微专题06一次函数与线段、角度有关的综合问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以一次函数为载体，系统整合线段计算、和差最值、等角转化、45°特殊角及综合应用五大模块，提炼步骤化解题方法，构建“坐标运算-几何性质-模型应用”的递进逻辑，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与线段问题|6题|解析式（设代解）、交点（联立方程）、线段长（坐标差/距离公式）|从一次函数基础运算到线段量化，衔接代数与几何| |一次函数与线段和差问题|6题|坐标化、对称点法（和最短）、三点共线（差最大）|结合几何变换解决最值，体现模型意识| |一次函数与等角问题|6题|平行线/等腰/角平分线找等角，转化为斜率关系|运用几何性质实现角与代数的转化| |一次函数与45°角问题|6题|斜率±1、构造等腰直角三角形、坐标变换|聚焦特殊角的代数表征，强化数形结合| |一次函数与角度综合问题|6题|分解图形、角度转化（外角/内角和）、坐标-角度方程|整合多知识点，提升综合解题能力|

微专题06 一次函数与线段、角度有关问题 题型一 一次函数与线段问题 1.求解析式：设y=kx+b，代入已知两点坐标，列方程组求 k、b。 2.求交点：联立两条直线解析式，解方程组，得交点坐标。 3.算线段长： 水平 / 竖直线段：横 / 纵坐标之差的绝对值； 斜线：两点距离公式： 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，为的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、直线交于点和点，当时，的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）先求得点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出两函数当时，对应的值，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：令，则，即点， 为的中点， ， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：对于函数，当时，， ， ， ， ， ， 、与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：当时，令，， 解得，， ，， 当时，即， 整理得， 解得或． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）求出时，y的值和时，x的值可得答案； （2）设交x轴于点C，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，再由，即可求解； （3）过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则，由题意知，且，从而得到，，证明，可得，，从而得出点，代入解析式求得m的值，进一步可得n的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：设交x轴于点C， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则， 由题意知，且， ，， ， ， ∵， ， 又， ， ，， 点， 点Q在直线上， ， 解得， ， 则． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于． (1)点坐标为__________，点坐标为__________： (2)求点的坐标和正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）分别令和即可求出答案； （2）求出利用待定系数法求解即可； （3）根据线段的长度列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：把代入得， ； 将代入得， 解得： （3）解：点，过点作x轴的垂线分别交和于点E，F， 解得：（舍去）或 5．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，构造，以及矩形，然后求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得纵坐标互为相反数，继而设参数坐标建立方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则 ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则 ∴， 解得 ∴， 设直线 代入，，则， 解得， ∴直线； （3）解：如图，设交轴于点， ∵，轴， ∴ 设，则 ∴，解得 ∴； （4）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴将代入，则， ∴ ∴ ∴． 题型二 一次函数与线段和差问题 1.坐标化：把所有端点坐标求出。 2.表示线段：用坐标差写出各线段长度。 3.和差关系： 线段和最短：对称点 + 两点之间线段最短。 线段差最大：三角形两边之差小于第三边，三点共线时差最大。 4.列方程：把和差条件转化为关于 x、y 的方程求解。 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴轴分别交于点C、B，两直线相交于点． (1)求，的值； (2)求的值； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，求的值； (4)在轴上存在点，使得的值最小，则最小值是_____． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再将点的坐标代入直线中，即可求出值； （2）根据解析式求得、、、的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得； （3）由点、的横坐标，即可得出点、的纵坐标，结合即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ； 点在直线上， ， ； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于点D，A， ， 直线与x轴、y轴分别交于点C，B， ， ； （3）解：当时，； 当时，． ， ， 解得或； （4）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∵， ∴， 此时，的值最小，则最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、轴对称的性质以及三角形的面积． 2．（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝OC＝OA＝3，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P，运用待定系数法求出OE的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形OABC是正方形，OA＝3， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，AB⊥x轴， ∴B点坐标为（3，3），C点坐标为（0，3）； （2）∵OA＝3， ∴A（3，0）． 又C（0，3）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P， ∵四边形OABC是正方形， ∴点B与O关于直线AC对称， ∴OE的长即为PB+PE的最小值． ∴直线OE与直线AC的交点即为点P． 设直线OE的解析式为：y＝kx， 把点E（8，4）代入解析式得：6k＝3， 解得，， ∴直线OE的解析式为：． 联立方程组， 解得，，∴点P的坐标（2，1）． 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴． 所以PB+PE的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称﹣最短路线问题， 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知直线与直线相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接PC，PF． (1)的值是__________； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)当的值最小时，点的坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把代入直线即可求解； （2）把、代入直线，解方程组得、的值，回代即可求解； （3）由（1）得表达式，求出点坐标，由直线过原点，且直线，结合表达式得表达式，联立与得点坐标，由即可求解； （4）先由直线交轴于点求点坐标，作点关于轴的对称点，可得当、、三点共线时，最小，利用待定系数法求直线的表达式，计算直线与轴交点即可求解． 【详解】（1）解：把代入直线，得 ， 解得； （2）解：把、代入直线，得 ， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由 (1) 知直线， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线过原点，且直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为， 联立与的方程，得 ， 解得， ∴， ∴； （4）解：直线交轴于点，令，得，故， 如图，作点关于轴的对称点，则， 根据对称性质，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，即最小， 设直线的表达式为，代入和，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴当的值最小时，点的坐标为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点从点出发，沿轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点从点出发，沿轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为_________； (2)我们发现点一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； (3)若点在轴上，点是直线上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质、动点问题的坐标表示、一次函数解析式的求法及最短路径问题，解题的关键是用时间参数表示动点的坐标，消参得到其运动轨迹；利用轴对称解决最短路径问题． （1） 令、分别求直线与轴、轴交点坐标； （2） 设运动时间为，表示、坐标，进而得到点坐标，消去求直线解析式； （3） 由在轴上确定点坐标，利用轴对称求的最小值． 【详解】（1）解：令，则，解得， ． 令，则， ． 故答案为：，． （2）解：设运动时间为秒， 则点坐标为，点坐标为， 点坐标为． 令，， 由得：，代入得 ． 故点运动的直线解析式为． （3）解：当点在轴上时，，代入，得， ． 作点关于直线的对称点，连接， ∵，． ∴是等腰直角三角形， ∴点O关于的对称点， 则的最小值为的长度（即当点H运动到与点P、在同一条直线上时）， ． ∴的最小值为． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线yx交于点C． （1）求点C的坐标； （2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m． ①求线段PD的长（用含m的代数式表示）； ②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值； （3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）∴联立方程组：，解得：，即可求解； （2）①点P的横坐标为m，由PD∥y轴，得点P、D三点横坐标都为m，点D坐标为（m，m+6），得PD＝|m+6|； ②，先表示出P，D，E三点坐标，分两种情况第一种情形：点D是PE的中点时，第二种情形：点E是PD的中点时，根据中点坐标公式即可求解； （3）在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，先证△BCM≌△HON（SAS），BM＝NH，BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，即可求解． 【详解】解：（1）∵直线yx+6与直线yx交于点C， ∴联立方程组：， 解得：， ∴点C的坐标为（4，3）； （2）①点P的横坐标为m， ∵PD∥y轴， ∴点P、D，E三点横坐标都为m， 当x＝m时，ym，ym+6， ∴点D坐标为（m，m+6）， ∴PDm+6； ②当x＝m时，ym， ∴点E坐标为（m，m）， 而点P坐标为（m，0）， 第一种情形：点D是PE的中点时， m+6， 解得：m； 第二种情形：点E是PD的中点时， （m+6+0）m， 解得：m； 综上，m或； （3）BM+BN存在最小值， 在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH， ∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°， ∴AB＝10， ∵CF⊥BO， ∴点F坐标为（0，3）， ∴CF垂直平分BO， ∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF， ∵CF∥AO， ∴∠FCO＝∠AOC， ∴∠BCM＝∠HON， ∵MC＝NO，CB＝OH， ∴△BCM≌△HON（SAS）， ∴BM＝NH， ∴BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小， 此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把BM+BN的值转化为NH+BN的值． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)点是轴上一个动点， ①当值最小时，请直接写出点的坐标 ； ②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)2， (2)24 (3)①；②或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，轴对称的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论直角． （1）将点C代入直线中可求解m的值，再将点C代入直线中即可求解n的值； （2）先求解出点A与点D的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）①先找到点B关于x轴的对称点点，即可得点的坐标，连接，待定系数法可求解直线的函数表达式，令即可求解点P的坐标； ②分类讨论和两种情况求解点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在直线上， ∴，解得， 故答案为：2，； （2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，可得；令，可得， ∴点，点， ∵直线与轴交于点， 令，可得， ∴点， ∴， ∴； （3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 则，此时值最小，最小值为， ∵点， ∴点B关于x轴的对称点点， 又点， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 令，可得， ∴点的坐标为； 故答案为：； ②∵， ∴， 当时， ∴， 即， ∴点的坐标为； 当时， 又， ∴， 即， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 题型三 一次函数与等角问题 1.找角相等条件： 平行线：同位角、内错角相等。 等腰三角形：等边对等角。 角平分线：平分得两角相等。 2. 转化为斜率： 两直线倾斜角相等⇒斜率相等（平行）。 与坐标轴夹角相等 ⇒ 斜率互为相反数或相等。 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的面积为 (3)点F的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由一次函数的图象经过点，可得，故直线的解析式为； （2）求出，，可得，再求出，即可得； （3）当F在右侧时，设交y轴于G，由，可得，设，由，有，解得，知，可得直线的解析式为，联立，可解得，当在左侧时，，即轴，即可得． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 一次函数的图象经过点， ， 直线的解析式为； （2）解：如图： 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 在中，令得：， 解得， ， ， 的面积为9； （3）解：当F在右侧时，设交y轴于G，如图： ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 由，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得， ； 当在左侧时， ∵， ∴，即轴， ， 在中，令得， ； 综上所述，点F的坐标为或 ． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求出点E的坐标； （2）①根据图形得出，可得点P的坐标；②根据将军饮马即可求出最小值； （3）分两种情况：当点M在点C的左侧时，当点M在点C的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：①∵，， ， ， ， 此时， ， ； ②如图，作关于轴对称点，则点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 即最小值为； （3）解：∵点Q为线段的中点，， ∴点，即， 如图，当点M在点C的左侧时， 由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点C的右侧时， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点A,C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一动点，若，求点P的坐标； (3)点Q为直线上一动点，当 时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)点坐标为或 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到，，，设点，再分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况根据三角形面积之间的关系建立方程求解即可； （3）如图，当点在点右侧时，证明，得到，则点在直线上；如图，当点在点左侧时，证明，由勾股定理得，利用等面积法得到，设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴，即， ，即， ∴ ， ∴， ， ， ， 设点，当点在线段上时，如图， 则， ， 解得， ； 当点在的延长线上时，如图， 则， ， 解得， 点， 综上所述：点坐标为或； （3）解：如图，当点在点右侧时， ， ， ， ， ∴， ∴垂直平分， 点在直线上， ，解得， ； 如图，当点在点左侧时， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 设， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为或． 5．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A，点E在第一象限，坐标为（4，4）． (1)点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； (2)如图1，点P为x轴上一点，当A、B、P三点构成以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 　 　； (3)如图2，连接AE、BE，在坐标系平面内，存在点D（D不与E重合），使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABE全等，请你直接写出点D的坐标． (4)如图3，连接AE、BE、OE，点Q为y轴上一点，∠OEB＝∠QEA，直线EQ与直线AB交于点M，直接写出M点的坐标． 【答案】(1)（0，4），（2，0）； (2)（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）； (3)D的坐标为：（﹣，）或（﹣2，0）或（，）； (4)M的坐标为（，）或（﹣，） 【分析】（1）在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝4，即可得A、B坐标； （2）由A（0，4），B（2，0），得AB＝2，当AP＝AB时，由等腰三角形对称性知P（﹣2，0），当AB＝PB时，P（2+2，0）或（2﹣2，0）； （3）由A（0，4），B（2，0），E（4，4），得AE2＝16，BE2＝20，设D（x，y），①当AD＝AE，BD＝BE时，可得，即可解得D（﹣，），②当AD＝BE，BD＝AE时，同理可得D（﹣2，0）或（，）； （4）当Q在A下方时，过B作BR⊥BE交直线EQ于R，过R作RS⊥x轴于S，过E作ET⊥x轴于T，可得△BER是等腰直角三角形，从而△RSB≌△BTE（AAS），可得R（﹣2，2），设直线RE为y＝kx+b，用待定系数法得直线RE为y＝x+，由即可解得M（，），当Q'在A上方时，由直线RE为y＝x+，得Q（0，），根据对称性有Q'（0，），即得直线Q'E为y＝﹣x+，由解得M'（﹣，）． 【详解】（1）解：在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝4， ∴A（0，4），B（2，0）， 故答案为：（0，4），（2，0）； （2）解：∵A（0，4），B（2，0）， ∴AB＝2， 当AP＝AB时，由等腰三角形对称性知P（﹣2，0）， 当AB＝PB时，P（2+2，0）或（2﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）； （3）解：∵A（0，4），B（2，0），E（4，4）， ∴AE2＝16，BE2＝20， 设D（x，y）， ①当AD＝AE，BD＝BE时，由“SSS“可知△ABD≌△ABE， ∴， 解得（舍去）或， ∴D（﹣，）， ②当AD＝BE，BD＝AE时，可知△BAD≌△ABE， ∴， 解得或， ∴D（﹣2，0）或（，）， 综上所述，D的坐标为：（﹣，）或（﹣2，0）或（，）； （4）解：当Q在A下方时，过B作BR⊥BE交直线EQ于R，过R作RS⊥x轴于S，过E作ET⊥x轴于T，如图： ∵A（0，4），E（4，4）， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴∠AEO＝45°， ∵∠OEB＝∠QEA， ∴∠BEQ＝45°， ∴△BER是等腰直角三角形， ∴BR＝BE，∠RBS＝90°﹣∠EBT＝∠BET， 又∠RSB＝∠BTE＝90°， ∴△RSB≌△BTE（AAS）， ∴RS＝BT＝OT﹣OB＝4﹣2＝2，BS＝ET＝4， ∴OS＝BS﹣OB＝4﹣2＝2， ∴R（﹣2，2）， 设直线RE为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线RE为y＝x+， 由得， ∴M（，）， 当Q'在A上方时，如图： ∵直线RE为y＝x+， ∴Q（0，）， ∴AQ＝OA﹣OQ＝， ∵∠Q'EA＝∠BEO＝∠QEA， ∴AQ'＝AQ＝， ∴OQ'＝， ∴Q'（0，）， 设直线Q'E为y＝k'x+， ∴4＝4k'+， ∴k'＝﹣， ∴直线Q'E为y＝﹣x+， 由得， ∴M'（﹣，）， 综上所述，M的坐标为（，）或（﹣，）． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何综合、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求得直线的解析式，再联立成方程组即可求解； （2）①先求得点的坐标为，由与直线交于点，可得，即点的纵坐标，代入直线，即可求得，可得点，的坐标，即可求解； ②分点在点的上方，点在点的下方两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 由，解得， ∴点的坐标为． （2）解：①把代入，得， ∴点的坐标为， ∵与直线交于点， ∴点的横坐标， ∴点的纵坐标， 如图， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，， ∴． ②（Ⅰ）：点在点的上方， 如图，由题意可得，点，关于直线对称，设与直线交于点， ∴与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴点C坐标为； （Ⅱ）：点在点的下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可得， 设，则， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵与关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴，与点重合，舍去； 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴点C的坐标为 综上所述，点C坐标为或． 题型四 一次函数与45°角问题 1. 核心：斜率k=±1，（与 x 轴成 45°）。 2.构造等腰直角三角形：过点作水平 / 竖直线，构造直角边相等。 3.坐标变换：45° 4.求解析式：利用 k=1或k=-1结合点坐标求直线。 1．（23-24八年级下·江苏南通·月考）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于． (1)求证：； (2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作，交于点，过点作轴于点，易得为等腰直角三角形，由（1）可知： ，则，，则，即点，进而求解． 【详解】（1）解： ， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）解：过点作，交于点，过点作轴于点，易得为等腰直角三角形． 由（1）得． ，． 对：，令，得；令，得． ，， ，，， ． 设直线：． 则，解得． 的函数解析式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）分别令直线解析式中和，求出对应的、值，即可得到点、的坐标． （2）①通过构造全等三角形，求出点的坐标；②已知点、的坐标，利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴． 令，则， ∴． （2）解：①过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴． ∵直线绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ②设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 4．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0） 【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论； （3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC． ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC． ∴△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE，CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°， ∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG， ∵M（1，3）， ∴MF＝1，OF＝3， ∴MG＝3，NG＝1， ∴FG＝MF+MG＝1+3＝4， ∴OF﹣NG＝3﹣1＝2， ∴点N的坐标为（4，2）； （3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H， 对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3， ∴P（0，3）， ∴OP＝3， 由y＝0得x＝1， ∴Q（1，0），OQ＝1， ∵∠QPR＝45°， ∴∠PSQ＝45°＝∠QPS． ∴PQ＝SQ． ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP． ∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1． ∴S（4，1）， 设直线PR为y＝kx+b，则 ，解得． ∴直线PR为y＝﹣x+3． 由y＝0得，x＝6， ∴R（6，0）． 【点睛】 本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或． 【分析】（1）①先运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，直线，即，然后联立即可求得点C的坐标；②先求得，、，易得，则；再求得；设点，则，然后分点P在点C的左侧和右侧两种情况解答即可． （2）联立可得，如图：过B作于D，易得是等腰直角三角形可得，即，然后根据两点间距离公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，直线，即， 联立，解得：， ∴． ②∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点，则， 如图：当点P在点C的左侧时，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）解：联立，解得：， ∴， 如图：过B作于D， ∵直线与的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 设，， ∴，， ， ∴， 解得：或． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标； （2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A左侧时，分别求解即可； （3）过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标，分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； 当点P在点A左侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点P， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为 分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 五 一次函数与角度有关的综合问题 1.分解图形：拆成一次函数 + 三角形 / 平行线 / 特殊角。 2.角度转化：外角定理、三角形内角和、互余互补。 3.坐标→角度：用斜率算倾斜角，用三角函数表示角。 4.数形结合：先画草图，确定角的位置关系；列方程：把角度条件转化为坐标 / 斜率方程；求解并验证。 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)①4；②见解析 【分析】（1）根据算术平方根的非负性求出，然后求出，即可求解； （2）①首先得到，然后得到平移方式，然后求出点Q的坐标为，然后利用三角形面积公式求解； ②根据题分两种情况讨论，分别求出所在直线表达式，然后求出点M的坐标，然后表示出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，； （2）证明：①若， ∴ ∵点的对应点为点 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移1个单位 ∴点Q的坐标为 ∴的面积； ②当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向左平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 同理可得，所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 综上所述，为定值1． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于B，D两点．直线的图象与x轴交于C．直线与直线交于点． (1)求点A的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）由的面积，解方程即可求解； （3）当点P在y轴左侧时，证明，设点，即可求解；当点在y轴右侧时，则点、P关于对称，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 即点， 将点A的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：如图 设直线和y轴交于点， 设点， 由知，点， 则， 则的面积， 解得：或 即点或 即点E的坐标为：或； （3）解：存在，理由如下： 由函数的表达式知，点， 分以下两种情况： 当点P在y轴左侧时，如图2， ∵，则， 即， 设点， 由点A、P、C的坐标得，，， 解得：， 即点， 当点在y轴右侧的点时，则点、P关于对称， 由中点坐标公式得：点， 综上，或． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由确定与轴交点的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）由条件知，根据平行四边形的判定方法，再添加，以点，，，为顶点的四边形就是平行四边形，所以根据解析式设出点P、的坐标，根据点P的位置分情况表示线段长度，再根据列方程求解，最终确定点P的坐标； （3）根据点D在直线上的位置进行分类讨论，结合，构造全等三角形，确定线段长，进而确定点G（或H）的坐标，表示直线解析式，直线和直线两个解析式联立求点D的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别相交于点，点， 当时，， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）轴，，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点， ，当时，， ， ， ． 当时，， ； 当时，， ， ， ． 当时，， ． 综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或； （3）在中，当时，，， ． 如图1，当点在轴上方时，设交轴于点， ，，， ， ， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得， ； 如图2，当点在轴下方时，设交轴于点．同理可得，， ． 设直线的解析式为，代入， ， ． ∴直线的解析式为，联立，解得． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点、待定系数法求解析式、平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、联立解析式求交点．解题关键是根据点的位置进行分类讨论． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出交点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，；当点M在点E下方时，此时点M位于y轴负半轴； ∴或； （3）解：当点在上方时，过点作轴的对称点，记为点，则，， ∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 联立直线与得，， 解得， ∴； 当点在下方时， ∵，， ∴， 过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线， 再与直线联立可得，， 解得， ∴， 综上：点G的坐标为或． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，直线与交于点，点横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点的坐标，此时在轴上有一动点，连接，，求的最小值； (3)如图3，将向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点、的坐标，根据，可求得点的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）设，根据点的坐标特征分别得出， ，再根据可求得点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则，此时的最小值等于的长度， 利用勾股定理求解即可得解； （3）分点在直线左侧和右侧两种情况讨论，通过构造辅助线与推导角度关系，联立解析式即可解答． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，， ， ， ， ， 将点，代入直线中得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：点为直线上一点， 设， 对于直线， 令，得，解得， ， ， ，， ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则，此时的最小值等于的长度， ， ， ， 即的最小值为； （3）解：将向右平移个单位长度得到直线， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当点在直线左侧，时，则有， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 当点在直线右侧，时，延长交于点，则有，过点作直线交于点，交于点，连接， ， ，即垂直平分， ，， 在中，， 即，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 综上，点的坐标为或． 6．（25-26八年级上·全国·期末）过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： ． (1)如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点逆时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交轴，轴于点，直线过点交轴于点，且．若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)、；、；， 【分析】（1）如图2，过点B作轴于E．先求出点C的坐标为，A点的坐标为，由旋转的性质得，，证明推出，，可得； （2）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，同（1）可证，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）分、、三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图2，过点B作轴于E，    ∵ ∴当时，；当时，，， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 同（1）可证， ∵， 当时，；当时，，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∴， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ①当时，（点M在x轴上方），如图4， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 同（1）可证， ∴，， 即：， 解得：，； 故点、点； 当点M在x轴下方时，如图5， 同理可得：， 解得：（舍去）； ②当时，如图6， 同理可得：， 解得：，， ∴、； ③当时，如图7， 同理可得：， 解得：，， ∴，； 综上，、；、；，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题06 一次函数与线段、角度有关问题 题型一 一次函数与线段问题 1.求解析式：设y=kx+b，代入已知两点坐标，列方程组求 k、b。 2.求交点：联立两条直线解析式，解方程组，得交点坐标。 3.算线段长： 水平 / 竖直线段：横 / 纵坐标之差的绝对值； 斜线：两点距离公式： 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，为的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、直线交于点和点，当时，的值为 ． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于A，B两点，正比例函数的图象与交于． (1)点坐标为__________，点坐标为__________： (2)求点的坐标和正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求的值． 5．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 题型二 一次函数与线段和差问题 1.坐标化：把所有端点坐标求出。 2.表示线段：用坐标差写出各线段长度。 3.和差关系： 线段和最短：对称点 + 两点之间线段最短。 线段差最大：三角形两边之差小于第三边，三点共线时差最大。 4.列方程：把和差条件转化为关于 x、y 的方程求解。 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴轴分别交于点C、B，两直线相交于点． (1)求，的值； (2)求的值； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，求的值； (4)在轴上存在点，使得的值最小，则最小值是_____． 2．（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知直线与直线相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接PC，PF． (1)的值是__________； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)当的值最小时，点的坐标为__________． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．动点从点出发，沿轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点从点出发，沿轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为_________； (2)我们发现点一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； (3)若点在轴上，点是直线上的动点，请直接写出的最小值． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线yx+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线yx交于点C． （1）求点C的坐标； （2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m． ①求线段PD的长（用含m的代数式表示）； ②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值； （3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ， ； (2)求的面积； (3)点是轴上一个动点， ①当值最小时，请直接写出点的坐标 ； ②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ． 题型三 一次函数与等角问题 1.找角相等条件： 平行线：同位角、内错角相等。 等腰三角形：等边对等角。 角平分线：平分得两角相等。 2. 转化为斜率： 两直线倾斜角相等⇒斜率相等（平行）。 与坐标轴夹角相等 ⇒ 斜率互为相反数或相等。 1．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 4．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点A,C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一动点，若，求点P的坐标； (3)点Q为直线上一动点，当 时，求点Q的坐标． 5．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A，点E在第一象限，坐标为（4，4）． (1)点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； (2)如图1，点P为x轴上一点，当A、B、P三点构成以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 　 　； (3)如图2，连接AE、BE，在坐标系平面内，存在点D（D不与E重合），使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABE全等，请你直接写出点D的坐标． (4)如图3，连接AE、BE、OE，点Q为y轴上一点，∠OEB＝∠QEA，直线EQ与直线AB交于点M，直接写出M点的坐标． 6．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 题型四 一次函数与45°角问题 1. 核心：斜率k=±1，（与 x 轴成 45°）。 2.构造等腰直角三角形：过点作水平 / 竖直线，构造直角边相等。 3.坐标变换：45° 4.求解析式：利用 k=1或k=-1结合点坐标求直线。 1．（23-24八年级下·江苏南通·月考）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于． (1)求证：； (2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出点的坐标：___________；___________． (2)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的解析式． ①小明的做法是：如图，过点作交于点，可求出点的坐标为___________． ②在①的基础上从而求得直线的解析式（写出求解过程） 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    4．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 五 一次函数与角度有关的综合问题 1.分解图形：拆成一次函数 + 三角形 / 平行线 / 特殊角。 2.角度转化：外角定理、三角形内角和、互余互补。 3.坐标→角度：用斜率算倾斜角，用三角函数表示角。 4.数形结合：先画草图，确定角的位置关系；列方程：把角度条件转化为坐标 / 斜率方程；求解并验证。 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于B，D两点．直线的图象与x轴交于C．直线与直线交于点． (1)求点A的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，直线与交于点，点横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点的坐标，此时在轴上有一动点，连接，，求的最小值； (3)如图3，将向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 6．（25-26八年级上·全国·期末）过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： ． (1)如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点逆时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交轴，轴于点，直线过点交轴于点，且．若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $