 【变式1】．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 【答案】正方形 【分析】根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为，再由正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由图中的折叠过程可知剪得的四边形上、下、左、右四条边都相等，且每个内角的度数均为， 即得到的平面图形是正方形． 【变式2】．如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）因为矩形中，，，所以在四边形中有三个角为直角，由矩形的判定方法可得四边形是矩形； （2）当点运动到使时，矩形为正方形． 本题考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：当点运动到使时，矩形为正方形．过程如下： 如图：连接， 为矩形， ， ， ， 矩形为正方形． 【变式3】．如图1，在矩形胶片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向移动得到（如图2），直线，交于点E，直线，交于点F，设． (1)在图1中，的度数为______，边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当x为何值时，以，，C，D为顶点的四边形是正方形？ (4)是否存在x的值，使得以，E，C，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)矩形 (3)当x为或时，以，，C，D为顶点的四边形是正方形； (4)当x为或时，以，E，C，F为顶点的四边形是菱形． 【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由平移的性质得， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 故答案为：矩形； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴； 综上，当x为或时，以，，C，D为顶点的四边形是正方形； （4）解：当点在线段上时， ∵， ∴， 由平移的性质知， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴，由平移的性质知， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴； 综上，当x为或时，以，E，C，F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型3 添一个条件使四边形是正方形】 核心解题技巧 1. 先看题干已知图形：已知平行四边形，添“邻边相等”或“一个直角”可逐步推正方形；2. 已知矩形，唯一最简条件：邻边相等/对角线互相垂直；3. 已知菱形，唯一最简条件：一个内角为90°/对角线相等；4. 已知任意四边形，需补充两组条件，此类题型优先结合题干已有条件补缺；5. 填写条件优先选择最简洁、最直接的边、角、对角线条件。 【典例3】．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 【变式2】．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 【变式3】．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 【题型4 正方形性质理解】 核心解题技巧 1. 正方形汇总矩形、菱形所有性质：边角相等垂直、对角线相等垂直平分；2. 专属性质：对角线与边夹角恒为45°，是解题角度计算的核心突破口；3. 四条对称轴，对称点连线垂直对称轴，可利用对称性快速转化边角；4. 对比记忆：平行四边形、矩形、菱形、正方形性质逐级递增，不混淆独有性质。 【典例4】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 【变式1】．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 【变式2】．如图，直线的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质证明，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质可得，，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得， 令正方形A，B，C的边长分别为， 则， ∵正方形A的面积比正方形C的面积小6， ∴， ∴， 解得， ∴， 即正方形A的面积为4． 【变式3】．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线垂直） 【分析】先根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系得A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形，再根据正方形和矩形的性质即可解答． 【详解】解：由图可知，A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形， 正方形具有而矩形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）， 即A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）． 故答案为：邻边相等（或对角线垂直）． 【题型5 根据正方形的性质求角度】 核心解题技巧 1. 基础固定角：内角90°、对角线分角45°，优先标记固定角度；2. 利用等腰直角三角形：正方形对角线分割出的三角形均为等腰直角三角形；3. 结合对顶角、余角、补角、三角形内角和180°推导未知角；4. 遇折叠、相交题型，依托对称性质，角度等量代换快速求解。 【典例5】．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，以正方形的一边向正方形内作等边，则_____． 【答案】75 【分析】由正方形及等边三角形的性质，证明是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 【变式3】．如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 【答案】 /度 【详解】解：∵四边形是正方形，为等边三角形， ∴， ∴，， ∴. 【题型6 根据正方形的性质求线段长】 核心解题技巧 1. 四边等长，已知一边即可得所有边长；2. 对角线求边：已知对角线，边长；已知边长求对角线直接乘；3. 遇线段分割、交叉题型，用全等三角形、勾股定理转化线段；4. 利用对称性：对称线段长度相等，简化复杂线段求解。 【典例6】．如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据勾股定理及正方形面积公式，可知下方两个小正方形面积之和等于大正方形面积，结合三个正方形面积和求出大正方形面积，再利用勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：设大直角三角形的竖直直角边长为x，则大正方形的面积为， ∵下方两个小正方形建立在一个以x为斜边的直角三角形上， ∴下方两个小正方形的面积和等于， ∵三个正方形阴影部分的面积和是90， ∴，即， 在中，一直角边长为6，另一直角边长的平方为45 ， ∴斜边长． 【变式1】．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 【变式2】．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ． ． ． 所以，． 所以，是直角三角形． 由勾股定理得． 因为是的中点， 所以． 【变式3】．如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 【答案】 【分析】①根据勾股定理即可求解； ②延长到点，使，连接，通过论证， ，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】①解：∵正方形中，， ∴， ∴， ②解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴解得：， ∴. 【题型7 根据正方形的性质求面积】 核心解题技巧 1. 基础公式：边长平方、对角线公式，根据已知条件灵活选用；2. 分割法：复杂组合图形拆分为正方形、等腰直角三角形，分别求面积再求和；3. 补全法：不规则图形补成完整正方形，用整体面积减去空白面积求解；4. 等积变换：利用正方形对称性、三角形全等，实现面积等量替换，简化计算。 【典例7】．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1】．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 【变式2】．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是正方形，，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据正方形的性质设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得或， 当时，则的面积； 当时，则的面积， ∴的面积为或． 【变式3】．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∴正方形的面积为：． 【题型8 正方形折叠问题】 核心解题技巧 1. 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角完全相等；2. 必用工具：勾股定理，设未知线段长，列方程求解边长；3. 角度技巧：折叠产生等角、45°角、直角，结合互余关系推导；4. 找准折痕：折痕为对称轴，垂直平分对应点连线，是解题关键辅助线；5. 杜绝想当然，所有边角关系必须通过全等和定理推导。 【典例8】．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】连接，交于点H，过点F作于点M，证明，求出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得：，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型9 求正方形重叠部分面积】 核心解题技巧 1. 经典模型：两个边长相等的正方形绕中心旋转重叠，重叠面积恒为单个正方形面积的四分之一，可直接秒杀填空选择题；2. 解题核心方法：割补法、旋转全等法，将不规则重叠区域转化为规则等腰直角三角形；3. 利用正方形中心对称、轴对称性质，实现重叠面积等量替换；4. 不规则重叠图形优先用“整体减空白”思路，快速计算剩余重叠面积。 【典例9】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式1】．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可； （2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【详解】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心， 、、， 、， ， 在和中， ， ， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ， ， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， 、， 、， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形的对角线的交点， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 当时，将四边形面积二等分． 【题型10 根据正方形的性质证明】 核心解题技巧 1. 证明线段相等：优先用正方形四边相等、对角线相等、三角形全等推导；2. 证明线段垂直：依托正方形直角、对角线互相垂直、等腰直角三角形性质；3. 证明角度相等：利用45°、90°特殊角、全等三角形对应角相等推导；4. 证明平行关系：依托正方形对边平行、邻边垂直的位置特征；5. 规范证明逻辑：先罗列正方形基础性质，再逐步推导最终结论，不跳步。 【典例10】．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点(点不与重合)，过点作交于点,连结．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是正方形面积的四分之一；④．其中结论正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形判定、勾股定理，通过证明三角形全等，推导边、角及面积关系，逐一验证4个结论． 【详解】解：结论①：， 四边形是正方形， , ， ， ， 又， ， 在和中： ， 结论①正确； 结论②：是等腰直角三角形， 由，得， 正方形中，是对角线交点， ，， 在和中： ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，②正确； 结论③：四边形 的面积是正方形面积的四分之一， 由，得 ， ， 正方形对角线平分面积，， 四边形 的面积是正方形面积的四分之一，③正确； 结论④：， 由正方形性质，， 又， ， 在中，由勾股定理： ， 代入，，得 ，④正确， 综上，①②③④均正确，共4个． 【变式1】．如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 【答案】①③④ 【分析】对于①，由正方形的性质可得，，，结合可得，从而证明；对于②，由可得，由勾股定理可得， 从而得到，由直角三角形的性质可得，因此；对于③，由可得，因此；对于④，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，因此． 【详解】解：对于①，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 对于②，在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，故②错误； 对于③，∵， ∴， ∴，故③正确； 对于④，在中，点为斜边的中点， ∴， 同理，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为：①③④． 【变式2】．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，连接，，，若． (1)求证：． (2)求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求得，再根据线段的和差关系即可证明； （2）根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：正方形的边长为4， ∴， ∵ ∴，， ∴，， ∴； （2）解：根据勾股定理可得． 【变式3】．如图1，在正方形中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，、、、分别是边、、、上的点，且 （a）求证：． （b）求证： （c）若正方形的边长为a，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)（a）见解析；（b）见解析；（c） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得证结论； （2）（a）过点作，交于点G，过点B作，交于点H，可得出四边形，四边形都是平行四边形，因此，，证明，从而与（1）同理可得，得到，即可得证结论； （b）由得到，根据得到，根据平行四边形的对边相等得到，，即可得证结论； （c）连接，，，，设与相交于点K，过点A作，交于点G，由，得到，当最小时，的值最小，由于，得到的最小值为，即可解答． 【详解】（1）证明∶设与的交点为O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）（a）证明：过点A作，交于点G，过点B作，交于点H， ∵在正方形中，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， 由（1）同理可得， ∴， ∴． （b）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∴． （c）连接，，，，设与相交于点K，过点A作，交于点G， ∵，， ∴ ， ∴当最小时，的值最小， 由（a）知四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的值最小为． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 核心解题技巧 1. 解题固定流程：先通过判定定理证明图形为正方形，再套用正方形固定角度性质；2. 结合判定条件推导边角关系，快速得出90°直角、45°对角线夹角等基础角；3. 综合运用三角形外角、内角和、互余互补关系求解复杂角度；4. 坚持“先判定、后求值”，杜绝直接套用性质，规避逻辑漏洞。 【典例11】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式1】．直角梯形中，是边上的一点，恰好使，并且，则的长是__________． 【答案】4或6 【分析】本题考查正方形的判定与性质，旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作交的延长线于F，证明四边形是正方形，则把绕点B顺时针旋转得到，再，得到，设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 把绕点B顺时针旋转得到， 则． ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中， ， 即， 整理得 ， 解得， ∴的长是4或6． 故答案为：4或6． 【变式2】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【变式3】．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 核心解题技巧 1. 先判定图形为正方形，确定四边相等、对角线垂直相等的核心关系；2. 结合勾股定理、全等三角形、相似三角形完成未知线段转化；3. 复杂线段计算采用设未知数、列方程的方程思想精准求解；4. 巧用对角线、中点、对称性质简化运算，减少计算步骤。 【典例12】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 【变式1】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 【答案】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 【变式3】．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 核心解题技巧 1. 解题步骤：先判定图形为正方形，再代入对应面积公式计算；2. 无直接边长时，通过对角线长度、三角形面积间接推导正方形面积；3. 不规则图形面积，用割补法、整体减空白法拆分求解；4. 借助全等、对称实现面积等量替换，简化复杂计算。 【典例13】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 【变式3】．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 核心解题技巧 1. 综合证明两步法：先判定图形为正方形，再利用性质证明边角、位置关系；2. 层层递进推导：混用平行四边形、矩形、菱形判定定理，逐步锁定正方形；3. 复杂证明结合三角形全等、勾股定理、平行线性质辅助推导；4. 形成逻辑闭环：已知条件→判定正方形→套用性质→得出结论，步骤完整严谨。 【典例14】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明，可得，由，可得，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；过点作于点，，交的延长线于点N，则四边形是矩形，证明，得到，则可证明四边形是正方形，得到，故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ∴，故③正确； 如图所示，过点作于点，，交的延长线于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 【变式2】．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式3】．在正方形中，，为对角线上一点，连接，过作，交于． (1)如图，求证：； (2)如图，过作交于，连接交于，证明：； (3)如图，在（）条件下，记的中点为，为线段上一点，且，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)线段长度的最小值为． 【分析】（）过作于点，于点，由四边形是正方形，得，平分，所以，，然后通过同角的余角相等得，证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）过作于点，于点，延长交于点，连接交于点，由（）得，，则四边形是矩形，故有四边形是正方形，则，又四边形是正方形，所以，，平分、，再证明四边形是矩形，四边形是矩形，故有，，设，故有，所以，，即有，再证明，所以，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，则； （）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，由（）得，设，则，所以，，故有，可得点在直线上运动，设直线与，轴交于点，，所以，所以，然后根据“垂线段最短”可知，当时，线段长度有最小值，如图，延长交轴于点，所以，则，，所以，，再求出，则，即线段长度的最小值为． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点，于点，延长交于点，连接交于点， 由（）得，，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分、， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由（）得：， 设，则， ∴，， ∵的中点为， ∴， 设，， ∴，即， ∴点在直线上运动，设直线与，轴交于点，，如图， 当时，；时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据“垂线段最短”可知，当时，线段长度有最小值，如图，延长交轴于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为． 【题型15 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 核心解题技巧 1. 利用正方形轴对称、中心对称特性，将不规则阴影拼接、平移为规则图形；2. 核心解题思路：不规则阴影区域→对称补全→转化为正方形/等腰直角三角形面积；3. 中心对称图形中，对称区域面积完全相等，可直接等量替换、抵消空白；4. 选择填空题优先用对称等积模型秒杀，无需复杂列式计算。 【典例15】．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 【变式1】．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【变式2】．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 【变式3】．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 核心解题技巧 1. 核心思想：化动为静，设运动时间为t，用含t的代数式表示动点线段长度；2. 根据正方形的判定、性质列方程，求解动点对应时间t的取值；3. 全程分类讨论：不同运动阶段图形形状、位置关系不同，杜绝漏解；4. 最后验证取值范围，保证动点始终在图形边上，符合实际运动轨迹。 【典例16】．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 【变式1】．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式2】．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 【变式3】．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 【题型17 四边形中的线段最值问题】 核心解题技巧 1. 最短和模型：依托正方形对称性，用将军饮马模型求线段和最小值；2. 最长线段模型：正方形内动点到定点的最长距离为对角线长度；3. 最短距离模型：动点到定直线的最小距离为垂线段长度；4. 复杂最值可结合勾股定理、不等式、二次函数辅助求解。 【典例17】．如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 【变式1】．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 【变式2】．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 【变式3】．如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合，判定四边形是菱形，再根据判定是等边三角形，即可求解； （2）设，交于点M，根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可； （3）将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到，当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：连接；设，交于点M， 根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（负的舍去）， ∴， ∴； 【题型18 四边形其他综合问题】 核心解题技巧 1. 综合题固定逻辑：先定性判定图形类型，再定量计算边角、面积；2. 拆分难题：将综合大题拆分为角度、线段、面积、证明小问题逐一突破；3. 熟记高频几何模型：折叠、旋转、重叠、动点、最值五大核心模型；4. 解题收尾验证：核对条件、过程、结论，保证解题逻辑完整合理。 【典例18】．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 【变式1】．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2】．定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 【变式3】．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 05 过关•检测 1．在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，过点C作，两直线相交于点D，过点D作轴，垂足为G，过点B作轴，垂足为H，过点B作轴，过点C作轴，与相交于点M，先证明矩形是正方形，再证明，所以 ，结合B点坐标，得到点的坐标． 【详解】解：过点A作，过点C作，两线段相交于点D，过点D作轴，垂足为G，过点B作轴，垂足为H，过点B作轴，过点C作轴，与相交于点M，如下图 ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 轴，轴， ，， ， ， ， ， 点B坐标为， ， 点D坐标为． 2．如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，然后根据正方形的性质得出． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 点D的坐标是， ， ． 3．如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，故①正确；根据三角形外角的性质得到，根据等量代换得到，故②正确；根据，不能证明，故③错误；根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到的等腰直角三角形，于是得到，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 在与中， ∵∠， ∴不能证明，故③错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的等腰直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是①②④． 4．如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及面积计算．解题的关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， ， ，即三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 当为的中点时，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， ， 不是的中点，故②错误； 当为的中点时， ，，故③正确； 过点作于点， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 点到的距离为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 6．图中的正方形是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚…，该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中某个点与数轴上的666重合，则剪拼出正方形的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：起点是，需要滚动距离：； 选项A，拼成的正方形，边长为：，是无理数，正方形四个顶点落到数轴的点，也是无理数，668是有理数，两者不会重合，不符合题意； 选项B，拼成的正方形，边长为：2，能够被668整除，能够重合，符合题意； 选项C，拼成的正方形，边长为：3，668不能被3整除，不能重合，不符合题意； 选项D，拼成的正方形，边长为：，也是无理数，不能与668重合，不符合题意； 故答案选：B． 7．如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（    ） A． B．四边形的面积等于正方形面积的 C． D．平分 【答案】D 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可判断． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项成立，不符合题意； B、由A可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即四边形的面积等于正方形面积的，故选项成立，不符合题意； C、由A可知， ∴，故选项成立，不符合题意； D、由A可知， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，即， ∴不一定平分，故选项不一定成立，符合题意． 8．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 9．如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交AE的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求BE，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴． 在和中， ∴，故①正确． ③∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故③正确． ②过作，交AE的延长线于． ∵，， ∴． 又∵③中，， ∴． ∵， ∴， ∴，故②不正确． ④∵，， ∴在中， ∴，故④正确． 故选：D． 10．如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】对于①，根据题意容易得到，，则；对于②：容易证明，则；对于③，由等腰三角形的性质可得，结合直角三角形的性质可得；对于④，取的中点，连接、，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，结合可得，最小． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 对于②：在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； 对于④：如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故④正确； 综上，正确的结论为：①②④． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】过点作轴，过点作轴，过点作，构造全等三角形，利用对应边相等求出，的长，进而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∵点的坐标是， ，， 四边形是正方形， ，， ， 轴，轴，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∵点在第二象限， 点的坐标为． 12．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 13．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 【答案】 ②④（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理，只需添加两个条件使平行四边形同时满足矩形和菱形的判定条件，即可推出平行四边形是正方形. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又平分， ∴， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑤是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵平分， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑥是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 又∵， 平行四边形是矩形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为②④是正方形； 14．如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；连接、相交于点，取的中点，连接、，先利用正方形的性质和勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，最后利用即可求出长的最小值． 【详解】解：如图所示，连接、相交于点，取的中点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是直角三角形，为斜边上的中线， ∴， ∵在中，， ∴当三点共线时，取最小值． 15．如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 【答案】 【分析】由正方形的性质得到，，则可求出的长，进而得到的长，证明四边形是矩形， 得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 16．魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 【答案】 【分析】证明，得到，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为． 17．如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．    【答案】3 【分析】通过连接，利用矩形的性质转化线段关系，从而证明，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接．   四边形是正方形， ∴，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵正方形的边长为，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为3． 18．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，其中正确的结论是_______________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及面积公式，对四个结论逐一进行推导和验证即可． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得， ∴，， ∵为正方形的对角线， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； 由①得，， ∵，， ∴，即， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直角三角形的两直角边分别为，() ， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 故③正确 ； ∵， ∴，解得， 即， 故④正确； ∵，，经计算， ∴， 故②错误； 综上，正确的结论是：①③④． 19．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，根据正方形的性质，结合中点的定义得到，进而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到，从而，得证结论； （2）先根据中点的定义得到，再根据勾股定理在中求出，再在中求出即可． 【详解】（1）证明：取的中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F是的中点，点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． （2）解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 21．如图1：正方形中，点E、F分别在边上，，连接交于点O． (1)求证：； (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的角平分线交于N，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，连接，若四边形BENF的面积是25，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据平行四边形的面积可得，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图： ∵四边形是平行四边形，且面积是25，， 故， ∴， ∵正方形中，， ∴， 在中，． 22．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)7 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 23．如图，在矩形中，，延长至点E，使得，连接．若动点P从E点出发，以每秒的速度沿线段向B点运动；动点Q从A点出发以每秒的速度沿向D点运动，点P，Q同时出发，当点P，Q有一个到终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求t为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，______（选填“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点P的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出点P的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)不存在 (3)点P的速度为每秒 (4)或或 【分析】（1）根据题意可得，得到，根据时，四边形是矩形，列出方程求解即可； （2）由矩形的性质可得，得到，勾股定理求出，由（1）知，得到，当时，四边形是平行四边形，判断此时是否相等，即可判断四边形是否菱形； （3）根据正方形的性质求出点P，Q运动的时间，即可解答； （4）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵在矩形中，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 则，解得， 此时，， ∵ ∴四边形不是菱形， ∴不存在t值，使得四边形是菱形； （3）解：设点P的速度为每秒， 同理（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，则， 解得， ∴，即， 解得， ∴点P的速度为每秒； （4）解：由（1）知，由（2）知， 当时， ∵，即， ∴，即， ∴，解得； 当时， 则，解得； 当时， 在中，， ∵， ∴， 解得； 综上，t的值为或或． 24．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． (1)直接写出值：_______，_______； (2)正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． (3)如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 【答案】(1)4；4 (2)4; (3) 【分析】（1）根据二次根式的非负性构造不等式即可求解； （2）证明，根据即可求解，再构造对应关系即可配方求得最小值； （3）延长到G，使，连接，证明，可知，再证，再根据三角形的中位线即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 则， ∴； （2） ∵正方形ABCD ∵正方形 在和 , 设,则， ∴， 当时，取得最小值，, 则 ∴的最小值为； （3）延长到G，使，连接 ∵点E是的中点， ∵正方形 , 在和中 在和中， ． 25．在一次数学活动课上，李老师在四边形的边上分别取点E，F． (1)如图1，四边形是正方形，，同学们将拼图中的绕点顺时针旋转至，请写出三者之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有题（1）的结论； (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)这条道路的长约为米 【分析】（1）根据旋转的性质可以得到，再证明，即可． （2）延长至M，使，连接，证，证，即可得出答案； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则米．把绕点A逆时针旋转至，只要再证明即可得出． 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图（2），延长至M，使，连接， ∵，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即． （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转至，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴米． 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点G在的延长线上． 由旋转得， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴（米）， 即这条道路的长约为米． 26．对凸四边形我们进行约定：若四边形的对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形的对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形的对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形的对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． (1)有下列三种说法，其中正确的说法有 ．（填序号） ①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形． ②有一个角是直角的菱形是“线垂且等”四边形． ③依次连接“线垂不等”四边形各边的中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形． (2)如图在中，，于点，、、分别是、、的中点． ①四边形是“线垂且等”四边形； ②若，，求四边形的面积． 【答案】(1)②③ (2) ①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判断即可； （2）①根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，，从而可证结论成立； ②根据直角三角形的性质和勾股定理可以求出、、的长度，再根据梯形的面积公式求出结果． 【详解】（1）解：①平行四边形包括矩形、菱形、正方形， 其中矩形是“线等不垂”四边形，菱形是“线垂不等”四边形，正方形是“线垂且等”四边形， 故①错误； ②有一个角是直角的菱形是正方形， 正方形的对角线相等且互相垂直， 正方形是“线垂且等”四边形， 有一个角是直角的菱形是“线垂且等”四边形， 故②正确； ③根据三角形的中位线定理，可知依次连接“线垂不等”四边形各边的中点，构成的四边形是矩形， 矩形的对角线相等但不垂直， 矩形是“线等不垂”四边形， 依次连接“线垂不等”四边形各边的中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形， 故③正确； 综上所述，正确的说法有②③； （2）①证明：如下图所示，连接、， ， ， 点是的中点， ， 点、分别是和的中点， 是的中位线， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是“线垂且等”四边形； ②解：在中，，，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， 且，， . 27．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)问题发现：如图①，将正方形沿对折，使点落在平面内的点处，连接，若，则 ； (2)解决问题：如图． 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．连接，图中是什么特殊三角形？请写出解答过程． (3)拓展应用：已知，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 【答案】(1)； (2)为等边三角形，见解析； (3)的长为或． 【分析】（）由折叠的性质和勾股定理可求解； （）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵将正方形沿对折，使点落在平面内的点处， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：是等边三角形， ∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， ∴垂直平分， ∴， 由折叠性质可得， ∴ ∴为等边三角形； （3）解：如图，当点在上时， 由折叠可知：，， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，当点落在上时， 由（）可知：是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， 综上所述：的长为或． 28．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示______，用含n的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示） ②已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①；②图见解析， 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②连接，利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作交的延长线于点H，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出的长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，同理（1）即可求解； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的矩形，利用勾股定理构图即可求解； ②用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， ∵（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点H，如图， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5． （2）解：如图，设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， ∵（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于H， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． （3）解：①分别以，为边长作矩形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴，，， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为； ②画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16正方形 （4知识点+18题型+过关检测） 【题型1 证明四边形是正方形】 2 【题型2 正方形的判定定理理解】 3 【题型3 添一个条件使四边形是正方形】 4 【题型4 正方形性质理解】 5 【题型5 根据正方形的性质求角度】 6 【题型6 根据正方形的性质求线段长】 7 【题型7 根据正方形的性质求面积】 9 【题型8 正方形折叠问题】 10 【题型9 求正方形重叠部分面积】 11 【题型10 根据正方形的性质证明】 13 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 15 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 16 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 17 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 18 【题型15 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 20 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 21 【题型17 四边形中的线段最值问题】 23 【题型18 四边形其他综合问题】 24 1. 知识目标：理解正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰梳理正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间的从属关系，掌握正方形的轴对称、中心对称性质。 2. 能力目标：能熟练运用正方形的性质求解角度、线段长度、图形面积；掌握正方形的各类判定方法，可独立完成正方形相关证明题、折叠题、动点题、最值题及综合题型。 3. 素养目标：培养几何直观、逻辑推理和数形结合思维，能灵活结合特殊平行四边形性质解决综合几何问题，提升几何建模与动态分析能力。03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从属关系：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形和菱形的所有性质。 知识点2：正方形的性质（核心） 1. 边的性质：四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质：四个角都是直角，均为90°。 3. 对角线性质：对角线相等、互相垂直、互相平分；每条对角线平分一组对角；对角线与边的夹角为45°。 4. 对称性：既是轴对称图形（4条对称轴：两条对角线、两组对边中点连线），又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 知识点3：正方形的判定定理 判定1（定义法）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 判定2（矩形基础）：一组邻边相等的矩形是正方形。 判定3（菱形基础）：有一个角是直角的菱形是正方形。 判定4（对角线法）：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 知识点4：正方形常用公式 设正方形边长为，对角线长为： 1. 周长： 2. 面积： 3. 对角线与边长关系： 04 题型•汇总 【题型1 证明四边形是正方形】 核心解题技巧 1. 优先选最简判定路径，遵循“先证平行四边形→再证矩形/菱形→最后证正方形”的递进逻辑；2. 矩形证正方形：只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直；3. 菱形证正方形：只需证明一个内角为90°或对角线相等；4. 任意四边形证正方形：需证明对角线垂直、平分且相等，条件缺一不可；5. 证明过程条件要完整，杜绝跳步，严格对应判定定理。 【典例1】．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便可得到正方形：a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角．顺次添加的条件：①；②；③．则正确的结论是（    ） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 【变式1】．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【变式3】．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【题型2 正方形的判定定理理解】 核心解题技巧 1. 牢记判定层级：平行四边形条件+直角+邻边相等=正方形；2. 区分易混判定：对角线相等的菱形是正方形，对角线垂直的矩形是正方形；3. 排除错误命题：对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形（需加互相平分）；4. 辨析题型优先用排除法，熟记“缺一不可”的判定条件，避免概念混淆。 【典例2】．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【变式1】．如图，将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与折痕成度角），得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_______． 【变式2】．如图，在矩形中，M是对角线上的一个动点（M与A、C点不重合），作于E，于F． (1)试说明四边形是矩形； (2)连接，当点M运动到使为何值时，矩形为正方形？请写出你的结论． 【变式3】．如图1，在矩形胶片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向移动得到（如图2），直线，交于点E，直线，交于点F，设． (1)在图1中，的度数为______，边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当x为何值时，以，，C，D为顶点的四边形是正方形？ (4)是否存在x的值，使得以，E，C，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【题型3 添一个条件使四边形是正方形】 核心解题技巧 1. 先看题干已知图形：已知平行四边形，添“邻边相等”或“一个直角”可逐步推正方形；2. 已知矩形，唯一最简条件：邻边相等/对角线互相垂直；3. 已知菱形，唯一最简条件：一个内角为90°/对角线相等；4. 已知任意四边形，需补充两组条件，此类题型优先结合题干已有条件补缺；5. 填写条件优先选择最简洁、最直接的边、角、对角线条件。 【典例3】．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式1】．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【变式3】．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【题型4 正方形性质理解】 核心解题技巧 1. 正方形汇总矩形、菱形所有性质：边角相等垂直、对角线相等垂直平分；2. 专属性质：对角线与边夹角恒为45°，是解题角度计算的核心突破口；3. 四条对称轴，对称点连线垂直对称轴，可利用对称性快速转化边角；4. 对比记忆：平行四边形、矩形、菱形、正方形性质逐级递增，不混淆独有性质。 【典例4】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【变式1】．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【变式2】．如图，直线的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 【变式3】．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【题型5 根据正方形的性质求角度】 核心解题技巧 1. 基础固定角：内角90°、对角线分角45°，优先标记固定角度；2. 利用等腰直角三角形：正方形对角线分割出的三角形均为等腰直角三角形；3. 结合对顶角、余角、补角、三角形内角和180°推导未知角；4. 遇折叠、相交题型，依托对称性质，角度等量代换快速求解。 【典例5】．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，以正方形的一边向正方形内作等边，则_____． 【变式3】．如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 【题型6 根据正方形的性质求线段长】 核心解题技巧 1. 四边等长，已知一边即可得所有边长；2. 对角线求边：已知对角线，边长；已知边长求对角线直接乘；3. 遇线段分割、交叉题型，用全等三角形、勾股定理转化线段；4. 利用对称性：对称线段长度相等，简化复杂线段求解。 【典例6】．如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式1】．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【变式3】．如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 【题型7 根据正方形的性质求面积】 核心解题技巧 1. 基础公式：边长平方、对角线公式，根据已知条件灵活选用；2. 分割法：复杂组合图形拆分为正方形、等腰直角三角形，分别求面积再求和；3. 补全法：不规则图形补成完整正方形，用整体面积减去空白面积求解；4. 等积变换：利用正方形对称性、三角形全等，实现面积等量替换，简化计算。 【典例7】．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】．如图，在中，点，分别在，边上，，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是正方形，，，则的面积为__________． 【变式3】．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【题型8 正方形折叠问题】 核心解题技巧 1. 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角完全相等；2. 必用工具：勾股定理，设未知线段长，列方程求解边长；3. 角度技巧：折叠产生等角、45°角、直角，结合互余关系推导；4. 找准折痕：折痕为对称轴，垂直平分对应点连线，是解题关键辅助线；5. 杜绝想当然，所有边角关系必须通过全等和定理推导。 【典例8】．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，连接，将沿所在直线翻折到正方形所在平面内，得，连接，，过点作，垂足为，连接，则的值为（     ） A． B．3 C． D．2 【变式1】．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【变式3】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【题型9 求正方形重叠部分面积】 核心解题技巧 1. 经典模型：两个边长相等的正方形绕中心旋转重叠，重叠面积恒为单个正方形面积的四分之一，可直接秒杀填空选择题；2. 解题核心方法：割补法、旋转全等法，将不规则重叠区域转化为规则等腰直角三角形；3. 利用正方形中心对称、轴对称性质，实现重叠面积等量替换；4. 不规则重叠图形优先用“整体减空白”思路，快速计算剩余重叠面积。 【典例9】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式1】．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【变式2】．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【变式3】．阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【题型10 根据正方形的性质证明】 核心解题技巧 1. 证明线段相等：优先用正方形四边相等、对角线相等、三角形全等推导；2. 证明线段垂直：依托正方形直角、对角线互相垂直、等腰直角三角形性质；3. 证明角度相等：利用45°、90°特殊角、全等三角形对应角相等推导；4. 证明平行关系：依托正方形对边平行、邻边垂直的位置特征；5. 规范证明逻辑：先罗列正方形基础性质，再逐步推导最终结论，不跳步。 【典例10】．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点(点不与重合)，过点作交于点,连结．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是正方形面积的四分之一；④．其中结论正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】．如图，在正方形中，，对角线、相交于点，过点作射线、分别交边、于点、，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为，则的长度与的长度相等．上述结论中，所有正确的序号是_____． 【变式2】．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，连接，，，若． (1)求证：． (2)求线段的长． 【变式3】．如图1，在正方形中，分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，、、、分别是边、、、上的点，且 （a）求证：． （b）求证： （c）若正方形的边长为a，求四边形面积的最小值． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 核心解题技巧 1. 解题固定流程：先通过判定定理证明图形为正方形，再套用正方形固定角度性质；2. 结合判定条件推导边角关系，快速得出90°直角、45°对角线夹角等基础角；3. 综合运用三角形外角、内角和、互余互补关系求解复杂角度；4. 坚持“先判定、后求值”，杜绝直接套用性质，规避逻辑漏洞。 【典例11】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【变式3】．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 核心解题技巧 1. 先判定图形为正方形，确定四边相等、对角线垂直相等的核心关系；2. 结合勾股定理、全等三角形、相似三角形完成未知线段转化；3. 复杂线段计算采用设未知数、列方程的方程思想精准求解；4. 巧用对角线、中点、对称性质简化运算，减少计算步骤。 【典例12】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式1】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【变式3】．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 核心解题技巧 1. 解题步骤：先判定图形为正方形，再代入对应面积公式计算；2. 无直接边长时，通过对角线长度、三角形面积间接推导正方形面积；3. 不规则图形面积，用割补法、整体减空白法拆分求解；4. 借助全等、对称实现面积等量替换，简化复杂计算。 【典例13】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【变式2】．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【变式3】．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 核心解题技巧 1. 综合证明两步法：先判定图形为正方形，再利用性质证明边角、位置关系；2. 层层递进推导：混用平行四边形、矩形、菱形判定定理，逐步锁定正方形；3. 复杂证明结合三角形全等、勾股定理、平行线性质辅助推导；4. 形成逻辑闭环：已知条件→判定正方形→套用性质→得出结论，步骤完整严谨。 【典例14】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【变式2】．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【变式3】．在正方形中，，为对角线上一点，连接，过作，交于． (1)如图，求证：； (2)如图，过作交于，连接交于，证明：； (3)如图，在（）条件下，记的中点为，为线段上一点，且，求线段长度的最小值． 【题型15 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 核心解题技巧 1. 利用正方形轴对称、中心对称特性，将不规则阴影拼接、平移为规则图形；2. 核心解题思路：不规则阴影区域→对称补全→转化为正方形/等腰直角三角形面积；3. 中心对称图形中，对称区域面积完全相等，可直接等量替换、抵消空白；4. 选择填空题优先用对称等积模型秒杀，无需复杂列式计算。 【典例15】．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【变式1】．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【变式2】．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【变式3】．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 核心解题技巧 1. 核心思想：化动为静，设运动时间为t，用含t的代数式表示动点线段长度；2. 根据正方形的判定、性质列方程，求解动点对应时间t的取值；3. 全程分类讨论：不同运动阶段图形形状、位置关系不同，杜绝漏解；4. 最后验证取值范围，保证动点始终在图形边上，符合实际运动轨迹。 【典例16】．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式2】．已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【变式3】．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【题型17 四边形中的线段最值问题】 核心解题技巧 1. 最短和模型：依托正方形对称性，用将军饮马模型求线段和最小值；2. 最长线段模型：正方形内动点到定点的最长距离为对角线长度；3. 最短距离模型：动点到定直线的最小距离为垂线段长度；4. 复杂最值可结合勾股定理、不等式、二次函数辅助求解。 【典例17】．如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【变式1】．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【变式2】．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【变式3】．如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【题型18 四边形其他综合问题】 核心解题技巧 1. 综合题固定逻辑：先定性判定图形类型，再定量计算边角、面积；2. 拆分难题：将综合大题拆分为角度、线段、面积、证明小问题逐一突破；3. 熟记高频几何模型：折叠、旋转、重叠、动点、最值五大核心模型；4. 解题收尾验证：核对条件、过程、结论，保证解题逻辑完整合理。 【典例18】．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【变式2】．定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【变式3】．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 05 过关•检测 1．在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 3．如图，已知正方形中，点E为对角线上的一个动点（不与点B、点D重合），点F在上，，下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④若，连接，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 4．如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 6．图中的正方形是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚…，该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中某个点与数轴上的666重合，则剪拼出正方形的图形可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（    ） A． B．四边形的面积等于正方形面积的 C． D．平分 8．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 10．如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是________． 12．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 13．在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①②是正方形．再写出符合要求的一个：______是正方形． 14．如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 15．如图，在正方形中，，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，以A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点G，则的长为______． 16．魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 17．如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．    18．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为9，中间的小正方形面积为2，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，其中正确的结论是_______________．（填写所有正确结论的序号） 19．如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 21．如图1：正方形中，点E、F分别在边上，，连接交于点O． (1)求证：； (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的角平分线交于N，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，连接，若四边形BENF的面积是25，，求的长． 22．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 23．如图，在矩形中，，延长至点E，使得，连接．若动点P从E点出发，以每秒的速度沿线段向B点运动；动点Q从A点出发以每秒的速度沿向D点运动，点P，Q同时出发，当点P，Q有一个到终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求t为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，______（选填“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点P的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请求出点P的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 24．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． (1)直接写出值：_______，_______； (2)正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． (3)如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 25．在一次数学活动课上，李老师在四边形的边上分别取点E，F． (1)如图1，四边形是正方形，，同学们将拼图中的绕点顺时针旋转至，请写出三者之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有题（1）的结论； (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 26．对凸四边形我们进行约定：若四边形的对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形的对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形的对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形的对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． (1)有下列三种说法，其中正确的说法有 ．（填序号） ①所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形． ②有一个角是直角的菱形是“线垂且等”四边形． ③依次连接“线垂不等”四边形各边的中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形． (2)如图在中，，于点，、、分别是、、的中点． ①四边形是“线垂且等”四边形； ②若，，求四边形的面积． 27．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)问题发现：如图①，将正方形沿对折，使点落在平面内的点处，连接，若，则 ； (2)解决问题：如图． 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段．连接，图中是什么特殊三角形？请写出解答过程． (3)拓展应用：已知，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长． 28．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示______，用含n的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是______．（用含a，b的式子表示） ②已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $