专题02 平行四边形、中位线与梯形17大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦平行四边形、中位线与梯形，以性质-判定-应用为主线，系统整合17类题型，突出重点难点，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|9题型（含性质应用、判定证明等）|性质应用与判定综合|从性质到判定再到综合应用| |中位线|4题型（含中位线求解与证明）|中位线性质与中点四边形构造|从三角形中位线到中点四边形推广| |梯形|4题型（含等腰梯形性质与判定）|梯形定义与特殊梯形判定|从定义到性质再到判定的递进|

专题02 平行四边形、中位线与梯形 题型01 利用平行四边形的性质求解（重点） 题型10 与三角形中位线有关的求解问题 题型02 利用平行四边形的性质证明（重点） 题型11 与三角形中位线有关的证明（难点） 题型03 平行四边形性质的其他应用 题型12 三角形中位线的实际应用 题型04 证明四边形是平行四边形（常考点） 题型13 中点四边形（常考点） 题型05 判断能否构成平行四边形 题型14 （等腰）梯形的定义 题型06 添加一个条件成为平行四边形（常考点） 题型15 直角梯形的定义 题型07 求与已知三点组成平行四边形点的个数 题型16 等腰梯形的性质定理（重点） 题型08 利用平行四边形的判定与性质求解（难点） 题型17 等腰梯形的判定定理（重点） 题型09 平行四边形性质和判定的应用（难点） 题型01 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：且且和的周长和为；④；⑤若，则边边扫过的图形面积为，正确的是______．（填序号） 题型02 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点，证明：． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 题型03 平行四边形性质的其他应用 1．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 2．（22-23八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    3．（22-23九年级下·江苏徐州·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形． (2)在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为6的平行四边形． 题型04 证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏无锡·一模）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）尺规作图：如图，点、在直线上，点在直线上方，找点，使、，、构成平行四边形．（要求：用直尺和圆规作图．保留作图痕迹） 题型05 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 2．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 题型06 添加一个条件成为平行四边形 1．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型07 求与已知三点组成平行四边形点的个数 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 题型08 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 题型09 平行四边形性质和判定的应用 1．（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 题型10 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 题型11 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 题型12 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 题型13 中点四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图_，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，_ ．求证：四边形是_． 题型14 （等腰）梯形的定义 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 题型15 直角梯形的定义 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 题型16 等腰梯形的性质定理 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 题型17 等腰梯形的判定定理 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形、中位线与梯形 题型01 利用平行四边形的性质求解（重点） 题型10 与三角形中位线有关的求解问题 题型02 利用平行四边形的性质证明（重点） 题型11 与三角形中位线有关的证明（难点） 题型03 平行四边形性质的其他应用 题型12 三角形中位线的实际应用 题型04 证明四边形是平行四边形（常考点） 题型13 中点四边形（常考点） 题型05 判断能否构成平行四边形 题型14 （等腰）梯形的定义 题型06 添加一个条件成为平行四边形（常考点） 题型15 直角梯形的定义 题型07 求与已知三点组成平行四边形点的个数 题型16 等腰梯形的性质定理（重点） 题型08 利用平行四边形的判定与性质求解（难点） 题型17 等腰梯形的判定定理（重点） 题型09 平行四边形性质和判定的应用（难点） 题型01 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设交于点O，过A作于点H，连接，根据，将分成面积相等的四部分，可得，，点O为平行四边形的中心，即过点O，证明，可得，，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到，，设，则，过作于点Q，交的延长线于点G，则，，，可得，从而得到 ，，可求出，过M作交于P，过A作于点H，则，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设交于点O，过A作于点H，连接， 在中，，， ∴，， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴，，点O为平行四边形的中心，即过点O， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 设，则， 过作于点Q，交的延长线于点G，则，，， ∴， ∴， ，， ， 解得， ， 过M作交于P，过A作于点H，则，， ∴， ， 在中，由勾股定理得：． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：且且和的周长和为；④；⑤若，则边边扫过的图形面积为，正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】利用平移的性质即可判断①②；根据三角形的周长公式及线段的和差关系计算和的周长和，即可判断③；利用平移可得，再根据面积的和差关系即可判断④；根据边扫过的图形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式计算即可判断⑤，综上即可求解 【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且，，故结论①②正确； ∵的周长为， ∴， ∵，， ∴和的周长和为 ，故结论③错误； ∵，，， ∴，故结论④正确； 由平移的性质得：， ∵，， ∴边扫过的图形的面积为，故结论⑤错误； 综上，正确的是①②④． 题型02 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点，证明：． 【答案】见解析 【分析】平行四边形的性质，得到，证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 题型03 平行四边形性质的其他应用 1．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】16 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线得到的中点，从而得到中线；分别以、为圆心，、为半径画弧得到平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到中线． 【详解】解：如图1，如图2，为所作．    【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 3．（22-23九年级下·江苏徐州·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形． (2)在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为6的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）作底为2，高为3的平行四边形即可． 【详解】（1）如图①中，即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型04 证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏无锡·一模）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析所有任选两个条件的组合，判断能否判定四边形为平行四边形，统计符合要求的选法数量即可． 【详解】解：从四个条件中任选两个，有①②，①③，①④，②③，②④，③④共6种组合，逐个分析如下： 选①②：，，四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合； 选①③： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选①④： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选②③：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选②④：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选③④： ∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，符合； 综上，能使四边形为平行四边形的选法共3种． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据题意，利用可证得，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）尺规作图：如图，点、在直线上，点在直线上方，找点，使、，、构成平行四边形．（要求：用直尺和圆规作图．保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】尺规作，得出，再截取，即可得出． 【详解】解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型05 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 题型06 添加一个条件成为平行四边形 1．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 题型07 求与已知三点组成平行四边形点的个数 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可； （2）根据平行四边形的性质找点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，点都满足题意， ∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，． 题型08 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 【答案】24 【分析】如图，过点D作交BC于点E，证明四边形是平行四边形，得到，，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交BC于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴梯形的周长． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________． 【答案】 10 【分析】根据题意得到是等腰三角形，，则，证明四边形是平行四边形，得到，如图所示，连接，当最小时，的值最大，即周长的值最大，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当最小时，的值最大，即周长的值最大， ∵关于直线的对称， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即，则，此时周长的值最大，最大值为10， 故答案为：10 ． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 题型09 平行四边形性质和判定的应用 1．（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定、作一个角等于已知角及平行四边形的判定与性质； （1）方法一：作，与的交点即为所求作点；方法二：以为圆心为半径作弧，再以为圆心为半径作弧，两弧交于点F，连接，与的交点为点E，根据题意得出四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； （2）取格点M，连接与格线交于点N，连接交于点E，则四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； 【详解】（1）解：方法一：点E即为所求作点； 方法二：点E即为所求作点； 理由如下：， 四边形是平行四边形， ； （2）解：点E即为所求作点； 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 【答案】（1）图见解析，的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3） 【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点，画出 ，利用分割法即可求解的面积； （2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点，结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形； （3）通过构造小矩形长为，宽为的矩形网格图，然后取格点，使得，，，再利用割补法即可求解； 【详解】解：（1）取格点，画出 ，如图所示， ， 故的面积为3． （2）① 取格点，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形， 平行四边形的底边为5，高为1， 平行四边形的面积为5. ② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况， ， ， ， ． （3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为，宽为，取格点，如图所示， ，，， 符合题意， 的面积为：， 的面积． 题型10 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 【答案】(1) (2)①，理由见详解；②40 (3)4 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，即可得到结果； （2）①连接，交的延长线于点E，证明，在中底边等于梯形上下底之和，是中位线，根据三角形的中位线定理，即可得到结论； ②根据梯形中位线的长度公式（上底+下底），梯形的面积公式可以转换成：“中位线高”，即可得出结果； （3）过点C，点E，点F，作及其延长线的垂线，四边形是梯形，是梯形的中位线，证明，，得到梯形上下底之和等于的底边，所以，即可求出结果． 【详解】（1）解：是的中位线， ． （2）解：①，理由如下： 连接，并延长交的延长线于点E，如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 即． ②根据梯形面积公式， 梯形面积=中位线高． （3）解：过点作的垂线，垂足为H； 过点E作的垂线，交的延长线于点L，过点F作的垂线，交的延长线于点K； 如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 四边形是梯形，是中位线， 题型11 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和判定，中位线定理，利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线可证，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明即可； （2）由，得，再根据菱形的判定定理证得四边形是菱形，进而求得答案． 【详解】（1）证明：，，分别是，，的中点， ，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：，，分别是，，的中点，， ， 又， ∴， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 题型12 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，A，B两地被房子隔开，小明通过下面方法估测A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出，的中点M，N并步测出的长约为40米，由此可知，A，B间的距离约为________米． 【答案】80 【分析】根据三角形中位线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵米， ∴米． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 【答案】24 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，由此可得，代入数据计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； （2）解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 题型13 中点四边形 1．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：四边形是菱形，依次连接各边中点得到四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，交于点，与交于点，中位线的性质可以推导出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，再结合中位线的性质可以推导出即可证明结论． 【详解】解：连接，，交于点，与交于点， ∵，分别是，的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图_，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，_ ．求证：四边形是_． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 题型14 （等腰）梯形的定义 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明梯形是等腰梯形，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵ ∴ ∴． 题型15 直角梯形的定义 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【答案】12 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，，， ∴梯形的面积为： ． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【分析】根据题意可知，该直角梯形的下底比上底长，结合梯形面积公式建立方程，即可求解下底的长度． 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 题型16 等腰梯形的性质定理 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）等腰梯形中，，，，，则该梯形的周长为__________． 【答案】16 【分析】过等腰梯形上底的顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和等边三角形，先求出梯形的腰长，再计算周长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形，，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴梯形的周长． 题型17 等腰梯形的判定定理 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是梯形， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， 梯形是等腰梯形． （2）解：作于点 ，于点， ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）学习完梯形的知识后，学校数学兴趣小组围绕等腰梯形的相关内容进行再探究．数学李老师提出如下问题： 如图，在梯形中，， 求证：梯形是等腰梯形． 经过小组讨论后，有多种方法解决上述问题，其中比较受学生喜欢的方法是：用转化的数学思想将梯形转化为三角形、平行四边形等来解决问题，李老师从中选取了两种典型方法， 方法一：如图，分别过点向作垂线，垂足为点 方法二：如图，延长与相交于点 请你就李老师选择的两个方法中，选择一个方法解决问题． 你选择的方法是：___________（填“方法一”或“方法二”），并完成证明过程． 【答案】见解析 【分析】（）过梯形的上底两端点作下底的垂线，利用“一组对边平行且相等”证明四边形为平行四边形，得到两高，再结合已知的，通过证明，推出两腰，从而证明该梯形为等腰梯形； （）通过延长梯形两腰交于点，利用平行线的性质得到，结合推出，进而得到；再由得出为等腰三角形，即，通过等式相减得到，从而证明梯形是等腰梯形． 【详解】解：选择方法一，证明过程如下： ∵，， ∴，且； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和 中： ， ∴， ∴， ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形； 选择方法二，证明过程如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，即 ∵梯形中，两腰， ∴梯形是等腰梯形． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，，同时从，出发，点以的速度沿运动，点从开始沿边以的速度运动，其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】 【分析】当时，四边形是等腰梯形，过Q、C分别作，，垂足分别为E、F，得到，四边形、为矩形， 勾股定理求出，根据，列方程求解即可 【详解】∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则四边形、为矩形， ∴， ∴， ， ∴，解得， / 学科网（北京）股份有限公司 $