专题01 平面向量及其应用（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学下学期

**基本信息** 平面向量专题汇编，覆盖6大核心考点，精选陕晋宁青等地期末真题，基础题与综合题梯度分布，适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|28题|平面向量概念（正三角形中心向量）、数量积（夹角计算）、正弦定理（解三角形）|基础概念辨析与简单应用，如向量共线条件判断| |多选|6题|单位向量性质、向量坐标运算|多角度考查知识关联性，如向量垂直与模的关系| |填空|14题|共线向量参数、投影向量模|聚焦易错点，如非共线向量线性表示| |解答题|10题|向量三点共线证明、三角与向量综合（完美坐标系）|跨考点综合应用，如赵爽弦图向量表示、物理力的合成|

专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点01平面向量的概念 考点02平面向量的加减及数乘运算 考点03平面向量的数量积 考点04平面向量的基本定理和坐标表示 考点05 平面向量在几何和物理中的应用 考点06 正弦定理和余弦定理 ( 考点01 平面向量的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西省宝鸡市·课后作业）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 2．（24-25高一下·山西太原·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 3．（24-25高一下·山西·期末）下列关于向量的概念叙述正确的是（    ） A．方向相同或相反的向量是共线向量 B．若，，则 C．若和都是单位向量，则 D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 4．（24-25高一下·山西阳泉市·期末）已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 6．（24-25高一下·宁夏六盘山·期末）已知,且，则（    ） A．4 B．3 C． D． 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）（共线向量的概念）下列命题中，正确的是（    ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 二、填空题 8．（24-25高一下·青海省西宁市大通县·期末）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 9．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、，则与同向的单位向量是__________． ( 考点02 平面向量的加减法及数乘运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西朔州·期末）已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·青海海南·期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·陕西省榆林市·期末）在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则______． 四、解答题 11．（24-25高一下·江西省南昌市·期末）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 12．（24-25高一下·山西省怀仁县·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. ( 考点0 3 平面向量的数量积 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模为 D．在上的投影向量为 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 5．（24-25高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 6．（24-25高一下·青海·期末）已知向量满足，且，则的夹角的余弦值为______． 7．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 8．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为_______． 9．（24-25高一下·宁夏六盘山·期末）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 10．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为_________. 四、解答题 11．（24-25高一下·宁夏·期末）已知，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若向量与共线，求实数λ． 12．（24-25高一下·山西·期末）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.    (1)已知向量的“完美坐标”分别为，，求； (2)已知向量的“完美坐标”分别为，，证明：； (3)已知向量的“完美坐标”分别为，，设函数，求的值域. ( 考点0 4 平面向量的基本定理和坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知向量，，且，则（    ）． A． B． C． D．3 2．（24-25高一下·青海海东·期末）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C．3 D．2 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．（24-25高一下·青海玉树·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 6．（24-25高一下·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 7．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影数量是 三、填空题 9．（24-25高一下·山西忻州·期末）设向量，若，则实数___________． 10．（24-25高一下·山西·期末）在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为________. 四、解答题 11．（24-25高一下·宁夏固原·期末）设向量，． (1)求； (2)求向量，的夹角. 12．（24-25高一下·陕西·期末）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若是直角三角形，求的值． ( 考点 05 平面向量在几何和物理中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 3．（24-25高一下·山西太原·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山西阳泉·期末）如图，是单位圆的直径，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高一下·宁夏贺兰县·期末）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 二、多选题 7．（24-25高一下·陕西商洛·期末）（多选）关于向量的描述，下列说法错误的是（    ） A． B．向量与向量的单位向量方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则力对该物体所做的功为 三、填空题 8．（24-25高一下·山西·期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 9．（24-25高一下·宁夏·月考）已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为__________N． 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. ( 考点 06 正弦定理和余弦定理 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．（24-25高一下·山西晋中·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 3．（24-25高一下·宁夏·期末）下列命题中不正确的是（   ）． A．在中，，则 B．在锐角中，恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 4．（24-25高一下·青海海南·期末）在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·青海海南·期末）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知函数的一个零点为． (1)求a的值及的最小正周期； (2)在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，且．求的周长． 10．（24-25高一下·青海海南·期末）在中，角的对边分别是，向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 11．（24-25高一下·陕西铜川·期末）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 12．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 13．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点01平面向量的概念 考点02平面向量的加减及数乘运算 考点03平面向量的数量积 考点04平面向量的基本定理和坐标表示 考点05 平面向量在几何和物理中的应用 考点06 正弦定理和余弦定理 ( 考点01 平面向量的概念 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西省宝鸡市·课后作业）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2．（24-25高一下·山西太原·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项. 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·山西·期末）下列关于向量的概念叙述正确的是（    ） A．方向相同或相反的向量是共线向量 B．若，，则 C．若和都是单位向量，则 D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 【答案】A 【分析】由向量共线的定义，可知A正确；当时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可. 【详解】由向量共线的定义可知，A正确； 当时，可知B不正确； 单位向量，方向不确定，故C不正确； 向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目. 4．（24-25高一下·山西阳泉市·期末）已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的性质计算即可. 【详解】因为，所以， ，则 解得. 故选：A. 6．（24-25高一下·宁夏六盘山·期末）已知,且，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标形式可求，求出的坐标后可求. 【详解】因为，故，所以， 故，故. 故选C. 【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则. 7．（24-25高一下·陕西西安·期末）（共线向量的概念）下列命题中，正确的是（    ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A：用零向量验证；对于B：用零向量验证；对于C：用方向相反的向量验证；对于D：利用向量相等的条件证明. 【详解】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有∥，知A错； 取，则对于任意向量，都有∥，∥，但得不到∥，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错； 由两向量相等的概念知D正确． 故选：D． 二、填空题 8．（24-25高一下·青海省西宁市大通县·期末）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 9．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、，则与同向的单位向量是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出，再利用单位向量的定义即可求解. 【详解】由在轴、轴正方向上的投影分别是、，可得， 所以与同向的单位向量为， 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的坐标表示以及单位向量的定义，属于基础题. ( 考点02 平面向量的加减法及数乘运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·山西朔州·期末）已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算可得，可得是的重心，可得结论. 【详解】设D为BC的中点， 则 ， 则， 所以是的重心，所以． 故选：A. 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 4．（24-25高一上·青海海南·期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得出，结合平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】因为在“赵爽弦图”中，若， 所以 ， 所以，所以，所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式计算即得. 【详解】由向量与平行，得，而向量不平行， 于是，所以. 故选：A 6．（24-25高一下·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 7．（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 8．（24-25高一下·陕西省榆林市·期末）在中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：根据向量的加法的三角形法则有，故B正确； 对于C：根据向量的减法有，故C错误， 对于D：，故D正确； 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量线性运算逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 三、填空题 10．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则______． 【答案】 【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可； 【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以， 所以， 所以 ，，故． 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高一下·江西省南昌市·期末）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【详解】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 12．（24-25高一下·山西省怀仁县·期末）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. ( 考点0 3 平面向量的数量积 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由向量的垂直可得，进而再由夹角公式可得. 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用空间向量的数量积公式结合模长公式计算夹角余弦公式求解. 【详解】因为是空间单位向量，所以， 因为，所以，所以，所以， 设与的夹角为，， 所以. 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高一下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模为 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据模长公式即可求解A，根据夹角公式即可求解B，根据投影以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B, ，故B错误， 对于C , 在上的投影向量的模为，故C正确， 对于D, 在上的投影向量为，故D正确， 故选：ACD 4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积公式和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，可能是，，不一定是或，故A错误； 对于B，若，则，，，反之，若，则，可能是，或或，且零向量和任何向量垂直，故，B正确； 对于C，若，则，可能是，不一定是，故命题“若，则”是假命题，C正确； 对于D，是数量，则表示与共线的向量，是数量，则表示与共线的向量，与不一定共线，则不成立，故D错误. 故选：BC. 5．（24-25高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，. 【详解】对于，若，则，故不正确； 对于，设，的夹角为，所以， 若，则，所以，即，同向， 所以，故正确； 对于，若，则， 所以， 因为，，所以，故正确； 对于，设，的夹角为， 若，则， 所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 三、填空题 6．（24-25高一下·青海·期末）已知向量满足，且，则的夹角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】设向量的夹角为，利用向量的数量积运算法则可得，求解即可. 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以，解得． 故答案为：. 7．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则__________. 【答案】2 【分析】根据向量垂直可得其数量积为零，利用数量积运算的分配律可得，再利用数量积求向量的模可得结果. 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 8．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为_______． 【答案】/ 【分析】根据平面向量的夹角公式即可求出． 【详解】设与的夹角为，由夹角余弦公式，解得． 故答案为：． 9．（24-25高一下·宁夏六盘山·期末）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 【答案】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解. 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为_________. 【答案】2 【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【详解】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 四、解答题 11．（24-25高一下·宁夏·期末）已知，，与的夹角为． (1)求的值； (2)若向量与共线，求实数λ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以； （2）∵与共线， ∴，又与不共线， ∴，解得或， ∴. 12．（24-25高一下·山西·期末）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.    (1)已知向量的“完美坐标”分别为，，求； (2)已知向量的“完美坐标”分别为，，证明：； (3)已知向量的“完美坐标”分别为，，设函数，求的值域. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量的线性表示及模长公式求解即可； （2）根据向量数量积的运算律计算，并化简即可证明； （3）由（2）得，令，化简得到即可得到值域. 【详解】（1）因为向量的“完美坐标”分别为，，所以，， 所以， 又，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以，， 所以. （2）证明：由（1）知， 所以 ，即. （3）因为向量的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. ( 考点0 4 平面向量的基本定理和坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知向量，，且，则（    ）． A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以满足，符合条件. 故选：C. 2．（24-25高一下·青海海东·期末）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用坐标求出模. 【详解】向量，，则， 又与垂直，则，解得，， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A、C，因为，且， 所以，解得或， 所以“”不是“”的必要条件，故A错误； 所以“”是“”的充分条件，故C正确； 对于B、D，因为，所以，解得或， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·青海玉树·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】先求出，根据向量垂直的坐标表示，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又，所以， 即，解得. 故选：D. 5．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 6．（24-25高一下·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 7．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 二、多选题 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影数量是 【答案】ABD 【分析】由单位向量的定义判断A；由向量模长的坐标运算判断B；根据基底的性质判断C；由投影数量的求法判断D. 【详解】由，是与同向的单位向量，则，A错； 由，则，B错； 由，则不共线，故可作为一组基底，C对； 向量在向量上的投影数量，D错. 故选：ABD 三、填空题 9．（24-25高一下·山西忻州·期末）设向量，若，则实数___________． 【答案】 【分析】根据“若，则”，解出的值； 【详解】，， 则实数， 解得， 故答案为：. 10．（24-25高一下·山西·期末）在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为________. 【答案】 【分析】以为平面内一组基底表示，再由向量数量积运算律计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高一下·宁夏固原·期末）设向量，． (1)求； (2)求向量，的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求得结果. （2）利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）由向量，，得. （2），则， 而，所以. 12．（24-25高一下·陕西·期末）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若是直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）求出向量，根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）若，，三点不能构成三角形，则， 又，，所以，解得. （2）因为，，所以， 若，则，解得； 若，则，解得或； 若，则，解得. 综上，若是直角三角形，的值为. ( 考点 05 平面向量在几何和物理中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 【答案】A 【分析】因为合力与的夹角为，用两向量夹角的余弦公式列式求解 【详解】因为两个力，的夹角为，所以， 又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为， 所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高一下·山西太原·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 4．（24-25高一下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长. 【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ， 因为，所以，故． 以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 使的起点与O重合，终点在第一象限，则，， 设，则，故， 所以，故． 故选：B 5．（24-25高一下·山西阳泉·期末）如图，是单位圆的直径，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，由， 得，所以可得答案. 【详解】连接，由已知得， 因为是直径，所以， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的性质、向量在几何中的应用和数量积的运算，由得是解题的关键点，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 6．（24-25高一下·宁夏贺兰县·期末）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用向量分解及直角三角形的性质得，根据余弦函数性质即可判断A；举反例判断B；将角的值代入计算判断CD. 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 二、多选题 7．（24-25高一下·陕西商洛·期末）（多选）关于向量的描述，下列说法错误的是（    ） A． B．向量与向量的单位向量方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则力对该物体所做的功为 【答案】BC 【分析】由向量的相关概念可判断ABC，由向量的数量积可判断D. 【详解】选项A，相反向量模相等，故，所以A选项正确； 选项B，根据单位向量的概念可知： 向量的单位向量为：，向量的单位向量为：， 所以向量与向量的单位向量方向相反，不可能相同，故B选项不正确； 选项C，零向量大小为0，方向任意，故C选项不正确； 选项D，由， 所以力对该物体所做的功为： ，故D选项正确. 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高一下·山西·期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 【答案】1 【分析】根据力的平衡，可得向量的和为 ，由向量的模长即可求解力的大小. 【详解】，，三个力处于平衡状态，即 则 故答案为：1 9．（24-25高一下·宁夏·月考）已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为__________N． 【答案】 【分析】根据向量夹角公式列方程，结合数量积的运算律化简可求的大小. 【详解】因为，的夹角为直角，它们的合力， 所以，， 所以，， 因为与的夹角为， 所以，又 所以. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1）. （2）， ，. ( 考点 06 正弦定理和余弦定理 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，则，，则A =（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】运用正弦定理可得，代入已知可得，再勾股定理的逆定理求得角. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 又，则，显然，所以. 故选：C 2．（24-25高一下·山西晋中·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·宁夏·期末）下列命题中不正确的是（   ）． A．在中，，则 B．在锐角中，恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 4．（24-25高一下·青海海南·期末）在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形，结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设营地为点，小时后，队员甲所在地为点，队员乙所在地为点， 可得千米，千米，且， 由余弦定理得， 则千米. 故选：B. 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一下·青海海南·期末）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，可得，，和，四种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】已知两边及一边对角，由正弦定理解三角形即可. 【详解】A项，因为， 所以由正弦定理得， 则，所以有唯一解，故A错误； B项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解.    法二，因为， 由正弦定理得， 则有两解，或. 当时，，，，有解，满足题意； 当时，，，，有解，满足题意； 所以有两解，故B正确； C项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解.    法二，因为， 由正弦定理得，即， 因为， 则有两解，或. 当时，，，有解，满足题意； 当时，，，有解，满足题意； 所以有两解，故C正确； D项，因为， 所以由正弦定理得， 由于，故， 即有唯一解，且，有解，所以只有一解，故D错误； 故选：BC. 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式对每个选项进行化简判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由正弦定理，可得或或，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得 ， 由复合函数的性质可知在和上单调递增，且当时，，当时，， 故，故D正确. 故选：ACD 三、解答题 9．（24-25高一下·宁夏银川·期末）已知函数的一个零点为． (1)求a的值及的最小正周期； (2)在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，且．求的周长． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由函数零点求出，利用三角恒等变换化简得，利用周期公式即可求解； （2）由，得，利用的面积为得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）由题意：令， 化简得，解得． 故， 则的最小正周期为； （2）由（1）有：，, 由于，则，故，得， 所以，解得， 在中，由余弦定理可得 ， ∴， ∴或（舍去）， ∴的周长为． 10．（24-25高一下·青海海南·期末）在中，角的对边分别是，向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角； （2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解； （3）有正弦定理可得，再利用和差及辅助角公式化解，结合锐角三角形确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，，所以. 因为，所以. （2）因为，所以， 所以， 所以， 因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为. （3）由正弦定理可得， 则， 故， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 则，即的取值范围为. 11．（24-25高一下·陕西铜川·期末）在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简题中的等式，再结合锐角三角形的性质得出，进而证明结论： （2）利用正弦定理求出B． 【详解】（1）证明：，， 由余弦定理得，即， ，是锐角三角形，． （2）设的外接圆半径为R，则， 由（1）， 由正弦定理得，即， 是锐角三角形，． 12．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 13．（24-25高一下·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $