专题14矩形（4知识点+14题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题14矩形 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 4 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 6 【题型4 根据矩形的性质求面积】 10 【题型5 利用矩形的性质证明】 12 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 17 【题型7 矩形与折叠问题】 21 【题型8 证明四边形是矩形】 23 【题型9 矩形的判定定理理解】 26 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 29 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 30 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 34 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 38 【题型14 矩形解答题5道】 42 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，掌握矩形定义的双重功能（既是性质，也是判定方法），能准确区分矩形与平行四边形的异同点。 2. 熟记矩形的性质（边、角、对角线、对称性），能结合图形用规范的符号语言表示性质，并熟练运用性质解决角度、线段长、面积相关计算问题。 3. 掌握矩形的三种判定方法（定义法、对角线法、角法），理解判定定理与性质定理的互逆关系，能根据已知条件选择恰当方法判定四边形为矩形。03 知识•梳理 知识点1：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 关键提醒：矩形必须同时满足两个条件——① 是平行四边形；② 有一个角是直角，二者缺一不可。矩形是特殊的平行四边形，特殊之处在于“角为直角”，因此平行四边形的所有性质矩形都具备，且拥有自身独特性质。 知识点2：矩形的性质 矩形既具有平行四边形的所有性质，又有自身的特殊性质，具体如下： 1. 边的性质：对边平行且相等（与平行四边形一致），邻边互相垂直（矩形特有）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，则AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，AB⊥AD，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD。 2. 角的性质：四个角都是直角（矩形特有，核心性质）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3. 对角线的性质：对角线相等且互相平分（平行四边形对角线互相平分，矩形在此基础上增加“对角线相等”）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO，AC=BD。 衍生结论：矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推导得出，高频考点）。 4. 对称性：① 轴对称图形，有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；② 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（与平行四边形一致）。 知识点3：矩形的判定定理 判定矩形的三种方法，需根据已知条件灵活选择： 1. 定义法（最基础）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号表示：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°（或∠B/∠C/∠D=90°），∴ 四边形ABCD是矩形。 2. 判定定理1（角法）：有三个角是直角的四边形是矩形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（推导：三个角为直角，则第四个角也为90°，且两组对边分别平行，可先判定为平行四边形，再用定义法判定为矩形）。 3. 判定定理2（对角线法）：对角线相等的平行四边形是矩形（高频考点）。 符号表示：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形。 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（可先由“对角线互相平分”判定为平行四边形，再由“对角线相等”判定为矩形）。 知识点4：矩形的面积公式 矩形的面积 = 长×宽（或 底×高，与平行四边形面积公式一致，因矩形的高等于其邻边）。 若矩形的长为a，宽为b，则面积S=ab；若已知矩形对角线长及夹角，可结合勾股定理求出边长，再计算面积。 高频易错提示：1. 混淆矩形与平行四边形的性质，忽略矩形“邻边垂直”“对角线相等”的特有性质；2. 判定矩形时，遗漏“平行四边形”的前提（如误将“对角线相等的四边形”当作矩形）；3. 运用直角三角形斜边中线定理时，忘记“斜边”前提，误用在非直角三角形中；4. 矩形折叠问题中，忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，导致线段或角度计算错误。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题思路： 紧扣矩形的定义和性质（边、角、对角线、对称性），逐一分析选项，注意区分矩形与平行四边形的异同，排除错误表述（如混淆“对角线互相平分”与“对角线相等”、忽略矩形的轴对称性等）。 【典例1】．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 跟随训练1-1．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 跟随训练1-2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题思路： 核心利用矩形“四个角都是直角”“对角线相等且互相平分”的性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质（矩形对角线平分后形成等腰三角形），逐步推导所求角度；注意矩形对角线交点分对角线为相等的两段，形成等腰三角形，可利用等边对等角求角度。 【典例2】．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 跟随训练2-1．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 跟随训练2-2．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题思路： 利用矩形“对边相等”“邻边垂直”“对角线相等且互相平分”的性质，结合勾股定理（矩形的角为直角，可构成直角三角形）、直角三角形斜边中线定理，求线段长；若涉及对角线交点，注意AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且平分）。 【典例3】．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 跟随训练3-1．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即． 跟随训练3-2．如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题思路： 核心公式：矩形面积=长×宽（S=ab）；若已知矩形的对角线长和一条边长，可先由勾股定理求出另一条边长，再计算面积；若已知矩形对角线夹角，可结合等腰三角形性质求出边长，再求面积。 【典例4】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 跟随训练4-1．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 跟随训练4-2．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题思路： 利用矩形的性质（对边平行且相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分），结合平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直；证明时注意规范书写，先说明矩形的性质，再推导结论。 【典例5】．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 跟随训练5-1．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，即得，又由直角三角形的性质得，即得，即可判定①；由得是等边三角形，即得，再根据等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；由矩形的性质得，，即可判定③；设，则，利用勾股定理可得，得到，即得到，又可得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∴，故①正确； ②由①可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③∵，， ∴，故③错误； ④设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的序号是①②④， 故答案为：①②④． 跟随训练5-2．如图矩形，作，，垂足分别是，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，，则，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而由三角形面积求出，则，再由全等三角形的性质得，则，然后由平行四边形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 的面积， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题思路： 结合矩形的性质（对边平行且相等、邻边垂直）和平面直角坐标系的特点，先确定已知点的坐标，再根据“平行于x轴的线段长度相等、纵坐标相同，平行于y轴的线段长度相等、横坐标相同”，推导未知点的坐标；若涉及矩形对角线，可利用“对角线中点坐标相同”（中点坐标公式）验证或求解。 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据直线与直线交于点，得到，分别求出直线经过两点时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为； （2）由（1）知：直线的解析式为； ∵直线与直线交于点， ∴， 当直线经过点时，则，解得， ∴当且时，直线交矩形于不同的两点； 当直线经过点时，则，解得， ∴当时，直线交矩形于不同的两点； 综上：且或． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题思路： 折叠问题的核心是“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合矩形的性质（对边相等、邻边垂直、对角线相等），利用勾股定理、全等三角形，设未知数建立方程，求解线段长或角度；注意折叠后重合的线段和角，避免遗漏对应关系。 【典例7】．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质求出、、，最后设，结合根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵沿折叠得， ∴，，， ∴， 设，即， ∵在中，，，，， ∴， 即， 解得：． ∴的长为． 跟随训练7-1．如图，将矩形沿着折叠，使点落在处，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，得到，折叠的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到， ． 跟随训练7-2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由折叠的性质求解； （2）由折叠得，，，然后结合平行线的性质得到，推出，进而求解． 【详解】（1）解：由折叠得，； （2）解：由折叠得，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【题型8 证明四边形是矩形】 解题思路： 根据已知条件，灵活选择矩形的三种判定方法：① 若已知四边形是平行四边形，只需证明有一个角是直角或对角线相等；② 若已知四边形有三个角是直角，直接判定为矩形；③ 若已知四边形对角线相等且互相平分，先判定为平行四边形，再判定为矩形；证明时需规范步骤，先推导前提条件，再应用判定定理。 【典例8】．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 跟随训练8-1．如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，同理，得，则，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）求出，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：、、都是正三角形， ，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 跟随训练8-2．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【题型9 矩形的判定定理理解】 解题思路： 牢记矩形的三种判定方法，明确每种方法的前提条件（如“对角线相等的平行四边形是矩形”，前提是“平行四边形”，而非“任意四边形”），逐一分析选项，排除错误判定（如误将“有一个角是直角的四边形”当作矩形）。 【典例9】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 跟随训练9-1．如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 跟随训练9-2．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)四个角都是直角的四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； （2）解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题思路： 结合矩形的判定定理，根据已知条件补充合适的条件：① 若已知四边形是平行四边形，可补充“有一个角是直角”或“对角线相等”；② 若已知四边形对角线互相平分，可补充“对角线相等”；③ 若已知四边形有两个角是直角，可补充“第三个角是直角”或“四边形是平行四边形”；补充的条件需简洁、合理，符合判定定理。 【典例10】．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 跟随训练10-1．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 跟随训练10-2．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题思路： 先根据已知条件，利用矩形的判定定理判定四边形为矩形，再利用矩形的性质（四个角为直角、对角线相等且互相平分），结合三角形内角和、等腰三角形性质，推导所求角度；注意“判定”与“性质”的结合，先判定图形为矩形，再运用性质解题。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 跟随训练11-1．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 跟随训练11-2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【答案】(1)1；1 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）用平方和绝对值的非负性求出a、b； （2）①先求出，再由即可证得； ②过O分别作于M点，作于N点，由证得，则，推出平分，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，解得． 故答案为：1，1． （2）①证明：， ． ，，， ． ，，， ，． ． 在和中 ． ②解：过O分别作于M点，作于N点， ． ， 四边形是矩形． ． ， ． ， 在和中， ． ． ， ， 平分． ， ． ． ，， ． ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题思路： 先判定四边形为矩形（根据已知条件选择合适的判定方法），再利用矩形的性质（对边相等、邻边垂直、对角线相等且互相平分），结合勾股定理、直角三角形斜边中线定理，求线段长；注意判定步骤不可遗漏，先确定图形为矩形，再运用性质计算。 【典例12】．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 跟随训练12-1．如图，在中，，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过作于，设，由折叠的性质得到，，，判定四边形是矩形，推出，，判定≌，推出，，结合解题即可． 【详解】解：过作于，设， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 跟随训练12-2．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题思路： 先根据已知条件判定四边形为矩形，再利用矩形的性质求出长和宽，最后代入面积公式S=ab计算；若已知条件中没有直接给出长和宽，可结合勾股定理、中位线定理等求出边长，再计算面积。 【典例13】．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练13-1．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 跟随训练13-2．如图，已知点，过点A往两个坐标轴作垂线，垂足分别为点B，点C，过点O的直线与交于点D，将四边形沿着翻折，点A落在处，点B落在E处，与交于点G，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、正比例函数的应用等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，，再求出，则可得，然后根据折叠性质可得，，证出，在中，利用勾股定理可得的长，最后根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，轴于点，轴于点，轴轴， ∴四边形和四边形都是矩形，， ∴，，，， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 【题型14 矩形解答题5道】 跟随训练14-1．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 跟随训练14-2．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键． （1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形； （2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点在的延长线上， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又∵， ， 平行四边形是矩形； （2）解：在矩形中，，， 是等边三角形， ， ， ∴， 四边形的面积． 跟随训练14-3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)k的值为0或或 (4)或 【分析】（1）根据题意并结合图形即可得出答案； （2）求出当时，，即可得解； （3）分情况一次函数分别平行，和过点C，求解即可； （4）分两种情况：当直线与 交于点M，与x轴交于点N时，当直线交边于点Q时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴于点C． ∴点C的坐标为； （2）解：∵P的坐标为， ∴对， 当时， ， ∴一次函数的图象一定过点P； （3）解：∵直线、直线、直线不能组成三角形， ∴当直线平行时，； 当直线平行时， 设直线的函数解析式为． ∵轴，, ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴，符合题意； 当直线过点时， ，解得，符合题意． 综上，k的值为0或或； （4）解：∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴面积为， ∵直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为， ∴，； 如图1，设直线与 交于点M，与x轴交于点N， ∵直线解析式为， ∴代入得， ∴， ∴， ∵x轴解析式为， ∴代入得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 检验是方程的解，符合题意； 当直线交边于点Q时， ∵边的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 检验，都是方程的解， 时，， 时，，不合题意，舍去， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数的性质，矩形的判定和性质，面积，三角形和公式，平行线性质，函数与方程和关系，分类讨论，是解此题的关键． 跟随训练14-4．如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一动点，连结，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），过点A作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设，，求y关于x的函数关系式； (4)线段长度的最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)5 【分析】（1）由D是中点知，结合，即可得证； （2）连接．由（1）得，得到，根据可证明即可证明； （3）由，推出，推出，可得，，根据，可得，由此即可解决问题． （4）当时，取得最小值，由，知此时四边形是矩形，从而得，此时也取得最小值，当、取得最小值时，斜边取得最小值，可得，由（3）知，当时，，即，继而可得的最小值． 【详解】（1）证明： ∵ D是边的中点， ∵ 在 和 中， ； （2）证明： 如图， 连接． ∵， ∴， ∵ ∴ 又， ∴， ； （3）解： ∵D是中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ， 又点在边上，且点F与点B、C不重合，， ∴，即， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； （4）解： 当时，取得最小值， ∵， ∴此时四边形是矩形，则即， ∴此时也取得最小值，， ∴当取得最小值时，斜边取得最小值， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 由（3）知，当时，，即， ， 故线段的最小值为5． 跟随训练14-5．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，证明是等边三角形，得出； （2）连接，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出， 根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ， ， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， 是等边三角形． ． （2）解：， 理由：如图2，连接， 在中，， ∴四边形为矩形， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ）05 过关•检测 A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 2．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 3．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 4．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 5．如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】先连接，再利用矩形的性质和勾股定理，得出，，最后根据，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ． 在中，， ， ． ，，， ， 即， ． 6．如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（   ） A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形 C．四边形始终是平行四边形 D． 【答案】B 【分析】根据E、G为、中点，由平行四边形得和，故四边形为平行四边形，可得即可判断A；由得，证、，得、，故始终为平行四边形，即可判断C；当F为中点时，无充分条件证明四边形为矩形，进而判断B；设，平行四边形高为，则；进而可得，进而判断D． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴且，，，， ∵、分别为、的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，故A正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形始终是平行四边形，故C正确，不符合题意； 当为的中点时，无法进一步证明四边形为矩形，故B错误，符合题意； 设平行四边形的底，平行四边形的高（与之间的距离）为h， ∴， 由图得，， 过点F作于，过点作于，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴，故D正确，不符合题意． 【点睛】本题以平行四边形动点为载体，综合平行四边形的判定与性质、全等三角形证明、面积计算等知识，分析动态图形的不变性质，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 7．如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 8．如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，， ∴ 9．如图在矩形中，，，点是边的中点，点是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“两点之间，线段最短”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 10．如图，在矩形中，，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，则的长为________． 【答案】3 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，根据等边对等角可得，再结合对顶角相等，两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 12．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】（1）证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 13．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论； （2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． （2）解：作于点， 矩形， ， ， ， ， ． 14．在平面直角坐标系中，矩形过原点，且、，的平分线交于点． (1)如图1，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． ①当为何值时，的面积等于1； ②当为何值时，为直角三角形； (2)如图2，点，连接、，将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出的坐标______． 【答案】(1)①秒；②或或 (2)，，或 【分析】（1）利用矩形的顶点坐标和的角平分线，确定，为直线；再结合、的运动速度与方向，得到动点坐标、． ①以为底、点横坐标为高，，列方程求解． ②先通过勾股定理表示出、、，再对直角顶点分类讨论(排除为直角的情况，仅讨论和，分别代入勾股定理方程，求解并舍去不符合题意的解． （2）先通过证明，得出为等腰直角三角形；再由旋转性质得，进而证明，得到．随后对为等腰三角形分三类讨论： ①当时，在中用勾股定理列方程求，结合算出，得到坐标； ②当时，先由勾股定理算出，得，再分在上和延长线两种情况求； ③当时，利用得，算出，结合在轴负半轴得，最终汇总所有符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴点坐标为． ∵平分， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，易得直线方程为． ①∵点从出发以每秒个单位长度的速度沿射线移动，设，， ∴， ∴，点的坐标为． ∵点从出发以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动， ∴， ∴，解得， 即当为1秒时，的面积等于1， ②已知，，， 由勾股定理得：，，． 要使为直角三角形，显然只有或， 当时，有， 即， 整理得：，解得(舍去)，， ∴； 当时，有， 即， 整理得：，解得：． 综上，当或或时，为直角三角形． （2）解：∵点的坐标为， ∴，， 又，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形． ∵将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、， ∴， ∴， ∴， 又，， 可证， ∴， ①如图1，当时， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴，， ∴点的坐标为； ②如图2，图3，当时， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 如图2，当在上时，，点坐标为； 如图3，当在的延长线上时，，点坐标为； ③如图4，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在轴负半轴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点坐标为，，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14矩形 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 4 【题型4 根据矩形的性质求面积】 5 【题型5 利用矩形的性质证明】 6 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 7 【题型7 矩形与折叠问题】 7 【题型8 证明四边形是矩形】 8 【题型9 矩形的判定定理理解】 9 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 10 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 11 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 12 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 13 【题型14 矩形解答题5道】 14 1. 理解矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，掌握矩形定义的双重功能（既是性质，也是判定方法），能准确区分矩形与平行四边形的异同点。 2. 熟记矩形的性质（边、角、对角线、对称性），能结合图形用规范的符号语言表示性质，并熟练运用性质解决角度、线段长、面积相关计算问题。 3. 掌握矩形的三种判定方法（定义法、对角线法、角法），理解判定定理与性质定理的互逆关系，能根据已知条件选择恰当方法判定四边形为矩形。03 知识•梳理 知识点1：矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 关键提醒：矩形必须同时满足两个条件——① 是平行四边形；② 有一个角是直角，二者缺一不可。矩形是特殊的平行四边形，特殊之处在于“角为直角”，因此平行四边形的所有性质矩形都具备，且拥有自身独特性质。 知识点2：矩形的性质 矩形既具有平行四边形的所有性质，又有自身的特殊性质，具体如下： 1. 边的性质：对边平行且相等（与平行四边形一致），邻边互相垂直（矩形特有）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，则AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，AB⊥AD，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD。 2. 角的性质：四个角都是直角（矩形特有，核心性质）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，则∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 3. 对角线的性质：对角线相等且互相平分（平行四边形对角线互相平分，矩形在此基础上增加“对角线相等”）。 符号表示：若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO，AC=BD。 衍生结论：矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推导得出，高频考点）。 4. 对称性：① 轴对称图形，有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；② 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（与平行四边形一致）。 知识点3：矩形的判定定理 判定矩形的三种方法，需根据已知条件灵活选择： 1. 定义法（最基础）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号表示：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°（或∠B/∠C/∠D=90°），∴ 四边形ABCD是矩形。 2. 判定定理1（角法）：有三个角是直角的四边形是矩形。 符号表示：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（推导：三个角为直角，则第四个角也为90°，且两组对边分别平行，可先判定为平行四边形，再用定义法判定为矩形）。 3. 判定定理2（对角线法）：对角线相等的平行四边形是矩形（高频考点）。 符号表示：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形。 补充：对角线相等且互相平分的四边形是矩形（可先由“对角线互相平分”判定为平行四边形，再由“对角线相等”判定为矩形）。 知识点4：矩形的面积公式 矩形的面积 = 长×宽（或 底×高，与平行四边形面积公式一致，因矩形的高等于其邻边）。 若矩形的长为a，宽为b，则面积S=ab；若已知矩形对角线长及夹角，可结合勾股定理求出边长，再计算面积。 高频易错提示：1. 混淆矩形与平行四边形的性质，忽略矩形“邻边垂直”“对角线相等”的特有性质；2. 判定矩形时，遗漏“平行四边形”的前提（如误将“对角线相等的四边形”当作矩形）；3. 运用直角三角形斜边中线定理时，忘记“斜边”前提，误用在非直角三角形中；4. 矩形折叠问题中，忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，导致线段或角度计算错误。 04 题型•汇总 【题型1 矩形性质理解】 解题思路： 紧扣矩形的定义和性质（边、角、对角线、对称性），逐一分析选项，注意区分矩形与平行四边形的异同，排除错误表述（如混淆“对角线互相平分”与“对角线相等”、忽略矩形的轴对称性等）。 【典例1】．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 跟随训练1-1．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 跟随训练1-2．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________．    【题型2 利用矩形的性质求角度】 解题思路： 核心利用矩形“四个角都是直角”“对角线相等且互相平分”的性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质（矩形对角线平分后形成等腰三角形），逐步推导所求角度；注意矩形对角线交点分对角线为相等的两段，形成等腰三角形，可利用等边对等角求角度。 【典例2】．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 解题思路： 利用矩形“对边相等”“邻边垂直”“对角线相等且互相平分”的性质，结合勾股定理（矩形的角为直角，可构成直角三角形）、直角三角形斜边中线定理，求线段长；若涉及对角线交点，注意AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且平分）。 【典例3】．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 跟随训练3-2．如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 解题思路： 核心公式：矩形面积=长×宽（S=ab）；若已知矩形的对角线长和一条边长，可先由勾股定理求出另一条边长，再计算面积；若已知矩形对角线夹角，可结合等腰三角形性质求出边长，再求面积。 【典例4】．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 跟随训练4-2．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【题型5 利用矩形的性质证明】 解题思路： 利用矩形的性质（对边平行且相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分），结合平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，证明线段相等、角相等、线段平行或垂直；证明时注意规范书写，先说明矩形的性质，再推导结论。 【典例5】．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 跟随训练5-2．如图矩形，作，，垂足分别是，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 解题思路： 结合矩形的性质（对边平行且相等、邻边垂直）和平面直角坐标系的特点，先确定已知点的坐标，再根据“平行于x轴的线段长度相等、纵坐标相同，平行于y轴的线段长度相等、横坐标相同”，推导未知点的坐标；若涉及矩形对角线，可利用“对角线中点坐标相同”（中点坐标公式）验证或求解。 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围． 【题型7 矩形与折叠问题】 解题思路： 折叠问题的核心是“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合矩形的性质（对边相等、邻边垂直、对角线相等），利用勾股定理、全等三角形，设未知数建立方程，求解线段长或角度；注意折叠后重合的线段和角，避免遗漏对应关系。 【典例7】．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（   ）． A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，将矩形沿着折叠，使点落在处，，则的度数为___________． 跟随训练7-2．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【题型8 证明四边形是矩形】 解题思路： 根据已知条件，灵活选择矩形的三种判定方法：① 若已知四边形是平行四边形，只需证明有一个角是直角或对角线相等；② 若已知四边形有三个角是直角，直接判定为矩形；③ 若已知四边形对角线相等且互相平分，先判定为平行四边形，再判定为矩形；证明时需规范步骤，先推导前提条件，再应用判定定理。 【典例8】．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 跟随训练8-2．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【题型9 矩形的判定定理理解】 解题思路： 牢记矩形的三种判定方法，明确每种方法的前提条件（如“对角线相等的平行四边形是矩形”，前提是“平行四边形”，而非“任意四边形”），逐一分析选项，排除错误判定（如误将“有一个角是直角的四边形”当作矩形）。 【典例9】．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 跟随训练9-1．如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 跟随训练9-2．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 解题思路： 结合矩形的判定定理，根据已知条件补充合适的条件：① 若已知四边形是平行四边形，可补充“有一个角是直角”或“对角线相等”；② 若已知四边形对角线互相平分，可补充“对角线相等”；③ 若已知四边形有两个角是直角，可补充“第三个角是直角”或“四边形是平行四边形”；补充的条件需简洁、合理，符合判定定理。 【典例10】．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【题型11 根据矩形的性质与判定求角度】 解题思路： 先根据已知条件，利用矩形的判定定理判定四边形为矩形，再利用矩形的性质（四个角为直角、对角线相等且互相平分），结合三角形内角和、等腰三角形性质，推导所求角度；注意“判定”与“性质”的结合，先判定图形为矩形，再运用性质解题。 【典例11】．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练11-1．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 跟随训练11-2．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足∶ (1) ， (2)点C为x轴负半轴上一点，于H， 交于P． ①如图1，求证：；     ②如图2，若，连接，求的大小． 【题型12 根据矩形的性质与判定求线段长】 解题思路： 先判定四边形为矩形（根据已知条件选择合适的判定方法），再利用矩形的性质（对边相等、邻边垂直、对角线相等且互相平分），结合勾股定理、直角三角形斜边中线定理，求线段长；注意判定步骤不可遗漏，先确定图形为矩形，再运用性质计算。 【典例12】．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 跟随训练12-1．如图，在中，，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，过点A作交于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 跟随训练12-2．如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【题型13 根据矩形的性质与判定求面积】 解题思路： 先根据已知条件判定四边形为矩形，再利用矩形的性质求出长和宽，最后代入面积公式S=ab计算；若已知条件中没有直接给出长和宽，可结合勾股定理、中位线定理等求出边长，再计算面积。 【典例13】．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 跟随训练13-1．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 跟随训练13-2．如图，已知点，过点A往两个坐标轴作垂线，垂足分别为点B，点C，过点O的直线与交于点D，将四边形沿着翻折，点A落在处，点B落在E处，与交于点G，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 【题型14 矩形解答题5道】 跟随训练14-1．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 跟随训练14-2．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 跟随训练14-3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 跟随训练14-4．如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一动点，连结，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），过点A作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设，，求y关于x的函数关系式； (4)线段长度的最小值为_________． 跟随训练14-5．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ）05 过关•检测 A．3 B．4 C．7 D．5 2．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 5．如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 6．如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（   ） A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形 C．四边形始终是平行四边形 D． 7．如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 8．如图，矩形的对角线与相交于点，若，则_____． 9．如图在矩形中，，，点是边的中点，点是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____． 10．如图，在矩形中，，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，则的长为________． 11．如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 12．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 13．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 14．在平面直角坐标系中，矩形过原点，且、，的平分线交于点． (1)如图1，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． ①当为何值时，的面积等于1； ②当为何值时，为直角三角形； (2)如图2，点，连接、，将绕点逆时针旋转，两边、与轴、轴分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出的坐标______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $