5.3分式方程 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

本讲义聚焦初中数学分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的定义（分母含未知数）、解法（转化思想，四步：去分母、解整式方程、验根、写结论）、增根与无解的区别（增根是整式方程解但使分母为0，无解含整式方程无解或解为增根）及列方程解应用题步骤（审设列解验答），构建递进式学习支架。 该资料以10类题型为核心，每题型配核心解题技巧与变式训练，强调转化思想与验根严谨性，培养运算能力与模型意识。如解分式方程强调验根步骤，列方程解决行程、工程问题引导学生用数学语言表达等量关系，课中辅助教师系统授课，课后通过过关检测助学生查漏补缺。

5.3分式方程 （4知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 解分式方程】 2 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 3 【题型4 分式方程无解问题】 3 【题型5 列分式方程】 4 【题型6 分式方程的行程问题】 5 【题型7 分式方程的工程问题】 6 【题型8 分式方程的经济问题】 7 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 8 【题型10 分式方程的其他实际问题】 9 1. 知识目标：理解分式方程的定义，明确分式方程与整式方程的区别；掌握分式方程的标准解法，理解分式方程增根、无解的本质原因；熟练掌握分式方程含参求值、无解类题型解题逻辑。 2. 能力目标：能准确辨析分式方程，规范完成分式方程求解与验根；能从行程、工程、经济、和差倍分等实际问题中提取等量关系，列出分式方程求解，提升数学建模与运算求解能力。 3. 素养目标：养成解方程必验根的严谨解题习惯，能区分分式方程增根与无解的差异，灵活解决含参分式方程问题，掌握用分式方程解决实际应用题的通用思路。03 知识•梳理 知识点1：分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定三要素：①是等式（方程）；②含有分母；③分母中含有未知数（关键判定条件）。 易错提醒：区分整式方程与分式方程，只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关；常数分母的方程为整式方程。 知识点2：分式方程的解法（核心步骤） 基本思想：转化思想，将分式方程转化为整式方程求解。 标准四步解法： 1. 去分母：找出方程中所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2. 解整式方程：按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； 3. 检验（必不可少步骤）：将整式方程的解代入最简公分母；若公分母≠0，该解为分式方程的解；若公分母=0，该解为增根，原分式方程无解； 4. 写结论：根据检验结果，写出方程的解或无解。 知识点3：增根与无解的区别 1. 增根：分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但该解使原分式方程分母为0，不满足原方程，即为增根；增根是整式方程的解，不是分式方程的解。 2. 分式方程无解：包含两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根。 知识点4：列分式方程解应用题通用步骤 审（审题找等量关系）→设（设未知数，优先设所求量）→列（列分式方程）→解（解整式方程）→验（双重检验：检验是否为方程的解、是否符合实际意义）→答（规范作答，带单位）04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 核心解题技巧 1. 唯一判定标准：方程原始形式分母含未知数，与分子是否含未知数无关；2. 常数分母为整式方程，化简后分母消失，不改变原始方程类型；3. 参数题型需保证分母含有未知数，杜绝分母为常数的情况。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【变式3】．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【题型2 解分式方程】 核心解题技巧 分母为多项式先因式分解，再寻找最简公分母；2. 去分母时所有项（含常数项）全部乘公分母，坚决不漏乘；3. 分母互为相反数时统一格式，有效规避符号错误；4. 解方程后必须代入公分母验根，严格剔除增根。 【典例2】．解分式方程． 【变式1】．解下列方程： (1) (2) 【变式2】．解方程 (1) (2) 【变式3】．解方程：． 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 核心解题技巧 先将分式方程化为整式方程，用参数表示出方程的解；2. 根据解的正负、整数、定值等条件列出等式或不等式；3. 强制排除增根所对应的参数值；4. 整数解题型需范围筛选+增根双重验证。 【典例3】．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【变式1】．李老师在多媒体上展示了一个关于的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；丙：当此方程的解是非负数时，的取值范围是．下列判断正确的是（   ）． A．甲、乙对，丙错 B．甲、丙对，乙错 C．乙、丙对，甲错 D．甲、乙、丙都对 【变式2】．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【变式3】．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【题型4 分式方程无解问题】 核心解题技巧 整式方程无解：整式方程为 ，满足 ，原分式方程无解；2. 整式方程有解但全为增根：将增根代入整式方程，求出对应参数；3. 汇总所有参数值，牢记核心考点：无解≠有增根。 【典例4】．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【变式3】．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【题型5 列分式方程】 核心解题技巧 1. 抓取题干“多、少、倍、比、等于”关键词，找准等量关系；2. 含分数、比值、平均量的应用题，优先列分式方程；3. 优先设单位量、单一未知量为未知数，简化列式；4. 列式后自查，确保方程分母含有未知数。 【典例5】．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【变式2】．摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 (1)表中的_____，_____． (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． (3)若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 【变式3】．“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【题型6 分式方程的行程问题】 核心解题技巧 1. 依托 公式，以时间差、速度差为核心等量关系；2. 万能列式模板：原时间−实际时间=题干时间差；3. 优先设速度、时间变化量为未知数，简化运算；4. 全程统一单位，方程的解必须为正数，符合实际意义。 【典例6】．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【变式2】．为迎接国庆节，某校组织学生开展“重走红色足迹”研学活动．甲、乙两支队伍从学校出发，前往距离学校6千米的红色教育基地．已知甲队的步行速度是乙队的倍，乙队提前15分钟出发，结果两队同时到达基地．求甲队的步行速度． 【变式3】．在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． (1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． (2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 【题型7 分式方程的工程问题】 核心解题技巧 1. 默认工作总量为单位1，工作效率=；2. 多人合作总效率=各单人工作效率之和；3. 核心等量：已完成工作量+剩余工作量=1；4. 题干有具体工作量时，无需设单位1，直接计算即可。 【典例7】．近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【变式2】．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【变式3】．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【题型8 分式方程的经济问题】 核心解题技巧 1. 依托总价=单价×数量公式，以总价不变、数量差、单价差列式；2. 打折、涨跌价题型，根据商品购买数量变化构建方程；3. 优先设商品原价、原单价为未知数；4. 求解后检验：单价、数量为正数，购买数量为正整数。 【典例8】．年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【变式3】．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 核心解题技巧 1. 抓取和、差、倍、分、占比关键词，拆解数量关系；2. 根据“A是B的几分之几、A比B多/少几分之几”列分式等式；3. 设单位“1”标准量为未知数，简化列式运算；4. 区分“多几分之几”与“是几分之几”，避免列式混淆错误。 【典例9】．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【变式3】．为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 核心解题技巧 1. 浓度问题：溶质总量不变，依托浓度公式建模列式；2. 平均数问题：根据新旧平均数差值搭建等量关系；3. 通用思路：剥离无关条件，寻找题干不变量列方程；4. 双重检验：保证方程解有效，且符合生活实际逻辑。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【变式2】．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【变式3】．在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 05 过关•检测 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 4．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 6．某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3420元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 8．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 9．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 10．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 11．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 12．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 13．若关于x的分式方程 无解，则________ 14．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 15．解方程：． 16．已知关于的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解． (2)小华认为时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 17．已知分式，， (1)分式的值能否为0？若能，求出的值；若不能，请通过化简分式，说明理由． (2)请化简分式和，且当时，比较分式与的大小． 18．为培养学生的阅读能力，某校购进甲、乙两种书籍，分别花费元和元，已知甲种书籍的单价是乙种书籍单价的倍，并且订购的甲种书籍的数量比乙种书籍多本．求该校购买的两种书籍的单价． 19．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 20．2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 21．某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元． (1)购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？ (2)该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？ 22．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 23．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3分式方程 （4知识点+10题型+过关检测） 【题型1 分式方程的定义】 2 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 6 【题型4 分式方程无解问题】 9 【题型5 列分式方程】 11 【题型6 分式方程的行程问题】 13 【题型7 分式方程的工程问题】 16 【题型8 分式方程的经济问题】 18 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 21 【题型10 分式方程的其他实际问题】 22 1. 知识目标：理解分式方程的定义，明确分式方程与整式方程的区别；掌握分式方程的标准解法，理解分式方程增根、无解的本质原因；熟练掌握分式方程含参求值、无解类题型解题逻辑。 2. 能力目标：能准确辨析分式方程，规范完成分式方程求解与验根；能从行程、工程、经济、和差倍分等实际问题中提取等量关系，列出分式方程求解，提升数学建模与运算求解能力。 3. 素养目标：养成解方程必验根的严谨解题习惯，能区分分式方程增根与无解的差异，灵活解决含参分式方程问题，掌握用分式方程解决实际应用题的通用思路。03 知识•梳理 知识点1：分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 核心判定三要素：①是等式（方程）；②含有分母；③分母中含有未知数（关键判定条件）。 易错提醒：区分整式方程与分式方程，只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关；常数分母的方程为整式方程。 知识点2：分式方程的解法（核心步骤） 基本思想：转化思想，将分式方程转化为整式方程求解。 标准四步解法： 1. 去分母：找出方程中所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2. 解整式方程：按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； 3. 检验（必不可少步骤）：将整式方程的解代入最简公分母；若公分母≠0，该解为分式方程的解；若公分母=0，该解为增根，原分式方程无解； 4. 写结论：根据检验结果，写出方程的解或无解。 知识点3：增根与无解的区别 1. 增根：分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但该解使原分式方程分母为0，不满足原方程，即为增根；增根是整式方程的解，不是分式方程的解。 2. 分式方程无解：包含两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根。 知识点4：列分式方程解应用题通用步骤 审（审题找等量关系）→设（设未知数，优先设所求量）→列（列分式方程）→解（解整式方程）→验（双重检验：检验是否为方程的解、是否符合实际意义）→答（规范作答，带单位）04 题型•汇总 【题型1 分式方程的定义】 核心解题技巧 1. 唯一判定标准：方程原始形式分母含未知数，与分子是否含未知数无关；2. 常数分母为整式方程，化简后分母消失，不改变原始方程类型；3. 参数题型需保证分母含有未知数，杜绝分母为常数的情况。 【典例1】．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式1】．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【变式2】．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【变式3】．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2 解分式方程】 核心解题技巧 分母为多项式先因式分解，再寻找最简公分母；2. 去分母时所有项（含常数项）全部乘公分母，坚决不漏乘；3. 分母互为相反数时统一格式，有效规避符号错误；4. 解方程后必须代入公分母验根，严格剔除增根。 【典例2】．解分式方程． 【答案】 【详解】解：去分母可得：， 去括号得： ， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验：时，， 是原方程的解． 【变式1】．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【变式2】．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 【变式3】．解方程：． 【答案】 【分析】先对分母因式分解，确定最简公分母，然后去分母，将原式化为整式方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 当时，，，， 故是原方程的解． 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 核心解题技巧 先将分式方程化为整式方程，用参数表示出方程的解；2. 根据解的正负、整数、定值等条件列出等式或不等式；3. 强制排除增根所对应的参数值；4. 整数解题型需范围筛选+增根双重验证。 【典例3】．若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 【变式1】．李老师在多媒体上展示了一个关于的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当时，此方程的解为；乙：若此方程有增根，则；丙：当此方程的解是非负数时，的取值范围是．下列判断正确的是（   ）． A．甲、乙对，丙错 B．甲、丙对，乙错 C．乙、丙对，甲错 D．甲、乙、丙都对 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再分别验证甲、乙、丙的结论即可． 【详解】解：原方程整理得：， 方程两边同乘得：， 展开整理得：， ， 分式方程分母不为， ，即，得， 验证甲：当时，，满足，结论正确； 验证乙：若方程有增根，则增根为，代入得，解得，结论正确； 验证丙：若方程的解为非负数，则，即，解得，又， 的取值范围是且，丙的结论错误； 甲、乙对，丙错，故选A． 【变式2】．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【答案】 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 【变式3】．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 【题型4 分式方程无解问题】 核心解题技巧 整式方程无解：整式方程为 ，满足 ，原分式方程无解；2. 整式方程有解但全为增根：将增根代入整式方程，求出对应参数；3. 汇总所有参数值，牢记核心考点：无解≠有增根。 【典例4】．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 【变式1】．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 【变式2】．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【变式3】．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 【题型5 列分式方程】 核心解题技巧 1. 抓取题干“多、少、倍、比、等于”关键词，找准等量关系；2. 含分数、比值、平均量的应用题，优先列分式方程；3. 优先设单位量、单一未知量为未知数，简化列式；4. 列式后自查，确保方程分母含有未知数。 【典例5】．某工厂原计划生产120万个零件，为了按时交货，实际每天产量比原计划提高了，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万个零件，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工作时间=总工作量÷工作效率，分别求出原计划和实际的生产天数，再根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设原计划每天生产万个零件，总工作量为120万个， ∴原计划完成任务的天数为． ∵实际每天产量比原计划提高了， ∴实际每天生产零件数为万个，实际完成任务的天数为． ∵实际比原计划提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， ∴列方程得． 【变式1】．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 【变式2】．摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 (1)表中的_____，_____． (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． (3)若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 【答案】(1)0.58，122 (2)0.6 (3)15个 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）用频率估计概率的方法求解； （3）根据利用频率估计概率，设一共有个球，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）解：由表格可得，“摸到白球”的概率的估计值是0.6； （3）解：设一共有个球， 由题意得，， 解得， 经检验：是方程的解， ∴估计一共有个球． 【变式3】．“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 【题型6 分式方程的行程问题】 核心解题技巧 1. 依托 公式，以时间差、速度差为核心等量关系；2. 万能列式模板：原时间−实际时间=题干时间差；3. 优先设速度、时间变化量为未知数，简化运算；4. 全程统一单位，方程的解必须为正数，符合实际意义。 【典例6】．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再结合快马速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天， ∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵速度路程时间，总路程为里， ∴ 慢马速度为，快马速度为， ∵ 快马速度是慢马的倍， ∴． 【变式1】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 【变式2】．为迎接国庆节，某校组织学生开展“重走红色足迹”研学活动．甲、乙两支队伍从学校出发，前往距离学校6千米的红色教育基地．已知甲队的步行速度是乙队的倍，乙队提前15分钟出发，结果两队同时到达基地．求甲队的步行速度． 【答案】 【分析】设乙队的步行速度为，则甲队的步行速度为，根据题意，列出方程，即可得到答案． 【详解】解：设乙队的步行速度为，则甲队的步行速度为， 根据题意，列出方程：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； 则甲队的步行速度为． 【变式3】．在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． (1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． (2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 【答案】(1)①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为 (2)，该长途汽车在原国道上行驶的时间为 【分析】（1）本题是分式方程的应用问题，解题核心是根据 “路程、速度、时间” 的关系，用含的代数式表示各量，再根据时间关系列方程求解； （2）本题同样考查分式方程的应用，解题思路是设原国道行驶时间为，用y表示出高速公路行驶时间、速度，再根据速度关系列方程求解． 【详解】（1）解：设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，则长途汽车在高速公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的时间为，根据题意列出方程： 解得 经检验，是原分式方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的速度为； （2）公路长度：国道，高速． 则可得， 解得 经检验，是原方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的时间为． 【点睛】本题是分式方程在行程问题中的应用，解题的核心是抓住 “路程、速度、时间” 三者的关系，根据题目中的等量关系列方程求解． 【题型7 分式方程的工程问题】 核心解题技巧 1. 默认工作总量为单位1，工作效率=；2. 多人合作总效率=各单人工作效率之和；3. 核心等量：已完成工作量+剩余工作量=1；4. 题干有具体工作量时，无需设单位1，直接计算即可。 【典例7】．近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 【变式1】．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 【变式2】．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 【变式3】．江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【题型8 分式方程的经济问题】 核心解题技巧 1. 依托总价=单价×数量公式，以总价不变、数量差、单价差列式；2. 打折、涨跌价题型，根据商品购买数量变化构建方程；3. 优先设商品原价、原单价为未知数；4. 求解后检验：单价、数量为正数，购买数量为正整数。 【典例8】．年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该档门票原价为元， 根据题意得， 故选：A． 【变式1】．李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 【变式2】．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 【变式3】．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 核心解题技巧 1. 抓取和、差、倍、分、占比关键词，拆解数量关系；2. 根据“A是B的几分之几、A比B多/少几分之几”列分式等式；3. 设单位“1”标准量为未知数，简化列式运算；4. 区分“多几分之几”与“是几分之几”，避免列式混淆错误。 【典例9】．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 【变式1】．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件， ∴ 乙机器人每天做 个零件. ∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， ∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ． 【变式2】．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 【变式3】．为了美化校园，学校计划购进一批月季和桂花树进行种植，已知桂花树的单价是月季的2倍，用600元购买桂花树的数量比用400元购买月季的数量少10棵，求桂花树和月季的单价． 【答案】月季的单价为10元，桂花树的单价为20元 【分析】设月季的单价为元，则桂花树的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设月季的单价为元，则桂花树的单价为元， 由题意得：，解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求，即． 答：月季的单价为10元，桂花树的单价为20元． 【题型10 分式方程的其他实际问题】 核心解题技巧 1. 浓度问题：溶质总量不变，依托浓度公式建模列式；2. 平均数问题：根据新旧平均数差值搭建等量关系；3. 通用思路：剥离无关条件，寻找题干不变量列方程；4. 双重检验：保证方程解有效，且符合生活实际逻辑。 【典例10】．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 【变式1】．爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 【变式2】．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 【变式3】．在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 【答案】(1)应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 (2)至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 【分析】（1）设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人，根据“两种中国结同时完成”列分式方程求解即可； （2）设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结，先列方程求得完成A种中国结任务的学生人数m，再根据题意，得到n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； （2）解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 05 过关•检测 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．把分式方程化为整式方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程两边同时乘以，得：． 3．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 4．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 5．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 6．某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3420元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一批每本进价为元，则第二批每本进价为元 ∴第一批购进数量为本，第二批购进数量为本 又∵第二批购进数量比第一批少本 ∴ 7．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 8．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 9．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 10．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 11．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 12．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】0 【分析】因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为． 13．若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 14．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【详解】解：由工程问题公式：工作量工作效率工作时间， 由题意，可知甲工作组的工作效率为每天做x个，乙工作组的工作效率为每天做个， 由“甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等”，列方程， 得． 15．解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：原方程变形为 方程两边同时乘以去分母，得 解得 检验：当时， ， ∴是原分式方程的解． 16．已知关于的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解． (2)小华认为时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)小华的结论正确，理由见解析 【分析】（1）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可； （2）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：当时，方程为． 两边同乘，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的解． （2）解：小华的结论正确．当时，方程变为， 两边同乘得， 解得． 检验，当时，， ∴是增根， ∴原分式方程无解． 17．已知分式，， (1)分式的值能否为0？若能，求出的值；若不能，请通过化简分式，说明理由． (2)请化简分式和，且当时，比较分式与的大小． 【答案】(1)的值不能为0，理由见解析 (2)，；当时， 【分析】（1）分式Q的值不能为0，化简后令，得到方程无解即可； （2）P与R化简后，把分别代入计算得到结果，比较即可． 【详解】（1）解：． 令，无解， 所以的值不能为0． （2）解：． ． 当时，，， 所以． 18．为培养学生的阅读能力，某校购进甲、乙两种书籍，分别花费元和元，已知甲种书籍的单价是乙种书籍单价的倍，并且订购的甲种书籍的数量比乙种书籍多本．求该校购买的两种书籍的单价． 【答案】该校购买的甲种书籍单价为元，购买的乙种书籍单价为元 【详解】解：设该校购买的乙种书籍单价为x元，则购买的甲种书籍单价为元， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：该校购买的甲种书籍单价为14元，购买的乙种书籍单价为10元． 19．2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． (1)求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？（列方程解答） (2)节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 【答案】(1)A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元 (2)a的最小值为8 【分析】（1）设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴， 答：A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元； （2）解：种纪念品购进数量：，种纪念品购进数量：个， 由题意得： ， 解得：； 答：a的最小值为8． 20．2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【答案】(1) A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元 (2) 购进A类配件50个，B类配件40个 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设B类配件每个进价为元，则A类配件每个进价为（元）， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）解：设购进A类配件个，购进B类配件个， 根据题意可得 解得， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 21．某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元． (1)购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？ (2)该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？ 【答案】(1)购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元 (2)最多可以购买27瓶B品牌消毒液 【分析】（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元， 依题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元． （2）解：设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液， 依题意，得：， 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为27． 答：最多可以购买27瓶B品牌消毒液． 22．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 23．某社区团购平台推出环保果蔬礼盒，包含有机蔬菜A和时令水果B两种品类． A类礼盒标价120元/箱，B类礼盒标价160元/箱． 平台规定：同一订单中，A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱． (1)某小区物业为业主团购福利，按标价购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元． 求A、B两种礼盒各购买了多少箱？ (2)因市场波动，平台调整优惠政策如下： A类礼盒：每箱直接降价a元出售； B类礼盒：购买不超过3箱时按标价出售；超过3箱时，前3箱按标价出售，超过3箱的部分每箱降价元出售． 该小区另一栋楼组织团购，要求购买的B类礼盒比A类礼盒多2箱，且合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的． 设购买A类礼盒m箱． ①若，求m的值，并判断该团购订单是否满足平台的购买数量规定； ②若该团购订单满足平台购买数量规定，且存在三种不同的购买方案（即不同的m值），若对于每种方案，合计付款恰好为原先总费用的，求a的所有值（说明：a的值可以为分数） 【答案】(1)A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 (2)①m的值为2，且满足平台的购买数量规定；②或或 【分析】（1）设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱，根据购买了A、B两种礼盒共8箱，合计付款1080元列方程组求解即可； （2）①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元．根据合计付款恰好为原先按标价购买同等数量礼盒总费用的列方程求解即可； ②先根据A、B两种礼盒总数不少于5箱且不超过10箱求出，然后同①列方程求出，再令，求解即可． 【详解】（1）解：设购买A类礼盒x箱，B类礼盒y箱， 由题意得： ， 解得， 答：A类礼盒购买了5箱，B类礼盒购买了3箱 （2）解：①当时，A类单价元，B类超3箱部分单价元． ∴， 解得， 此时购买A类礼盒2箱，B类礼盒箱，总数为箱，满足总数不少于5箱且不超过10箱， 即m的值为2，且满足平台的购买数量规定． ②∵， ∴， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或或． 经检验或或是原方程的解且符合题意， ∴a的所有值为或或． 24．五一节期间，安岳县某超市开展优惠促销活动，A种商品标价为100元，现打8折出售，B种商品标价为90元，现在标价上降低出售，已知准备购进的A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ (3)实际销售时，超市决定对每件A种商品售价再优惠元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元 (2)该商店共有5种进货方案 (3)①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 【分析】（1）设种商品进价为元，根据用固定金额购进两种商品数量相同列分式方程求解 （2）设购进种商品件，根据资金限制和数量关系列一元一次不等式组，通过整数解的个数得到进货方案数． （3）先推导总利润关于的一次函数，根据一次函数的增减性，结合的取值范围分类讨论，得到总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得， ∵为正整数 ∴， ∴共5种不同的进货方案； （3）解：设销售40件商品总利润为元．由题意得： 的实际售价为，每件的利润为； 的售价为，每件的利润为． 则 整理得： ①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元； ②当时，，随的增大而增大， ∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大； ③当时，，随的增大而减小， ∴当时，获利最大， ∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 综上可知，①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $