专项09 几何综合压轴 4大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 专项聚焦几何综合压轴，以“命题解码-模型建构-实战突破”为逻辑链，通过翻折、旋转等4类题型，提炼“不变量转化”“截长补短”等通法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |翻折问题|1典例+4题|抓不变量，依托对称全等转化线段角度|从折叠性质到动态分类，构建“对称性质-等量转化-综合计算”逻辑| |旋转问题|1典例+4题|抓不变量，旋转构造全等集中分散条件|以旋转性质为核心，形成“旋转全等-关系推导-多解探究”链条| |线段数量关系|1典例+3题|截长补短、旋转集中、勾股建模、特殊到一般|从静态关系到动态探究，实现“方法迁移-规律总结”| |最值问题|1典例+3题|确定轨迹、明确目标、转化构造、计算求解|以运动轨迹为基础，构建“动态分析-模型转化-最值计算”路径|

专项09 几何综合压轴 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，几何综合是解答题倒数第二个压轴题的必考题型，分值约12分左右． 命题趋势：解答题：几何综合稳定在倒数第二个压轴题的位置进行考察，题型变化较多，涵盖了多种几何模型与变换，常考查几何图形的翻折、旋转、平移等，求对应线段的长度、面积、探究线段的数量关系、求线段或面积的最值等。整体难度较大，考查综合能力的运用。 2026年预测：解答题会继续在倒数第二题的位置独立命题几何综合压轴题，形式稳定。图形的旋转与翻折仍为高频考点，或会淡化特殊模型的考查，强化现场根据题目逐步深入探究的能力，整体综合性较高，分类讨论情况要准确。 备考核心：能从复杂的几何图形中识别考点与模型，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准确，书写步骤规范。 题型01 翻折问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）问题情境：如图1，在中，点D在边上．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点E，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展探究：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，折痕与边交于点F，展平后连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请求出的长． 研考点·通技法 图形的翻折问题重点在抓不变量，折叠前后，边长、角度、周长部分条件保持不变，依托对称、全等关系，实现线段与角度的等量转化；同时关注对称轴被对应点连成的线段垂直平分等性质，可得出线段间的位置关系，或得到某些角度关系等。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，点和点分别是边，上的动点（不与端点重合），且，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接、，将沿折叠，得到． (1)①如图1，求证：； ②如图2，连接，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，，当四边形为菱形时，求四边形与四边形的面积比； (3)如图4，，连接并延长，分别交于点，交于点，当的面积与四边形的面积相等时，请直接写出的值． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）在中，点D在上，连接，将沿翻折得到，点B与点E是对应点． (1)如图1，若点E落在上，求证：； (2)如图2，，点E落在的内部，的延长线交于点F，若时，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，时，求的长． 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图1，将矩形（）沿对角线折叠，点落在处，交边于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，设． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，当四边形为菱形时，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点为菱形边的中点，点为其对边上一动点，将四边形沿线段折叠得到四边形，点，的对应点分别为点，． ①当时，则为______； ②当时，四边形的面积与菱形面积之比为______． 题型02 旋转问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在等边中，D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，与相交于点F． (1)如图1，求证：； (2)点G为延长线上一点，且，连接，与相交于点O，连接，，若． ①如图2，当时，求的长； ②如图3，当四边形的面积为时，求的面积． 研考点·通技法 图形的旋转问题重点在于抓不变量，旋转前后，边长、角度、周长部分条件保持不变，依托对称、全等关系，实现线段与角度的等量转化。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当，时，求的长； (3)如图2，求证：； (4)如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点H．当，时，直接写出的值． 2．（2026·辽宁本溪·一模）几何综合探究： (1)如图1，将沿对角线剪开，将绕着点A逆时针旋转度得到，，分别延长，交于点G． ①求证：； ②如图2，当时，，，，求的面积 (2)如图3，在中，，D是边的中点，点E在上，过点E作交的平行线于点F，若，，求的值． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，的延长线交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)连接，连接并延长交于点． ①如图2，求证：点是的中点： ②如图3，连接，当时，求的面积． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当，时，求的长． (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 题型03 探究线段数量关系 析典例·建模型 1．（2026·辽宁营口·一模）已知中，，，点是边上任意一点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，点的对应点为点． (1)如图，过点的直线，当点在直线l上时，请画出点和折痕（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)连接并延长，与的延长线相交于点， 如图，若，，当时，求的长； 当点与中点不重合时，猜想，，的关系（用含有的式子表示），并说明理由． 研考点·通技法 1截长补短：线段和差首选。在长边截取一段等于短边，再证剩余部分等于另一短边；或将短边延长至与长边相等。 2 旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角形。 3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。 4 从特殊到一般：动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁·模拟预测）等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． (1)如图1，点E恰好落在平分线上，则求 °； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的关系并证明（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 题型04 最值问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁盘锦·二模）发现问题 （1）如图1，在中，，点为线段上的点，，则和的数量关系是_______； 应用问题 （2）在中，，点在线段上，点在的延长线上，点，点在线段同侧，，将线段绕点旋转使点的对应点落在线段上，且． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，点，点为直线，上的两个动点，，点为的中点，直接写出线段的最小值． 研考点·通技法 1. 确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有：直线型：点在某线段或直线上滑动。圆弧型：一个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。 2. 明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的最值，以及它的两个端点谁是动点、谁是定点。 3. 转化或构造：将目标线段与一个已知定长或特殊位置（如垂线段最短、点圆距离、三点共线）联系起来。 4. 计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、相似或三角函数算出最终长度。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）综合探究应用： (1)如图1，在四边形中，若分别是边上的点，，求的长； (2)如图2，在中，与点D，分别是边上的点， ，Q，P分别是上的点，求的长； (3)在矩形中， ，将矩形绕B逆时针旋转得到矩形，连接M，N分别是边上的点，，请直接写出的最大值． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 3．（2025·辽宁沈阳·一模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值．    2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项09 几何综合压轴 。。。。。●。。●●。●●●e。。●●●。●。0。●e●●9●●●●●●●●●●●●。●●●●e●。●●●●e●●●。●●。。。。。0。●e●●●e0pe9g9 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 根据近年辽宁新中考考情，几何综合是解答题倒数第二个压轴题的必考题型，分值约12分左右. 命题趋势：解答题：几何综合稳定在倒数第二个压轴题的位置进行考察，题型变化较多，涵盖了多种几 何模型与变换，常考查几何图形的翻折、旋转、平移等，求对应线段的长度、面积、探究线段的数量关 系、求线段或面积的最值等。整体难度较大，考查综合能力的运用。 2026年预测：解答题会继续在倒数第二题的位置独立命题几何综合压轴题，形式稳定。图形的旋转与翻 折仍为高频考点，或会淡化特殊模型的考查，强化现场根据题目逐步深入探究的能力，整体综合性较高， 分类讨论情况要准确。 备考核心：能从复杂的几何图形中识别考点与模型，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准 确，书写步骤规范。 PART 02 解题建模·通技法 >题型01翻折问题<《 析典例.建模型 1.(2026·辽宁沈阳·模拟预测)问题情境：如图1，在ABC中AB>BC),点D在边AB上(AD>BD).沿 过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，折痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后展 平. 1/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D B' E B 图1 图2 备用图 (1)猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； (2)拓展探究：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线DB'上，折痕与边AC 交于点F,展平后连接AE交边AC于点G,连接A'F, ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②若∠C=90°，AB=10,BC=6,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请求出A'F的长. 【思路分析】(I)利用折叠的性质得到△BDE≌△B'DE,则DB=DB',EB=EB',∠BDE=∠B'DE,利 用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可； (2)①利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到∠BDE=∠B'ED,∠B'EA=∠B'AE,利用三角形的内 角和定理和直角三角形的性质解答即可； ②设AD与AC交于点H,利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当A'F=FG时，利用直角三 角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到AC=VAB-BC:4,sin∠A=BC=3, AB 5' 血∠FAB'=sin∠A=,设FH=3,则F=5张，4H=4k,再利用k的代数式表示出线段cG,CB 最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；当A'F=A'G=5k时，FH=HG=3k,利用类比 的方法解答即可. 【规范答题】(1)解：四边形BDB'E是菱形，理由如下： :沿过点D的直线折叠该纸片，折痕与边BC交于点E,得到△DB'E, △BDE≌△B'DE, ,DB=DB',EB=EB',∠BDE=∠B'DE, :DB'∥BC, ∠B'DE=∠BED, .∠BED=∠BDE, :BE BD, :BE DB', BE∥DB', 2/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BDB'E是平行四边形， :DB=DB', :四边形BDB'E是菱形； (2)解：①DE与AE的位置关系为DE⊥A'E,理由： 由(1)知：四边形BDB'E是菱形， :BD B'D=B'E, ∴.∠B'DE=∠B'ED, :沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A落在射线DB'上， :AD A'D. AD =2BD, :A'D =2BD, :A'B=BD, :A'B =B'E, ∠B'EA'=∠B'A'E, :∠B'DE+∠B'ED+∠B'EA'+∠B'A'E=I80°， ∠B'ED+∠B'EA'=90°，即∠DEA'=90°， .DE与AE的位置关系为DE⊥A'E; ②设AD与AC交于点H,如图， B B E 当A'F=FG时， ∠C=90°，AB=10,BC=6, AC=VAB2-BC:=8.sin 24=BC=3 AB5' :沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线DB'上， .∠A=∠FA'B',FA=FA', :.sin LFAB'=sin∠A=5 3 FH 3 FA5' 3/69 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设FH=3k,则FA'=5k,AH=√FA”-FH2=4k, :FA=FG=FA'=5k,AH=AF+FH=8k, :HG=FG-FH=2k,AG=FA+FG=10k, .CG=AC-AG=8-10k, :A'D∥BC, .AD_AH AB AC AD 8k 10=8 :AD =10k, BD=10-10k, :DB'=BD BE =10-10k, .CE BC-BE =10k-4, :A'D∥BC, .△A'HG∽△ECG, :A'H、CE ·HG=CG 4k10k-4 2k8-10k k=2 , AF=1 3 当A'F=A'G=5k时，FH=HG=3k, :AG=AF +FH +GH=11k, :CG=CA-AG=8-11k, :A'D∥BC, .△A'HGAECG, .AH_CE HG CG .4k_10k-4 3k8-11k 22 ∴k= 37 AF=110 37 4/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 踪上，F的长为或10 37 考点：通技法 !图形的翻折问题重点在抓不变量，折叠前后，边长、角度、周长部分条件保持不变，依托对称、全等关系， ·实现线段与角度的等量转化；同时关注对称轴被对应点连成的线段垂直平分等性质，可得出线段间的位置 !关系，或得到某些角度关系等。 破送题提能力 1. (2026辽宁丹东一模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D和点E分别是边AB,AC上 的动点（不与端点重合），且BD=AE,将线段AD绕点D逆时针旋转(180°-Q)得到线段DF,连接 DE、BF,将BDF沿BD折叠，得到△BDG. G G 图1 图2 图3 图4 (I)①如图1，求证：△ADE≌△DFB; ②如图2，连接CG,求证：四边形EDGC是平行四边形； (2)如图3，a=45°，当四边形EDGC为菱形时，求四边形DFBG与四边形EDGC的面积比： (3)如图4，a=90°，连接AG并延长，分别交ED于点M,交BC于点N,当△AED的面积与四边形 EDGC的面积相等时，请直接写出AM:MG:GN的值. 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)√2：1 (3)4:2:3 【分析】(1)①首先证明AD=DF,∠FDB=LDAE=a,然后利用SAS”证明△ADE≌△DFB即可；② 首先证明CE=DG,结合∠BDG=a=∠BAC,可证明DG∥CE,即可证明结论； (2)过点E作EH⊥DG于点H,证明四边形DFBG为正方形，设DE=DG=DF=AD=a,易得 9e=8,再解待EH-号。，进面可得SEoc ,即可获得答案 (3)过点M作MK⊥AC于点K,设AD=1,则DF=DA=DG=CE=1,结合△AED的面积与四边形 5/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EDGC的面积相等，可解得AE=2,利用勾股定理可得DE=√5，BC=3√2，由平行四边形的性质可得 CG=DE=V5,证明直线4G垂直平分BC,即可确定Cw的长度，进一步解得GN=VCG-CN-5 2 证明△AMK为等腰直角三角形，。MEK∽aDEA,由相似三角形的性质解得MK=AK=了，易知 AM=VAK:+MK=2N5,证明△ADG为等腰直角三角形，进而解得4G,MG的长度，然后计算 3 AM:MG:GN的值即可. 【详解】(1)证明：①将线段AD绕点D逆时针旋转(180°-)得到线段DF,且∠BAC=a, ∠ADF=180°-a,AD=DF, ∠FDB=180°-∠ADF=180°-(180°-a)=a, 在ADE和△DFB中， AD=DF ∠DAE=∠FDB=a, AE=DB :△ADE≌ADFB(SAS): ②如下图， D B AB=AC,BD=AE, 六AB-BD=AC-AE,即AD=CE, AD=DF, DF CE, 将BDF沿BD折叠，得到△BDG, .DF=DG,∠BDG=LFDB=a, .CE DG, ∠BDG=a=∠BAC, DG∥AC,即DG∥CE, 6/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形EDGC是平行四边形： (2)如下图，过点E作EH⊥DG于点H, 0=45°， ∴.∠BAC=∠FDB=∠BDG=45°， ~四边形EDGC为菱形， ∴DE=DG=CG=CE, DF=DG,AD=DF, :.DE=DG=DF=AD, .∠DEA=∠DAE=45°， △ADE≌△DFB, ∴.∠DEA=∠FBD=45°， 由折叠可知，∠FDB=∠GDB=45°，∠FBD=∠GBD=45°， ∠FDG=∠FBG=45°+45°=90°， 又~∠F=180°-∠FDB-∠FBD=90°=∠BGD, 四边形DFBG为矩形， ×DF=DG, “四边形DFBG为正方形， 设DE=DG=DF=AD=a, 六SE方形DFB6=Q2, DG∥CE, LEDH=∠DEA=45°， ÷EH=DExsin∠EDH=axsim45=2 a, ∴S菱形BDGc=aX a= a2, 2 2 7/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S方DGS装形Ecc=a:)a2=V2:d 即四边形DFBG与四边形EDGC的面积比为√2：1； (3)如下图，过点M作MK⊥AC于点K, B W a=90°， ∠BAC=90°，即BA⊥AC, 设AD=1,则DF=DA=DG=CE=1, ~△AED的面积与四边形EDGC的面积相等， AEX4D=CExAD,即AEx1=1x1,解得AE=2, DE=AD2+AE2=5,AB AC AE+CE=3, BC=AB2+AC2=32, ~四边形EDGC是平行四边形， CG DE=5, △ADE≌△DFB, ∴FB=DE=V5, 由折叠可知，BG=BF=√5， BG=CG=5, 又~AB=AC, ∴直线AG垂直平分BC,即AN⊥BC,且BN=CN, BN=CN=1BC-32 ∴GN=VCG2-CW2 3v2 2 AB=AC,AN⊥BC, 8/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAN=∠CAN=1x90°=45°， 2 MK⊥AC, ∠KMA=90°-∠KAM=45°=∠KAM, .MK =AK MK⊥AC, ∠MKE=∠DAE=90°， ∠MEK=∠DEA, ∴△MEK∽ADEA, E分，即2-K MK EK AD 1 2 MK 2-MK 2 ，解得MK 1 2 3, ..MK=AK 2 3 AM=AK+MR72 3 ×∠GDB=∠FDB=∠DAE=90°，DA=DG=1, ∠ADG=180°-∠GDB=90°， ·AG=VAD2+DG2=V1?+12=√2， “MG=AG-AM=2-222 33 AM MG:GN 22.2,5=4:2:3 3·32 【点晴】本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键， 2. (2026辽宁沈阳一模)在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC边的中点，E是射线BA上一点， 将BDE沿DE翻折得到FDE,点F是点B的对应点 B D (图1) (图2) (I)如图1，点E在线段BA上，EF∥BC,EF,DF分别交AC于点G,H. ①求证：四边形BEFD是菱形； 9/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②连接DG,求△DGF的面积： (2)如图2，点E在BA延长线上，DE,EF分别交AC于点M,N.连接BF,CF,若LABF=90°-∠ABC, 求CF的长 【答案】(D证明见解析：②S.cF= 72 ②cp-9 【分析】(I)①由翻折得出BE=FE,BD=FD,∠BED=∠FED,证明∠BED=∠EDB,进而得出 三D,即可得出结论：②先求出AD=3,证明△4EGo△4BC,得 0P-号DM-号即可求出始论， (2)连接AD,延长ED交BF于点G,证明△ABDBEG,设BG=3a,GE=4a,BE=5a,则DG=4a-4, 根据勾股定理求出a ,再根据勾股定理求出结论即可， 32 【详解】(I)①证明：~将BDE沿DE翻折得到FDE, .△BDE≌△FDE, ∴.BE=FE,BD=FD,∠BED=∠FED, EF I BC, ∠FED=∠EDB, ∴.∠BED=∠EDB, :BE =BD, :BE EF FD BD, 四边形BEFD是菱形： ②连接AD,设AD交EG于点M, :AB=AC=5,BC=8,D是BC边的中点， BD=4,AD⊥BC, EF BC, :AM⊥EG, 在Rt△ABD中，AD=V√AB2-BD2=3, 10/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~四边形BEFD是菱形， :BE BD=4, :AE=AB-BE=5-4=1, .EF BC, △AEGn△ABC, 4E=EC-4M,即：EC=4M AB BC AD 5831 解得：EG=8, AM= 3 5’ 812 ∴.GF=EF-EG=4- 551 DM=3-3-12 55 w号号器 (2)解：：∠ABF=90°-∠ABC, LABF+LABC=90°， 连接AD, AB=AC,BD CD, (图2) AD⊥BC, .∠BAD+∠ABC=90°， ∠ABF=∠BAD, 延长ED交BF于点G, 由翻折知，EB=EF,DB=DF, 则EG⊥BF, ∠ADB=LBGE=90°， ∴△ABDn△BEG, ∴BG:GE:BE=AD:BD:AB=3:4:5,∠ABD=∠BEG, 设BG=3a,GE=4a,BE=5a, 11/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DB=DE=4, DG=4a-4, 在Rt△BDG中，BD2=BG+DG2, .42=(3a2+4a-4)2, 解得：a=0(不合题意舍去)，或4= 25 BF=2BG=6a=192 5 DB=DF=DC, .∠DBF=∠DFB,∠DFC=∠DCF, :∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°， ∠BFC=LDFB+∠DFC=90°， 在Rt△BFC中， CF=BC2-BF2 82 192 56 25 25 3. (2O26辽宁铁岭·二模)在ABC中，点D在AB上，连接CD,将△BCD沿CD翻折得到△ECD,点B 与点E是对应点. E D D B D 图1 图2 图3 (如图1，若点E落在4C上，求证：C三-D AC AD (2如图2，∠ABC=90,点E落在4BC的内部，DE的延长线交4C于点F,若CF=44P时，求D5的 AD 值； (3)如图3，在(2)的条件下，若CE平分∠ACB,BD=5时，求AD的长. 【答案】(1)见解析 (2) DF 4 AD5 12/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (③)AD=10+15V6 4 【分析】(1)过点B作BM∥AC交CD的延长线于点M,证明△BMD∽△ACD,利用相似三角形的性质结 合等量代换即可得到 CE ED AC AD (2)过点A作AN∥CD交DF的延长线于点N,证明△ANF∽△CDF,求得DF=4NF,再证明 ∠N=∠DAN,，求得AD=DN=5NF,据此求解即可； (3)过点A作AP∥BC交DF的延长线于点P,延长PD交CB的延长线于点Q,设EF=x,则DF=x+5, 由2)得AD-DP-x+S,证明△CEO2CEF AAS),求得EF=EO=t,证明△AFPn△CFO和 △ADP∽△BDQ,利用相似三角形的判定和性质列式计算即可求解， 【详解】(1)证明：过点B作BM∥AC交CD的延长线于点M, C E .. 子 M 由折叠的性质得∠1=∠2，CE=CB,DE=DB, BM∥AC, ·∠1=∠M, ∠1=∠M=∠2， ..BC=BM =CE, BM∥AC, △BMD∽△ACD, BM BD AC AD CE ED AC AD (2)解：过点A作AN∥CD交DF的延长线于点N, 13/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N.F 2 D B △ANF∽△CDF, NE-AF 1 DFCF=4,即DF=4NF, 由折叠的性质得∠1=∠2， AN∥CD, ∠N=∠2，∠1=∠DAW, ∠N=∠DAN, .AD DN DF NF =5NF, DF 4NF 4 AD=5NF=5 (3)解：过点A作AP∥BC交DF的延长线于点P,延长PD交CB的延长线于点Q, P 、⊙ E A D Q 由折叠的性质得∠CED=∠CBD=90°，CE=CB,DE=DB=5, 设EF=x, DF=x+5, 由2)得AD=DF=x+5列， 4 4 ~CE平分∠ACB, ∴∠FCE=∠QCE, ∠CEQ=90°， ∠CEF=180°-∠CED=90°， 14/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠CEQ=∠CEF=90°， CE=CE, △CEO≌aCEF(AAS), ∴EF=EQ=x, .DO=EO-DE=x-5,FO=EF+EO=2x, AP∥BC, :△AFPACFO, PF AF 1 “F0CF=4' PF=二FQ=5x, 4 2 3 .DP=PF+DF=。x+5, 2 AP∥BC, △ADP∽△BDQ, AD DP BD DO 4D-D0=BD-DP,即x+5jx-列=5x+5 解得x=3+3√6（舍去负值）， ∴EF=3+3V6, “AD=3+36+5=10+156 4 4.(2026辽宁模拟预测)如图1，将矩形ABCD(AB<BC)沿对角线BD折叠，点A落在A处，AD交 边BC于点E.将aCDE沿DE折叠，点C落在矩形ABCD内的C处，设LCDE=a· D A F ND 4 A y A A 图1 图1 图1 备用图 (I)求证：DE=BE; (2)如图2，延长EC'交AD于点F,连接BF,当四边形BFDE为菱形时，求a的值； 15/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，在(2)的条件下，点M为菱形BFDE边BE的中点，点N为其对边FD上一动点，将四边形 BFNM沿线段MN折叠得到四边形HGNM,点B,F的对应点分别为点H,G. ①当∠MNF=45时，则明为 FG ②当NF= BM时，四边形BFGH的面积与菱形BFDE面积之比为 2 【答案】(1)证明过程见解析； (2)a-30°； (3) @3 3 ②8V5+15 30 【分析】(1)由矩形的性质，结合折叠的性质，可得BA'=DC,LA'=∠C,证明△BA'E≌△DCE(AAS), 即可证得结论； (2)BD与EF的交点记为点O,由菱形的性质，结合折叠的性质可得点C与点O重合，可得 LFDB=LEDB=∠CDE,即可得O的值； D由折叠的性质，结合矩形的性质可待LPNG=∠BM,证明△FNG∽aBMH,可待-B BM=x,由勾股定理可得BH=√2x,由30°角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得 1F=BM，连接FM,四边形ABMF为矩形，由矩形的性质，结合勾股定理可得FG=V6x,即可得 FG: ②设BM=4,则BF=BE=2a,NF=5。,由30°角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得 AF=BM,AB=√5a,连接FM,四边形ABMF为矩形，连接FG,交直线MN于点Q,连接BH,交直 线MN于点P,由折叠可知，四边形BFNM与四边形HGNM关于直线MN对称，由锐角三角函数，结合勾 股定理，可得FG,BH,PQ,即可得四边形BFGH的面积与菱形BFDE面积之比. 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是矩形， AB=CD,∠A=∠C=90°， 由折叠可得BA'=BA,∠A'=∠A, BA'=DC,∠A'=∠C, 在△BAE和△DCE中， 16/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BEA'=∠DEC ∠A'=∠C BA'=DC △BA'E≌△DCE(AAS), ∴DE=BE. (2)解：BD与EF的交点记为点O, D a 四边形BFDE为菱形， ·BD⊥EF,∠FDB=∠EDB, ∠E0D=90°， 由折叠可得LDC'E=∠C=90°，∠CDE=∠C'DE, ∴点C与点0重合， LFDB=∠EDB=∠CDE, a=90°×=30° (3)解：①由折叠可得∠FNM=∠GNM,∠HMN=LBMN, ×∠MNF=45°， .∠GNM=45°， ∠FNG=45°+45°=90°， 矩形ABCD中，ADIBC,AB=CD, ÷NMG=∠MNF=45°， ∴.∠HMN=∠BMN=180°-45°=135°， .∠BMH=360°-135°-135°=90°， .∠FNG=∠BMH, 由折叠可得FN=GN,BM=HM, FN GN BM HM 17/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴aFNG∽△BMH, FG FN BH BM' 设BM=x,则BH=√x2+x2=V2x, ~点M为菱形BFDE边BE的中点， .BF DE=BE =2x, 由(2)知，∠CDE=30°， CE=2x×5=x, 21 AB=CD=(2x)2-x2=x, *AF=(2x)-x)=x .AF =BM, 连接FM, AD BC, AF‖BM, ∴四边形ABMF为平行四边形， 又~∠A=90°， 四边形ABMF为矩形， A ND E M .∠AFM=∠BMF=90°， ∠MFN=∠FMG=90°， ∴点G在BC边上，∠NGM=90°， NG=CD=3x, FN=3x, FG=5x+(5x=6x, 18/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BH 2x3 FG6x 3 ②点M为菱形BFDE边BE的中点， 设BM=a,则BF=BE=2a,NF=5。 20, ∠EBA'=∠CDE=30°， G4E=BE=4 AB=A'B=(2a)2-a2=a. AF=V2a)2-(5a=a, 12 :.AF BM, 连接FM,由①知，四边形ABMF为矩形， 六FM=AB=V3a,∠AFM=90°， ∠MFN=90°， 2 3a 12 ..MN +3a= 2 2 连接FG,交直线MN于点Q,连接BH,交直线MN于点P, 由折叠可知，四边形BFNM与四边形HGNM关于直线MN对称， NP⊥FG,NP⊥BH,FQ=GQ,BP=HP, cos∠FWP= NO_FN FGII BH, FN MN 3 12 -a 21 ON FN2 5 10 a' MN V15 2 a "OM-MN-ON-115525 2 a 10 5 .F02 52 15 -a 5 FG=2x=25 a, 5 AD BC, ∠BMP=∠FNQ, 19/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos∠BMP=cos∠FNg, 5 MP =10 a 3, 2 Mp- -a, BP= - 卡2V5,p0=215a+Y5a=25+V5 -a= 5 BH=2x25 4v5 a= a, 四边形BFGH的面积S边彩BGH= G+BHjp0=×2。+45ak2i+5a8+55。, -X -a+ -a× 2 25 5“ 5 5 菱形BFDE面积为S菱形BrDE=BEAB=2a×V3a=2V3a2, 8+55a2 四边形BFGH的面积与菱形BFDE面积之比为5 8V3+15. 2V5a2 30 A 分 G M B E C >题型02旋转问题<《 析典例：建模型 1.(2026辽宁沈阳一模)如图，在等边ABC中，D为AB上一点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针 旋转60°得到线段CE,连接AE,DE,AC与DE相交于点F E B B 图1 图2 图3 20/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，求证：AE=BD: (2)点G为BC延长线上一点，且CG=BD,连接AG,AG与CE相交于点O,连接EG,OF,若AB=3. ①如图2，当DE⊥AC时，求OF的长； ②如图3，当四边形AEGC的面积为3√3时，求△EOF的面积. 【思路分析】(1)根据旋转的性质和等边三角形得出相等的边和角，证明△BCD≌△ACE即可； (2)①根据等边三角形的判定和性质得出相等的线段和角，根据三线合一得出直角三角形，求出相关 线段的长度，证明四边形ACGE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边中线定理进行求解： ②过点E作EK⊥CG于点K,连接OD，根据平行四边形的性质以及锐角三角函数求出相关线段的长度， 根据角平分线的性质以及等面积得出S-S.,利用勾股定理求出相关线段的长度，得出 3 SE15,即可求解 4 【规范答题】(1)证明：~ABC为等边三角形， AC=BC,∠ACB=∠B=∠BAC=60°， 根据旋转得LDCE=60°，CD=CE, .∠BCD=∠ACE=60°-∠ACD, △BCD≌△ACE(SAS), .AE BD (2)解：①LDCE=60°，CD=CE, ∴△DCE是等边三角形， DE⊥AC, .∠CFE=90°，∠DCF=30°， LBCD=∠ACB-LDCF=30°， ABC为等边三角形， ∠BDC=90°，BC=AB=3, CD=BC.cos∠BCD=3x5_35 、22 CE CD= V5 2 ABCD≌AACE, ∠CAE=∠B=60°=∠ACB, AE∥CG, 又CG=BD,AE=BD, .AE =CG, 21/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ACGE是平行四边形， 0E=0C, 1 3v5 ∴OF=二CE= 2 4 ②如图所示，过点E作EK⊥CG于点K,连接OD, 图3 由①得四边形ACGE是平行四边形， EG=AC=3,∠EGK=∠ACB=60°， EK=EG:sim∠EGK=3x5_35,Gk=-EG-cos∠EGK=3×5-3 22 x2=21 :.BD=AE=CG= V3 =2 V32, 3 AD=AB-BD=3-2=1, ∠BAC=∠CAE=60°， ∴点F到AD,AE的距离相等， 根据等面积得 DF AD 1 EF AE2 S.CDE= DF 1 SCEF EF 2 ∴ScEr= 31 CK=CG-GK=2-3_1 22' .CE- 0E=0c= 2 ~△DCE是等边三角形，且OE=OC, 0D=DE2-0E=2 2 m0g00-5.7 24 22/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴SCEF= 27575 346 .0E=0C, N5 .cor=S.- 12 砑考点通技法 !图形的旋转问题重点在于抓不变量，旋转前后，边长、角度、周长部分条件保持不变，依托对称、全等关系， !实现线段与角度的等量转化。 破类题提能力 1.(2026辽宁沈阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A对应点D 落在边AB上，连接BE. G H 图1 图2 (1)如图1，求证：△BCE∽△ACD; (2)如图1，当AB=√5，BC=2时，求BE的长； (3)如图2，求证：AC=CF; (4)如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交 于点H.当AB=10,BG=12时，直接写出HE:HD的值. 【答案】()见解析 (2BE=4V5 (3)见解析 号 【分析】(1)根据旋转可得AC=CD,CB=CE,LACD=∠BCE,则 AC CD CB CE ,即可证明 23/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △BCEn△ACD; (2)求出AC=1,an∠A=BC=2,过D作DH1AC,则an∠A=DA=2,即DH=2HH,在△CDH中 AC AH 4 勾股定理求出4H=亏，则DH=2AH=5,在a4DH中勾股定理求出AD,根据△BCEn△4CD,得出 BE BC AD AC ,即可求出BE=45 (3)设旋转角为α，则∠ACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE,根据等腰三角形的性质和三角形内角和 定理即可得出∠CDA=LA30=90°-2a，ZCEB=2CE=2=9020,根据LACB=90 2 2 得出∠BCF=90°，∠DCB=90°-a,∠ECF=90°-a,即可得∠DCB=LECF,根据GF∥AB,得出 ∠F+∠A=I80°，即可得LCDB=LF,证明△BCD≌△ECF,得出CD=CF,结合CD=AC,得出 AC=CF; ②证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB=GF=10,AF=BG=12,∠G=∠A,由(3)得 CP三6，在R△ABC中，勾股定理得出BC=8,则∠ADC=∠CL A0C+∠CDB80P证期☑PBB90°，∠BEG=90°，则smZG能-求出8E:48 等，证出点C D,B,E四点共圆，根据圆周角定理得出∠BED=∠BCD,证明△BEH∽△DCH,得出 DH CH CD 65 BH EH BE-488,设DH=5x,BH=8x,CH=5y,EH=8y,则BC=BH+CH=8x+5y=8① 根据旋转可得DE=AB=10则DE=DH+EH=5x+8y=10②，联立①②求出x,y,再根据即可求解. 【详解】(I)证明：将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上， AC =CD,CB=CE,ZACD=ZBCE, 4C、CD CB CE' ∴△BCEn△ACD; (2)解：~AB=V5,BC=2,∠ACB=90°， AC=AB2-BC2=1, tan∠A=BC=2, AC 过D作DH⊥AC,如图， 24/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⊙ E D AHC stan∠A=DH =2, AH :DH =2AH, 在△CDH中，由勾股定理得CH2+DH2=CD2, 即(1-AH)2+(2AH)2=12, 解得：AH=号，H=0〔舍去)， .DH=2AH-' 4 在RtAADH中，AH2+DH2=AD2, AD-ADHE-25 ~△BCE∽△ACD, BE BC AD AC BE 2 即251， 5 “BE=4⑤ (3)证明：设旋转角为a,则LACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE, ÷∠CDA=∠A=180°-a=90-1a 2 )Q,∠CEB=∠CBE=10-g=90°-5a, 2 ∠ACB=90°， ∠BCF=90°，∠DCB=90°-a, ∴∠ECF=90°-a, :.ZDCB ZECF, GF∥AB, ∠F+∠A=180°， ∠CDA+∠CDB=180°， 25/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=CD, ÷∠CDA=∠A, LCDB=∠F, ∠DCB=∠ECF,∠CDB=LF,CB=CE, ·aBCD≌△ECF(AAS), .CD=CF, CD=AC, ·AC=CF; (4)解：GF∥AB,BG∥AF, ∴四边形ABGF是平行四边形， .AF=BG,AB=GF,∠G=∠A, AB=10,BG=12,AC=AF, a4c=4r=号8G=6, 2 BC=√AB2-AC2=V102-62=8, “.CD=AC=CF=6, BC 4 ∴sin∠G=sin∠A= AB 5' aCBD≌ACEF, .ZCBD ZCEF, GF∥AB, LFEB+∠ABE=180°， 即∠CEF+∠CEB+LCBE+∠CBD=I8O°， 即2（∠CEF+∠CEB)=2∠FEB=180°， LFEB=90°，则∠BEG=90°， ∴sin∠G BE 4 =BG5' 袋号 BE=48 26/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(3)可得，∠ADC=∠CEB=90°-1。 ，∠ADC+∠CDB=180°， ∠CEB+∠CDB=180°， 点C,D,B,E四点共圆， ∴∠BED=∠BCD, LBEH=∠HCD,LBHE=∠DHC, △BEHn△DCH, DH CH CD 6 5 ·BHEH-BE-488, DH =5x,BH =8x,CH=5y,EH=8y, 则BC=BH+CH=8x+5y=8①， 根据旋转可得DE=AB=10, ∴DE=DH+EH=5x+8y=10②， 14 40 联立①②可得，x 39’y 39 40 HE 8× 39_32 HD 147 5× 39 2.(2026辽宁本溪一模)几何综合探究： D 图1 图2 图3 (I)如图I,将口ABCD沿对角线AC剪开，将△ACD绕着点A逆时针旋转a度得到△AEF, (0°<<∠ABC),分别延长EF,BA交于点G. ①求证：∠G=∠CAE; ②如图2，当BC∥EG时，∠G=60°，AB=2,BC=4,求△AGE的面积 (2)如图3，在ABC中，∠B=∠C,D是BC边的中点，点E在AC上，过点E作EF⊥DE交BC的平行线 AF于点F,若am∠B=2,AF=BC,求CE的值. AE 27/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)①见解析；②6√5 ②cE3 AE 7 【分析】(1)①因为△ACD旋转得到△AEF,所以∠E=∠BAC,再根据三角形内角和、平角的定义和 利用三角形外角性质，结合上述角的等量关系，推导∠G与∠CAE的相等关系 ②因为BC∥EG,结合平行四边形性质和旋转性质，可推出相关角为60°，得到等边三角形和特殊直角三 角形.利用已知边长并结合特殊三角形的性质，先求出△AGE的底和高，再用三角形面积公式计算面积， (2)因为AF∥BC,∠B=∠C,可先构造辅助线，过A作AG⊥BC,过E作EM⊥BC,EN⊥AF.因为 tanB=2,D是BC中点，AF=BC,结合EF⊥DE,利用相似三角形的判定定理，证明相关三角形 4 相似，再结合线段比例关系求出CE的值， AF 【详解】(I)①证明：由题意可知，△ABC≌△EFA, ∴∠E=∠BAC, 在△AEF中，∠E+∠EAF+∠EFA=180°， ∠BAC+∠EAF+∠EFA=180°， LGAF+∠EAF+∠EAC+∠BAC=180°， ∠EFA=∠FAG+∠EAC, ?∠EFA是△AFG的外角， ∠EFA=∠FAG+∠G, ·∠G=LEAC; A B ②解：过点A作AN⊥EG于点N, ~BC∥EG,∠G=∠CAE=60°， ∠ABC=180°-∠G=120°， ABCD ∠ADC=∠ABC=120°，AB=CD=2,AD=BC=4, ~△ACD绕着点A逆时针旋转O度得到△AEF, 28/69 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AAEF≌AACD, AD=AF=4,∠ADC=∠EFA=120°， ∠GFA=180°-∠EFA=60o, ∠GFA=∠G=60o, ∴△AFG是等边三角形， AG=AF=FG=4 EG=EF+FG=2+4=6, 在RIAAGN中，∠AWG=90°，∠G=60°， sinG=器 stn60=-9， AN =23, S△4Ec=号EG·AN=专×6×2V5=65 D C (2)解：过点E作EM⊥BC于点M,交AF于点N,连接AD, B D MO ZB=ZC, .AB=AC, D是BC边的中点， ·AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, ∠ADC=90°， AF∥BC, 29/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠FAD=∠ADC=90°， EF⊥DE, ∠FED=90°， LAGF=∠EGD, ÷aAGF∽aEGD, ..AG_FG EG-DG DG FG EG AG 又~∠FGD=∠AGE, ·△FGD∽△AGE, ∴.∠EFD=∠CAD, 90°-∠EFD=90°-∠CAD,即LFDE=LC, 在RtADEF中，LFED=90°，tan∠EDF=tan∠B=2, .EF DE 2, 又∠FED=90°， LDEM+∠FEN=90°， ∠NFE+∠FEN=90°， ∴∠NFE=∠DEM, △EFNM△EMD: 是=源=器=2 AF-IBC. 4 设AF=a,EM=x,则BC=4a,NF=2x, .BD DC=2a, “tan∠B=品=2 :.AD =4a, .NE =4a-x, 心DMNE=4“2，AN=2x-a, 易得四边形ADMN是矩形， 30/69 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷AN=DM, 4整=2x-a .6 x=5a, EM=号，EN=4a-号=号a ×AF∥BC, 器=器=务= 3.(2026辽宁抚顺一模)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8.将ABC绕点A逆时针旋转得到 ADE,旋转角小于∠CAB,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,ED的延长线交BC于点F,连 接AF. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BF=DF; (2)连接CE,连接BD并延长交CE于点G. ①如图2，求证：点G是CE的中点： ②如图3，连接CD,当DC⊥EC时，求△DCE的面积. 【答案】()见解析 (20见解析；②192 3 【分析】(1)证明Rt△AFD≌Rt△AFB(HL),根据全等三角形的性质，即可得证； (2)①过点C作CH∥DE交DG的延长线于点H,证明△DGE≌△HGC(AAS),根据全等三角形的性质， 即可得证； ②连接AG,证明A,B,C,G四点共圆得出LDGC=LBAC，,可得tan∠BAC=tan ZDGC得出 DC 4 CG3,设 DC=4x,则CG=3x=GE,在Rt DCE中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 【详解】(1)证明：将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,∠ABC=90°， AB=AD,LABC=∠ADE=∠ADF=90°， 31/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又×AF=AF, Rt△AFD≌Rt△AFB(HL), ∴BF=DF; (2)①证明：如图，过点C作CH∥DE交DG的延长线于点H, G D 图2 .ZEDG =ZH, FB=FD .∠FBD=∠FDB, 又∠FDB=∠EDG, ·LFBD=∠H, .BC=CH, 将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, .BC DE .DE CH, 又~∠DGE=LHGC, △DGE≌△HGC(AAS), EG=GC,即点G是CE的中点： ②解：如图，连接AG, D 图3 ~将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, 32/69 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AC=AE, 又~EG=GC,∠ABC=90°， LAGC=∠ABC=90°， ∴A,B,C,G四点共圆， ·∠DGC=LBAC, ∴.tan∠BAC=tan∠DGC, 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8, 脂=器即器=君= 设DC=4x,则CG=3x=GE, 在Rt DCE中，DE=BC=8,CE=2CG=6x, :.DC2+CE2=DE2, (4x)2+(6x)2=82, 解得：x2=16 13 S.E=号DCxCE=)×4r×6x=12r2=12x16_192 1313 4.(2026辽宁抚顺一模)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D 落在边AB上，连接BE. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠A=∠CBE. (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BD的长. (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交FE于点G,DE与BC交 于点K ①求证：AC=CF· 4 ②当anA=3,DK=7时，请直接写出KE的值. 【答案】(1)见解析 33/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②36 5 (3)①见解析；②32 【分析】(I)根据旋转可得知CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,进而即可得到结论； (2)根据BC=2,AC=1,∠ACB=90°，可得AB=√5，由△ACF△ABC,利用相似三角形的性质即可解 答： (3)①通过证明三角形全等得出线段相等关系；②先根据平行四边形的性质得到相关线段长度，再利用三 角函数，全等三角形性质以及相似三角形性质求出KE的值 【详解】(1)证明：由旋转的性质，知CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, AADCACD CBE-CE0-BCE 2 ∴∠A=∠CBE; (2) 解：如图1，过点C作CH⊥AD于点H. B 图1 在R1△ABC中，AC=1,BC=2, ·AB=√AC2+BC2=√5 :∠ACB=∠AHC=90°，∠A=∠A △ACH∽△ABC 4C=4g, 1 AH AB AC 即51 H=5 AC=CD,CH⊥AD AD=24H=215 *BD-AB-AD=3 一； (3)解：①证明：由旋转的性质，得LACB=LDCE=90°，BC=CE,CA=CD 34/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBCF=∠DCE=90° ∴.∠BCD=∠ECF CA=CD ∠A=∠ADC FGIAB ÷.∠A+LEFC=180 ∠BDC+∠ADC=180° .LBDC=∠EFC △BCD兰△ECF ∴CD=CF ∴AC=CF; ②如图2，延长BC,GF交于点M. B M 图2 设AC=3k,则CF=3k BG AF,FGI AB 四边形ABGF为平行四边形 .BG AF =6k 在R1aABC中，anA= 31 .BC =4k AB=AC2+BC2=5k ∴DE=AB=5k :∠ACB=90° .∠A+∠ABC=90° 35/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)知LA=LCBE :.∠CBE+∠ABC=90 BE⊥AB ~S平行四边彩ABGF=ABBE=AFBC .BE=AF.BC _6k.4k_24k AB 5k 5 在80E中，由妇段光果.得D=DE-F-5-(2, 由①可知△BCD兰△ECF,则EF=BD=k, 5 ABI FG ∴.∠ABC=∠M AC=CF,∠ACB=∠FCM ∴△ABC=△FMC .AB MF =5k .EM-32k 5 :∠BKD=∠MKE,∠ABC=∠M ÷△BDK∽△MEK BD DK 7 ME KE 32 KE=32 >题型03探究线段数量关系<〈 ♪析典侧：建模梨 1.(2026辽宁营口一模)已知ABC中，AB=AC,∠B=a,点D是边BC上任意一点（不与点B,C重 合)，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点为点E, 36/69 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 B 备用图1 备用图2 (1)如图1，过点A的直线l∥BC,当点E在直线1上时，请画出点E和折痕AD(尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法)，判断此时四边形ABDE的形状，并说明理由； (2)连接EC并延长，与AD的延长线相交于点F, ①如图2，若AC=5,BC=8,当DE1AC时，求DF的长； ②当点D与BC中点不重合时，猜想AF,CF,CE的关系（用含有的式子表示），并说明理由. 【思路分析】 C1D以A为圆心，AB为半径画弧交1于点E,然后分别以B、E为圆心，大于BE长度 为半径画弧，两弧交于点F,连接AF,交BC于点D,连接DE,则点E,AD即为所求，然后通过菱 形的判定方法即可求证； (2)①作AG⊥BC于点G,证明△ADG≌△ADM(HL),所以DG=DM,则有 DMDM =tan∠ACG=AC_3, CM 2 -CG子由翻折可知∠B=∠4ED,∠AD8=∠ADE-号BDE,AB=AB,再证 明A4C0A4PC,所以把仁母55，然后求剂-1o5可求解 35 5AF ②分当点D在BC中点右侧时，当点D在BC中点左侧时，两种情况求解即可. 【规范答题】(1)解：如图，点E,AD即为所求， E DF 证明：由翻折可知∠BAD=∠DAE,AB=AE,BD=DE, AE∥BD, .∠ADB=∠DAE, ∠BAD=∠ADB, 37/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·AB=BD=DE=AE, 四边形ABDE是菱形： (2)解：①作AG⊥BC于点G, AB=AC, LB=∠ACB,cG-=Bc=4, ·AG=VAC2-CG2=3, 由翻折可知：∠BDA=∠CDA, 又AM⊥DM, AM AG=3, :.CM AC-AM =2, ADAD, ÷△ADG≌△ADM(HL), .DG=DM, .DMDM =tan∠ACG= AG 3 CM 2 CG4' DG=DM=3 AD=AG+DG 2 由翻折可知∠B=∠AED,∠4D8=∠4DE-BDE,AB=AE, LACB=∠AED,AC=AE, LACE=∠AEC, 又∠AED+∠EAM=∠ACB+∠CDE=90°， ∠CAE=∠CDE, 又∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∠CDE+∠ADB+∠ADE=180°， .ZADG=ZACE, 又∠ADG+∠ADC=180°，∠ACE+∠ACF=I80°， ·∠ADC=∠ACF, 又∠CAD=∠CAF, 38/69 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷△ACD∽△AFC, .AD_AC AC AF 3V5 即2=5 5 AF AF=105 3 *DF=AF-AD-115 @AF,CF,CE的关系为CF+CE=cosaAF或CF-CE=-cosaAF,理由如下， 3 当点D在BC中点右侧时，作AH⊥CE, B 由①可知AC=AE,△ACD∽AAFC, CH=EH=CE,∠F=LB=a .FH =c0S, AF CF+1CE -=cosa AF ÷CF+lcE=cosaAF; 当点D在BC中点左侧时， 延长ED与AB相交于点M, M F 由翻折可知，AB=AE=AC,∠ADB=∠ADE, 39/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LCAE=ZCDE.ZACE=LAEC,EH=1CE, 又∠BDM=∠CDE, ∠ADB-∠BDM=∠ADE-∠CDE,即∠ADM=∠ADC, 又∠ACE+∠AEC+LCAE=180°，∠ADM+∠ADC+∠CDE=I80°， ,∠ADM=∠AEC, 又∠ADM+∠ADE=180°，∠AEC+∠AEF=180°， ∠ADE=∠AEF, 又∠DAE=∠EAF, △ADE∽△AEF, ∠F=LB=a, FH =cosa AF CF-CE AF c0sa’ *CF-1CE=c0saAF: 20 综上可得：AF,CF,CE的关系为CF+CE=F或CF-CE=csaAF. 研考点通技法 截长补短：线段和差首选。在长边截取二段等于短边，再证利余部分等于另二短边；或将短边延长至与长】 1边相等。 2旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角形。 丨3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。 4从特殊到一般：动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 破类题提能力 1.(2026辽宁模拟预测)等边ABC中，点D为BC边上一动点，连接AD,ADE与△ADB关于直线 AD对称，连接CE. 40/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B D D E 图1 图2 图3 (I)如图1，点E恰好落在∠BAC平分线上，则求LBCE=_°； (2)过点D作DG∥AC交AB于点G,连接GE交AD于点F ①如图2，试判断线段AF、EF和CE之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，BC=4,AH⊥BC于点H,直线GE交AH于点M,连接BM,D点运动的过程中，当 BM+GM取最小值时，请直接写出线段DG的长度. 【答案】(1)15 (2)①AF=CE+EF;②2 【分析】(1)根据三线合一的性质可得AH⊥BC,则根据对称的性质AB=AE,由等边三角形及等腰三 角形的性质即可求解； (2)①延长CE,AD交于点N,证明△EFN为等边三角形，再证明aAGF≌△CDN,即可得线段AF、EF 和CE之间的数量关系； ②连接CM,取AB中点P,连接CP,则当C、M、G三点共线且与CP重合时，BM+GM最短，此时点 D与H点重合，即可求得DG长度 【详解】(1)解：设AE与BC交于点H,如图， :△ABC是等边三角形，点E恰好落在∠BAC平分线上， ∴.AH⊥BC,AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°， L:ZCAH-ZBAC=30 由对称性质得：AB=AE, :AE=AC, ∠4CE=2180°-∠CAH=75, :∠BCE=∠ACE-∠ACB=75°-60°=15°， 故答案为：15； 41/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：①AF=CE+EF,理由如下： 如图，延长CE,AD交于点N, G F B D E 设∠BAD=a, 由对称的性质得：∠EAD=∠BAD=Q,AB=AE,BD=ED,∠AED=∠B=60°， :∠CAE=60°-2a,LBAE=2a, AB=AC=AE, ∠4CE=∠AEC=)180°-∠CAE=60°+a,∠DCE=LACE-LACB主 :DG∥AC, :.∠GDB=∠ACB=60°，∠BGD=∠BAC=60°， .∠AGD=∠GDC=180°-60°=120°， :∠AGD+∠AED=180°， ∠GDE+∠GAE=180°， ∠GDE=180°-∠BAE=180°-2a, :DG=DE, ∠DGE=LDEG=a, .∠AEG=∠AED-∠DEG=60°-a, :∠CEG=∠AEC+∠AEG=60°+a+60°-a=120°， ∠FEN=60°， 42/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠EFN=∠EAD+∠AEG=a+60°-a=60°， :∠FEN=∠EFN=∠ENF=60°， :△EFN为等边三角形， :EF=EN,∠N=LEFN=LAFG=60°， .∠GDB=∠BGD=∠B=60°， .△BDG是等边三角形， :BD =BG AB=AC, :AG=CD, 在△AGF和△CDN中， ∠GAF=∠DCW ∠N=∠AFG, AG=CD △AGF≌△CDN(AAS), :AF=CN. :AF CE+NE =CE+EF ②如图，连接CM,取AB中点P,连接CP, G :△ABC是等边三角形， ■ D CP⊥AB,AC=BC=4, :AH⊥BC,BH=CH, :BM =CM .BM +GM CM +GM 当C、M、G三点共线且与CP重合时，BM+GM最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ,P、H分别是AB、BC的中点， 43/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.DG=PH=AC=2. 【点晴】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，最短距离问题， 线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点 2.(2025·辽宁盘锦三模)【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC=∠AFD=90°，点F在ABC内，连接BF并延长到点 E,使EF=BF,连接BD,CD,DE,探究线段DE与CD的关系 C B 图4 备用图1 备用图2 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交 DF的延长线于点G,这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延 长线于点H,从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系. (1)请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： (2)如图4，在ABC中，∠ACB=90°，LA=30°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到 CE,连接BE,DE,O为DE中点，连接BO并延长交CD的延长线于点F,若∠EBO=2LBCE,探究OF ,OB,BE之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 (3)“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE,若F为平面内一点， AD∥CE,CD=2,AC=3,其他条件不变，请直接写出AD的值， 【答案】(1)证明过程详见解答；(2)0F=OB+BE;(3)AD=√7±√2 【分析】(1)勤学小组的解法：将线段DE借助平行线进行平移，过点B作BG平行DE交DF的延长线于 44/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点G,这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系，即可得证； “善思小组”的解法：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H, 从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系，即可得证， (2)延长OB至G,使OG=OF,可证得C、B、E、D共圆，从而∠BDE=∠BCE,∠CEB=∠CDB,可 证得LGEB=∠G,从而BG=BE,进一步得出结果； (3)当点F在ABC内部时，可证得C、D、F共线，根据AF2+CF2=AC2可求得AF,进而得出结果； 同样求得当点F在ABC外部时的结果. 【详解】解：(1)学小组，如图1， H DE=CD,DE⊥CD,，理由如下： B 图1 连接AG,延长CD,交BG的延长线于点H,交AB于点O, BG∥DE, ·LBGF=LEDF∠GBF=LDEF EF =BF ∴△BGF≌△EDF(AAS :BG=ED,GF=DF, 由旋转可得AF=DF,∠AFD=90°， AG=AD,∠ADF=∠DAF=45°， .∠GAD=2LDAF=90°， ZBAC=90 .∠BAC-∠BAD=∠GAD-∠BAD ∠GBA=LDAC, AB=AC, .△AGB≌△ADC(SAS), ∴.GB=DC=DE,∠DCA=∠GBA, :LB0H=∠C0A, .∠B0H=∠CA0=90°， 45/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE⊥CD, 善思小组，如图2， H 图2 延长ED至H,使DH=DE,连接BH,延长AF,交BH于G, AB=ACAF=DF∠BAC=∠AFD=90° .LFAD ZACB=ZABC 45 BC=2AC AD=2DF AD AC BH BC 2 BH∥FD DF=BH.ZBGF ZAFD=905 :∠BAG+LABG=LBAG+∠FAC=90°， :LABG=∠FAC, :45°+∠HBC=45°+∠DAC, :ZHBC ZDAC △CBH∽△CAD, CD AC HCBC'∠BCH=LACD CD HC CA BC ，LBCH+LBCD=LACD+∠BCD ∠DCH=∠ACB=45°， △DCH∽△ACB, .∠CAB=∠CDH=90°， :DC DH=DE, ·ED⊥CD,ED=CD (2)如图4， 46/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A 图4 延长OB至G,使0G=0F, :0E=0D, :四边形DFEG是平行四边形， :EG ICF .∠G=∠F,LEGC=LECD, :CD绕点C逆时针旋转60°得到CE, ∠ECD=60°，CD=CE, △CDE是等边三角形， ∠CDE=∠CED=60°， :∠ACB=90°，∠BAC=30°， .∠ABC=60°， :ZABC Z CED :点C、B、E、D共圆， .∠BDE=∠BCE,∠CEB=∠CDB, :∠GEC=LCDE=60°， :ZGEB+ZBEC ZBDE Z BDC ∠GEB=∠BDE, ∠GEB=∠BCE, '∠EBO=2LBCE, .∠EBO=2∠GEB, ∠GEB+∠G=2∠GEB, .LGEB=∠G, :BG BE, :.OF=0G=0B+BG=0B+BE 47/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)设AF=DF=x,如图5， B 图5 当点F在ABC内部时，由(1)知，LEDC=90°，ED=EC,∠DEC=∠DCE=45°， :AD∥CE, ∠ADE=∠DEC=45°， :LADF=45°， .∠ADF+∠ADE+∠EDC=180°， ∴C、D、F共线， :∠AFD=90°， ..AF2+CF2=AC2, .x2+(x+2)2=32, “与s2+0 ,6=24 2 (舍去)， 2 AF=-2+V4 2 AD=√2AF=√万-2， 如图6， A D B F 图6 当点F在ABC外部时， :AD∥CE, ∴.∠ADC=∠DCE=45°， ∠ADF=45°， :.ZADF ZADC, 48/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D、C、F共线， :∠AFD=90°， .AF2+CF2=AC2, x2+(x-2)2=32, 2+4，=2-14(舍去)， ∴.x3= 2 2 AD=√2x=√万+√2， 综上所述：AD=√7±√2， 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的 条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形 3.(2025辽宁沈阳·二模)综合与实践 图1 图2 图3 图4 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上， 点B的对应点记为B,折痕与边AD,BC分别交于点E,F. 【问题解决】(1)当AB=4,AD=8, ①如图2，当点B与点D重合时，求AE的长； ②如图3，若BF=3,求BB'的长： 【问题探究】(2)如图4，连接AC,设AC与BD交于点O,当∠ACB=30°时，求证：A'B′∥AC平行； 【深入探究】(3)在(2)的情形下，设AC与EF交于点P,求三条线段AP,B'D,EF之间满足的等量 关系。 【答案】(1)①AE=3:②B.12,5,(2)见详解：(3)V5EF=24P+BD) 5 【分析】①根据四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=8,得出AB=CD=4,AD=BC=8,∠A=90°，根据折叠 可得AE=A'E,∠A=∠A=90°，AD=AB=4,，设AE=A'E=x,则DE=8-x,当点B与点D重合时，在 RtaA'DE中，根据勾股定理列方程即可求解。 ②如图3，若BF=3,根据矩形的性质得出BC=AD=8,CD=AB=4,∠BCD=90°，勾股定理求出 49/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=4√5，如图，设EF与BD交于点M,由折叠得∠BMF=∠B'MF=90°，B'F=BF=3,BB'=2BM,证明 △8w&0C,得出欲部求出侧-65，即可解答。 (2)当∠ACB=30°时，设EF与BD交于点M,根据四边形ABCD是矩形，得出OC=OB,∠ABC=90°， 根据等腰三角形的性质得出∠OBC=∠0CB=30°，三角形外角的性质求出LA0B=60°，由折叠得： ∠BFE=∠B'FE,B'F=BF,BB'⊥EF,LA'B'F=LABF=90°，求出LBFE=∠B'FE=60°，∠FB'B=30°， ∠A'B'0=60°，根据∠A'B'0=∠AOB=60°，同位角相等，两直线平行，即可证明A'B′∥AC. (3)如图，过点E作EG⊥BC于G,设EF交BD于H,由折叠得：EF⊥BD,B'F=BF,∠BFE=∠B'FE, 设AE=m,EF=n,根据∠ACB=30°，∠ABC=90°，AO=BO,求出∠BAC=60°=∠ABD,根据(2)可得 ∠BBF=∠DBC=30°，∠8FE=∠B'FE=60,解直角三角形表示出EG=5元 )2,G一上n,正明四边开形 48GE是矩形，得出4B=EG=5,BG=E=m,D/C,表示出F=BF=m+,解直角三角形求 2 出=m+ 1 2 BB'=2BH=V5m+与n,根据直角三角形的性质表示出BD=√5n, 21 B'D= 之n-V5m,证明4E=PE,过点E作EQ1AP,根据等腰三角形的性质得出AP=240,解直角三 角形有出=5，即可农示出AP+BD=a,得出P+BD 2 【详解】(1)①解：~四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=8, ·.AB=CD=4,AD=BC=8,∠A=90°， 根据折叠可得AE=AE,∠A'=∠A=90°，A'D=AB=4, 设AE=A'E=x, 则DE=AD-AE=8-x, 如图，当点B与点D重合时， E D(B) B 在Rt△A'DE中，A'E2+A'D2=DE2, x2+42=(8-x)2, 解得：x=3, 50/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即AE=3. ②如图3，若BF=3, 四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3, .BC=AD=8,CD=AB=4,∠BCD=90°， BD=VBC2+CD2=V82+42=4V5, 如图，设EF与BD交于点M, D M 由折叠得：∠BMF=∠B'MF=90°，B'F=BF=3,BB'=2BM, ∠BMF=∠BCD, :∠FBM=∠DBC, △BFM∽△BDC, BM BF BC BD BM 3 845’ BM=65 ·BB'=125 5 (2)证明：如图，当∠ACB=30°时，设EF与BD交于点M, B M B F ~四边形ABCD是矩形， ∴.OC=OB,∠ABC=90°， ∠0BC=L0CB=30°， :∠A0B=∠0BC+∠0CB=60°， 由折叠得：∠BFE=∠B'FE,B'F=BF,BB'⊥EF,LA'B'F=∠ABF=90°， 51/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BFE=∠B'FE=180°-∠BMF-∠FBM=180°-90°-30°=60°， ÷∠FB'B=180°-∠FMB'-∠B'FE=180°-90°-60°=30°， ∠A'B'0=∠A'B'F-∠BB'F=90°-30°=60°， ∠A'B'0=∠A0B=60°， .A'B'∥AC. (3)V3EF=2(AP+B'D), 理由如下： 如图，过点E作EG⊥BC于G,设EF交BD于H, A D F 由折叠得：EF⊥BD,B'F=BF,∠BFE=∠B'FE, 设AE=m,EF=n, ∠ACB=30°，∠ABC=90°，AO=BO, ∠BAC=60°=∠ABD, 根据(2)可得∠BB'P=∠DBC=30°，∠BFE=∠B'FE=60°， EG=Ea6055G=8Pw6w0 1 2 ∠EAB=∠ABG=LBGE=90°， ∴四边形ABGE是矩形， AB-EG= n,BG=AE=m,AD∥BC, 2 1 ∴.BF=B'F=BG+GF=m+二n, 2 .BH=BF. m+ n 2 2 BB=2BH=5m+2 1 n :∠ADB=30°， .BD =2AB=3n, 52/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD-BD-BB'-V3n-3m+In= n-3m, 22 :AD∥BC, ∴.∠DEF=∠EFG=60°， ∠APE=∠DEF-∠DAC=60°-30°=30°=∠DAC, :AE PE, 过点E作EQ⊥AP, .AP=2A0, :AP=2AE·c0s30°=V3m, :AP+B'D=3m+ n-3m 2 2 :AP+B'D=- 2 即V3EF=2(AP+B'D). 【点晴】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等 腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉 及知识点多，综合性强，难度较大 >题型04最值问题<《 析典例建摸熙 1. (2025辽宁盘锦·二模)发现问题 (1)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，点M为线段AB上的点，MC=MB,则CM和AB的数量关系 是 B 图1 图2 图3 应用问题 (2)在ABC中，∠ACB=90°，点D在线段AB上，点F在AB的延长线上，点E,点C在线段AF同侧， 53/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ED=EF,将线段EC绕点E旋转使点C的对应点G落在线段BF上，且∠CEG=LDEF. ①如图2，若CB∥EF,求证：AB=2GF; ②如图3，若ED=EF=4,∠DEF=120°，点M,点N为直线AC,BC上的两个动点，MN=2,点P为 MN的中点，直接写出线段FP的最小值. 【思路分析】(1)由等腰三角形性质可得LMCB=∠B,再通过三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°， ∠ACM+∠MCB=90°，则有∠A=∠ACM,所以MC=MA,从而求解； (2)①取AB中点H,连接CH,CD,通过证明aCED≌△GEF,则有LF=LCDE,，CD=GF,结合 H为R△ABC斜边AB的中点，则CH=BH=。AB,故有LBCH=∠HBC,然后通过三角形外角的性 2 质和角度和差得出∠CDH=∠CHD,得出CD=CH,最后利用等量代换即可证明；②作EK⊥DF于点K ,连接CD、CP、CF,利用等腰三角形的性质和三角函数的知识求出DF=4V5,∠CDF=60°，利用 垂线段最短性质得出当CF⊥CD时，CF有最小值，得到CFmm=6,再利用直角三角形的性质得到 即=)N=L,最后利用FP+CP2CF即可求解 【规范答题】(1)解：~MC=MB, LMCB=∠B, ∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°，∠ACM+∠MCB=90°， ∠A=∠ACM, ..MC=MA, ∴.MC=MA=MB, .CM =-AB. 故答案为：CM=2AB (2)①证明：如图，取AB中点H,连接CH,CD, E B G ED=EF ∠EDF=∠F, ∠CEG=∠DEF, ∴.∠CED+∠DEG=∠GEF+∠DEG, ∴.∠CED=∠GEF, 54/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又ED=EF,CE=GE, ÷aCED≌aGEF(SAS), .ZCDE =ZF,CD=GF, ∠CDH=∠CDE+∠EDF=2∠F, CB∥EF, ∴LHBC=LF, ~H为Rt△ABC斜边AB的中点， cH=8n-B, LBCH=∠HBC, '∠CHD=∠HBC+∠BCH, ∠DHC=2LF, ∴.∠CDH=∠CHD, ∴CD=CH, .CH=GF, GF-号40，即48=2GF: ②解：如图，作EK⊥DF于点K,连接CD、CP、CF, A D B ×ED=EF=4,∠DEF=120°， ÷∠EDK=∠EFK=I80°-∠DEF =30°， 2 EK⊥DF, ÷DK=FK=DF,∠EKF=900, ∴在RtEKF中，cOs∠EFK= FK EF =c0s30°=5 2 *FK= 2EF=2V5, DF=2FK=43. 由①中的结论得，∠CDF=2LEFG=2×30°=60°， 当CF⊥CD时，CF有最小值，此时CF=DF sin∠CDF=4V3sin60°=6， 55/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CFmin =6, ∠MCN=90°，MN=2,点P为MN的中点， CP-TMN-x2-1. 2 FP+CP≥CF, .FP≥CF-1, 当C、P、F三点共线时，FP有最小值，为CF-1, 又CFmin=6, .FPmin =CFmin -1=6-1=5, 线段FP的最小值为5. 研考点通技法 五.确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有：直线型：点在某线段或直线上滑动。圆弧型：二 1个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。 2.明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的最值，以及它的两个端点谁是动点、准是定点。 !3.转化或构造：将目标线段与一个己知定长或特殊位置（如垂线段最短、点圆距离、三点共线）联系起来。 :4.计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、相似或三角函数算出最终长度。 破送题.提能力 1.(2026辽宁抚顺.一模)综合探究应用： A D 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，若∠B+∠C=90°，AB=6,CD=8,F,E分别是AD,BC边上的点， BE_AE=1,求EF的长： CE DF (2)如图2，在ABC中，AD⊥BC与点D,AD=6V3,CD=8,BC=14,E,F分别是AB,BC边上的点， BE=CF,Q,P分别是EC,BF上的点，9-BP=PO=下 ,求CP的长； OC PF 3' (3)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形ABCD绕B逆时针旋转得到矩形GBEF,连接DF,GE,M,N 56/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别是DF,EG边上的点， DF2'NG3,请直接写出MN的最大值。 DM 1 EN 1 【答案】(1)5 (2)11 (同心的最大值为号 【分析】(I)过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G,连接DG,推导出△AEB≌△GEC(ASA),得到 AB=CG=6,AE=GE,进而推导出∠DCG=90°，EF是△ADG的中位线，则EF=DG=5,即可解答： (2)连接EP,过点F作FG∥AB交EP的延长线于点G,连接CG,过点G作GH⊥BC于点H,推导出 ∠ADB=90°，得到an∠B=4D-65-V5,则∠B=60,进而推导出EBPGFP,得到 BD 6 BE EP EO 1 FGD元==，证明APEO∽AGEC,得到兰=兰=元，求出GC=2V13,设BE=2a,则FG=6。 ,在Rt△GHF中，根据三角函数求出GH=3V3a,FH=3a,则CH=CF+FH=2a+3a=5a,在Rt△GHC中， 由勾股定理，得CH2+GH2=GC2,求出a=1,继而求出PF=9,则CP=CF+PF=2+9=11,即可解答； (3)连接BF交GE于点O,连接OM,BD,由勾股定理，求出BD=GE=√AB2+BC2=10,推导出OM是 △FBD的中位线，进而得到OM-ON≤MN≤OM+ON,当M,O,N三点共线且M,N位于点O的两侧时， MV最大，最大位为气。即可解谷。 【详解】(1)解：如图1，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G,连接DG, A 图1 ∠B=∠1， ,8E-4=1, CE DF :BE=CE,AF=DF ∠AEB=∠GEC, △AEB≌AGEC(ASA). .AB=CG=6.AE=GE 57/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ×∠B+∠DCB=90°，∠B=∠1， :∠1+∠DCB=90°，即∠DCG=90°， :在Rt△DCG中，由勾股定理，得DG=√CD2+CG2=√⑧2+62=10 AF DF,AE GE, ∴EF是△ADG的中位线 :.EF=DG=5. 2 (2)解：如图2，连接EP,过点F作FG∥AB交EP的延长线于点G,连接CG、FG,过点G作 GH⊥BC于点H. B D H 图2G CD=8,BC=14, .BD =BC-CD=6. :AD⊥BC ∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6V5, tanZB=4D_6V3 =3, BD 6 ∴∠B=60°， :FG∥AB, ∠B=∠GFH=60°， '∠EPB=∠GPF, ∴△EBP∽△GFP. BE EP BP FG PG PF 58/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EO BP 1 QC-PF=3 BE EP EO 1 FG PG-OC=3 EPEO1 ∴EGEC4 ∠PEQ=∠GEC, △PEOOAGEC. PO EO 1 GC EC4 ·P0=3 2 GC=213 BE 1 “FG3 ∴设BE=2a,则FG=6a. BE=CF, .CF =2a. :GH⊥BC, ∴.∠GHC=90 在Rt△GHF中，∠GHC=90°，∠GFH=60 ∴sin∠GFH=GH_GH ,cos∠GFH=P4=A= FG 6a 2 FG 6a 2 :.GH =33a,FH=3a, :CH=CF +FH =2a+3a=5a. 在Rt△GHC中，由勾股定理，得CH+GH=GC2, (5a)2+(3V5a)2=(213)2, 解得a=1, CF=2a=2, BF=BC-CF=14-2=12, BP 1 PF3' PF 3 BF 4' 59/69 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PF=9, .CP=CF+PF=2+9=11. (3)解：如图3，连接BF交GE于点O,连接OM,BD D B G(0 E 图3 图4 在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,LA=90°， BD=AB2+BC2=10, 由旋转的性质可知，GE=BF=BD=10,0B=0F,OE=GE=5. .DM1 DF 2 M是DF的中点 :OM是△FBD的中位线： :OM=1BD=5, EN 1 NG=3'GE=10, 0w, 0M-0N≤MN≤OM+0N, w货 :如图4，当M,O,N三点共线且M,N位于点O的两侧时，MN最大，最大值为 2 2.(2025辽宁盘锦模拟预测)【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰Rt△ABC和等腰RtA ADE,其中 LBAC=LDAE=90°，射线BD与CE相交于点F,那么BD和CE数量关系是 ,BD和CE位置关系 60/69 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 【思考尝试】 如图2，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH=90°，连接 CF、CH.同学们发现若能证明四边形EHCF为平行四边形，即可找出CF与BE的数量关系.请你根据以 上思路，试猜想CF与BE的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形BCD和国边形4FG都是矩形，若怎8-，连接E、C印，求出CF与服的数 关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若AE=1,AB=2,如果BE、DG所在直线相交于点H,请直接写出 矩形AEFG绕点A旋转一周过程中CH长度的最小值为 图1 图2 图3 备用图 【答案】问题情境：BD=CE,BD⊥CE;思考尝试：CF=√2BE,理由见解析；实践探究： CF=V10BE;拓展迁移：√30 【分析】问题情境：证明△BAD≌aCAE,得到BD=CE,LABD=∠ACE,进而推导出∠BCF+∠CBF=90°， 得到∠BFC=90°，即可得到BD⊥CE; 思考尝试：证明四边形EHCF为平行四边形，得到CF=EH,由勾股定理得到EH=√2BE,即可得到 CF=√2BE, 理探充：过点B作BE⊥BM,开使得BM=BE,证明&4 BE.CBM,得到C进而得到 CM=AG,即可得到CF=EM,又由勾股定理得到EM=√1OBE,即得到CF=V1OBE, 拓展迁移：由作图可得，点E的运动轨迹为以点A为圆心的圆上，当AE⊥BE时，BE和OA相切，点F,H 重合，此时∠ABE最大，∠HBC最小，即CH的长最小，由勾股定理求出BE=√3，再根据CF=10BE即 可求解. 61/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：问题情境：等腰RIABC和等腰Rt△ADE,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠BAD=LCAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS), BD=CE,∠ABD=∠ACE, :∠BCF+LCBF=LACB+LACE+LCBF=∠ACB+LABF+LCBF=∠ACB+∠ABC=90°， ∴.∠BFC=180°-（∠BCF+∠CBF)=180°-90°=90°， BD⊥CE, 故答案为：BD=CE,BD⊥CE; 思考尝试：~四边形ABCD是正方形，△BEH是等腰直角三角形， ∴.AB=BC,BE=BH,∠ABC=∠EBH=90°，∠BEH=∠BHE=45°， ∴.∠ABE=∠CBH,∠BHC=45°+∠EHC, .ABE≌CBH(SAS), ∴.AE=CH,∠AEB=∠CHB, ~四边形AEFG是正方形， :∠AEF=90°，AE=EF, ∴.∠AEB=360°-90°-45°-∠FEH=225°-∠FEH,EF=CH, :225°-∠FEH=45°+∠EHC, .∠EHC+∠FEH=180°， EF∥CH, 又：EF=CH, ∴四边形EHCF为平行四边形， :.CF=EH, BE2+BH2=EH2, :2BE2=EH2, ..EH =2BE, ∴CF=V2BE, 故答案为：CF=V2BE; 实践探究：如图3，过点B作BM⊥BE,并使得BM=3BE,则LEBM=90°，连接CM, 62/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 四边形ABCD是矩形， M 图3 .∠ABC=∠EBM=90°，BC=AD, ·∠ABE=LCBM, AB 1 AD-3 AB 1 BC-3' 又 BE 1 BM 3' AB BE BC BM' .ABE∽CBM, ∴.∠BEA=∠BMC, AE 1 M3' AE 1 AG 3' :CM=AG, ~四边形AEFG为矩形， .∠AEF=90°，AG=EF, ∴.EF=CM,∠BEA=360°-90°-∠FEM-∠BEM=270°-∠FEM-∠BEM, ∠BMC=LBME+∠EMC, .270°-LFEM-∠BEM=∠BME+∠EMC, .∠FEM+∠EMC=270°-（∠BEM+∠BME), ∠EBM=90°， :∠BEM+LBME=90°， :∠FEM+∠EMC=270°-90°=180°， EF∥CM, 又：EF=CM, ∴四边形EMCF为平行四边形， 63/69 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·CF=EM, BE2+BM 2=EM 2, ..BE2+9BE2=EM2, ∴.10BE2=EM2, .EM=10BE, .CF =10BE 拓展迁移：~AE=1, 如图，点E的运动轨迹为以点A为圆心的圆上，当AE⊥BE时，BE和OA相切，∠AEB=LAEF=90°， 此时点F,H重合，此时∠ABE最大， G F(H) ∠HBC=90°-∠ABE, ∴此时∠HBC最小，即CH的长最小， :AE⊥BE, ·∠AEB=90°， AE=1,AB=2, :BE=AB2-AE2=22-1=3, CF =10BE, CF=10x5=√30， ∴矩形AEFG绕点A旋转一周过程中CH长度的最小值为√30， 故答案为：√30. 【点晴】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全 等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆相关知识点，掌握以上知 识点并正确作出辅助线是解题的关键， 3.(2025·辽宁沈阳一模)【问题初探】 (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ADC=90°， 64/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD+∠BCD=I80°，BE⊥AD,垂足是点E.求证：BE=DE. ①如图2，小明同学给出如下解法：作CF⊥BE,垂足是点F. ②如图3，小亮同学给出另一种解题方法：作BF⊥DC,交DC延长线于点F, 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程 【类比分析】 E A GD 9D 图1 图2 图3 (2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明BE与DE的数量关系转化为BE与另一条线段的 数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出了下面问题，请你解答。 如图4，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD,BE⊥AD,交DA延长线于点E.求 证：CD+AE=BE. 【学以致用】 (3)如图5，四边形ABCD中，AB=BC=10,∠ADC=90°，∠BAD和∠BCD都是钝角，且 ∠BAD=∠BCD,CD=2,点M在AD上，请直接写出BM+CM的最小值. E D 图4 图5 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2√41 【分析】(1)①小明同学的解法：根据题意证明四边形CDEF是矩形；△ABE≌△BCF，,即可得证；②小 亮同学的解法：证明四边形BEDF是矩形，aABE≌aBCF,即可得证： (2)作BG⊥DC交DC延长线于点G则∠BGD=90°，证明四边形BEDG是矩形，△ABE≌△CBG, 则AE=CG,根据DG=CG+CD,等量代换进而，即可求解； (3)过点B作AD的垂线交DA的延长线于点E,由(2)可得四边形BEDG是矩形，△ABE≌△CBG, 65/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △4DC是等腰直角三角形，作C关于AD的对称点N,连接BN交AD于点M,则MC=MN,此时 BM+CM最小，在RtaBCG中，BG+CG2=BC2,勾股定理求得CG=6,进而根据LNCF=LBCG,结 合三角形的三角函数关系求得NF,CF,最后在Rt△NFB中，勾股定理，即可求解. 【详解】解：①小明同学的解法： 如图所示， E D :CF⊥BE,BE⊥AD B 图2 .∠BED=∠CFE-90°， .∠ADC=90°， :四边形CDEF是矩形 DE=CF,BE∥CD ∠CBE+LBCD=180°， :∠A+∠BCD=180°， :ZA ZCBE 又：AB=CB,LAEB=LBFC=90 △ABE≌a△BCF, :BE CF DE, ②小亮同学的解法： 如图所示， E :CF⊥BE,BE⊥AD B F 图3 LBED=∠CFE-90°， 66/69 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ADC=90°， :四边形BEDF是矩形 :.DE BF, :∠BCF+∠BCD=180°，∠A+∠BCD=180° ∠A=LBCF, 又：AB=CB,∠AEB=LBFC=90° △ABE≌△BCF, :BE BF DE, (2)解：如图所示，作BG⊥DC交DC延长线于点G则LBGD=90 D B :BE⊥AD, G 图4 ·∠BED=90°， :∠ADC=90°， LBED=∠GDE=∠BGD=90°， :四边形BEDG是矩形， :BE DG, ∠BCD+∠BCG=180°，∠BAD+∠BAE=180°， 又：∠BAD=∠BCD ∠BAE=∠BCG, :AB=BC,∠BEA=∠BGC=90°， △ABE≌△CBG, :AE =CG, DG=CG+CD, CD+AE =BE 67/69 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：如图所示，过点B作AD的垂线交DA的延长线于点E,作BG⊥DC交DC延长线于点G则 ∠BGD=909 E G 图5 由(2)可得四边形BEDG是矩形，△ABE≌△CBG, BE=BG,AE=CG, ∴四边形BEDG是正方形， ∴DE=DG, 又AE=CG, .AD=CD =2 ∴△ADC是等腰直角三角形， 作C关于AD的对称点N,连接BN交AD于点M,则MC=MN ∴BM+MN=BM+CM,此时BM+CM最小， E B G ∠ADC=90°， ∴N点在CD的延长线上，且DN=CD=2, ∴CN=4, CD=2, ∴.BG=DG=DC+CG=2+CG 68/69 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又AB=BC=10, 在RtABCG中，BG2+CG=BC2 (2+CG+CG2=102 解得：CG=6(负值舍去) BG=CG+2=8 Bc10写cos∠BCG=CC=63 sin∠BCG=BG=8_4 BC105 LNCF ZBCG 312 CF=NC cos∠NCF=4x2 NF NCZsin NCF=4x1-6 55 BF=BC+CF=10+12-62 55 在Rt△NFB中，BN=VNF2+BF2 =241 【点晴】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角 形的性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 69/69