精品解析：河南洛阳市回民中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年河南省洛阳市回民中学高二 下学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（每小题给出的四个选项中，有且仅有一个是符合题意，选错，不选，多选或涂改不清的均不给分.） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意化简复数，求出对应坐标后判断象限即可. 【详解】由题意得，对应点为， 它在第二象限，故B正确. 故选：B 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数乘法法则计算即可. 【详解】定义域为， 故选：B 3. “因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 A. 大前提错误导致结论错 B. 小前提错误导致结论错 C. 推理形式错误导致结论错 D. 大前提和小前提错误导致结论错 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：大前提：指数函数是增函数错误，只有在时才是增函数 考点：推理三段论 4. 如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（ ） A. 对一切正整数n都成立 B. 对任何正偶数n都成立 C. 对任何正奇数n都成立 D. 对所有大于1的正整数n都成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出 均成立，即可解题. 【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出 均成立， 即对所有正偶数都成立. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由微积分基本定理即可求解. 【详解】根据不定积分运算法则，被积函数的原函数为：  ， 所以. 6. 已知命题，，命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可． 【详解】命题，的否定是：， 故选：D 7. 函数的单调增区间为（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】求导，由 求解即可. 【详解】 ，求导得：  ， 由 ，解不等式 ， 因式分解得： ， 解得  或 ， 因此函数的单调增区间为 和  8. 已知是定义在R上可导的增函数，且，则函数的单调情况一定是（ ） A. 在上递增 B. 在上递减 C. 在R上递增 D. 在R上递减 【答案】A 【解析】 【分析】通过求导，判断导数在和R上的符号，即可求解. 【详解】对求导得： 根据题意：是R上的增函数，故恒成立，且对所有成立， 当时，，，因此； ，，因此 ； 综上得，故在上单调递增，因此A正确，B错误， 当时，， ，的符号无法确定， 因此在整个上单调性不确定，排除C、D. 第二部分：非选择题（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9. 复数的共轭复数是__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可. 【详解】， ∴. 故答案为： 10. 函数，的最大值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由二次函数的单调性即可求解. 【详解】由，可知对称轴为，开口向下， 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1. 11. 双曲线的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线离心率的定义即可求解. 【详解】由双曲线方程可知， 即， 故，即， 所以离心率 12. 设向量，，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方，结合向量数量积运算律和定义即可求解. 【详解】因为， 由，得； 又 ，， ； ， ；  ， ； 将所有值代入得： ， 开方得. 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定积分的性质以及微积分基本定理即可求出． 【详解】∵，∴． 故答案为：． 14. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由二次函数性质求得导数的最小值，从而得切点坐标，得切线方程． 【详解】由题意，易知时，，又时，， ∴所求切线方程为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查导数的几何意义，掌握求导运算是解题关键． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. 计算下列函数的导数和定积分. （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的四则运算，简单复合函数求导法则即可求解； （2）由微积分基本定理即可求解 【小问1详解】 由， 则， 【小问2详解】 16. 已知抛物线与直线． （1）求两曲线的交点； （2）求抛物线在交点处的切线方程． 【答案】（1）和 （2）在处切线方程；在处切线方程. 【解析】 【分析】（1）联立方程求解即可； （2）由导数的几何意义，确定切线斜率，即可求解. 【小问1详解】 联立抛物线与直线方程： ， 消去得：，整理为一元二次方程： ，  因式分解得，解得 ， 将代入得对应 ， 因此两曲线交点为和； 【小问2详解】 对求导，得： ， 在交点处： 切线斜率 ， 由点斜式得切线方程： ，整理得； 在交点处： 切线斜率， 由点斜式得切线方程：  ，整理得 . 综上：在处切线方程；在处切线方程. 17. 已知为实数， （1）求导数； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则求导整理即得； （2）先由极值点求得，对函数求导，得到函数的单调区间和极值点，结合区间端点的函数值比较，即得函数在给定区间上的最值. 【小问1详解】 由求导得：； 【小问2详解】 因是的极值点，故，解得， 则，， 因，由得或，由得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减. 故当时，取得极大值，为， 当时，取得极小值，为， 又， 故. 18. 求曲线，所围成的面积． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求出交点坐标，利用定积分的方法即可求出. 【详解】联立， 解得或， 设曲线与直线围成的面积为， 则 . 故曲线，所围成的面积是. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】法一：（1）连接，交于，连接要证明平面，只需证明直线平行平面内的直线； （2）要证明平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线、即可； （3）必须说明是二面角的平面角，然后求二面角的大小． 法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设． （1）连接，交于，连接，求出，即可证明平面； （2）证明，，即可证明平面； （3）求出，利用，求二面角的大小． 【小问1详解】 方法一： 证明：连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 方法二： 证明：如图所示为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设. 连接，交于，连接． 依题意得．,,， 因为底面是正方形，所以是此正方形的中心， 故点的坐标为且．，， 所以，这表明． 而平面且平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一：证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 方法二：证明：依题意得，， 又，故， 所以， 由已知，且，面，所以平面. 【小问3详解】 方法一：解：由（2）知，，又已知，故是二面角的平面角． 由（2）知，，， 设正方形的边长为， 则，，， ，， 在中，， 在中，，所以， 所以，二面角的大小为． 方法二：解：设点的坐标为，，则， 从而，，， 所以， 由条件知，，即，解得， 所以点的坐标为，且，， 所以 即，故是二面角的平面角． 因为， 且，， 所以 所以 所以，二面角的大小为. 20. 已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； (2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程． （Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意焦点在x轴上，可设所求椭圆的标准方程为 （a＞b＞0）， 其半焦距c=6， ∴，b2=a2﹣c2=9． 所以所求椭圆的标准方程为 （2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0） 关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）． 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6， ， b12=c12﹣a12=36﹣20=16． 所以所求双曲线的标准方程为． 【点睛】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省洛阳市回民中学高二 下学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（每小题给出的四个选项中，有且仅有一个是符合题意，选错，不选，多选或涂改不清的均不给分.） 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. “因为指数函数是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 A. 大前提错误导致结论错 B. 小前提错误导致结论错 C. 推理形式错误导致结论错 D. 大前提和小前提错误导致结论错 4. 如果命题对成立（），则它对也成立，若对成立，则下列结论正确的是（ ） A. 对一切正整数n都成立 B. 对任何正偶数n都成立 C. 对任何正奇数n都成立 D. 对所有大于1的正整数n都成立 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，，命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 函数的单调增区间为（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 8. 已知是定义在R上可导的增函数，且，则函数的单调情况一定是（ ） A. 在上递增 B. 在上递减 C. 在R上递增 D. 在R上递减 第二部分：非选择题（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9. 复数的共轭复数是__________ 10. 函数，的最大值是______． 11. 双曲线的离心率是______. 12. 设向量，，且，，，则______． 13. 已知，则的值为________． 14. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程是__________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. 计算下列函数的导数和定积分. （1）； （2）． 16. 已知抛物线与直线． （1）求两曲线的交点； （2）求抛物线在交点处的切线方程． 17. 已知为实数， （1）求导数； （2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值. 18. 求曲线，所围成的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. （1）证明平面； （2）证明平面； （3）求二面角的大小. 20. 已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； (2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $