专题01 一次函数的几何变换（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与图形变换的融合应用，通过平移、对称、旋转三大模块系统覆盖几何直观与代数运算的综合考查。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与图形的平移|6题|图形平移后坐标计算、面积求解及函数平移问题|结合一次函数图像平移规律与图形坐标变换，构建“解析式-坐标-面积”逻辑链| |一次函数与图形的对称|6题|直线对称后解析式确定、对称点坐标及面积计算|关联轴对称性质与函数图像变换，强化“对称点-解析式-几何应用”推理| |一次函数与图形的旋转|8题|直线旋转后解析式推导、旋转角度与坐标关系及综合应用|融合旋转几何性质与一次函数斜率变化，培养空间观念与运算能力|

专题01 一次函数与几何变换 类型一：一次函数与图形的平移 类型二：一次函数与图形的对称 类型三：一次函数与图形的旋转 类型一：一次函数与图形的平移 1．如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解答】解：直线交坐标轴于点A，B， ∴令x＝0，y＝6；令y＝0，x＝﹣8； ∴A（﹣8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6， ∵△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE， ∴OD＝4，AD＝4，D（﹣4，0）， ∴点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， ∴当x＝﹣4时，y＝3， ∴F（﹣4，3），即DF＝3， ∵S四边形ACEF＝S梯形DFBO， ∴18． 即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（　　）秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【解答】解：连接AC，BO，交于点D，当y＝2x+1经过点D时，该直线可将平行四边形OABC的面积平分， 由条件可知BD＝OD， ∵B（6，2）， ∴D（3，1）， 设直线DE的解析式为y＝kx+b， ∵直线DE平行于y＝2x+1， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 将点D（3，1）代入y＝2x+b， 解得b＝﹣5， ∴y＝2x﹣5， ∴直线y＝2x+1要向下平移1﹣（﹣5）＝6个单位， ∴时间为6÷1＝6秒， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2）．第四象限内的点P在正比例函数y＝﹣2x的图象上，且OP，将y＝﹣2x的图象向上平移得到y＝﹣2x+b的图象．若点P落在长方形OABC的内部（不含边界），则b的取值范围是（　　） A．1＜b＜3 B．2＜b＜4 C．b＜2 D．2b＜10 【答案】B 【解答】解：∵点P在y＝﹣2x上，且OP， ∴x2+（﹣2x）2＝5， 解得x＝1， ∴点P的坐标为（1，﹣2）． ∵将y＝﹣2x的图象向上平移得到y＝﹣2x+b的图象， 将点（1，0）代入y＝﹣2x+b得， b＝2． 将点（1，2）代入y＝﹣2x+b得， b＝4， ∴b的取值范围是2＜b＜4． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（2，1），C（6，3），且AB∥x轴，直线l：y＝2x+1沿x轴正方向平移，平移距离为m，得到直线l′，有以下结论：①当m＝2时，直线l′的解析式为y＝2x﹣3；②若矩形的顶点A，D和B，C分别在直线l′的两侧，则1≤m≤6；③当m时，点D和点B关于直线l′对称．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①从直线y＝2x+1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为2时，直线l的表达式为y＝2（x﹣2）+1＝2x﹣3；故①正确； ②∵矩形ABCD的顶点A（2，1），C（6，3）， ∴D（2，3），B（6，1）， 从直线y＝2x+1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为m时，直线l的表达式为y＝2（x﹣m）+1， 把x＝2代入y＝2（x﹣m）+1得y＝5﹣2m，把x＝6代入y＝2（x﹣m）+1得y＝13﹣2m， ∵矩形的四个顶点分别在直线l的两侧， ∴， ∴2＜m＜5，故②错误； ③m时，则直线l的表达式为y＝2（x）+1， 把y＝1代入y＝2（x）+1得1＝2（x）+1，解得x， ∴直线l与AB的交点为M（，1）， ∴MB＝6， 把y＝3代入y＝2（x）+1，得3＝2（x）+1，解得x， ∴直线l与CD的交点为N（，3）， ∴DN， ∵DM，BN， ∴DM＝BM＝BN＝DN， ∴当m时，点D和点B关于直线l′对称，故③正确． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请求出直线MN的解析式； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是　平行四边形　 ，重叠部分的面积是　　 ； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）平行四边形，； （3）当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【解答】解：（1）∵将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵C（﹣2，3），O（0，0）， ∴M（2，2），N（4，﹣1）； 设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线MN的解析式为． （2）如图所示，设MN与x轴交于E，MD与AB交于F，过点M作MG⊥x轴于G， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB，BC∥OA， 由平移的性质可得MD∥BC，MN∥OC， ∴MN∥AB，MD∥OA，即MF∥AE，ME∥AF， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当y＝0，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的面积为． （3）∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC＝OA＝4，BC∥OA， ∵C（﹣2，3）， ∴B（2，3）， 同理可得直线OB的解析式为， 设， 当OE为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当OE为边时，则OE＝DN，OE∥DN， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 6．如图，在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE＝90°，DO＝DE＝3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B（4，2），点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D′O′E′． （1）如图1，当E′O′经过点A时，求直线O′A的函数解析式； （2）设OO′＝t，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分的面积为S． ①如图2，当△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D′E′与AB相交于点M，E′O′分别与AB，BC交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②△DOE从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）y＝﹣x+2； （2）①，4＜t＜6； ②或． 【解答】解：（1）如图1，矩形ABCO的顶点B（4，2），当E′O′经过点A时， ∴OA＝BC＝2， 由平移的性质可得：△D′O′E′为等腰直角三角形， ∴∠E′O′D′＝45°， ∵∠AOO′＝90°， ∴△AOO′是等腰直角三角形， ∴OO′＝OA＝2， ∴A（0，2），O′（2，0）， 设直线O′A的解析式为y＝kx+b，将点A，点O′的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线O′A的解析式为y＝﹣x+2； （2）①如图2，当△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为五边形时， ∵矩形ABCO中，AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∠B＝∠BCO＝90°， ∠E′D′C＝90°， ∴四边形BCD′M是矩形， 设OO′＝t，则CP＝CO′＝t﹣4， ∴CD′＝O′D′﹣CO′＝3﹣（t﹣4）＝7﹣t，BP＝BC﹣CP＝2﹣（t﹣4）＝6﹣t， ∵∠O′PC＝∠BPN＝∠E′O′D′＝45°， ∴△BPN是等腰直角三角形， ∴BN＝BP＝6﹣t， ∴， ∵， ∴4＜t＜6； ②t的值为或．理由如下： 当0＜t≤2时，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为三角形，如图3， 重叠部分的面积为：， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴此时重叠部分面积不可能为； 当2＜t＜3时，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则OD′＝3﹣t，OO′＝t，AL＝AG＝t﹣2， ∴， ∴， 解得：； 当3≤t≤4时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当4＜t＜6时，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为五边形， 由①知：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 当6≤t＜7时，重叠部分为矩形BCD′F，如图5， ∵CD′＝7﹣t， ∴S＝S矩形BCD′F＝BC•CD′＝2（7﹣t）， 当时，解得：，不符合题意； 综上所述，满足的所有t的值为或． 类型二：一次函数与图形的对称 7．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n（m、n为常数，且m≠0）与直线y＝﹣x+2关于y轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵直线y＝mx+n（m、n为常数，且m≠0）与直线y＝﹣x+2关于y轴对称， ∴y＝﹣（﹣x）+2＝x+2， ∴m＝1，n＝2， ∴m+n＝1+2＝3． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与y轴交于点A，将该直线向上平移6个单位后，恰好经过点A关于原点的对称点A′，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：∵直线y＝2x+m与y轴交于点A， ∴A（0，m）， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到y＝2x+m+6， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点A′， ∴A′（0，m+6）， ∵点A′与A关于原点O对称， ∴m+6+m＝0， 解得m＝﹣3， 故选：D． 9．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣1与直线y＝﹣7x+b关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 点（，0）关于y轴的对称点为（，0），点（0，﹣1）关于y轴的对称点为（0，﹣1）． 把（0，﹣1）代入y＝﹣7x+b，得b＝﹣1． 把（，0）代入y＝﹣7x﹣1，得k＝7． 因为b＝﹣1，k＝7． 所以一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 10．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），B（﹣2，1），C（﹣4，1），点P（1，2）关于直线y＝﹣x+b对称的点为P1，点P1向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点P2，若点P2落在△ABC内（包括边界），则b的取值范围是 　0≤b　 ． 【答案】0≤b． 【解答】解：由题意，设P1（m，n）， ∵PP1连线与直线y＝﹣x+b垂直，且P（1，2）， ∴，即n＝m+1． 又∵PP1的中点在直线y＝﹣x+b上，且n＝m+1， ∴． ∴m＝b﹣2． ∴n＝b﹣1． ∴P1（b﹣2，b﹣1）． ∵P1向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到P2， ∴P2（b﹣3，b+1）． ∵A（﹣4，2），B（﹣2，1），C（﹣4，1）， ∴△ABC是直角三角形，且AC垂直于x轴，BC平行于x轴． 又∵A（﹣4，2），B（﹣2，1）， ∴直线AB为y（x+2）+1，即yx． ∵点P2（b﹣3，b+1）落在△ABC内（包括边界）， ∴． ∴0≤b． 故答案为：0≤b． 11．如图，已知直线与x轴y轴分别交于点A和点B，与直线y＝ax+b（a≠0）关于x轴对称．直线y＝ax+b与y轴交于点C． （1）求直线y＝ax+b的解析式． （2）P是线段AC上一动点．当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】（1）yx+2； （2）P（1，）． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）， 令0，解得x＝4， ∴A（4，0）， ∵直线与直线y＝ax+b关于x轴对称， ∴由题可得点C（0，2）， 把点A（4，0），C（0，2）代入y＝ax+b得， ， 解得； 所以直线y＝ax+b的解析式为yx+2； （2）由（1）知：直线y＝ax+b的解析式为yx+2， 设点P的横坐标为m，则P（m，m+2）， 由题可得BC＝4，OA＝4， S△ABCBC×OA＝8，S△BCP2m， ∴S△ABP＝S△ABC﹣S△BCP＝8﹣2m＝6， ∴m＝1， ∴此时点P（1，）． 12．定义：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与直线x＝1的交点记为点P，作该一次函数图象上点P及点P左侧部分关于直线x＝1的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”． （1）如图1是一次函数y＝2x﹣1的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示． ①求点P的坐标； ②当x≥1时，求函数y＝2x﹣1的“对称函数”与x轴的交点A的坐标，并求出解析式； （2）若函数y＝kx+2k（k≠0）的“对称函数”图象与x轴围成的三角形面积等于4，请求出k的值． 【答案】（1）①P（1，1）；②A（，0），y＝﹣2x+3（x≥1）； （2）k． 【解答】解：（1）①把x＝1代入y＝2x﹣1得，y＝2×1﹣1＝1， ∴P（1，1）； ②令y＝0，则2x﹣1＝0， ∴x， ∴直线y＝2x﹣1与x轴的交点为（，0）， ∵点（，0）关于直线x＝1的对称点为（，0）， ∴A（，0）， 设直线PA的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴函数的解析式为y＝﹣2x+3（x≥1）； （2）令y＝0，则kx+2k＝0，解得x＝﹣2， ∴直线y＝kx+2k交x轴于（﹣2，0）， ∴（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点为（4，0）， 把x＝1代入y＝kx+2k得，y＝3k， ∴P（1，3k）， ∵函数y＝kx+2k（k≠0）的“对称函数”图象与x轴围成的三角形面积等于4， ∴（4+2）•|3k|＝4， 解得k． 类型三：一次函数与图形的旋转 13．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线AB绕着点B逆时针旋转45°后与x轴交点的横坐标是（　　） A．﹣1 B． C．﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：过A作AQ⊥AB交BP于点Q，过A作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于点M，过B作BN⊥MN于点N， ∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， ∴A（﹣4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， 由题可知∠ABP＝45°， ∴△ABQ为等腰直角三角形， ∴AB＝AQ， ∵∠AQM＝∠BAN＝90°﹣∠MAQ，∠M＝∠N＝90°， ∴△AMQ≌△BNA（AAS）， ∴AM＝BN＝4，QM＝AN＝2， ∴Q（﹣2，﹣4）， 设直线BQ解析式为y＝kx+b，将点B和点Q坐标代入得， ， 解得， ∴直线BQ解析式为y＝2＝3x+2， 令y＝0，即3x+2＝0， 解得x， 故选：B． 14．如图，直线l1：y＝﹣x+6经过点A（1，a），将l1绕A点顺时针旋转90°，得到直线l2．点B（m，n）在l2上，若m＞1，则n的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：直线l1：y＝﹣x+6经过点A（1，a），代入x＝1得a＝﹣1+6＝5，故A（1，5）， 直线l1的斜率为﹣1，顺时针旋转90°后，斜率变为原斜率的负倒数，即1， 直线l2过点A（1，5）且斜率为1，由点斜式得y﹣5＝1•（x﹣1）， ∴y＝x+4， 点B（m，n）在l2上，故n＝m+4， ∵m＞1时，n＞5， 选项中只有6＞5， 故选：D． 15．如图，已知直线AB：为任意实数）与y轴交于点A，将直线AB绕点A逆时针旋转60°得到直线AC并与x轴相交于点C，点D为平面内一动点，且满足，CD＝1，连接AD，线段AD的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知B点坐标为，点A坐标为（0，b）， ∴， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝60°， 根据旋转可知∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， 如图，以线段BD构造等边三角形△BDE，连接AE， ∴，∠DBE＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD＝1， 根据三角形三边关系可知ED﹣AE＜AD， ∴当A、E、D三点共线时，线段AD有最小值，为． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过点D作EF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥EF于点E， 由条件可知BD＝AD，AC＝18，BC＝12， ∴∠EBD＝90°﹣∠BDE＝∠ADF， ∴△BDE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF，ED＝AF， 直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0），B（0，6）， ∴OA＝3，EF＝OB＝6， 设OF＝m，则EB＝OF＝DF＝m， ∴m+3+m＝6 解得：， ∴． 故答案为：． 17．如图，一次函数y＝kx+b过点C（1，0）和点A（m，1），将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC，连接AB，点D在线段BC上，点E在线段AB上，且BD＝AE，当AD+CE最小值为时，则k的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：过C作CA⊥AF，使AF＝AB，连接EF，CF， 由条件可知AC＝BC，∠BCA＝90°， ∴，∠CAB＝∠B＝45°， 由勾股定理可得， ∴∠EAF＝∠CAF﹣∠CAB＝45°＝∠CAB＝∠B， ∵BD＝AE，AF＝AB，∠EAF＝∠B， ∴△ABD≌△FAE（SAS）， ∴AD＝EF， ∴AD+CE＝EF+CE≤CF， ∴当E在CF上时AD+CE取最小值，最小值， ∴， 由条件可得：， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵由图形可知A（m，1）在第一象限， ∴m＞0， ∴m＝3， ∴A（3，1）， 把C（1，0）和A（3，1），代入y＝kx+b得， 解得， 故答案为：． 18．已知一次函数y＝2x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，将一次函数y＝2x+6的图象绕点O顺时针旋转90°得到直线l，且直线l分别交x轴、y轴于C、D两点． （1）求直线l的表达式； （2）若将直线l沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好经过点B，求出m的值． 【答案】（1）y； （2）6． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴A（﹣3，0），B（0，6）， ∴OA＝3，OB＝6， ∵将一次函数y＝2x+6的图象绕点O顺时针旋转90°得到直线l，且直线l分别交x轴、y轴于C、D两点， ∴OD＝OA＝3，OC＝OB＝6， ∴D（0，3），C（6，0）， 设直线l的表达式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l的表达式为y； （2）将直线l沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到直线y， ∵经过B（0，6）， ∴3＝6， ∴m＝6． 19．在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直接写出点A，B的坐标：A：　（2，0）　 ；B：　（0，6）　 ． （2）如图，将直线l1：y＝﹣3x+6绕点B逆时针旋转45°，得到直线l2，求直线l2的表达式．小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点A作AB的垂线交l2于点C，可求出点C的坐标为 　（8，2）　 ，从而求得直线l2的表达式为 　　 ． 【答案】（1）（2，0），（0，6）； （2）点C的坐标（8，2），直线l2的表达式为． 【解答】解：（1）当y＝0时，由﹣3x+6＝0得，x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）； 当x＝0时，由﹣3×0+6＝y得，y＝6， ∴点B的坐标为（0，6）； 故答案为：（2，0），（0，6）； （2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠BOA＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∴AC＝AB， 在△ADC和△BOA中， ， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴CD＝AO＝2，AD＝BO＝6， ∴OD＝OA+AD＝2+6＝8， ∴点C的坐标为（8，2）， 设直线l2的表达式为y＝kx+b，把B（0，6）、C（8，2）代入得， ， 解得， ∴直线l2的表达式为， 故答案为：（8，2），． 20．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4． （1）则m＝　1　 ，点A的坐标为（ 　﹣2　 ，　0　 ）． （2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式； （3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵S△OAB＝4， ∴OA×OB＝4， 解得OA＝2， ∴A（﹣2，0）， 把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1， 故答案为：1；﹣2，0； （2）∵OP＝4OA，OA＝2， ∴P（8，0）， 设直线BP的解析式为y＝kx+b， 将（8，0），（0，4）代入得， 解得k，b＝4， ∴直线BP的解析式为yx+4； （3）设直线AB绕点B顺时针旋转 45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE 于点F，作FH⊥x轴于H． 则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO， ∴△AOB≌△FHA（AAS）， ∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4， ∴HO＝6， ∴F（﹣6，2）， 设直线BE的解析式为y＝mx+n，则 把点F和点B的坐标代入，可得 ， 解得， ∴直线BE的解析式为yx+4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数与几何变换 类型一：一次函数与图形的平移 类型二：一次函数与图形的对称 类型三：一次函数与图形的旋转 类型一：一次函数与图形的平移 1．如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（　　）秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2）．第四象限内的点P在正比例函数y＝﹣2x的图象上，且OP，将y＝﹣2x的图象向上平移得到y＝﹣2x+b的图象．若点P落在长方形OABC的内部（不含边界），则b的取值范围是（　　） A．1＜b＜3 B．2＜b＜4 C．b＜2 D．2b＜10 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（2，1），C（6，3），且AB∥x轴，直线l：y＝2x+1沿x轴正方向平移，平移距离为m，得到直线l′，有以下结论：①当m＝2时，直线l′的解析式为y＝2x﹣3；②若矩形的顶点A，D和B，C分别在直线l′的两侧，则1≤m≤6；③当m时，点D和点B关于直线l′对称．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3）．将平行四边形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM． （1）请求出直线MN的解析式； （2）平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是　 　 ，重叠部分的面积是 　 ； （3）点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE＝90°，DO＝DE＝3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B（4，2），点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D′O′E′． （1）如图1，当E′O′经过点A时，求直线O′A的函数解析式； （2）设OO′＝t，△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分的面积为S． ①如图2，当△D′O′E′与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D′E′与AB相交于点M，E′O′分别与AB，BC交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②△DOE从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 类型二：一次函数与图形的对称 7．在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n（m、n为常数，且m≠0）与直线y＝﹣x+2关于y轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 8．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与y轴交于点A，将该直线向上平移6个单位后，恰好经过点A关于原点的对称点A′，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 9．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx﹣1与直线y＝﹣7x+b关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），B（﹣2，1），C（﹣4，1），点P（1，2）关于直线y＝﹣x+b对称的点为P1，点P1向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点P2，若点P2落在△ABC内（包括边界），则b的取值范围是 　 ． 11．如图，已知直线与x轴y轴分别交于点A和点B，与直线y＝ax+b（a≠0）关于x轴对称．直线y＝ax+b与y轴交于点C． （1）求直线y＝ax+b的解析式． （2）P是线段AC上一动点．当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 12．定义：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与直线x＝1的交点记为点P，作该一次函数图象上点P及点P左侧部分关于直线x＝1的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”． （1）如图1是一次函数y＝2x﹣1的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示． ①求点P的坐标； ②当x≥1时，求函数y＝2x﹣1的“对称函数”与x轴的交点A的坐标，并求出解析式； （2）若函数y＝kx+2k（k≠0）的“对称函数”图象与x轴围成的三角形面积等于4，请求出k的值． 类型三：一次函数与图形的旋转 13．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线AB绕着点B逆时针旋转45°后与x轴交点的横坐标是（　　） A．﹣1 B． C．﹣2 D． 14．如图，直线l1：y＝﹣x+6经过点A（1，a），将l1绕A点顺时针旋转90°，得到直线l2．点B（m，n）在l2上，若m＞1，则n的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．5 D．6 15．如图，已知直线AB：为任意实数）与y轴交于点A，将直线AB绕点A逆时针旋转60°得到直线AC并与x轴相交于点C，点D为平面内一动点，且满足，CD＝1，连接AD，线段AD的最小值为 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是 　 ． 17．如图，一次函数y＝kx+b过点C（1，0）和点A（m，1），将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC，连接AB，点D在线段BC上，点E在线段AB上，且BD＝AE，当AD+CE最小值为时，则k的值为 　 ． 18．已知一次函数y＝2x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，将一次函数y＝2x+6的图象绕点O顺时针旋转90°得到直线l，且直线l分别交x轴、y轴于C、D两点． （1）求直线l的表达式； （2）若将直线l沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好经过点B，求出m的值． 19．在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直接写出点A，B的坐标：A：　 　 ；B：　 　 ． （2）如图，将直线l1：y＝﹣3x+6绕点B逆时针旋转45°，得到直线l2，求直线l2的表达式．小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点A作AB的垂线交l2于点C， ①求出点C的坐标； ②求直线l2的表达式． 20．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4． （1）则m＝　 　 ，点A的坐标为（ 　 　 ， 　 ）． （2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式； （3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $