专题07 数据的分析（期末复习讲义，3知识8重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题07 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 算术/加权平均数计算 题型02 中位数与众数求解 题型03 方差计算与稳定性判断 题型04 统计量的选择（核心必考） 题型05 四分位数与箱线图 题型06 平均数、中位数、众数综合应用 题型07 方差的实际决策（高频） 题型08 用样本估计总体 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 算术/加权平均数 牢记公式，找准权重，计算零失误，规范书写步骤。 必考，选择+填空+小计算；易错：漏乘权重、计算失误。 中位数与众数 会排序、算中位数、找众数，能结合场景选统计量。 必考，选择+填空+大题设问；易错：忘排序、漏找众数。 方差与数据波动 会计算、懂意义，能通过方差判断数据稳定性。 压轴必考，填空+大题；易错：公式误用、算错平均数。 统计综合应用 能提数据、算统计量，完成大题完整答题流程。 压轴大题；易错：读表失误、结论脱离场景。 知识点01 数据的集中趋势（3大统计量） 1. 平均数 算术平均数：若n个数为，则，反映平均水平，易受极端值影响。 加权平均数：若n个数的权为，则；权（频数、占比等）反映数据重要程度，权越大影响越大。 性质：若是的平均数，则的平均数为。 2. 中位数 定义：数据从小到大排序后，奇数个数据取中间数，偶数个取中间两数的平均数。 特点：不受极端值影响，反映中间水平，唯一。 3. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数，可1个、多个或无。 特点：不受极端值影响，反映最常见值。 知识点02数据的离散程度（2大统计量） 1. 方差 定义：。 意义：方差越大，数据波动越大、越不稳定；反之越稳定。 标准差：方差的算术平方根，单位与原数据一致。 2. 四分位数与箱线图 四分位数：排序后数据的25%分位数（）、50%分位数（中位数）、75%分位数（）。 箱线图：由最小值、、中位数、、最大值5个关键点构成，直观反映分布，不受异常值影响。 知识点03统计思想：用样本估计总体 用样本平均数估计总体平均数； 用样本方差估计总体方差； 样本容量越大，估计越可靠。 题型一 算术/加权平均数计算 解｜题｜技｜巧 1.算术平均：直接求和÷个数； 2.加权平均：找准“权”（次数、百分比、比例），套公式； 3.简便法：数据接近某数时，各数据减算新平均，再加。 易｜错｜点｜拨 混淆算术平均数与加权平均数 错因：忽略“权”，直接算术平均（如成绩占比不同，直接相加÷3）。 避错：有“占比、比例、次数”时，必用加权平均；权相等时，算术平均=加权平均。 示例：平时90（30%）、期中80（30%）、期末70（40%），错解：；正解：。 【例1-1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）若样本数据，，，，的平均数是，则为（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【例1-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 【变式1-1】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期末）某班有50名学生，其中30名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班50名学生的平均身高为 ____________________厘米． 题型二 中位数与众数求解 解｜题｜技｜巧 1.中位数：先排序，再找中间；偶数个数据别忘求平均。 2.众数：统计频数，频数最高的数；多个数频数相同时，都是众数。 易｜错｜点｜拨 求中位数不排序 错因：直接按原顺序取中间数（如3,1,5的中位数错算为1）。 避错：先排序，再找中间，步骤不可少。 示例：数据18,19,20,21,22（12个），排序后中间两数19,19，中位数19。 众数概念误解 错因：把频数当众数、认为众数唯一。 避错：众数是数据本身（非次数）；可多个（如1,2,2,3,3众数2和3），也可无（如1,2,3,4）。 【例2-1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）数据3，6，5，6，4，6，5的众数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一组数据3，4，x，6，9的平均数是6，则该组数据的中位数是__________． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是___． 题型三 方差计算与稳定性判断 解｜题｜技｜巧 1.平均数不同：选平均数大的（水平高）； 2.平均数相同：选方差小的（更稳定）。 易｜错｜点｜拨 方差计算步骤遗漏 错因：忘求平均数、漏平方、除以个数错误。 避错：严格按“平均→差→平方→平均”四步，一步一查。 提醒：方差单位是原单位的平方，标准差单位与原数据一致。 【例3-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【例3-2】（24-25八年级下·云南临沧·期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别为，，，，这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差_______． 【变式3-3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______． 题型四 统计量的选择（核心必考） 解｜题｜技｜巧 无极端值、数据均匀→选平均数； 有极端值（如工资、收入）→选中位数； 关注最常见值（如销量、尺码）→选众数。 【例4】（24-25八年级下·重庆忠县·期末）下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最小值 【变式4-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）某商店销售，，，，，5种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法判断 【变式4-2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【变式4-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 题型五 四分位数与箱线图 解｜题｜技｜巧 1.数据排序； 2.算位置：（为百分位，为数据个数）； 3.为整数：取第和+1个数的平均；非整数：向上取整。 【例5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【变式5-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，是张老师根据全班名学生跳绳的次数的情况绘制的箱线图，请回答下列问题． (1)全班学生跳绳次数的中位数是_______，上四分位数是_______； (2)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？ 题型六 平均数、中位数、众数综合应用 解｜题｜技｜巧 1.已知中位数求未知数：排序后列等式（如数据1,4,6,x中位数=平均数，分x≤4、4＜x＜6、x≥6讨论）。 2.众数唯一：未知数不与现有众数重复。 【例6-1】（24-25八年级下·云南红河·期末）争创全国文明城市，从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七、八年级学生进行文明礼仪知识测试．两个年级共有1000名学生，从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分），满分100分．整理分析如下： 七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79． 八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85． 平均数 中位数 众数 七年级 93 94 a 八年级 93 b 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，那么七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是_______； (3)若成绩不低于98分可以获奖，请估计两个年级一共有多少人获奖？ 【例6-2】（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.5 8 8 45% 八年级 8.5 a b 55% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝__________，b＝__________； (2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； (3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）随着科学技术的发展和大数据时代的到来，AI智能逐渐进入人们的生活．有关人员对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度情况进行了随机调查，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示），分为四个等级： ：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙两款满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中____________，____________，____________，____________； (2)甲款满意度的中位数“85.5”表达的含义是____________； (3)在此次调查中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分。请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【变式6-2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”知识竞赛，并将最终成绩分为A，B，C，D，E五个等级，其相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分．校团委在七、八年级学生答卷中随机各抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理绘制成了如下统计图． 根据以上信息回答下列问题： (1)分别求出抽取出来的七年级和八年级学生的平均得分； (2)若该校需选择一个年级代表学校参加校际间的知识竞赛，选哪个年级获得的成绩可能会更高？（要求：先从平均数、中位数、众数的角度进行分析，再得出结论） (3)若该校七、八年级学生分别是1000人和1200人，请估计该校约有多少学生获得A等？ 【变式6-3】（24-25八年级下·四川广安·期末）为了提升公众对人工智能（）安全与伦理的认知，某科技公司举办了“安全与伦理”知识讲座，并在讲座结束后进行了知识测试，成绩采用百分制，90分及以上为优秀．现从群众组和学生组各随机抽取20名参与者的成绩进行整理与分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：群众组被抽取的参与者测试成绩为：52，59，65，67，70，72，73，74，74，81，83，83，90，91，92，92，92，94，97，99；将学生组被抽取的参与者测试成绩绘制成了扇形统计图，如图所示，其中D组的所有数据为：80，82，84，88．群众组和学生组被抽取的参与者测试成绩统计表 组别 平均数 众数 中位数 优秀率 群众组 80 a 82 学生组 80 91 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中： ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为是群众组还是学生组对“AI安全与伦理”知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若群众组有2700人，学生组有2400人，估计此次“AI安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有多少人？ 题型七 方差的实际决策（高频） 解｜题｜技｜巧 1.比较平均数：优先选平均水平高的； 2.平均数相同：方差越小越稳定，优先选； 3.极端情况：方差小但平均数过低，不选。 【例7-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）八（）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如图所示的统计图和如下不完整的统计表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 甲、乙同学跳绳成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 ，， (1)_______，_______； (2)若八（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由． 【例7-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 【例7-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）某校在进行数学测试后，从两个班级中各选出10名学生组建甲、乙两支数学竞赛队，对两队成绩（分）进行整理、描述和分析如下．（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 甲队的成绩：80，81，90，91，95，95，95，97，97，99． 乙队成绩在C组中的数据：90，92，94． 甲、乙两队的成绩统计分析表 队伍 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲队 a 95 c 39.6 乙队 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题 (1)填空： ________， ________， ________． (2)学校打算选择一支队伍参加数学竞赛，你认为学校应选派哪一支队伍？请说明理由． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9   乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了统计表： 选手 平均成绩／环 众数／环 方差 甲 8 乙 9 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ． (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击一次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式7-2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员次的成绩（单位：环）分别是：；乙队员次的成绩被制成如图所示的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格： 甲、乙队员射击训练成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (1)填空：______，______； (2)求的值； (3)从平均数和方差的角度分析，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？ 【变式7-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程： ；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲六次测试的平均成绩为___________环； (2)请计算乙六次测试的平均成绩及方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． (4)如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 题型八 用样本估计总体 解｜题｜技｜巧 1.样本平均数→总体平均数，样本方差→总体方差； 2.计算总体数量：总体数量=总体平均数×总体个数。 【例8-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：． (1)这组数据的众数为______（直接填空）； (2)求这组数据的中位数和下四分位数； (3)如果要求学生每天完成家庭作业时间不能超过的学生占比不低于，请估计该班学生是否符合这一要求？ 【例8-2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，68，70，80，83，91，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 众数 七年级 85.5 75 a b 91 八年级 c 80 90 93 d (1)上述表中，____________，____________，____________，____________； (2)若该校七、八年级分别有600名、500名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七、八年级学生成绩超过90分的总人数． (3)借助箱线图和四分位数的信息，从数据分布角度评价七、八年级两组数据的不同． 【变式8-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．为迎接新年，某水果店老板准备进一批苹果进行零售和推出新春主题礼盒售卖．为了更好地选择品质好、个头大小均匀的苹果，老板从A、B两种苹果中随机抽查了各20个，测量其直径，并对数据进行收集、整理、描述和分析如下： ［收集数据］ A品种苹果：75 76 76 76 78 78 78 79 79 79 80 81 81 82 82 83 83 84 85 85 B品种苹果：74 75 76 76 77 77 78 78 78 80 80 81 82 83 83 83 84 84 85 88 ［整理数据］ 品种 平均数 众数 方差 A 80 76，78，79 9.1 B 80.1 m 13.79 ［分析数据］ 请根据以上信息，回答下列问题： (1)根据以上信息，填空：___________，___________．基于箱线图可以发现，___________品种的直径分布波动大． (2)对比两种苹果的直径数据，老板应该选择哪种苹果，得到的苹果大小较为整齐？说明理由． (3)老板发现直径（记为）为的苹果装在礼盒美观好看．若老板进了一批A品种的苹果大概有1000个，请估计有多少个可以装入礼盒？ 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·期末）2023年12月4日是我国第十个国家宪法日．某校组织全校学生参加了“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的网上知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在B组的分数为：91，92，93，94； 八年级20名学生在B组的分数为：90，93，93，93，94，94，94，94， 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 93 b (1)填空：______ ，______ ，______； (2)把条形统计图补充完整； (3)该校八年级有1000名学生，估计八年级竞赛成绩为优秀的学生人数共有多少？ (4)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）某高校举行十佳歌手大赛，李明的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则李明的总成绩为（　　） A．83分 B．88分 C．90分 D．93分 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则____________． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 三、解答题 6．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）某同学的五次数学成绩分别是：，，，，．该同学五次成绩的中位数，众数，平均数分别是多少？ 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级名参赛选手的得分如下（单位：分）：，求这组数据的离差平方和． 8．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）．若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在三轮班级预选赛中，甲、乙、丙、丁四名同学三轮预选赛成绩的平均数与方差如表： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 97 97 方差 0.36 0.25 1 0.64 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______． 4．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 5．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 三、解答题 6．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，_______，_______，_______； (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 二、填空题 3．（25-26八年级上·四川达州·期末）在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 三、解答题 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”． 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 b 35% (1)完成填空：________，________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 算术/加权平均数计算 题型02 中位数与众数求解 题型03 方差计算与稳定性判断 题型04 统计量的选择（核心必考） 题型05 四分位数与箱线图 题型06 平均数、中位数、众数综合应用 题型07 方差的实际决策（高频） 题型08 用样本估计总体 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 算术/加权平均数 牢记公式，找准权重，计算零失误，规范书写步骤。 必考，选择+填空+小计算；易错：漏乘权重、计算失误。 中位数与众数 会排序、算中位数、找众数，能结合场景选统计量。 必考，选择+填空+大题设问；易错：忘排序、漏找众数。 方差与数据波动 会计算、懂意义，能通过方差判断数据稳定性。 压轴必考，填空+大题；易错：公式误用、算错平均数。 统计综合应用 能提数据、算统计量，完成大题完整答题流程。 压轴大题；易错：读表失误、结论脱离场景。 知识点01 数据的集中趋势（3大统计量） 1. 平均数 算术平均数：若n个数为，则，反映平均水平，易受极端值影响。 加权平均数：若n个数的权为，则；权（频数、占比等）反映数据重要程度，权越大影响越大。 性质：若是的平均数，则的平均数为。 2. 中位数 定义：数据从小到大排序后，奇数个数据取中间数，偶数个取中间两数的平均数。 特点：不受极端值影响，反映中间水平，唯一。 3. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数，可1个、多个或无。 特点：不受极端值影响，反映最常见值。 知识点02数据的离散程度（2大统计量） 1. 方差 定义：。 意义：方差越大，数据波动越大、越不稳定；反之越稳定。 标准差：方差的算术平方根，单位与原数据一致。 2. 四分位数与箱线图 四分位数：排序后数据的25%分位数（）、50%分位数（中位数）、75%分位数（）。 箱线图：由最小值、、中位数、、最大值5个关键点构成，直观反映分布，不受异常值影响。 知识点03统计思想：用样本估计总体 用样本平均数估计总体平均数； 用样本方差估计总体方差； 样本容量越大，估计越可靠。 题型一 算术/加权平均数计算 解｜题｜技｜巧 1.算术平均：直接求和÷个数； 2.加权平均：找准“权”（次数、百分比、比例），套公式； 3.简便法：数据接近某数时，各数据减算新平均，再加。 易｜错｜点｜拨 混淆算术平均数与加权平均数 错因：忽略“权”，直接算术平均（如成绩占比不同，直接相加÷3）。 避错：有“占比、比例、次数”时，必用加权平均；权相等时，算术平均=加权平均。 示例：平时90（30%）、期中80（30%）、期末70（40%），错解：；正解：。 【例1-1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）若样本数据，，，，的平均数是，则为（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：样本数据，，，，的平均数是， ∴， 解得：， 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 【答案】D 【详解】最终成绩按的比例计算， 权重之和为， 加权和为， 最终成绩为分． 故选． 【变式1-1】（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【详解】解：由平均数的定义可得： ， ， 则，，，，的平均数为： ， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江湖州·期末）某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期末）某班有50名学生，其中30名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班50名学生的平均身高为 ____________________厘米． 【答案】 【详解】全班50名学生的平均身高为：（厘米）． 故答案为：． 题型二 中位数与众数求解 解｜题｜技｜巧 1.中位数：先排序，再找中间；偶数个数据别忘求平均。 2.众数：统计频数，频数最高的数；多个数频数相同时，都是众数。 易｜错｜点｜拨 求中位数不排序 错因：直接按原顺序取中间数（如3,1,5的中位数错算为1）。 避错：先排序，再找中间，步骤不可少。 示例：数据18,19,20,21,22（12个），排序后中间两数19,19，中位数19。 众数概念误解 错因：把频数当众数、认为众数唯一。 避错：众数是数据本身（非次数）；可多个（如1,2,2,3,3众数2和3），也可无（如1,2,3,4）。 【例2-1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）数据3，6，5，6，4，6，5的众数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：数据中3出现1次，4出现1次，5出现2次，6出现3次． ∵6出现的次数最多， ∴众数是6． 故选：D． 【例2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一组数据3，4，x，6，9的平均数是6，则该组数据的中位数是__________． 【答案】6 【详解】解：∵数据3，4，x，6，9的平均数为6， ∴， 即， 解得． 将数据排序后为3，4，6，8，9， 则中位数为6． 故答案为：6． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是___． 【答案】6 【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴， 故答案为：6． 题型三 方差计算与稳定性判断 解｜题｜技｜巧 1.平均数不同：选平均数大的（水平高）； 2.平均数相同：选方差小的（更稳定）。 易｜错｜点｜拨 方差计算步骤遗漏 错因：忘求平均数、漏平方、除以个数错误。 避错：严格按“平均→差→平方→平均”四步，一步一查。 提醒：方差单位是原单位的平方，标准差单位与原数据一致。 【例3-1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 【例3-2】（24-25八年级下·云南临沧·期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行10次射击测试，他们测试的平均成绩相同，方差分别为，，，，这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】∵，，，，且， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁． 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】4 【详解】解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差_______． 【答案】 【详解】解：由， 得这组数据为：， 则， 则 ， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______． 【答案】丁 【详解】解：∵，，，，且平均数均为环， ∴， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 题型四 统计量的选择（核心必考） 解｜题｜技｜巧 无极端值、数据均匀→选平均数； 有极端值（如工资、收入）→选中位数； 关注最常见值（如销量、尺码）→选众数。 【例4】（24-25八年级下·重庆忠县·期末）下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最小值 【答案】D 【详解】解：A、平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平，是集中趋势的核心指标，故此选项不符合题意； B、 中位数是将数据按大小排列后位于中间位置的数，不受极端值影响，体现数据中间位置的集中趋势，故此选项不符合题意； C、众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的集中分布情况，故此选项不符合题意； D、最小值是数据中的最小数值，仅描述数据范围的下限，不能刻画数据集中趋势，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）某商店销售，，，，，5种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：商店经理应关注的是销售数量，销售数量最多的应选择众数， 故答案为：C． 【变式4-2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【答案】B 【详解】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名， 而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息， 故选B． 【变式4-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 题型五 四分位数与箱线图 解｜题｜技｜巧 1.数据排序； 2.算位置：（为百分位，为数据个数）； 3.为整数：取第和+1个数的平均；非整数：向上取整。 【例5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【答案】A 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 【答案】 【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 【答案】 【详解】解：由箱线图可知：八（1）班学生成绩的上四分位数是90分． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，是张老师根据全班名学生跳绳的次数的情况绘制的箱线图，请回答下列问题． (1)全班学生跳绳次数的中位数是_______，上四分位数是_______； (2)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？ 【详解】（1）解：由箱线图可知，全班学生跳绳次数的中位数是，上四分位数是， 故答案为：，； （2）解：由箱线图可知中位数离下四分位数近， 平均数大于中位数． 题型六 平均数、中位数、众数综合应用 解｜题｜技｜巧 1.已知中位数求未知数：排序后列等式（如数据1,4,6,x中位数=平均数，分x≤4、4＜x＜6、x≥6讨论）。 2.众数唯一：未知数不与现有众数重复。 【例6-1】（24-25八年级下·云南红河·期末）争创全国文明城市，从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七、八年级学生进行文明礼仪知识测试．两个年级共有1000名学生，从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分），满分100分．整理分析如下： 七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79． 八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85． 平均数 中位数 众数 七年级 93 94 a 八年级 93 b 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，那么七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是_______； (3)若成绩不低于98分可以获奖，请估计两个年级一共有多少人获奖？ 【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是98，故； 八年级的数据排序99，99，99，96，93，91，91，90，87，85， 第5个和第6个数据分别为91和93，故； （2）解：∵平均数与每一个数据都有关， ∴将抽取的“89”误写成了“79”时，平均数会发生变化， ∵出现次数最多的数据还是98，排序后，位于中间的2个数据还是93和95， 故众数和中位数均不会发生改变； （3）（人）； 答：估计两个年级一共有350人获奖． 【例6-2】（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.5 8 8 45% 八年级 8.5 a b 55% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝__________，b＝__________； (2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； (3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【详解】（1）解：∵八年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． ∴中位数． 根据扇形统计图可知D类是最多的，故． 故答案为：9，9． （2）解：该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为（人）； （3）解：根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异． 【变式6-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）随着科学技术的发展和大数据时代的到来，AI智能逐渐进入人们的生活．有关人员对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度情况进行了随机调查，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示），分为四个等级： ：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙两款满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中____________，____________，____________，____________； (2)甲款满意度的中位数“85.5”表达的含义是____________； (3)在此次调查中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分。请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【详解】（1）解：甲款满意度评分的众数， 乙款满意度评分在A、B组人数为（人）， ∴其评分的第10、11个数据分别为86、87， ∴中位数（分）， D组人数为（人）， 则其对应百分比，即， C组对应百分比，即． 故答案为：86.5，85，20，40． （2）解：甲款满意度的中位数“85.5”表达的含义是在所有评分数据中，有一半的评分数据小于或等于85.5，另一半的评分数据大于或等于85.5． （3）解：由题意知， （人）， 即估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数为144人． 【变式6-2】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）某中学在本校七、八年级学生中开展了“国防安全”知识竞赛，并将最终成绩分为A，B，C，D，E五个等级，其相应等级得分分别为5分，4分，3分，2分，1分．校团委在七、八年级学生答卷中随机各抽取50人的成绩进行分析，并将抽取出来的成绩整理绘制成了如下统计图． 根据以上信息回答下列问题： (1)分别求出抽取出来的七年级和八年级学生的平均得分； (2)若该校需选择一个年级代表学校参加校际间的知识竞赛，选哪个年级获得的成绩可能会更高？（要求：先从平均数、中位数、众数的角度进行分析，再得出结论） (3)若该校七、八年级学生分别是1000人和1200人，请估计该校约有多少学生获得A等？ 【详解】（1）解：七年级样本数据的平均数（分）； 八年级样本数据的平均数（分）； （2）解：根据题意可得， 七年级样本数据的中位数=，八年级样本数据的中位数=； 七年级样本数据的众数4，八年级样本数据的众数5； ∴由平均数可知，八年级的成绩比七年级的高；由中位数可知，两个年级的成绩一样；由众数可知，八年级的成绩比七年级的高； ∴选八年级去参赛获得的成绩可能会更高． （3）解：该校七、八年级获得A等级的学生为：（人）， 答：该校七、八年级约有632名学生获得A等． 【变式6-3】（24-25八年级下·四川广安·期末）为了提升公众对人工智能（）安全与伦理的认知，某科技公司举办了“安全与伦理”知识讲座，并在讲座结束后进行了知识测试，成绩采用百分制，90分及以上为优秀．现从群众组和学生组各随机抽取20名参与者的成绩进行整理与分析（成绩用x表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：群众组被抽取的参与者测试成绩为：52，59，65，67，70，72，73，74，74，81，83，83，90，91，92，92，92，94，97，99；将学生组被抽取的参与者测试成绩绘制成了扇形统计图，如图所示，其中D组的所有数据为：80，82，84，88．群众组和学生组被抽取的参与者测试成绩统计表 组别 平均数 众数 中位数 优秀率 群众组 80 a 82 学生组 80 91 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中： ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为是群众组还是学生组对“AI安全与伦理”知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若群众组有2700人，学生组有2400人，估计此次“AI安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有多少人？ 【详解】（1）解：群众组20名参与者的成绩中92出现的次数最多，故众数， 学生组A组有（人），B组有（人），C组有（人）， 把学生组20名参与者的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，82，故中位数b81， 学生组的优秀率为： ，即， 故答案为：92，81，35； （2）群众组对“安全与伦理”知识掌握得更好，理由如下： 因为两个组成绩的平均数相同，但群众组的众数、中位数和优秀率均高于学生组，所以群众组对“安全与伦理”知识掌握得更好（答案不唯一）； （3）（人）， 答：估计此次“安全与伦理”知识测试中成绩为优秀的一共有1920人． 题型七 方差的实际决策（高频） 解｜题｜技｜巧 1.比较平均数：优先选平均水平高的； 2.平均数相同：方差越小越稳定，优先选； 3.极端情况：方差小但平均数过低，不选。 【例7-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）八（）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如图所示的统计图和如下不完整的统计表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 甲、乙同学跳绳成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 ，， (1)_______，_______； (2)若八（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由． 【详解】（1）解：根据折线统计图，甲的成绩如下：， 出现了次，最多，故数据的众数是即； 根据题意，得甲的中位数是，故； 故答案为：． （2）， ， 乙的成绩稳定，应选乙． 【例7-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分） 测试项目 测试成绩 小王 小李 小林 唱功 8 9 9 音乐常识 10 8 6 综合知识 8 9 10 (1)如果将唱功、音乐常识和综合知识三项测试成绩按的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？ (2)通过计算方差，谁的成绩最稳定？ 【详解】（1）解：小王的加权平均分：（分）， 小李的加权平均分：（分）， 小林的加权平均分：（分）， ， 冠军是小李，亚军是小王，季军是小林； （2）解：小王的平均成绩：，小王的方差：， 小李的平均成绩：，小李的方差：， 小林的平均成绩：，小林的方差：， ，方差越小成绩越稳定 小李的成绩最稳定． 【例7-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）某校在进行数学测试后，从两个班级中各选出10名学生组建甲、乙两支数学竞赛队，对两队成绩（分）进行整理、描述和分析如下．（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 甲队的成绩：80，81，90，91，95，95，95，97，97，99． 乙队成绩在C组中的数据：90，92，94． 甲、乙两队的成绩统计分析表 队伍 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲队 a 95 c 39.6 乙队 92 b 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题 (1)填空： ________， ________， ________． (2)学校打算选择一支队伍参加数学竞赛，你认为学校应选派哪一支队伍？请说明理由． 【详解】（1）解：； 由众数的定义可得； 由中位数的定义可得乙队的中位数为第、人成绩的平均数 乙队组有（人），组有（人）， 而有3人， ∴第、人成绩的平均数为， ∴； 故答案为：，，； （2）解：应选派甲队参加数学竞赛，理由如下： ∵甲队的方差小于乙队的方差， ∴甲队成绩更稳定，应选派甲队参加数学竞赛． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9   乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了统计表： 选手 平均成绩／环 众数／环 方差 甲 8 乙 9 3.2 根据以上信息，请解答下面的问题： (1) ， ， ． (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)若选手乙再射击一次，命中的成绩是8环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会 ．（填“变大”“变小”或“不变”） 【详解】（1）解：由题意得，， 甲的数据中，数据8出现的次数最多，故， 甲的方差为：， 故答案为：8，8，0.4； （2）解：甲乙两人平均数相等，而方差， 故选手甲的成绩较乙稳定， 所以，选择甲参加射击比赛； （3）解：由题意，乙的6次成绩为：5，9，7，10，9，8， 其平均数为， 方差为：， ∴， 故选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小， 故答案为：变小． 【变式7-2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）甲、乙两名队员参加射击训练，甲队员次的成绩（单位：环）分别是：；乙队员次的成绩被制成如图所示的统计图；根据甲、乙的信息，整理数据制成如下表格： 甲、乙队员射击训练成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 (1)填空：______，______； (2)求的值； (3)从平均数和方差的角度分析，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？ 【详解】（1）解：从统计图中提取乙的成绩：环出现次，环出现次，环出现次，环出现次，环出现次， ， 先将甲的成绩排序：； 数据共个，中位数为第个数的平均值，即． 故答案为：． （2）甲队员次的成绩的方差． （3）选派乙参赛，理由如下： 虽然两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，成绩更稳定， 所以选派乙参赛．（说法合理即可） 【变式7-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程： ；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲六次测试的平均成绩为___________环； (2)请计算乙六次测试的平均成绩及方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． (4)如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 【详解】（1）解：由方差的公式可得，， 从嘉嘉的计算过程可知，甲的平均成绩为9． 故答案为：9． （2）乙六次测试的平均成绩为， 方差为． 故答案为：平均成绩为9环，方差为． （3）甲的平均成绩为9环，方差为；乙的平均成绩为9环，方差为， ∵ 平均成绩相同， ∴ 比较方差，方差越小成绩越稳定， ∵， ∴ 甲的方差较小，成绩更稳定，推荐甲参加比赛更合适． （4）甲前六次成绩总和为，平均为9， 加入第七次成绩9，新总和为，新平均数为9； 前六次成绩的离差平方和为4，加入新成绩后，离差平方和增加，新离差平方和为4，新方差为． ∵， ∴方差变小． 故答案为：变小． 题型八 用样本估计总体 解｜题｜技｜巧 1.样本平均数→总体平均数，样本方差→总体方差； 2.计算总体数量：总体数量=总体平均数×总体个数。 【例8-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）为调查八年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：）分别为：． (1)这组数据的众数为______（直接填空）； (2)求这组数据的中位数和下四分位数； (3)如果要求学生每天完成家庭作业时间不能超过的学生占比不低于，请估计该班学生是否符合这一要求？ 【详解】（1）解：数据中出现次，次数最多，故众数为． （2）解：将数据从小到大排序得40，43，55，55，55，60，65，75， ∴中位数：，下四分位数：； （3）解：不超过的数据有：，，，，，，共个 即不超过的占， ∴估计该班学生符合要求． 【例8-2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，68，70，80，83，91，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩分析表 年级 平均数 众数 七年级 85.5 75 a b 91 八年级 c 80 90 93 d (1)上述表中，____________，____________，____________，____________； (2)若该校七、八年级分别有600名、500名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七、八年级学生成绩超过90分的总人数． (3)借助箱线图和四分位数的信息，从数据分布角度评价七、八年级两组数据的不同． 【详解】（1）解：共有个数据， 中位数为第个数据和第个数据的平均数， ∴七年级所抽取学生的成绩的中位数； 七年级所抽取学生的成绩的上四分位数； 八年级所抽取学生的成绩的平均数 ； 出现的次数最多， 八年级所抽取学生的众数； 故答案为：91，96，87，93； （2）解：七年级随机抽取的名学生中分以上的有7人，八年级随机抽取的名学生中分以上的有6人， （名）， 估计该校此次活动中七、八年级学生成绩超过90分的总人数为名； （3）解：补全七年级的箱线图如下： 从数据上看，七年级学生成绩的最大值、上四分位数和中位数都高于八年级，七年级学生成绩的下四分位数和最小值都低于八年级； 从箱体来看，八年级的箱体较窄，极差较小，说明八年级学生成绩的波动程度较小，成绩更稳定． 【变式8-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．为迎接新年，某水果店老板准备进一批苹果进行零售和推出新春主题礼盒售卖．为了更好地选择品质好、个头大小均匀的苹果，老板从A、B两种苹果中随机抽查了各20个，测量其直径，并对数据进行收集、整理、描述和分析如下： ［收集数据］ A品种苹果：75 76 76 76 78 78 78 79 79 79 80 81 81 82 82 83 83 84 85 85 B品种苹果：74 75 76 76 77 77 78 78 78 80 80 81 82 83 83 83 84 84 85 88 ［整理数据］ 品种 平均数 众数 方差 A 80 76，78，79 9.1 B 80.1 m 13.79 ［分析数据］ 请根据以上信息，回答下列问题： (1)根据以上信息，填空：___________，___________．基于箱线图可以发现，___________品种的直径分布波动大． (2)对比两种苹果的直径数据，老板应该选择哪种苹果，得到的苹果大小较为整齐？说明理由． (3)老板发现直径（记为）为的苹果装在礼盒美观好看．若老板进了一批A品种的苹果大概有1000个，请估计有多少个可以装入礼盒？ 【详解】（1）解：品种苹果的直径数据中出现次数最多的值是和，它们都出现了次．因此，品种苹果的众数是和． 品种苹果的直径数据按大小顺序排列后，最中间的两个数都是80，故中位数是：， 从箱线图中，我们可以看到品种的箱子更宽，表示数据的分布范围更广，波动更大．所以品种的直径分布波动大． （2）解：A品种的方差是，品种的方差是 因为，因为方差小，数据更集中，所以选择品种，得到的苹果大小较为整齐． （3）解：样本中，品种苹果的总数是个，直径在范围内的数据有个数据． 所以直径在范围内的比例是：， 若老板进了一批品种的苹果大概有个，则可以装入礼盒的苹果个数估计为：． 答：估计有个可以装入礼盒． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·期末）2023年12月4日是我国第十个国家宪法日．某校组织全校学生参加了“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的网上知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在B组的分数为：91，92，93，94； 八年级20名学生在B组的分数为：90，93，93，93，94，94，94，94， 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 93 b (1)填空：______ ，______ ，______； (2)把条形统计图补充完整； (3)该校八年级有1000名学生，估计八年级竞赛成绩为优秀的学生人数共有多少？ (4)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【详解】（1）解：七年级学生竞赛共有20人，A组有人，B组4人，C组5人，D组3人， 七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， ∴中位数， ∵八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，有4次， 故众数， ∵得分在90分及以上为优秀， ∴ 故答案为：，，； （2）解：七年级选取的学生竞赛成绩中，A组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解： （人）， 答：估计八年级竞赛成绩为优秀的学生人数共有650人； （4）解：八年级的学生成绩更好．理由如下： 因为八年级学生竞赛成绩的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）某高校举行十佳歌手大赛，李明的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则李明的总成绩为（　　） A．83分 B．88分 C．90分 D．93分 【答案】A 【详解】解：∵总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占计算， ∴李明的总成绩为（分）， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：∵原数据排序为，共7个数据， ∴原中位数为第4个数据，即， ∵去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据为，共5个数据， ∴剩余数据的中位数为第3个数据，即，中位数未发生变化， ∵原数据平均数为，去掉后平均数为，平均数发生变化， ∵原众数为（出现2次），去掉后仅出现1次，众数发生变化， ∵方差与数据和平均数有关，平均数改变且数据调整，方差发生变化， ∴一定不发生变化的是中位数， 故选B． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：∵四名运动员的平均成绩相同，方差越小成绩波动越小，发挥越稳定， 又∵， ∴丁的方差最小，成绩最稳定，因此选择丁参赛． 二、填空题 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则____________． 【答案】6 【详解】解：由于这组数据的方差， ∴平均数是6，共有5个数据 ∴ ∴． 故答案为：6． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 三、解答题 6．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）某同学的五次数学成绩分别是：，，，，．该同学五次成绩的中位数，众数，平均数分别是多少？ 【答案】中位数为，众数为，平均数为 【详解】解：数据从小到大排列为，，，，，共5个数据，则中位数为； 其中出现的次数最多，共2次，则众数是； 平均数为：． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级名参赛选手的得分如下（单位：分）：，求这组数据的离差平方和． 【答案】 【详解】解：∵平均数为， ∴离差平方和为． 8．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）．若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 【答案】甲选手将获得冠军． 【详解】解：由题意可得， 甲选手的成绩：（分）， 乙选手的成绩：（分）， ∵， ∴甲选手将获得冠军． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在三轮班级预选赛中，甲、乙、丙、丁四名同学三轮预选赛成绩的平均数与方差如表： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 97 97 97 97 方差 0.36 0.25 1 0.64 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵四名同学的平均数相同，乙的方差最小， ∴选择乙同学参赛． 二、填空题 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______． 【答案】1 【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：，1，2，3，3，5，共6个数据，这组数据的下半部分为，1，2，其中位数为1，故该组数据的下四分位数为1。 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 5．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 【答案】5.2 【详解】解：第一组数据的平方和：，第二组数据的平方和：， 总平方和：， 故总方差：． 故答案为：5.2． 三、解答题 6．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，_______，_______，_______； (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】(1)，，， (2)甲更好 (3)从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是3.25小于甲的得分方差36.25，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好 【详解】（1）乙的得分中，出现次数最多（3次），因此得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，共8个数， 中位数为第4、5个数的平均数：； 乙平均得分为27，方差计算： ， 由篮板统计图，甲8场篮板总和为，平均篮板； （2）甲综合得分：， 乙综合得分：， 因为， 所以甲队员的表现更好； （3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变 ∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意； B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意； D：，，方差变化，不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误； C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确． 故选：D． 二、填空题 3．（25-26八年级上·四川达州·期末）在箱线图中，上下四分位数之间的高度反映了中间50％数据的集中程度，中位数越靠近下四分位数，说明中间50％的数据中的________部分越集中（填“后半”或“前半”），这组数据的平均数________中位数（填“大于”或“小于”） 【答案】 前半 大于 【详解】箱线图的中间 50% 数据是下四分位数（Q1）到上四分位数（Q3）之间的数据．中位数（Median）靠近下四分位数，说明从 Q1 到 Median 的距离小于 Median 到 Q3 的距离，即中间 50% 数据的前半部分（Q1 到 Median）更集中．中位数靠近下四分位数，说明数据呈右偏分布（大部分数据集中在左侧，右侧有长尾）．在右偏分布中，平均数会被右侧的长尾拉高，因此平均数大于中位数． 故答案为：前半；大于． 三、解答题 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”． 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 40% 九年级 88 88 b 35% (1)完成填空：________，________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)；；补全条形图见解析 (2)八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 (3)（人） 【详解】（1）解：由题意，八年级A等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：88，89， ∴； 九年级中A等级的人数为， B等级的人数为， C等级的人数为， D等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； 补全条形图如图： （2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； （3）解：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有（人）． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $