精品解析：安徽宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试题

安徽宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期期中教学 质量检测高一数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 若向量，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据由，可得，求出的值. 【详解】由，，则，即，解得. 故选：A 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量计算法则计算即可 【详解】向量在向量上的投影向量为： 4. 已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图画出原平面图形，再结合梯形面积公式求解. 【详解】 由直观图中梯形，可知四边形为直角梯形. 所以梯形面积 5. 已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用重心定理得到，再结合四边形法则转化为即可得解． 【详解】，E为中点，为重心，， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查向量加法法则，重心定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为，则， 则， 故，则， 所以该棱台的体积为. 故选：C. 7. 龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取，两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，） A. 48米 B. 50米 C. 52米 D. 54米 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以（米）. 8. 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱两底面平行，并且各侧棱也平行 B. 棱柱所有的面都是平行四边形 C. 相等的线段在直观图中仍然相等 D. 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】AD 【解析】 【分析】由棱柱的性质，判断选项和；利用斜二测画法的性质判断选项；根据正棱锥的性质判断选项. 【详解】解：选项A，由棱柱的特征可知，两个底面互相平行，侧面均为平行四边形，所以侧棱平行且相等，A正确； 选项B，棱柱底面不一定是平行四边形，可以是三角形、五边形等，B错误； 选项C，在直观图中，平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半， 相等的线段可能分别平行轴和轴，因此，在直观图中线段不相等，C错误； 选项D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥的定义，D正确. 10. 设是非零复数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为3 C. D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A；利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断B；举反例判断C；利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D即可. 【详解】对于A.，设，则， 所以，， 当，有1个为0或全为0时，， 当，均不为0时，，故A错误， 对于B，设，因为，所以， 故有，可得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 而， 故表示点到定点的距离， 由圆的性质可知，，故B正确， 对于C，当时，，此时， 故不成立，故C错误， 对于D，设， 所以，， 而，故， 所以得到点到两定点的距离之和为2， 故的轨迹是以为端点的线段， 而表示到点的距离， 由几何意义可知最大值为，故D正确. 11. 在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 满足，则点是的外心 B. 满足，则点是的内心 C. 满足，则点是的垂心 D. 满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，根据垂直平分线的性质定理，可判断点为三角形三边垂直平分线的交点，即为外心； 选项，取边中点，根据平行四边形法则可得，结合已知条件可推出，即，可判断点为重心，而不是内心； 选项，根据已知条件结合向量减法运算，易得，，进而可得点为垂心； 选项，由单位向量的模长相等，结合和向量与数量积为，可推出三角形为等腰三角形，再由，进而求出内角，从而判断出为等边三角形. 【详解】解：对于选项，由，所以点到的三个顶点的距离相等，所以是的外心，正确； 选项，如图所示， 取边中点，连接，则， 又，则，所以，因此， 所以点是的重心，错误； 选项，由可得，即，所以； 同理可得，所以点是的垂心，正确； 选项，由，分别表示在，方向上的单位向量，则它们的和向量在的平分线上， 又，所以的角平分线垂直于，根据等腰三角形性质可得. 因为，所以根据数量积的定义， ，所以，因此为等边三角形，正确. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知底面边长为侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，求出球半径即可求出表面积. 【详解】可得正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，设球半径为， 则，解得， 故该球的表面积. 故答案为：. 13. 若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为物体处于平衡状态，所以，所以， 所以 ， 所以. 14. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理，结合三角恒等变换化简计算即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 即， 整理得，即. 因为，，均为锐角，所以，即， 又，所以. 因为，，均为锐角，所以，即，解得. 由正弦定理得， 因为，所以， 所以. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的方程有实数根b. （1）求实数a，b的值； （2）设，求. 【答案】（1）；（2）5. 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根b，得到，再利用复数相等求解； （2）由（1）得到，再化简求解. 【详解】（1）因为方程有实数根b， 所以，即， 所以，解得. （2）由（1）知 ， 所以. 16. 用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． （1）求圆锥的母线长； （2）过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】（1）4 （2）8 【解析】 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【小问1详解】 轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. 【小问2详解】 在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 17. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 由已知得， 因为三点共线，所以，即. 【小问2详解】 由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 18. 在中，的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 即，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， 为三角形内角，则，而，于是， 在中，由正弦定理得， 所以. 19. 如图所示，某市在海岛上建了一水产养殖中心.在海岸线上有相距70公里的两个小镇，并且公里，公里，已知镇在养殖中心工作的员工有3百人，镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在之间建一个码头，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为. （1）求的大小； （2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合同角关系即可求解， （2）由正弦定理用角表达出边的长度，进而利用换元法，结合辅助角公式以及三角函数的有界性，即可求解最值满足的条件求解. 【小问1详解】 根据余弦定理，有， 由于 ,于是. 【小问2详解】 设每百人每公里水路运输成本为元，陆路运输成本为元.又，则 总成本 在中由正弦定理，有， 解得， ， 因此. 设，则， 有，又，其中，且为锐角， 所以，解得，当时，此时得 ，，故时取得等号. 因此当时，运输总成本最少 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期期中教学 质量检测高一数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 若向量，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 5. 已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A. B. C. D. 7. 龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取，两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（ ）（参考数据：取，） A. 48米 B. 50米 C. 52米 D. 54米 8. 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱两底面平行，并且各侧棱也平行 B. 棱柱所有的面都是平行四边形 C. 相等的线段在直观图中仍然相等 D. 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 10. 设是非零复数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为3 C. D. 若，则的最大值为 11. 在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 满足，则点是的外心 B. 满足，则点是的内心 C. 满足，则点是的垂心 D. 满足，且，则为等边三角形 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知底面边长为侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 13. 若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 14. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为____________. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于x的方程有实数根b. （1）求实数a，b的值； （2）设，求. 16. 用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． （1）求圆锥的母线长； （2）过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 17. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 18. 在中，的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 19. 如图所示，某市在海岛上建了一水产养殖中心.在海岸线上有相距70公里的两个小镇，并且公里，公里，已知镇在养殖中心工作的员工有3百人，镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在之间建一个码头，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为. （1）求的大小； （2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $