河南省豫东豫北十所名校2013-2014学年高二下学期期中联考理科数学试题（扫描版）

则 ，① ，② ①-②得 . 所以 ……………………………………………………（12分） ； .…………………（9分） ∴ 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 ……………………………………………………………（12分） 易知 为平面 的一个法向量． 又 设平面PBC的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则平面PBC的一个法向量为 . 设二面角 的大小为 ，易知 为锐角，则 ， 所以二面角 的余弦值为 ．………………………………………………（12分） （Ⅱ）依题意，对任意 ，不等式 恒成立， 即 在 上恒成立，可得 在 上恒成立， 设 ，则 令 ，得 或 （舍去），当 时， ；当 时， ， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： （0，1） 1 （1，+∞） + 0 - 单调递增 -2 单调递减 ∴当 时， 取得最大值， ． ∴ 的取值范围是 ．………………………………………………………………（12分） （21）解：（Ⅰ）当点 到 轴的距离最大时， 的面积最大，此时 为椭圆 的上顶点或下顶点，由对称性，不妨设点 为上顶点 ，又 为椭圆的左、右焦点，则 的坐标分别为 ，直线 的方程为 ，将直线 代入椭圆 的方程可得 ，计算可得 ，则 点的横坐标为 ，同理，可得 点的横坐标为 ，此时 两点关于 轴对称，则线段| |的长为 .……………（6分） 故 .…………………………………………………………………（8分） 当 时，直线 的方程为： ，将其代入椭圆方程并整理可得 ，同理，可得 , 则 . 又 ， 则 为定值；………………………（10分） （2）当 时，由对称性，不妨设点 在 轴上方，则 点坐标为 ，可求得此时 点的坐标分别为 和 ，所以 ， ，所以 ； （3）当 时，同理，可得 . 综上可知， 为定值.……………………………………………………………………（12分） （22）解：（Ⅰ）因为 ，所以 又 是圆 的直径，所以 . 又因为 ， 所以 ，所以 . 又因为 ，所以 ， 所以 ，即 .………………………………………………（5分） （Ⅱ）因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 由（Ⅰ）知： EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ， 所以 ，即圆的直径为 . 又因