专项08 二次函数综合压轴（二） 5大题型（大题专练）（辽宁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦辽宁中考二次函数压轴题，以“命题解码-建模通法-实战刷题”为框架，系统提炼线段、面积、存在性等5类问题的解题模型，强化从复杂情境中抽象数学关系的推理与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段相关|1典例+4题|坐标表示竖直线段、铅垂法转化、顶点取舍|从坐标计算到动态线段最值，结合函数性质与分类讨论| |面积相关|1典例+4题|铅垂法、割补法、平行线等积变形|面积计算转化为线段函数，衔接二次函数最值求法| |三角形存在性|1典例+4题|分类讨论边/角、坐标表示边长、验证取舍|融合等腰/直角三角形判定与函数图像性质，强化推理严谨性| |四边形存在性|1典例+4题|对角线中点公式、对边平行相等、矩形菱形特殊条件|以平行四边形为基础，拓展特殊四边形判定，构建模型意识| |角度综合|1典例+4题|构造直角三角形、三角函数、相似/圆转化|角度关系转化为线段比例或坐标关系，提升综合应用能力|

专项08 二次函数综合压轴（二） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数综合是解答题最后一个压轴题的必考题型，分值约13分左右． 命题趋势：解答题：二次函数综合稳定在倒数第一个压轴题的位置进行考察，考察方向较多，题型变化多样，包括但不限于传统的二次函数代几综合问题，如线段周长关系或最值问题面积关系或最值问题、三角形存在性问题、四边形存在性问题、角度关系问题、相似三角形问题等，也包括近2年新中考后出现的新考向，如二次函数中结合新定义问题、根据公共点个数求参数、根据最值情况求参数、函数图象平移与翻折问题等。整体难度较大，考查综合能力的运用，计算量也较大。 2026年预测：解答题会继续在倒数第一题的位置单独命题二次函数综合题，形式稳定。新定义型问题热度只增不减，平移与翻折结合仍是考查重点，最值求参问题也可能继续出题；线段与面积相关问题作为传统考向不容忽视，三角形与四边形存在性问题、相似三角形问题、角度问题等可能会融合到新情境中结合考查。整体综合性更高，对计算准确率要求更高，分类讨论情况要准确。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，对新定义理解正确，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准确，注意对应情况解的合理性，书写步骤规范。 题型01 二次函数与线段相关问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 【思路分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解a，再展开为一般式；再将点代入表达式求n． （2）先求点B、C的坐标，计算四边形各边长度，通过对边相等判定平行四边形． （3）①设点，利用距离公式表示和，根据列方程求解m． ②利用中位线定理将转化为，作点C关于对称轴的对称点，当B、P、共线时，最小． 【规范答题】（1）设抛物线的顶点式为（因顶点为）． 将点代入得：； 化简得，解得． 因此，抛物线的表达式为，展开为． 点在抛物线上， 将代入得：． （2）由（1）知抛物线解析式为． 当时，，故； 当时，，故． ， ， ， ． 因为且， 所以四边形是平行四边形． （3）①设， 由得，即：； 解得． 因此，点P的坐标为． ②因为E，F，G分别是，，的中点， 所以，， 所以． 作点关于对称轴的对称点， 连接交对称轴于点P，如图， 此时最小，最小值为的长． 所以； 因此，的最小值为． 研考点·通技法 1. 坐标表示，竖直线段：通常求纵坐标之差（y上- y下）表示竖直线段长度，转化为关于横坐标的二次函数。 2. 铅垂法，面积转化：求斜线段或三角形面积最值时，常作铅垂高，利用“水平宽 × 铅垂高 / 2”将问题转化为竖直线段最值。 3. 注意范围，顶点取舍：求最值时，先确认自变量（如x）的取值范围。若顶点横坐标在范围内，则在顶点处取最值；否则在端点处取得。 4. 分类讨论防漏解：动点位置变化（如在线段上或在抛物线上）会导致表达式不同，需分段建立函数关系，分别求最值后比较得出最终结果。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，，，抛物线上点D的横坐标为1，点E在线段上，且，连接，，． (1)求a，b的值及线段的长； (2)求证：点A在直线上； (3)射线与抛物线相交于点F，点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，，且，点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G，若，求与的数量关系，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，，且 【分析】（1）求出点C的坐标，得到的长，则可得到的长，再求出点A和点B的坐标，利用待定系数法求出a、b的值，得到抛物线的解析式，再求出点D的坐标，最后利用两点间的距离公式求出的长即可； （2）利用两点间的距离公式建立方程求出点E的坐标，再求出直线的解析式，把代入直线的解析式中求出对应的函数值即可证明结论； （3）过点G作轴于点R，求出直线的解析式为，可求出，；，由勾股定理得；根据，得到，则可推出，再求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； （2）证明：设， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点在直线上，即点A在直线上； （3）解：如图所示，过点G作轴于点R， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，， ∴； ∵点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G， ∴，， ∴， ； ∵轴于点R， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点N在线段上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且； 综上所述，，，且． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②， (3)的值为或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）①求出抛物线于轴的交点坐标，即可求出的取值范围； ②设，根据正方形的性质得出，解方程求出值即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，得出，，分点在点上方和下方两种情况，证明，根据，分别列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：①∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． ②设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，． （3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， ①如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）． 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）设，则，则可得，解方程即可； （3）解方程可得，，列方程即可． 【详解】（1）解：过，对称轴， ，， ， ∴二次函数的函数解析式； （2）解：设，则，， ，， 由， 可得， 可得或， 解得或或， ， 或； （3）解：如图， 令， 可得， 解得， ， 令， 可得， 解得， ， ， ， 解得． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点， ，与y轴交于点C，连接，，点P为第三象限抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于点 M，过点 P作 交x轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图1，求 的最大值及此时点 P的坐标． (3)如图2，当点M在抛物线的对称轴上时，若点 Q，E分别在对称轴和抛物线上，且 ，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的最值和相似三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得，把代入，然后即可求解； （2）过点 作 轴于点，证明，然后通过勾股定理求得，设 ，求得，设直线：，解得直线：，然后求得，然后即可求解； （3）根据点M在抛物线的对称轴上，求得，，然后分两种情况，和，然后即可求解； 【详解】（1）解：当时， ， ∴， 设， 将代入 中， 解得 ， ∴； （2）解：如图1， 过点 作 轴于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 设 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 设直线：， 将， 代入直线：， 得 ， 解得：， ∴直线：， 令 ， 解得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， 此时点的坐标为 ； （3） 解：由 (2) 得 ， 且 ，如图： ∵点在对称轴上， ∴， 解得， (舍去)， ∴， ∴， ∴， ∵， 轴， 点在对称轴上， ∴轴， ， ， ∴， 将 代入 ， 得， ， ∴， 将 代入 ， 得 ， 综上所述， ，； 题型02 二次函数与面积相关问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【思路分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【规范答题】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 研考点·通技法 1. 铅垂法求面积：过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，将三角形面积表示为×水平宽×铅垂高。铅垂高通常为关于横坐标的二次函数，求其顶点最值。 2. 割补法转化：对于四边形或不规则图形，用坐标轴或已知点分割为几个三角形或梯形，分别表示面积后相加，得到关于动点坐标的二次函数。 3. 利用平行线等积变形：求面积最大的动点位置，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积最大。联立直线与抛物线，令判别式为零求切点坐标。注意面积最小值常为0（点重合时）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）求出时的函数值，求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）求出直线的解析式，易得，，，进而求出，根据，得到，证明，得到，进而得到，求出，进而得到，即可得出结果； （3）①根据点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，得到抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，进而得到点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，求出点恰好在抛物线上时的的值，即可得出结果；②分抛物线经过的中点，抛物线经过的中点或抛物线经过的中点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴，，； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得，则， ∴， 由题意，，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，， ∵轴， ∴， ∵点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点， ∴抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点， ∴点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧， ∴， 当点恰好在抛物线上时，则， 解得（舍去）或， ∴当矩形的边与抛物线有3个交点时，； ②∵，，， 四边形为矩形， ∴， 当抛物线经过的中点时，如图，则点的横坐标为， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴，解得； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， 解得（舍去）或； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， ∴解得（舍去）或； 综上：或或． 2．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，的坐标为 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用两点之间的距离公式列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，①当边与抛物线有交点时，②当边与抛物线有交点时，分别画出图形，列式计算即可求解； （4）分四种情况讨论，画出图形，列出不等组，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴，令，即， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：由题意得，点，点， ∴，即， ∴，； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ①当边与抛物线有交点时，如图1， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点G和点N关于对称轴对称， ∴，， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； ②当边与抛物线有交点时，如图2， ∵与矩形的面积之比为， 即与的面积之比为， ∴点G为的中点， 又∵轴， ∴点M和点G关于对称轴对称， ∴， ， 又∵点G为的中点， ∴，即， ∴； 综上，或； （4）解：∵对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵点是点关于抛物线对称轴的对称点， ∴， 分情况讨论， 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得或， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 又， ∴； 当时，如图， 直线与图象只有一个公共点， ∴， 解不等式得，不符合题意； 综上，的取值范围是或或，即或． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过坐标原点O，与x轴正半轴相交于点A，直线与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），点M的坐标为，点N的横坐标为9，点P在线段上（不含点M，N），连接并延长，交抛物线于点B、设点P的横坐标为m． (1)求点N的纵坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (4)若，连接并延长，交抛物线于点C，作点B关于点P的对称点，点C关于点P的对称点，连接．当线段与线段有公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点M的坐标代入直线解析式，求得n的值，再代入N的横坐标即可求得N的纵坐标； （2）利用待定系数法，代入点M、N的坐标即可解答； （3）根据题意可知，点P是的中点，然后根据点P的坐标和中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在抛物线上，代入点B的横坐标，表示出点B的纵坐标，再与根据中点坐标公式所求的点B的纵坐标建立方程解答即可； （4）先求得点A坐标，由题意可知当点的纵坐标异号时，满足题意，然后分别根据第（3）题的方法求得当点的纵坐标为0时，当点的纵坐标为0时，对应的m的值，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，把代入直线，得，则， ∴直线， 把点N的横坐标9代入直线，得， ∴点N的纵坐标为； （2）解：由（1）可知，点N的坐标为， 把点、代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴，即点P是的中点， ∵点P在直线上，且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为，即， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， 又∵点B在抛物线上， ∴当点B的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵点P在线段上（不含点M，N）， ∴， ∵ ∴或； （4）解：如图所示， 由（2）可知，抛物线，令，解得或，即， 由题意可知，点在同一直线上，；点在同一直线上，， ∵线段与线段有公共点， ∴当点的纵坐标异号或其中一个为0时，满足题意， ∴①当点的纵坐标为0时，此时点与点O重合，即， 由（2）可知，此时或，如图所示， ②当点的纵坐标为0时，此时点与点A重合，即， ∵，， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， 又∵点C在抛物线上， ∴当点C的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴此时，如图所示， ∴当或时，点的纵坐标小于0；当，点的纵坐标大于或等于0， 当时，点的纵坐标小于0；当时，点的纵坐标大于或等于0， 又∵， ∴当或时，线段与线段有公共点． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式． (2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值． (3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 【答案】(1) (2)的最大值为3，此时的值为1.5． (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出解析式即可； （2）根据列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可； （3）求出点坐标，进而求出，根据的面积与的面积相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， ． 当时，； 当时，． 点． 把点代入，得 解得 ． （2）， ． 拋物线的开口向下． 当时，有最大值，最大值为3． 此时． 的最大值为3，此时的值为1.5． （3）当时，． 解得． 点的坐标为 点的坐标为． ． ． ． ，， ． 解得（舍去），，，． ∴当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为，，． 题型03 二次函数与三角形存在性问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数． 如图，平面直角坐标系中，点，点 (1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式； (2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式； (3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数． ①求的解析式； ②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围； ③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标． 【思路分析】（1）根据点C是的等腰点，以及点、点，求出点C的坐标从而代入一次函数解析式求出b，从而得解； （2）过Q作于点H，则，由是等腰三角形可知都是含30度角的直角三角形，从而求出PQ，即BP的长度，继而求出点P的坐标，继而得解； （3）①过M作于点N，先求得，则，再根据“是等腰三角形，M是等腰点，且”求出点M的坐标，再代入求出a的值即可得解； ②将的解析式化为顶点式，从而得出顶点坐标为，结合“当时，”和数形结合思想即可得出m的取值范围； ③分，，三种情况讨论，利用一线三直角的全等模型求解即可． 【规范答题】（1）解：点C是的等腰点， ， 为等边三角形， ， ， ，点C在y轴上， 或， 将C点坐标代入得，或， 或； （2）解：如图，过Q作于点H， 则， ， ， ， ， 点P坐标为， 反比例函数是的破角函数， ， ； （3）解：①如图，过M作于点N， 令， 解得：， ∴， 又∵， ， ，， ，， ， ， ， 是的破角函数， 将点代入得，， 解得， ； ②， 顶点坐标为， 当时，， 当时，， 由抛物线对称性可知，关于对称轴对称点为， 当时，依然满足， 又当时，的最大值为，最小值为4， ； ③由，可得，， 直线DE的解析式为； 设， 第一种情况：， 如图，过作轴，分别过和N作的垂线，垂足为M和Q， 由平移可知， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 第二种情况：， 同理可得， ，， ， ， ， ， ； 第三种情况：， 由平移得， ，， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上，点N的坐标为或或 研考点·通技法 1. 分类讨论边或角：等腰三角形分“两腰相等”三种情况（AB=AC, BA=BC, CA=CB），列方程求解；直角三角形分“直角顶点”三种情况，用勾股定理或斜率积为-1（K1·K2=-1）列式。 2. 设点坐标表示边长：设动点坐标（如 (t, at2+bt+c) \)），利用两点间距离公式表示三边长度。注意根号下计算复杂时可平方后列方程。 3. 验证与取舍：解出的点需检验是否在抛物线上、是否与已知点重合、能否构成三角形（三点不共线）。等腰三角形还需考虑顶角是否为钝角。优先用几何性质（如中垂线、圆）简化计算。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与抛物线交于点B，过点B作x轴的平行线分别交两条抛物线于点A、C． (1)求a，m的值和点C的坐标． (2)已知F为直线上方抛物线上一点，连接．当为直角三角形时，求点F的坐标． (3)抛物线为抛物线关于抛物线的对称轴对称的抛物线，P为抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点Q，H． ①求出抛物线的表达式； ②当P，Q，H其中一点为其他两点连接线段的中点时，求出点P的坐标． 【答案】(1)；；点C的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解的值，再求解点的坐标； （2）先求出点A的坐标为，当为直角三角形时，只能是，过点作于点，设点，则点，证明，再由相似三角形的性质求解即可； （3）①先求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，由对称，得抛物线的顶点坐标为，再根据对称前后不变，即可求解抛物线的表达式； ②可设点，则点，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ∴． 解得 抛物线经过点， ∴． 解得 ． 轴，点C的纵坐标为． 令． 解得． 点C的坐标为． （2）解：由（1），知． 轴，点， ∴点A的纵坐标为． ． 解得． 点A的坐标为， 当为直角三角形时，只能是， 如图，过点作于点． 设点，则点． ． ． ． ∵ ， ． ∵ ． ，即． ， ∴解得． 点的坐标为或． （3）解：①抛物线， ∴对称轴为直线 抛物线， ∴顶点坐标为 由对称，得抛物线的顶点坐标为． 抛物线的表达式为． ②过点作轴的垂线分别交抛物线于点 可设点，则点． 其中一点为其他两点连接线段的中点， 分以下三种情况： I．当为的中点时． 解得． 点的坐标为． Ⅱ．当Q为的中点时． 此种情况无解． III．当H为的中点时． 解得 点的坐标为 综上所述，当其中一点为其他两点连接线段的中点时，点的坐标为或 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为； （3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的对应的函数关系式为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴是直线， ∵轴，，即 ∴点D的坐标为； （3）解：①当，是等腰直角三角形时，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴． ∴． ∴点M的坐标为； ②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点E的坐标为或， ∵点E在抛物线上， ∴或 ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)2 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，将代入中，解方程即可求解； （2）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，由，得，进而可得，，对于，当时，当时， ，当时，，根据题意得方程，求解即可； （3）写出函数的“对称平移函数”的表达式，函数的“对称平移函数”的表达式，对于函数，当时，可得点的坐标为，①当时，设点的坐标为，建立方程得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程得点的坐标为；②当时，过点作轴的垂线，垂足为，证明，得，设点的坐标为，同法建立方程可得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程即可求解；③当时，可证明不存在． 【详解】（1）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 经过原点， 将代入中， 即， 解得； （2）解：， 函数的“对称平移函数”的表达式为， ， ， 解得； ，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取最小值， 当时，取最大值，， ， 解得，（舍）， ； （3）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 函数的“对称平移函数”的表达式为， 对于函数， 当时， 点的坐标为， ①如图1， 当时， 设点的坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， ， 解得，（舍）， 点的坐标为； ②如图2， 当时，过点作轴的垂线，垂足为， ， ， ， ， 即， 设点的坐标为， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， 即， 解得，（舍）， 点的坐标为， 当时， 设点的坐标为， 此时A与D的纵坐标相同， 即， 解得 即A在y轴上，不成立； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，涉及新定义，二次函数的图像与性质，二次函数与特殊三角形的存在性问题，理解题意，做到数形结合、分类讨论并准确计算是正确解答此题的关键． 4．（2025·辽宁本溪·一模）定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． (1)如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； (2)如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； (3)若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建．熟练掌握等腰三角形的性质，坐标中点的对称性，直线与抛物线的交点问题以及函数分段表达式的构建是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，结合“胖瘦度”的定义直接计算即可； （2）过作于点，由，，等腰三角形可得，，设，，可在平面直角坐标系中得到长度的代数式，结合求解即可； （3）①先根据点横坐标，点横坐标代入抛物线求出纵坐标，再根据“胖瘦度”列出等式，分情况讨论绝对值内式子正负，去掉绝对值符号求解方程，再结合舍去不符合的值，得到的值； ②分情况讨论，注意点P在y轴右侧和y轴左侧时情况不同，找到不同情况下的最高点即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 为边上中线， ， ， ． （2）解：由题意得如图所示等腰三角形， 过作于点， ，， ，， ，是直线上的两点， 设，， ， ． （3）解：①， ∵点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 当时，， 当时，， ∴，， ， ∴结合（1）可知，点的横纵坐标之差的绝对值相等， ， 或， ，或，； ，， 与不符合题意，舍去， 或； ②点的横坐标是点的横坐标的倍，设点的横坐标为， 点的横坐标为， 由等腰三角形可知点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，直线，之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， ∴， 又，两点的纵坐标不能相等， ，即， 当，且时，； 当时，点在轴左侧，此时最高点即为点， 当时，； 当，且点在轴右侧时，最高点即为点与抛物线的交点， 当时，； 综上所述，． 题型04 二次函数与四边形存在性问题 析典例·建模型 1．1．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 【思路分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过P作，交于点F，先求得直线的解析式，设，则，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）①先判断点Q与点E重合，令，求得抛物线与关于中心对称．求得抛物线的顶点为，利用中心对称的特征求解即可； ②由题意设，分情况讨论当为边时，当为对角线时，利用平行四边形的性质求解即可． 【规范答题】（1）解：，与y轴交于点， ， 将代入中，， 解得， ； （2）解：如图，过P作轴于点E，交于点F， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， 令，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， 当时，取得最大值，此时点P的坐标为，即的最大值为； （3）解：①∵抛物线与关于点Q成中心对称，且抛物线与有且只有一个公共点E， ∴点Q与点E重合， ∵点Q在直线上， ∴令， 解得， ∵点E在y轴右侧， ∴抛物线与关于中心对称． ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点为， ∴； ②∵为直线上一点，N为抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，如图，平行四边形时，过E作轴于H，过M作的对称轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为， 当时，代入，， ∴； 平行四边形时，M的横坐标为，则， ∴； 当为对角线时，如图，过M作轴，过E作垂直的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴的横坐标为， ∴， 则． 综上，点的坐标为或或． 研考点·通技法 1. 分类讨论对角线：已知三个点或两个点求平行四边形，利用对角线互相平分（中点坐标公式），设未知点(x,y)，按哪条线段为对角线分三种情况列方程组。 2. 对边平行且相等：已知两个定点A,B，求C,D使四边形为平行四边形，可平移法：若AB为一边，则C = D + (B-A)或D = C + (B-A)；若AB为对角线，则中点重合。 3. 矩形菱形加条件：在平行四边形基础上，矩形加邻边垂直（向量点积为0），菱形加邻边相等（距离公式）。设动点坐标，联立方程求解，注意检验顶点是否在抛物线上且不重合。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． (1)如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． (2)若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． (3)如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②等腰直角三角形；③存在，或 【分析】题目主要考查二次函数及反比例函数的性质，新定义理解，特殊四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，当时，设函数表达式为，利用待定系数法代入确定，再由对偶点的定义得出的对偶点为，代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，求解即可； （3）①先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标为，根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变，即可确定函数解析式；②由①得，利用两点之间的距离公式及勾股定理判定即可；③根据平行四边形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，设函数表达式为， ∵函数图象经过点， ∴， ∴， ∵的对偶点为， ∴当时，函数表达式为， ∴“偶函数图象”的表达式为： ； （2）∵点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”， ∴， 解得：， ∴或； （3）①∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得：当时，函数的顶点坐标为，图象的形状与开口方向不变， ∴当时， ②如图，由①得， ∴， ∵， ∴是以C为直角顶点的等腰直角三角形； ③存在，理由如下： 由②得， 设点， 当为对角线时，点D与点C关于AB对称， ∴在y轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 当为对角线时， 的中点坐标为：即， ∴， 解得：， ∴符合题意； 综上可得：点D的坐标为或． 2．（2025·辽宁鞍山·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为． ①求与m之间的函数关系式； ②若四边形为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【答案】(1)点，点 (2)，且 (3)①；②或；③ 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标； （2）根据点B，C的坐标求出直线的解析式，由，（）是直线上方抛物线上的两点，确定，（），且，因为，得，将点M，N的坐标代入即可得出，并确定m的取值范围为且； （3）①根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由,，求得，由（2）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即，平行四边形的周长，当时，，当时，； ②若平行四边形为菱形，即，由①得，，当时，，即，求解并判断是否符合即可；当时，，即，求解并判断是否符合即可； ③当时，，，当时，，，若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得． 【详解】（1）解：抛物线的解析式，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， ， 点B，C的坐标分别为：点，点； （2）设直线的解析式为，由点，点， 得， ，， 直线的解析式为， ，（）是直线上方抛物线上的两点， ，（），且， 如图所示，过点作于点， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ，m的取值范围为且； （3）①轴，轴， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点的坐标为：， ， 由（2）得，点的坐标为， ， ， ，， ， ， 平行四边形的周长， 当时，，， 当时，，， 综上所述，； ②若平行四边形为菱形，， 由①得，， ， 当时，，即，解得（舍），， 当时，，即，解得，（舍）， 综上所述，或； ③当时，，， 当时，，， 如图所示，四边形的周长的图象为抛物线上的实线， 若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， ． 【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或． 【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度． （2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可． （3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于点A、B， ∴当y=0时，即， 整理得：， 解得：． ∴A点坐标为，B点坐标为． ∴OB=4． 当时，y=-2， ∴C点坐标为， ∴OC=2． ∴． （2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H． ∵， ∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形， ∴， ∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值． ∵B，C， ∴设BC所在直线表达式为， 将B，C两点代入得：， 解得：． ∴BC所在直线表达式为． ∴设P点坐标为，F点坐标为， ∴． ∴， 即， ∴面积的最大值为4， 将m=-2代入得， ∴此时P点坐标为． （3）∵抛物线表达式为， ∴对称轴， ∵以y轴为对称轴，将抛物线对称， ∴对称后的抛物线的对称轴． ∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵A点坐标为， ∴． 设M点坐标为， ∴． 分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示， ∵四边形AMNP是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴，． ∵四边形AMNP是菱形， ∴对角线AN和互相平分， ∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：， 代入可得：或， 解得：，，， ∴，． ②当A是菱形的对角线时，如图所示， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：． ∴， 又∵， ∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形， 故此种情况不存在． 综上所述，N点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系． 4．（2025·辽宁锦州·三模）如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足，轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图②，已知抛物线的顶点为点，其中，直线与抛物线，对称轴右侧的曲线分别交于点，，且，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点，重合，求的值和点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）①设直线与轴分别交于点，求出点坐标，作交的延长线于点，求出，平行线的性质推出，求出点坐标，待定系数法求出的值；②根据的值，得到直线和抛物线的解析式，进而求出的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点交， ， 把，代入，得， 解得， （2）解：， 当时， 解得，， ， ， 菱形，轴， ，轴， 当菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上时，分两种情况： ①当点在上方时，如图，作轴， 则 设，， ，， ， ， 即， 点恰好落在抛物线上， ， 解得或（舍去）， ； ②当点在下方时，如图， 同理可得， ， 解得或（舍去）， ， 综上，或； （3）解：设直线与，轴分别交于点，， 当时，， ， ， ，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点、重合，如图，作交的延长线于， 则，轴，， ， ， 设，，则， ， ， 轴， ， ， ， ， 把代入， 得， ； 可知直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 联立， 解得或（舍去）， ． 题型05 二次函数与角度综合问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【规范答题】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 研考点·通技法 1. 构造直角三角形：若已知特殊角（30°、45°、60°），可作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系（如1:√3:2）建立方程。45°常与等腰直角三角形、K型全等结合。 2. 利用三角函数：设动点坐标，通过两直线夹角公式tan = 列方程。 3. 构造圆与相似：90°角可视为直径所对圆周角，利用圆方程求交点；一般角度可构造相似三角形，将角度条件转化为边比例关系。注意多解（如角的两边可交换位置）。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①把代入解析式，确定a值即可求二次函数的表达式； ②根据抛物线的解析式确定点的坐标为，，，设直线的解析式为．确定直线的解析式为．设点的坐标为，则点．确定，，，根据三角形的面积公式解答即可． （2）由题意得，求得，可得，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，可证得，得出，建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：①把代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为； ②解：抛物线的解析式为， 当时，， 故点的坐标为． 当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ∴，， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点． ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． （2）解：由， ∴抛物线顶点为， ∴， 当时，， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则， 如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 解得：或， 当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，三角形面积的计算，四边形面积的计算，分割思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令的，即可求出直线与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，设，则，（其中），利用三角形面积公式，即可求出点的坐标； （3）作交抛物线于点，作于点， 设，，得，，根据即可得，解方程可得； 作关于轴对称点，连接，作交抛物线于点，作于点，设，则，同法可得，进而得解． 【详解】（1）解：在中， 当时，； 当时，， 解得：， ，， 将，代入中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴，交于点，如图： 设，则，（其中）， ； 由（1）得：，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 此时，， ；    （3）解：①作交抛物线于点， ， 在中， ， 作于点，    设，， ，， ， ， ， ， ． 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； ②作关于轴对称点， 连接，则， 作交抛物线于点，   ， ， ， 作于点 设，则， ，， ， ， 整理得， 解得：（舍去），， 当时，， ； 综上所述,点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，三角函数，会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程的问题．是正确解答此题的关键． 3．（2026·辽宁锦州·一模）如图，抛物线：交轴于点，，交轴于点，直线与抛物线的交点的横坐标为4． (1)求抛物线的表达式； (2)点和是抛物线上的两点，求的取值范围； (3)抛物线：（）的顶点为，与抛物线在轴右侧的交点为，连接交于点．当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立解析式列出方程求解； （2）根据抛物线解析式得出，然后利用二次函数的图像和性质求解； （3）连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为，利用全等三角形和相似三角形得出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出相关点的坐标，得出直线和抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线的交点的横坐标为4， ． ． ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点和在抛物线上， ①， ② 得：． ， ∴当时，有最大值为． ； （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作轴，分别过点作于点于点．过点作轴于点，过点作轴交于点，设与轴的交点为． 抛物线， 令，则，即点的坐标为． 令，则，即点的坐标为． ∴， ． ． ． ． ，即． ∵， ∴直线的解析式是， 设点的坐标为， ． 解得． ． ． ． ． ， ． 令，则，即点的坐标为． 在中，， 又， ∴在中，． 设，则． ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得（舍去）． ∴点的坐标为． 假设直线的表达式为，将和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为． ， ∴抛物线． ∴顶点的坐标为． ∵点在抛物线上， ． 解得． ∴顶点的坐标为． 轴且点在直线上， ∴点的坐标为． ． 4．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； (3)如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出、坐标，进而求出直线解析式为；设，则，可得，则当，即时，的长度最大；如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则，当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）求出，则将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，即新抛物线解析式为，如图所示，过点作轴于，可推导证明，则，据此可求出直线解析式为，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入中得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， 解得或， 当时，， ，； 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 设，则， ， 当，即时，的长度最大， ， 此时点的坐标为， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ， 的最小值为； （3）解：，， ，， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为； 如图所示，过点作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 轴，即， ， 同理可得直线解析式为， 可设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项08 二次函数综合压轴（二） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近年辽宁新中考考情，二次函数综合是解答题最后一个压轴题的必考题型，分值约13分左右． 命题趋势：解答题：二次函数综合稳定在倒数第一个压轴题的位置进行考察，考察方向较多，题型变化多样，包括但不限于传统的二次函数代几综合问题，如线段周长关系或最值问题面积关系或最值问题、三角形存在性问题、四边形存在性问题、角度关系问题、相似三角形问题等，也包括近2年新中考后出现的新考向，如二次函数中结合新定义问题、根据公共点个数求参数、根据最值情况求参数、函数图象平移与翻折问题等。整体难度较大，考查综合能力的运用，计算量也较大。 2026年预测：解答题会继续在倒数第一题的位置单独命题二次函数综合题，形式稳定。新定义型问题热度只增不减，平移与翻折结合仍是考查重点，最值求参问题也可能继续出题；线段与面积相关问题作为传统考向不容忽视，三角形与四边形存在性问题、相似三角形问题、角度问题等可能会融合到新情境中结合考查。整体综合性更高，对计算准确率要求更高，分类讨论情况要准确。 备考核心：读题准确，能从复杂的题目描述中抽象出问题模型，对新定义理解正确，对图形是否为多种情况进行细致分类把控，计算准确，注意对应情况解的合理性，书写步骤规范。 题型01 二次函数与线段相关问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 研考点·通技法 1. 坐标表示，竖直线段：通常求纵坐标之差（y上- y下）表示竖直线段长度，转化为关于横坐标的二次函数。 2. 铅垂法，面积转化：求斜线段或三角形面积最值时，常作铅垂高，利用“水平宽 × 铅垂高 / 2”将问题转化为竖直线段最值。 3. 注意范围，顶点取舍：求最值时，先确认自变量（如x）的取值范围。若顶点横坐标在范围内，则在顶点处取最值；否则在端点处取得。 4. 分类讨论防漏解：动点位置变化（如在线段上或在抛物线上）会导致表达式不同，需分段建立函数关系，分别求最值后比较得出最终结果。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁大连·一模）如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，，，抛物线上点D的横坐标为1，点E在线段上，且，连接，，． (1)求a，b的值及线段的长； (2)求证：点A在直线上； (3)射线与抛物线相交于点F，点M，N分别在线段和线段上，它们的横坐标分别为，，且，点P，Q在抛物线上，且轴，直线与线段相交于点G，若，求与的数量关系，并直接写出的取值范围． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为， ①求的取值范围； ②当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点， ，与y轴交于点C，连接，，点P为第三象限抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于点 M，过点 P作 交x轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图1，求 的最大值及此时点 P的坐标． (3)如图2，当点M在抛物线的对称轴上时，若点 Q，E分别在对称轴和抛物线上，且 ，，求点E的坐标． 题型02 二次函数与面积相关问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 研考点·通技法 1. 铅垂法求面积：过动点作铅垂线，与定边所在直线相交，将三角形面积表示为×水平宽×铅垂高。铅垂高通常为关于横坐标的二次函数，求其顶点最值。 2. 割补法转化：对于四边形或不规则图形，用坐标轴或已知点分割为几个三角形或梯形，分别表示面积后相加，得到关于动点坐标的二次函数。 3. 利用平行线等积变形：求面积最大的动点位置，可作与定边平行的直线，当该直线与抛物线相切时面积最大。联立直线与抛物线，令判别式为零求切点坐标。注意面积最小值常为0（点重合时）。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 2．（2026·辽宁丹东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点，在该抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)当时，求的值； (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，以，为边构造矩形，若矩形的边（不含矩形的顶点）与抛物线有交点时，交点记为，当与矩形的面积之比为时，求出此时的值； (4)点是点关于抛物线对称轴的对称点，将抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象W只有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过坐标原点O，与x轴正半轴相交于点A，直线与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），点M的坐标为，点N的横坐标为9，点P在线段上（不含点M，N），连接并延长，交抛物线于点B、设点P的横坐标为m． (1)求点N的纵坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (4)若，连接并延长，交抛物线于点C，作点B关于点P的对称点，点C关于点P的对称点，连接．当线段与线段有公共点时，请直接写出m的取值范围． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式． (2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值． (3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 题型03 二次函数与三角形存在性问题 析典例·建模型 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数． 如图，平面直角坐标系中，点，点 (1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式； (2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式； (3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数． ①求的解析式； ②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围； ③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标． 研考点·通技法 1. 分类讨论边或角：等腰三角形分“两腰相等”三种情况（AB=AC, BA=BC, CA=CB），列方程求解；直角三角形分“直角顶点”三种情况，用勾股定理或斜率积为-1（K1·K2=-1）列式。 2. 设点坐标表示边长：设动点坐标（如 (t, at2+bt+c) \)），利用两点间距离公式表示三边长度。注意根号下计算复杂时可平方后列方程。 3. 验证与取舍：解出的点需检验是否在抛物线上、是否与已知点重合、能否构成三角形（三点不共线）。等腰三角形还需考虑顶角是否为钝角。优先用几何性质（如中垂线、圆）简化计算。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与抛物线交于点B，过点B作x轴的平行线分别交两条抛物线于点A、C． (1)求a，m的值和点C的坐标． (2)已知F为直线上方抛物线上一点，连接．当为直角三角形时，求点F的坐标． (3)抛物线为抛物线关于抛物线的对称轴对称的抛物线，P为抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点Q，H． ①求出抛物线的表达式； ②当P，Q，H其中一点为其他两点连接线段的中点时，求出点P的坐标． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 3．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·辽宁本溪·一模）定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． (1)如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； (2)如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； (3)若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 题型04 二次函数与四边形存在性问题 析典例·建模型 1．1．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）． ①求抛物线的表达式； ②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标． 研考点·通技法 1. 分类讨论对角线：已知三个点或两个点求平行四边形，利用对角线互相平分（中点坐标公式），设未知点(x,y)，按哪条线段为对角线分三种情况列方程组。 2. 对边平行且相等：已知两个定点A,B，求C,D使四边形为平行四边形，可平移法：若AB为一边，则C = D + (B-A)或D = C + (B-A)；若AB为对角线，则中点重合。 3. 矩形菱形加条件：在平行四边形基础上，矩形加邻边垂直（向量点积为0），菱形加邻边相等（距离公式）。设动点坐标，联立方程求解，注意检验顶点是否在抛物线上且不重合。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． (1)如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． (2)若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． (3)如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·辽宁鞍山·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为． ①求与m之间的函数关系式； ②若四边形为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 4．（2025·辽宁锦州·三模）如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足，轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图②，已知抛物线的顶点为点，其中，直线与抛物线，对称轴右侧的曲线分别交于点，，且，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点，重合，求的值和点的坐标． 题型05 二次函数与角度综合问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 研考点·通技法 1. 构造直角三角形：若已知特殊角（30°、45°、60°），可作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系（如1:√3:2）建立方程。45°常与等腰直角三角形、K型全等结合。 2. 利用三角函数：设动点坐标，通过两直线夹角公式tan = 列方程。 3. 构造圆与相似：90°角可视为直径所对圆周角，利用圆方程求交点；一般角度可构造相似三角形，将角度条件转化为边比例关系。注意多解（如角的两边可交换位置）。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2026·辽宁锦州·一模）如图，抛物线：交轴于点，，交轴于点，直线与抛物线的交点的横坐标为4． (1)求抛物线的表达式； (2)点和是抛物线上的两点，求的取值范围； (3)抛物线：（）的顶点为，与抛物线在轴右侧的交点为，连接交于点．当时，求的面积． 4．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； (3)如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $