精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高一实验部下学期下学期第2次月考数学试题

太和中学高一实验部下学期第2次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合， ， 所以. 2. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. 15 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解. 【详解】因为，，且的面积为， 所以，解得， 由余弦定理， 所以，则. 故选：A 3. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：A 4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解. 【详解】因为，，则，所以， 则，又因为，则， 又，则， 又，，则，所以， 故选：D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，故，A对； 对于B选项，，故，B错； 对于C选项，设向量、的夹角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，在方向上的投影向量为，D错. 故选：AC. 11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【详解】对于A，若，由的定义有或. 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即. 所以，故，A正确； 对于B，设有非零向量，则，，故，B错误； 对于C，由于，故，C错误； 对于D，若，，，则，D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，，，，则, 由该三角形有两个解，可得, 即. 13. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________. 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点， 因为，故， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 14. 已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据相邻零点距离求周期得，由对称性求确定函数表达式，再转化为正弦方程根的问题，最后通过分析解的个数确定的范围. 【详解】因为是的两个相邻零点，且， 所以的半周期，，即， 所以函数为 ， 由可知的一个对称中心为， 所以，解得， 又，取 ，所以，即， 因为，所以， 令，则问题转化为方程在上有三个实数根， 即的图象与直线有且仅有三个交点， 结合正弦函数图象可知，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求； （2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值. 【小问1详解】 因为点角的终边上，且， 根据三角函数定义，则， 解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 . 16. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设． （1）求的值； （2）若为边长等于2的正三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值； （2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值. 【小问1详解】 因为O为的中点，， 又，故 【小问2详解】 法一，设，因为O为的中点，， ∴ ∵B，O，E三点共线，所以，得 故 因为为边长为2的正三角形 故 （法二）设 又由（1）知与为非零的共线向量. 与为非零的共线向量，所以，得 ∴ 因为为边长为2的正三角形 故 . 17. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式； （2）利用整体代入法可得函数单调区间； （3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域. 【小问1详解】 由图象可知， 且，即， 又，所以； 所以， 又， 解得，， 又，则， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 又， 所以函数在上的单调递增区间为和； 【小问3详解】 当，则， 即 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为， 故在上的值域为. 18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角； （2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 而， 所以， 因为，所以，解得（舍去）， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理得，所以，， 又， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 又，所以， 所以. 即的周长的取值范围是. 【小问3详解】 设，，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 所以. 在中，，，所以， 所以，， 所以， 因为， 其中，， 当，即时，等号成立， 所以， 所以，即的面积的最小值为. 19. 已知函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴. （1）求取最大值时的值； （2）若将的图象向右平移个单位长度，得到，且在内有且仅有一个实数根. ①求的值； ②若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将化简为形式，利用正弦函数在内对称中心和对称轴的个数，确定，再求最大值时的； （2）①平移后得，将方程有唯一解转化为在对应区间内恰有一个解，求； ②将存在性条件转化为函数值域的包含关系，通过换元分析参数的范围. 【小问1详解】 已知函数，其中，， 则函数可写为，化简可得：. 设，令， 所以 ， 当时，，与条件矛盾， 令，由，，可得， 因为函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴， 所以，结合，解得， 所以. 所以最大值为1，此时，化简得， 【小问2详解】 ①将的图象向右平移个单位长度，得， 方程，化简得：. 令，当时，. 记，方程在上有且仅有一个解， 当时，唯一解； 当时，有两个解； 当时无解. 所以. ②当时，，，. 此时， 当时，设，则 ， 令，这是二次函数，开口向上，对称轴为， 由已知当时的取值范围需包含. 令， 解得，，因为，所以舍掉. 因此时，；当时，；当时，. 若， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 所以当时的取值范围为，满足要求； 若， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 所以当时的取值范围为，满足要求； 若，则对于，的最大值小于，与条件矛盾， 因此，又因为，取对数前，故， 当时，，的取值范围为，满足条件， 综上的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高一实验部下学期第2次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ） A. 15 B. 12 C. 16 D. 20 3. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是__________. 13. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________. 14. 已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， （1）求及的值； （2）求的值． 16. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设． （1）求的值； （2）若为边长等于2的正三角形，求的值． 17. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 19. 已知函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴. （1）求取最大值时的值； （2）若将的图象向右平移个单位长度，得到，且在内有且仅有一个实数根. ①求的值； ②若，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $