专题5.3 分式方程 同步讲义 （题型导航+知识梳理+过关小练）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题5.3 分式方程 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1分式方程 题型2解分式方程（化为一元一次） 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其他实际问题 题型11.过关小练（8道解答题） 知识梳理 【知识点一、分式方程】 1.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.特征：（1）是等式；（2）方程里含有分母；（3）分母中含有未知数． 【知识点二、分式方程的解法】 1.解分式方程的步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程； （2）解整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【知识点三、解分式方程产生增根的原因】 1.方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 2.原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，分式无意义，这个根就是原分式方程的增根． 【知识点四、分式方程的应用】 1.解题列步骤： （1）审题：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案． 【知识点五、易错点提醒】 1.等量关系找反，方程列错， 2.设未知数时漏写单位， 3.去分母时常数项漏乘， 4.分子多项式不加括号，符号错误， 5.忘记双重检验， 6.把增根当作原方程解， 7.工程问题混淆时间与效率. 题型解读 题型1分式方程 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 题型2解分式方程（化为一元一次） 1．在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．若代数式与代数式的值相等，则________ ． 题型3根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 题型4分式方程无解问题 1．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 3．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．0 B．2 C．2或3 D．0或2 题型5列分式方程 1．八年级（1）班在校园劳动实践基地拔萝卜．已知第一小组每小时比第二小组多拔2筐萝卜，且第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同．设第二小组平均每小时拔x筐萝卜，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（   ） A． B． C． D． 3．小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 题型6分式方程的行程问题 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 2．哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 题型7分式方程的工程问题 1．为了筹备学校文艺汇演，美术组需要赶制200个相同的舞台道具．最初由几位经验丰富的同学负责制作，原计划每天做个可按时完成任务，后来为了加快进度，又增加了几位新同学帮忙，使得实际每天比原计划多做10个，结果比原计划提前1天完成了任务，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 3．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 题型8分式方程的经济问题 1．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 题型9分式方程和差倍分问题 1．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 2．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 题型10分式方程的其他实际问题 1．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈、各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺）．已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售一尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布每尺的价格为文钱，则罗布每尺的价格为文钱，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．一个不透明的盒子中装有8支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为______ 支． 过关小练 一、解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 3．电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知型机器人比型机器人每小时多分拣10件快递，且型机器人分拣700件快递所用的时间与型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求型机器人每小时分拣快递的件数． 4．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天比原计划铺设的管道增加，结果提前20天完成任务，求实际每天铺设的管道是多少？ 5．我省某中学科技社团开展“古建探秘”项目式学习，计划用专项经费采购一批设备，用于拍摄和测量．经过市场调研，确定了所购买的测量无人机和智能测距仪的型号．已知确定购买的智能测距仪的单价是测量无人机单价的，用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1，分别求测量无人机和智能测距仪的单价． 6．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 7．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，A型机器人单价比B型机器人单价高3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择8台配备到某生产线，且购买这8台机器人的总费用不超过65万元，那么配备到该生产线的A型机器人最多有多少台？ 8．为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 分式方程 同步讲义 （北师大版） 题型导航 题型1分式方程 题型2解分式方程（化为一元一次） 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其他实际问题 题型11.过关小练（8道解答题） 知识梳理 【知识点一、分式方程】 1.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.特征：（1）是等式；（2）方程里含有分母；（3）分母中含有未知数． 【知识点二、分式方程的解法】 1.解分式方程的步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程； （2）解整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【知识点三、解分式方程产生增根的原因】 1.方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 2.原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，分式无意义，这个根就是原分式方程的增根． 【知识点四、分式方程的应用】 1.解题列步骤： （1）审题：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案． 【知识点五、易错点提醒】 1.等量关系找反，方程列错， 2.设未知数时漏写单位， 3.去分母时常数项漏乘， 4.分子多项式不加括号，符号错误， 5.忘记双重检验， 6.把增根当作原方程解， 7.工程问题混淆时间与效率. 题型解读 题型1分式方程 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 3．请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 题型2解分式方程（化为一元一次） 1．在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得， ∴ ∴ 解得：， 经检验是原方程的解． 3．若代数式与代数式的值相等，则________ ． 【答案】/ 【分析】根据题意列出分式方程，按照解分式方程的步骤求解并检验即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，其中且， 方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解． 题型3根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解与参数范围，掌握先化分式方程为整式方程求，再根据解的符号和分母不为零列不等式求解参数是解题的关键． 先解分式方程，用表示出，再根据解为正数和分式分母不为0两个条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 方程两边同乘去分母，得 整理得. ∵ 方程的解是正数， ∴ ，即，解得. 又∵ 分式分母不为，即， ∴ ，解得 综上，的取值范围是且 故选：C． 2．如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解与参数范围，掌握先化分式方程为整式方程求，再根据解的符号和分母不为零列不等式求解参数是解题的关键 先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的限制，求出的取值范围即可． 【详解】解：给方程两边同乘去分母，得 化简得 移项整理得 解得，且， ∵分式方程的解是负数， ∴ ∴，即 又∵，即，解得，对恒成立， ∴实数m的取值范围是且 故选：C． 3．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，将代入方程，化简分式后得到，再代入代数式，即，计算得值． 【详解】解：∵是方程的解， 原方程化为 ， 即 ． 整理得 ． ∴， 故答案为：4． 题型4分式方程无解问题 1．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 2．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 3．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．0 B．2 C．2或3 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及增根是解题的关键．有增根，即化为整式方程后解出的根会造成原方程分母为零．先解分式方程，再确定分母为零的值，再代入整式方程即可求出． 【详解】解：原方程：， 两边乘得：， 解得：， 原方程分母为零时， 或 . 当增根 时，代入 得：，解得， 当增根 时，代入 得：，解得， 故选C． 题型5列分式方程 1．八年级（1）班在校园劳动实践基地拔萝卜．已知第一小组每小时比第二小组多拔2筐萝卜，且第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同．设第二小组平均每小时拔x筐萝卜，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件分别表示出第一小组和第二小组拔萝卜的工作效率，再结合“第一小组拔18筐萝卜所用的时间与第二小组拔12筐萝卜所用的时间相同”这一关系，利用“工作时间=工作总量÷工作效率”来列出方程． 【详解】由题意知，第一小组平均每小时拔筐萝卜， 根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可列方程：． 2．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍， ∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为， ∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3， ∴可得方程． 3．小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据两种汽车行驶路程相等的等量关系即可列出分式方程． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元， ∵燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同， ∴根据题意得． 题型6分式方程的行程问题 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 2．哥哥带弟弟去操场锻炼，已知哥哥绕跑道跑一圈需要120秒，弟弟绕跑道跑一圈需要150秒．若弟弟和哥哥同时从起点同向出发，设t秒后哥哥正好比弟弟多跑一圈，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将跑道一圈长度设为单位1，利用行程问题中路程、速度、时间的关系，根据“秒后哥哥比弟弟多跑一圈”的条件列等式即可． 【详解】解：把跑道一圈的长度看作单位1， ∵哥哥跑一圈需要120秒，弟弟跑一圈需要150秒， ∴哥哥的速度为，弟弟的速度为， ∵秒后哥哥比弟弟多跑一圈， ∴， ∴． 3．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 题型7分式方程的工程问题 1．为了筹备学校文艺汇演，美术组需要赶制200个相同的舞台道具．最初由几位经验丰富的同学负责制作，原计划每天做个可按时完成任务，后来为了加快进度，又增加了几位新同学帮忙，使得实际每天比原计划多做10个，结果比原计划提前1天完成了任务，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“工作时间工作总量工作效率”，分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据实际比原计划提前1天完成的等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵原计划每天做个，总任务量为200个， ∴原计划完成任务的时间为天， ∵实际每天比原计划多做10个， ∴实际每天完成个，实际完成任务的时间为天， ∵实际比原计划提前1天完成，即原计划时间减去实际时间等于1， ∴可列方程为． 2．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设原计划完成这项工程需要x个月，则提高工作效率后完成工程需要个月，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率后完成工程需要个月， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成这项工程需要个月． 故选：A． 3．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 题型8分式方程的经济问题 1．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像中提取信息并列分式方程，掌握利用路程相等建立等量关系，结合总费用与单位里程费用的公式列方程是解题的关键． 先根据题意表示出燃油汽车每千米的费用，再由图像可知两种汽车行驶路程相同，结合路程=总费用÷每千米费用列出等式方程． 【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． 2．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 题型9分式方程和差倍分问题 1．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 2．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据结果比原计划少用了2辆车列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 3．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 题型10分式方程的其他实际问题 1．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈、各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺）．已知绫布和罗布分别出售均能收入896文钱，绫布和罗布各出售一尺共收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布每尺的价格为文钱，则罗布每尺的价格为文钱，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据绫布每尺x文，罗布每尺文，且各自总收入均为896文，两者之和等于30尺，进行列方程即可． 【详解】解：∵绫布每尺x文，总收入896文， ∴绫布长度为尺， ∵罗布每尺文，总收入896文， ∴罗布长度为尺． ∵总长度30尺， ∴． 故选A． 2．在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，分式方程的应用，根据频率稳定在，可知摸到黑球的概率为，设黑球数为，利用概率公式列方程求解即可． 熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 【详解】解：设袋中黑球有个，则袋中球的总数为个， ∵摸到黑球的频率稳定在，即摸到黑球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴袋中黑球有个． 故选：C． 3．一个不透明的盒子中装有8支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为______ 支． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸到黑笔的频率稳定在0.4，即摸到黑笔的概率为0.4，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设蓝笔有x支，则总笔数为支，摸到黑笔的概率为， 由题意得， 解方程得， 故答案为：12． 过关小练 一、解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 当时，， 则分式方程无解． 2．已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围． （1）先将代入分式方程，再求解分式方程，最后将求解的x进行检验，若分母不为0即为分式方程的解； （2）先将分式方程化为整式方程，得出x的表达式，再根据方程的解是非负数这一条件，进一步确定m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘，得，解得， 当时，， ∴分式方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘，得，解得， ∵这个方程的解为非负数， ∴且，解得且． 3．电子商务的迅速崛起，带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购两种型号的机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知型机器人比型机器人每小时多分拣10件快递，且型机器人分拣700件快递所用的时间与型机器人分拣600件快递所用的时间相同，求型机器人每小时分拣快递的件数． 【答案】B型机器人每小时分拣60件快递 【分析】设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递. 根据A型机器人分拣700件快递所用时间与B型机器人分拣600件快递所用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】解：设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递. 由题意得 . 去分母得 . 化简得 . 解得 . 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时分拣60件快递. 4．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天比原计划铺设的管道增加，结果提前20天完成任务，求实际每天铺设的管道是多少？ 【答案】实际每天铺设的管道是 【分析】首先设原计划每天铺设，则实际每天铺设，由题意找出等量关系：原计划的工作时间-实际的工作时间=20，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 【详解】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺管道，根据题意，得 ， 解这个方程，得， 经检验是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：实际每天铺设管道是． 5．我省某中学科技社团开展“古建探秘”项目式学习，计划用专项经费采购一批设备，用于拍摄和测量．经过市场调研，确定了所购买的测量无人机和智能测距仪的型号．已知确定购买的智能测距仪的单价是测量无人机单价的，用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1，分别求测量无人机和智能测距仪的单价． 【答案】测量无人机的单价为1400元，智能测距仪的单价为1600元． 【分析】设测量无人机的单价为x元，则智能测距仪的单价为元，根据“用11200元购买测量无人机的数量比购买智能测距仪的数量多1”可以列出相应的分式方程，然后求解即可． 【详解】解：设测量无人机的单价为x元，则智能测距仪的单价为元，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：测量无人机的单价为1400元，智能测距仪的单价为1600元． 6．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了30km．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的0.8倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1)原计划的行驶速度为 (2)以原计划速度行驶的路程为70km 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意列出分式方程即可； （2）设以原计划速度行驶的路程为，根据题意列出一元一次方程即可解答． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为， 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划的行驶速度为． （2）解：设以原计划速度行驶的路程为ykm， 由题意得：， 解得：． 答：以原计划速度行驶的路程为． 7．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，A型机器人单价比B型机器人单价高3万元． (1)求A型、B型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择8台配备到某生产线，且购买这8台机器人的总费用不超过65万元，那么配备到该生产线的A型机器人最多有多少台？ 【答案】(1)A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元 (2)配备到该生产线的A型号的机器人最多有5台 【分析】（1）利用两种机器人采购数量相同的条件，结合总费用和单价差列分式方程求解，检验后得到两种机器人的单价； （2）设A型机器人的台数，根据总费用不超过65万元的条件列一元一次不等式，求解得到A型机器人的最大数量． 【详解】（1）解：设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为万元. 根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ． 答：A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元； （2）解：设配备到该生产线的A型机器人有y台，则配备的B型机器人有台，y为非负整数. 根据题意得： ， 解得， 因为y为整数，所以y的最大值为5． 答：配备到该生产线的A型机器人最多有5台． 8．为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】(1)今年准备A道具件，B道具件． (2)第二组每小时摆件B道具． 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． （2）解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $