11.3 一元一次不等式组（讲练）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

**基本信息** 本练习以“概念-解法-应用”为主线，通过基础巩固、能力提升、易错纠正、综合拓展四层设计，实现知识从单一到综合的进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式组概念、解集、解法及简单应用|结合基础练习，强化概念辨析与基本运算，如数轴表示解集| |能力层|含参问题、整数解、方程与不等式组综合|典例+变式，突出推理能力，如根据整数解求参数范围| |易错层|概念混淆、解法错误、数轴表示等易错点|典型错误分析，培养批判性思维，如虚实点表示误区| |综合层|跨情境应用（程序图、材料阅读、新定义）|综合题型设计，提升模型意识与创新意识，如方案设计问题|

11.3 一元一次不等式组 知识逻辑图 内容导航 知识点一 一元一次不等式组的概念 2 知识点二 不等式组的解集 2 知识点三 一元一次不等式组的解法 3 知识点四 一元一次不等式组的应用 4 题型1 一元一次不等式组的辨别 5 题型2 数轴上表示不等式组的解集 6 题型3 求一元一次不等式组的解集 6 题型4 求一元一次不等式组的特殊解 7 题型5 根据一元一次不等式组解集求参数 8 题型6 根据一元一次不等式组的整数解求参数 9 题型7 一元一次不等式组的结论判断 10 题型8 不等式组在材料阅读中的运用 11 题型9 根据程序图列不等式组求解 14 题型10 方程（组）与不等式组的综合运用 15 题型11 一元一次不等式组的新定义问题 16 题型12 根据问题列一元一次不等式组 17 题型13 一元一次不等式组的应用 17 易错巩固练 19 易错点：1、概念理解不透——混淆一元一次不等式组的判断 19 易错点：2、错用方程方法解不等式组——加减消元生搬硬套 19 易错点：3、数轴表示解集——虚实点混淆、方向标 20 易错点：4、含参不等式组——遗漏端点取舍条件 21 综合练习 22 知识点一 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 注意：理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点： (1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式； (2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个； (3)不等式组里的不等式至少要有两个， 【基础练习1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【基础练习2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 知识点二 不等式组的解集 不等式组的解集的概念 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集， 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上表示（图示） 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 提示：对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号，界点画实心圆点;无等号，界点画空心圆圈. 【基础练习1】（24-25七年级下·吉林四平·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【基础练习2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上表示关于的不等式组的解集是______． 知识点三 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤 第一步 分别求出不等式组中各个不等式的解集， 第二步 在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集， 第三步 写出不等式组的解集 注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈 提示：两个不等式组成的不等式组的解集既可以用数轴确定，又可以用口诀确定，但三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集用数轴确定较方便. 【基础练习1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）解不等式组： 【基础练习2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 知识点四 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验→答。【数量关系包括相等关系（用来表示其余未知量）和不等关系（用来到不等式）.可用到表法或线段图分析法寻找数量关录。】 注意：列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，在解集中找出符合题意的答案。（如:求人数、物品的数目或产品的件数等，只能取非负整数。） 【基础练习1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【基础练习2】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 题型1 一元一次不等式组的辨别 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·寒假作业）判断对错： （1） 是一元一次不等式组．( ) （2） 是一元一次不等式组．( ) （3） 是一元一次不等式组．( ) 【变式练习2】（24-25六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 方法技巧：判定一个不等式组是否为一元一次不等式组时，要同时满足以下条件：①每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、是整式不等式）；②所有不等式必须含有同一个未知数；③一个大括号把多个一元一次不等式括在一起。 题型2 数轴上表示不等式组的解集 【典例】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在数轴上表示其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________．    题型3 求一元一次不等式组的解集 【典例】（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式练习1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）解不等式组： 【变式练习2】(2025九年级·山东·专题练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 方法技巧：确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了。 (2)口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. 易错警示：混淆不等式组的解法与方程组的解法解不等式组必须单独解出各个不等式的解集，然后求所有解集的公共部分，而不能像解方程组那样运用代入法或加减法联合起来一起解. 题型4 求一元一次不等式组的特殊解 【典例】（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【变式练习1】（2026·四川达州·一模）不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 【变式练习2】（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组：，并求出最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的最大整数解为__________． 方法技巧：要求不等式组的特殊解，首先要求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解（如正整数解、最小整数解等）.为了便于观察，还可以借助数轴来找特殊解. 题型5 根据一元一次不等式组解集求参数 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式练习1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）如果不等式组的解集是，求的值． 【变式练习2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 方法技巧：当一元一次不等式（组）化简后未知数的系数中含有参数时，比较已知解集，列不等式（组）或方程（组）来确定参数的值或取值范围是一种常用的基本方法. 题型6 根据一元一次不等式组的整数解求参数 【典例】（24-25七年级下·全国·期中）若不等式组恰有两个整数解，求m的取值范围． 【变式练习1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【变式练习2】（24-25八年级上·四川达州·月考）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数的最小值 解后反思：利用数轴求不等式组的解集更直观、形象.解题时，易忽临界数值是否符合题意. 题型7 一元一次不等式组的结论判断 【典例】（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于的不等式组，下面是某小组给出的结论： 结论：当时，此不等式组无解； 结论：若不等式组的解集是，则； 结论：若此不等式组有整数解，则； 结论：若不等式组的整数解只有，，，则． 其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式练习1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习2】（24-25七年级下·天津河东·期末）已知关于x的不等式组，下列结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组无解；③若它的整数解有且仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则，其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8 不等式组在材料阅读中的运用 【典例】（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【变式练习1】（23-24七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【变式练习2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）（一）阅读材料 若关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全体整数解可表示为（t为整数）． 例题：求关于x，y的二元一次方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该例题如下： 解：∵， ∴， ∵x，y要取整数， ∴当时，， ∴该方程一组整数解为， ∴其全体整数解为（t为整数）． ∵， ∴． ∵t为整数， ∴或0， ∴该方程的正整数解为、和． （二）解决问题 (1)关于x，y的二元一次方程的全体整数解表示为（t为整数），则________； (2)请参考阅读材料，直接写出关于x，y的二元一次方程的一组整数解和它对应的全体整数解； (3)请你参考小明的解题方法，求关于x，y的二元一次方程的全体正整数解． 题型9 根据程序图列不等式组求解 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的最小整数值是______； （2）如果程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是______． 【变式练习2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10 方程（组）与不等式组的综合运用 【典例】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 方法技巧：当方程组的解满足特定要求时，要先设法求出这个方程组的解，再根据题意列出不等式组，求出所求字母参数的值或取值范围. 题型11 一元一次不等式组的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·全国·周测）我们规定：表示，，这三个数中的最小数．如，．如果，求的取值范围． 【变式练习1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．根据这个规定： （1）________； （2），则x的取值范围________． 【变式练习2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）规定①：，用来表示n个数的平均数，例如：； 规定②：表示这n个数中最小的数．例如： (1)如果，求x的最大整数解； (2)如果，求整数x的值． 题型12 根据问题列一元一次不等式组 【典例】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【变式练习1】（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 题型13 一元一次不等式组的应用 【典例】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【变式练习1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式练习2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 方法技巧：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上寻找等量关系或不等关系，准确列出方程（组）或不等式（组）. 易错巩固练 易错点：1、概念理解不透——混淆一元一次不等式组的判断 1．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是(　　) A． B． C． D． 典型错误：判定一个不等式组是否为一元一次不等式组时，容易忽略以下条件：①每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、是整式不等式）；②所有不等式必须含有同一个未知数；③一个大括号把多个一元一次不等式括在一起。 易错点：2、错用方程方法解不等式组——加减消元生搬硬套 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）解不等式组： 2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）解不等式组：． 典型错误：受解二元一次方程组“加减消元”或“代入消元”的影响，不加区分地将不等式组中的不等式直接相加或整体消元，导致解集错误或遗漏取值。 易错点：3、数轴表示解集——虚实点混淆、方向标 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 典型错误：在数轴上表示不等式组的解集时，常出现以下错误：含等号的用空心圈，不含等号的用实心点；大于号的解集向左画，小于号的解集向右画；解集会公共部分取错，或者在数轴上未求两个解集重叠的阴影部分。 口诀：含等号（≥、≤）画实心圆点，不含等号（>、<）画空心圆圈；大于号向右画，小于号向左画 易错点：4、含参不等式组——遗漏端点取舍条件 1．（24-25七年级下·江苏·课后作业）已知不等式组的解集为，求、的值． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 典型错误：含参问题综合多种不等式组和整数条件，第一步求参数范围时就常出错：不会用数轴画图推理，不知道端点值是否可取，或者移项符号错误造成范围完全不对。 综合练习 一．选择题 1．（24-25七年级下·浙江台州·月考）下列属于一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·月考）把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·一模）一元一次不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东惠州·一模）不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(2025·广东深圳·模拟预测）若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 9．（25-26八年级下·重庆·开学考试）按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 10．（2025·浙江·三模）对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 11．(2025九年级·全国·竞赛）若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·重庆·期末）已知多项式，其中为正整数，为自然数，且，下列说法：①当，时，多项式为； ②当，满足条件的多项式最高项次数不大于； ③当（其中），满足条件的整式共有个． 其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 二．填空题 13．（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集 _____． 14．（25-26九年级下·江苏南京·期中）不等式组的解集是________． 15．（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 18．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，不等式组的整数解______． （2）若不等式组有3个整数解，则k的取值范围是______． 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对一个实数x按如图所示的程序操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于25，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入x的取值范围是_______． 20．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 三．解答题 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组： (1) (2) 22．（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 23．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）解不等式组，并写出所有整数解． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知不等式组无解，求的取值范围． （2）已知不等式组无解，求的取值范围． （3）已知不等式组的解是1，求的取值范围． 25．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 26．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 27．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 28．（24-25七年级下·天津河东·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上充电桩占地面积为，地下充电桩占地面积为．已知新建10个地上充电桩和20个地下充电桩需要8万元；新建20个地上充电桩和10个地下充电桩需要7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且满足地上充电桩的数量不到地下充电桩数量的一半，则共有几种建造方案？请列出方案，并直接回答选哪种方案时总占地面积最小？ 29．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 30．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3 一元一次不等式组 知识逻辑图 内容导航 知识点一 一元一次不等式组的概念 2 知识点二 不等式组的解集 3 知识点三 一元一次不等式组的解法 5 知识点四 一元一次不等式组的应用 6 题型1 一元一次不等式组的辨别 8 题型2 数轴上表示不等式组的解集 10 题型3 求一元一次不等式组的解集 11 题型4 求一元一次不等式组的特殊解 13 题型5 根据一元一次不等式组解集求参数 15 题型6 根据一元一次不等式组的整数解求参数 17 题型7 一元一次不等式组的结论判断 19 题型8 不等式组在材料阅读中的运用 22 题型9 根据程序图列不等式组求解 29 题型10 方程（组）与不等式组的综合运用 31 题型11 一元一次不等式组的新定义问题 33 题型12 根据问题列一元一次不等式组 36 题型13 一元一次不等式组的应用 37 易错巩固练 41 易错点：1、概念理解不透——混淆一元一次不等式组的判断 41 易错点：2、错用方程方法解不等式组——加减消元生搬硬套 42 易错点：3、数轴表示解集——虚实点混淆、方向标 44 易错点：4、含参不等式组——遗漏端点取舍条件 46 综合练习 48 知识点一 一元一次不等式组的概念 类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 注意：理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点： (1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式； (2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个； (3)不等式组里的不等式至少要有两个， 【基础练习1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【基础练习2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 知识点二 不等式组的解集 不等式组的解集的概念 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集， 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上表示（图示） 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 提示：对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号，界点画实心圆点;无等号，界点画空心圆圈. 【基础练习1】（24-25七年级下·吉林四平·期末）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式“大于小的，小于大的取中间”， 在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心，不包括该点时用空心，据此即可求得解集． 【详解】解：由题意可知，不等式组的解集为， 只有选项A符合题意要求． 【基础练习2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上表示关于的不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从-1出发向右画出的折线且表示-1的点是空心圆，表示x>-1；从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x≤3，不等式组的解集是指它们的公共部分． 所以这个不等式组的解集是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 知识点三 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤 第一步 分别求出不等式组中各个不等式的解集， 第二步 在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集， 第三步 写出不等式组的解集 注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈 提示：两个不等式组成的不等式组的解集既可以用数轴确定，又可以用口诀确定，但三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集用数轴确定较方便. 【基础练习1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 【基础练习2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 ，不等式组的所有整数解为，，， 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的公共解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，，． 知识点四 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验→答。【数量关系包括相等关系（用来表示其余未知量）和不等关系（用来到不等式）.可用到表法或线段图分析法寻找数量关录。】 注意：列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，在解集中找出符合题意的答案。（如:求人数、物品的数目或产品的件数等，只能取非负整数。） 【基础练习1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】 (1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【基础练习2】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】 (1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 题型1 一元一次不等式组的辨别 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不符合题意； C、含有两个未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 【变式练习1】（24-25七年级下·全国·寒假作业）判断对错： （1） 是一元一次不等式组．( ) （2） 是一元一次不等式组．( ) （3） 是一元一次不等式组．( ) 【答案】 × × √ 【分析】（1）根据一元一次不等式组的定义解答； （2）根据一元一次不等式组的定义解答； （3）根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：（1）不等式组中含有两个未知数x、y，不是一元一次不等式组， 故答案为：×； （2）不等式组中含有分式，不是一元一次不等式组， 故答案为：×； （3）不等式组中只含有一个未知数x，且未知数的最高次数为1，是一元一次不等式组， 故答案为：√． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式组是一元一次不等式组，熟记定义是解题的关键． 【变式练习2】（24-25六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 方法技巧：判定一个不等式组是否为一元一次不等式组时，要同时满足以下条件：①每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、是整式不等式）；②所有不等式必须含有同一个未知数；③一个大括号把多个一元一次不等式括在一起。 题型2 数轴上表示不等式组的解集 【典例】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在数轴上表示其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下所示： 故选：A． 【变式练习1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴可知，该不等式组的解集为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，该不等式组的解集为， 故选：． 【变式练习2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是________．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴求不等式组的解集，会利用数轴求不等式组的解集，理解含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：由数轴得 这个不等式的解集是， 故答案：． 题型3 求一元一次不等式组的解集 【典例】（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】   见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如图： 【变式练习1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 【变式练习2】(2025九年级·山东·专题练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： 方法技巧：确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了。 (2)口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. 易错警示：混淆不等式组的解法与方程组的解法解不等式组必须单独解出各个不等式的解集，然后求所有解集的公共部分，而不能像解方程组那样运用代入法或加减法联合起来一起解. 题型4 求一元一次不等式组的特殊解 【典例】（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并求出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为： 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它的所有整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ∴所有整数解为：． 【变式练习1】（2026·四川达州·一模）不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，计算整数解的和即可 【详解】解： 由①得： 移项得 系数化为得 由②得：不等式两边同乘得 移项合并同类项得 系数化为得 原不等式组的解集为 原不等式组的所有整数解为 整数解的和为 【变式练习2】（25-26七年级下·重庆·期中）解不等式组：，并求出最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的最大整数解为__________． 【答案】，，，2，数轴表示见详解 【分析】先分别解两个一元一次不等式，再取不等式组的公共部分解集，根据所得解集表示在数轴上即可得出不等式组的最大整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的最大整数解为2． 方法技巧：要求不等式组的特殊解，首先要求出不等式组的解集，然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解（如正整数解、最小整数解等）.为了便于观察，还可以借助数轴来找特殊解. 题型5 根据一元一次不等式组解集求参数 【典例】（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【变式练习1】（24-25八年级上·湖南永州·期末）如果不等式组的解集是，求的值． 【答案】36 【分析】由含的式子，表示出不等式组的解集，再根据给定的不等式组的解集，求出，再代入求值即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组的解集为：， 又∵不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组．根据不等式组的解集，求出参数的值，是解题的关键． 【变式练习2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到它们的解集，再根据不等式组有解的条件，确定两个解集的公共部分存在时的取值范围． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组有解， ， 解得． 方法技巧：当一元一次不等式（组）化简后未知数的系数中含有参数时，比较已知解集，列不等式（组）或方程（组）来确定参数的值或取值范围是一种常用的基本方法. 题型6 根据一元一次不等式组的整数解求参数 【典例】（24-25七年级下·全国·期中）若不等式组恰有两个整数解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，列出关于m的不等式组． 根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组可以求得m的取值范围 【详解】解：∵不等式组恰有两个整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式练习1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数： （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据只有4个整数解列出不等式组求解即可； （2）先求出不等式组的解集为 ，再根据只有4个整数解得到，解得，则，再讨论的范围并建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解；当时，原不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解， ∴， ∴； （2）解：当时，原不等式组为 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解 ∴不等式组的解集为 ， ， 解得， 当，即时， 必须满足， 解得； 当，即时， 必须满足， 解得． 综上所述，． 【变式练习2】（24-25八年级上·四川达州·月考）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 【答案】33 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的整数解为4， 3， 2， ∴， 解得且， ∴， ∴整数a的最小值为33． 解后反思：利用数轴求不等式组的解集更直观、形象.解题时，易忽临界数值是否符合题意. 题型7 一元一次不等式组的结论判断 【典例】（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于的不等式组，下面是某小组给出的结论： 结论：当时，此不等式组无解； 结论：若不等式组的解集是，则； 结论：若此不等式组有整数解，则； 结论：若不等式组的整数解只有，，，则． 其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】分别解两个不等式，确定解集，再逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 结论：当时，不等式组无解，原说法正确； 结论：若解集为，则，原说法正确； 结论：若不等式组有整数解，则，原说法错误； 结论：若整数解只有，，，则，原说法错误； 综上，结论，结论正确，共个． 【变式练习1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 【变式练习2】（24-25七年级下·天津河东·期末）已知关于x的不等式组，下列结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组无解；③若它的整数解有且仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则，其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：∵， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，则，即不等式组无解， ∴②正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是 ∴③正确， ∵若不等式组有解，即，则， ∴④正确， 故选：D． 题型8 不等式组在材料阅读中的运用 【典例】（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 【变式练习1】（23-24七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】（1）或； （2）；（3）；（4）；（5）或； 【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案； （3）由新定义可得，再解方程组即可； （4）由新定义可得，再结合不等式组只有一个整数解，可得，再进一步可得答案； （5）由新定义可得，解得：，结合，即，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得：或， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）∵， ∴或， 解得：或无解， ∴一元二次不等式的解集是． （3）∵，，， ∴，整理得：， 解得：， （4）∵，而， ∴， 由①得：， 由②得：， ∵关于x的不等式组只有一个整数解， ∴整数解为3， ∴， ∴； （5）∵，而， ∴， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴或， 解得：或； 【点睛】本题考查的是乘法与除法法则的灵活应用，不等式组的解法，二元一次方程组的解法，新定义的含义，理解新定义是解本题的关键． 【变式练习2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）（一）阅读材料 若关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全体整数解可表示为（t为整数）． 例题：求关于x，y的二元一次方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该例题如下： 解：∵， ∴， ∵x，y要取整数， ∴当时，， ∴该方程一组整数解为， ∴其全体整数解为（t为整数）． ∵， ∴． ∵t为整数， ∴或0， ∴该方程的正整数解为、和． （二）解决问题 (1)关于x，y的二元一次方程的全体整数解表示为（t为整数），则________； (2)请参考阅读材料，直接写出关于x，y的二元一次方程的一组整数解和它对应的全体整数解； (3)请你参考小明的解题方法，求关于x，y的二元一次方程的全体正整数解． 【答案】 (1) (2)，(t为整数) (3)，，和 【分析】（1）把代入方程得，求得y的值，即可求得a的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论． 【详解】（1）；理由如下： ∵当时，， ∴方程的一组整数解为， 它的全部整数解(t为整数)， ∵方程的全部整数解表示为:(t为整数)， ∴； （2），(t为整数)； 理由如下：∵， ∴，， ∵x，y为整数， ∴、2、3、4、5、......分别代入验算，得当时， ∴原方程的一组整数解为，原方程的全部整数解(t为整数)； （3）∵， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴当时，， ∴原方程的一组整数解为， ∴原方程的全部整数解(t为整数)； ∵， ∴， ∵t为整数， ∴、、或0， ∴当、、、0时，对应得，，，， ∴方程的全部正整数解为，，和． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键． 题型9 根据程序图列不等式组求解 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的最小整数值是______； （2）如果程序操作进行了三次才停止，那么输入的的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （）根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：（）由题意得，， 解得：， ∴输入的的最小整数值是， 故答案为：； （）由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式练习2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故选：B． 题型10 方程（组）与不等式组的综合运用 【典例】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出和的值，然后解一元一次不等式组即可． 【详解】解：， 得， ∴， 解得； 得， ∴， 解得； ∴． 【变式练习1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 【变式练习2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为__________． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 方法技巧：当方程组的解满足特定要求时，要先设法求出这个方程组的解，再根据题意列出不等式组，求出所求字母参数的值或取值范围. 题型11 一元一次不等式组的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·全国·周测）我们规定：表示，，这三个数中的最小数．如，．如果，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，读懂题目信息并理解新定义“”的意义是解题的关键． 因为表示，，这三个数中的最小数，由可得出，且，两个式子同时成立，联立得到不等式组，据此即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得， 的取值范围是． 【变式练习1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．根据这个规定： （1）________； （2），则x的取值范围________． 【答案】 3 【分析】（1）根据规定表示不大于x的最大整数，即可求解； （2）根据规定表示不大于x的最大整数，可得关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：3 （2）∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解新规定是解题的关键． 【变式练习2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）规定①：，用来表示n个数的平均数，例如：； 规定②：表示这n个数中最小的数．例如： (1)如果，求x的最大整数解； (2)如果，求整数x的值． 【答案】 (1)5 (2)0，1 【分析】（1）由规定①和由规定②，把转化为解答，对所得解集估算，求出最大整数解即可； （2）若，若，若，分类讨论即可． 【详解】（1）解：由规定①知，， 由规定②知，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴x的最大整数解是5； （2）解：∵，且 ， 若，则，且则， ∴， ∴， ∴，解得，不合题意， 若，则，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴x可以取内的任意实数， ∵x是整数， ∴x的值是0，1； 若，则；且，则， ∴， ∴， 则，解得，不合题意． 综上，整数x的值是0，1． 题型12 根据问题列一元一次不等式组 【典例】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量抽水速度抽水时间”以及根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量的范围列出不等式组． 【详解】解：由题意可得 故选：C． 【变式练习1】（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【变式练习2】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 题型13 一元一次不等式组的应用 【典例】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】 (1) (2)应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：； （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：， ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台． 【变式练习1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】 (1)甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件 (2)该商店共有5种采购方案 (3)当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用； （1）设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件，购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元，再建立方程组解题即可； （2）设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具，乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可； （3）甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润，可得当甲种玩具购进80件时，销售利润最大，再计算即可； 【详解】（1）解：设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件； （2）解：设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具， 根据题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为76，77，78，79，80， ∴共有5种采购方案． 答：该商店共有5种采购方案； （3）解：∵甲种玩具每件利润是． 乙种玩具每件利润为（元）， ∴甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润， ∴当甲种玩具购进80件时，销售利润最大． 最大利润为， 答：当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【变式练习2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【答案】购进商品的件数为19件或20件 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用： 设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品， 则， 解得， 为整数， 的值为19或20． 答：购进商品的件数为19件或20件． 方法技巧：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上寻找等量关系或不等关系，准确列出方程（组）或不等式（组）. 易错巩固练 易错点：1、概念理解不透——混淆一元一次不等式组的判断 1．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案． 【详解】①是一元一次不等式组，故①正确； ②是一元一次不等式组，故②正确； ③是一元二次不等式组，故③错误； ④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误； ⑤是二元一次不等式组，故⑤错误； ⑥是一元一次不等式组，故⑥正确. 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义即可判断． 【详解】A.符合一元一次不等式组的定义，不符合题意； B．符合一元一次不等式组的定义，不符合题意； C．含2个未知数，不符合一元一次不等式组的定义，符合题意； D．符合一元一次不等式组的定义，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的定义． 典型错误：判定一个不等式组是否为一元一次不等式组时，容易忽略以下条件：①每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、是整式不等式）；②所有不等式必须含有同一个未知数；③一个大括号把多个一元一次不等式括在一起。 易错点：2、错用方程方法解不等式组——加减消元生搬硬套 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组：分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可． 【详解】解：解第一个不等式： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：； 解第二个不等式： 两边同乘6得： 去括号得： 移项得： 合并得：； ∴不等式组的解集为． 典型错误：受解二元一次方程组“加减消元”或“代入消元”的影响，不加区分地将不等式组中的不等式直接相加或整体消元，导致解集错误或遗漏取值。 易错点：3、数轴表示解集——虚实点混淆、方向标 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】；数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示如下： ． 2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解：先分别解出两个一元一次不等式，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式： 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 解不等式： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： ． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】不等式组的解集为：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上把解集表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ， ， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示出来为： 典型错误：在数轴上表示不等式组的解集时，常出现以下错误：含等号的用空心圈，不含等号的用实心点；大于号的解集向左画，小于号的解集向右画；解集会公共部分取错，或者在数轴上未求两个解集重叠的阴影部分。 口诀：含等号（≥、≤）画实心圆点，不含等号（>、<）画空心圆圈；大于号向右画，小于号向左画 易错点：4、含参不等式组——遗漏端点取舍条件 1．（24-25七年级下·江苏·课后作业）已知不等式组的解集为，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．解出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集比较，可得答案． 【详解】解：由，得：， 由得：， 不等式组的解集为， ，， 解得，． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，， ， ∴解得， 的取值范围为． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）根据不等式组无解可知，解之即可； （2）根据不等式组恰好有2022个整数解，那么整数解是从0开始到2021结束的自然数，由此可知，解之即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴， ∴； （2）解：∵不等式组恰好有2022个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 典型错误：含参问题综合多种不等式组和整数条件，第一步求参数范围时就常出错：不会用数轴画图推理，不知道端点值是否可取，或者移项符号错误造成范围完全不对。 综合练习 一．选择题 1．（24-25七年级下·浙江台州·月考）下列属于一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一进行分析即可得. 【详解】A. ，含有两个未知数，且最高为2次，故不符合题意； B. ，是高为二次，故不符合题意； C. ，含有两个未知数，故不符合题意； D. ，是一元一次不等式组，故符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，正确理解概念是解题的关键.注意一元一次不等式组的特点：①每一个不等式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次． 2．（24-25七年级下·江苏南通·月考）把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组，再把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： 把解集表示在数轴上， 3．（2026·广东佛山·一模）一元一次不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握解一元一次不等式的步骤，先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ，即 不等式两边同乘，不等号方向改变 根据同大取大，两个不等式解集的公共部分为 不等式组的解集为． 4．（2026·广东惠州·一模）不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 5．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 6．(2025·广东深圳·模拟预测）若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有解， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组及整数解问题． 需先分别解两个不等式，确定解集范围，再根据整数解的个数确定参数a的取值范围，进而求出整数a的最小值． 【详解】解不等式组： 解第一个不等式，得． 解第二个不等式，两边同乘3得，解得． 因此，不等式组的解集为． 不等式组解集中至少有2个整数解，即不等式组解集内至少包含整数1和2． 需满足，即． 因此，整数a的最小值为2． 故选：B． 8．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 9．（25-26八年级下·重庆·开学考试）按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】A 【分析】根据流程图结合程序操作进行了两次后停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 10．（2025·浙江·三模）对于实数a、b，规定一种运算“*”：，那么不等式组的解在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据新规定运算法则得到不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由题意可得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示如下： ， 故选：A 11．(2025九年级·全国·竞赛）若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 12．（25-26九年级上·重庆·期末）已知多项式，其中为正整数，为自然数，且，下列说法：①当，时，多项式为； ②当，满足条件的多项式最高项次数不大于； ③当（其中），满足条件的整式共有个． 其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说法①直接计算系数和验证；说法②通过系数和与系数的不等关系说明最高次数不大于；说法③在前提下，找出所有满足且系数和为的系数即可． 【详解】解：∵多项式系数满足，且 ，其中为正整数，为自然数， ①当时，得：，，且， 当时，得： ∴，且， ∴此时多项式为，说法正确； ②时， 假设，则系数和，与已知矛盾； 当时，系数和，且， ∴， ∴， 得：，， ∴，， 此时，符合题意； 当时，，且， 得：，， ∴， 此时，符合题意； 当时，此时无，不符合题意， 综上所述，当，满足条件的多项式最高项次数不大于，说法正确； ③当时， ∵为正整数， ∴， 当时，得：且， ∴，， ∴符合条件的、的值有： ，，，，，，， 此时满足条件的整式有个； 当时，得：，且，， ∴，， ∴，， ∴符合条件的、、的值有： ，，，，，，， 此时满足条件的整式有个； 当时，得：，且，，， ∴，，， ∴， ∴，不符合题意； 用同样的方法，当时，得，不符合题意； 综上所述，满足条件的整式共有个，说法正确； ∴正确结论的个数是． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的定义，整式的加减运算，新定义，不等式组的应用，理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 二．填空题 13．（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集 _____． 【答案】 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵2处为实心圆点，且折线向左， ∴； ∵-3处为实心圆点折线向右， ∴， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 14．（25-26九年级下·江苏南京·期中）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集. 【详解】 解不等式①，移项得，系数化为1得； 解不等式②，移项得. ∴不等式组的解集为. 15．（2026·江苏宿迁·一模）不等式组的整数解之和为______． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为，，， ∴整数解之和为． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的求解，先分别求解不等式组中两个不等式，再根据已知解集对应得到和的值，最后计算即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集是， ，， 解得， ． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，不等式组的整数解______． （2）若不等式组有3个整数解，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后得出不等式组的整数解即可； （2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，原不等式组可变为， ∴原不等式组解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； 故答案为：； （2）解不等式组得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对一个实数x按如图所示的程序操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于25，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入x的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出输入的x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 输入的的取值范围为， 故答案为：． 20．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 三．解答题 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式组： (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确确定不等式组的解集． （1）（2）先分别求解两个不等式的解集，再依据“大小小大中间找”的原则，确定两个解集的公共部分，可得到该不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 22．（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确解出每个不等式的解集，并准确确定公共部分，注意不等号方向在乘除负数时的变化． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后将解集表示在数轴上． 【详解】解：解不等式： ． 解不等式： ． 因此，不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． 23．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知不等式组无解，求的取值范围． （2）已知不等式组无解，求的取值范围． （3）已知不等式组的解是1，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数， （1）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （2）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （3）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； 【详解】解：（1）解得． 由不等式组无解得，得． （2）解得． 由不等式组无解得，得． （3）解得． 由不等式组的解是，得，解得． 25．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】 (1)1 (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出的取值范围是解题关键． （1）先求出不等式组的解集为，再根据不等式组的最小整数解为，列出关于a的不等式求解即可； （2）根据不等式组的解集为以及所有整数解的和为14可得整数解为，或再列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为，或 ∴，或 解得或． 26．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】 (1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 27．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 28．（24-25七年级下·天津河东·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上充电桩占地面积为，地下充电桩占地面积为．已知新建10个地上充电桩和20个地下充电桩需要8万元；新建20个地上充电桩和10个地下充电桩需要7万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且满足地上充电桩的数量不到地下充电桩数量的一半，则共有几种建造方案？请列出方案，并直接回答选哪种方案时总占地面积最小？ 【答案】 (1)新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有2种建造方案，方案一：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案二：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案一（新建18个地上充电桩，42个地下充电桩）总占地面积最小 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“10个地上充电桩和20个地下充电桩需要8万元，20个地上充电桩和10个地下充电桩需要7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.2万元的资金，地上充电桩的数量不到地下充电桩数量的一半”列不等式组，求出整数解，再计算占地面积即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 由题意得， 解得， 即新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元． （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， m为整数， 的值为18或19， 共有2种建造方案，方案一：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案二：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案一占地面积为：， 方案二占地面积为：， 综上可得，方案一（新建18个地上充电桩，42个地下充电桩）总占地面积最小． 29．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】 (1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 30．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 【答案】 (1)①3；② (2)不成立，反例见解析 (3)0或或 (4)证明见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，理解新定义． （1）①根据新定义即可得到答案； ②根据新定义列出不等式组，即可解得答案； （2）由新定义可知不一定成立，再举一个反例即可； （3）根据新定义列出不等式组求出的取值范围，再由为整数可得的值． （4）设，根据新定义证明即可． 【详解】（1）解：①， ． 故答案为：3． ②， ， 解得． （2）解：不一定成立， 比如：，， ， 而， 此时． （3）解：， ∴， 解得． 为非负数， ． 设，则k为整数， ∴， ， 解得：， ， 或或． 故答案为：0或或． （4）设， 则， ． ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $