专题06 二次根式全章19大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 本专项以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，整合19类题型，通过类比转化、性质迁移等方法提炼，强化运算能力与应用意识，覆盖中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2题型|概念辨析法|从定义出发识别形式与有意义条件，奠定基础| |性质应用|4题型|参数方程法、性质迁移法|结合性质解决参数问题，判断最简二次根式，深化理解| |运算技巧|9题型|法则应用、分母有理化、复合化简法|从单运算到混合运算，形成系统运算体系| |综合应用|4题型|求值技巧、比较法、实际建模|解决求值、大小比较及实际问题，提升应用意识|

专题06 二次根式 题型01 二次根式的识别 题型11 已知最简二次根式求参数 题型02 求二次根式中的参数（常考点） 题型12 复合二次根式的化简（难点） 题型03 二次根式有意义的条件（常考点） 题型13 同类二次根式 题型04利用二次根式的性质化简（常考点） 题型14 二次根式的加减运算（重点） 题型05 二次根式的乘法 题型15 二次根式的混合运算（重点） 题型06 二次根式的除法 题型16 已知字母值的化简求值（常考点） 题型07 二次根式的乘除混合运算（重点） 题型17 已知条件式的化简求值（常考点） 题型08 分母有理化（重点） 题型18 比较二次根式的大小（重点） 题型09 最简二次根式的判断 题型19 二次根式的应用（常考点） 题型10 化为最简二次根式（重点） 题型01 二次根式的识别 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答． 【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式； 选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式； 选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式； 选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式． 2．（25-26八年级下·江苏·单元测试）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： A、被开方数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； B、的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； C、对任意实数，都有，∴ ，被开方数恒为非负数，∴ 是二次根式，故该选项符合题意； D、当时，，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 题型02 求二次根式中的参数 1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_，解这个方程，得_．经检验，_是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 题型03 二次根式有意义的条件 1．（2026·江苏无锡·二模）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式 ，即． 2．（2026·江苏苏州·一模）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式即可求解. 【详解】解：函数有意义，则， 解得； 因此自变量的取值范围是. 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 题型04 利用二次根式的性质化简 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式和二次根式的性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 2．（2026·江苏连云港·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_____； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，为 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值，为． （3）解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 题型05 二次根式的乘法 1．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在菱形中，，为的中点．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则______；菱形的边长为______． 【答案】 /度 【分析】连接，延长，交于，连接，根据菱形的性质得出，都是等边三角形，根据为的中点可得，，即可证明是等边三角形，得出为的中位线，根据中位线的性质得出，根据垂线段最短得出当时，取最小值，此时取最小值，可得，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 当时，取最小值，此时取最小值， ∵最小值为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型06 二次根式的除法 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列二次根式的化简，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质和化简规则判断各选项正误，选出化简错误的选项. 【详解】解：A. ，故原化简错误，符合题意； B.=3，故原化简正确，不符合题意； C.，故原化简正确，不符合题意； D.，故原化简正确，不符合题意. 2．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ． （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 【答案】（1）化简为，值为； （2） 【分析】（1）先计算括号内的分式减法(通分后利用完全平方公式因式分解)，再对括号外的分式进行因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值并分母有理化； （2）先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后，检验所得解是否使原方程分母不为零． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型07 二次根式的乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再根据菱形的性质得到为直角三角形，再根据，得到，根据含角的直角三角形的性质得出，得出为等边三角形，过点C作，过点D作，交延长线于F，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用面积法得出CE的长即可得答案． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴为中点，． 过点C作，过点D作，交延长线于F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵． ∴． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2)原方程无解 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 两边同时乘，得． 移项合并，得， 解得． 经检验是增根． ∴原方程无解． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据乘法公式可进行求解； （2）根据二次根式的乘除运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 题型08 分母有理化 1．（2026·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2026·江苏无锡·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式. 题型09 最简二次根式的判断 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个化简判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数是正整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 3．（2026九年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 【答案】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断． 【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， ，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式， =，不属于二次根式，因此不是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 综上，最简二次根式共有个． 题型10 化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形的面积为12，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出，根据矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形， ∴，即 ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为12， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形 ∴ 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； （2）解：由（1）得． 题型11 已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式，平移至（点与点对应，点与点对应），连接、． (1)求、的值及点坐标； (2)点、分别是、边上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接，当、分别在、边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，将线段绕点逆时针旋转至，连接，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)，， (2)存在， 的最小值为 (3)，理由见解析 【分析】（1）先根据二次根式的性质求出，，进而得出点，坐标，最后用平移的性质求出点的坐标； （2）先判断出，判断出时，最小，最后用平行四边形的面积求出的最小值，即可求出答案； （3）连接，先判断出，得出，进而判断出，最后用勾股定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，， ，， 由平移得，， ， （2）解：如图，连接，过点作， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 则最小，即最小， 由（1）知，，， ，， ， ， 当时，有最小， 由平移可得，，且平行于， ∴四边形是平行四边形， ， ， 即的最小值为； （3）解：． 理由：如图2，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 根据勾股定理得，， ． 题型12 复合二次根式的化简 1．（2026·江苏淮安·一模）计算： 【答案】 【详解】解：原式. 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算：_；_； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·江苏南通·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝_，b＝_． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3）， ， ． 题型13 同类二次根式 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，是整数，与不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【分析】由两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∴的值是． 题型14 二次根式的加减运算 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加法运算即可； （）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型15 二次根式的混合运算 1．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：. 2．（2026·江苏南通·一模）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断，比如对和比较大小，那么，当时，则；当时，则；当时，则． (1)比较和的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意利用求差法比较即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ． （2） ， ， ． 3．（2026·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型16 已知字母值的化简求值 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，均为实数 ∴ 解得：， ∴      ． 2．（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 【答案】 【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由二次根式的性质化简即可得出结果； （2）先求出，，①再结合完全平方公式计算即可得出结果；②先通分，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ①； ②． 题型17 已知条件式的化简求值 1．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 2．（2026·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 【答案】； 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则_； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 题型18 比较二次根式的大小 1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较平方的大小来判断平方根的大小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ①_； ②_ (2)计算：_； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴． 题型19 二次根式的应用 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据直角三角形的性质求出的长及的度数，设，则，，过点作于，在中，表示出和，进而表示出，在中利用勾股定理得到，利用完全平方公式变形求出最小值即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 设， ， ， ， 过点作于， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴ 有最小值， 的最小值为． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等高三角形面积比等于底边比，推导出对角线分成的四个三角形中，相对两个三角形面积的乘积相等，最后利用题干给出的不等式性质求解． 【详解】解：设，， 与等高，与等高， ，， ， ， ，， ， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ， ， 即四边形的面积的最小值为． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）根据已知等式找出规律即可求解； （）根据已知等式找出规律即可求解； （）利用（）的规律代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：由（）可得，， 故答案为：； （3）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式 题型01 二次根式的识别 题型11 已知最简二次根式求参数 题型02 求二次根式中的参数（常考点） 题型12 复合二次根式的化简（难点） 题型03 二次根式有意义的条件（常考点） 题型13 同类二次根式 题型04利用二次根式的性质化简（常考点） 题型14 二次根式的加减运算（重点） 题型05 二次根式的乘法 题型15 二次根式的混合运算（重点） 题型06 二次根式的除法 题型16 已知字母值的化简求值（常考点） 题型07 二次根式的乘除混合运算（重点） 题型17 已知条件式的化简求值（常考点） 题型08 分母有理化（重点） 题型18 比较二次根式的大小（重点） 题型09 最简二次根式的判断 题型19 二次根式的应用（常考点） 题型10 化为最简二次根式（重点） 题型01 二次根式的识别 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏·单元测试）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 求二次根式中的参数 1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_，解这个方程，得_．经检验，_是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型03 二次根式有意义的条件 1．（2026·江苏无锡·二模）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·一模）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 题型04 利用二次根式的性质化简 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列运算正确的是 A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·一模）计算：． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_____； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 题型05 二次根式的乘法 1．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在菱形中，，为的中点．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则______；菱形的边长为______． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 题型06 二次根式的除法 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列二次根式的化简，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）解分式方程：． 题型07 二次根式的乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算、解方程： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型08 分母有理化 1．（2026·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·江苏无锡·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 题型09 最简二次根式的判断 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 题型10 化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形的面积为12，且，求的长． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 题型11 已知最简二次根式求参数 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，满足是整数，且为最小的正整数，满足最简二次根式与是同类二次根式，平移至（点与点对应，点与点对应），连接、． (1)求、的值及点坐标； (2)点、分别是、边上的动点，连接、，、分别为、的中点，连接，当、分别在、边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，将线段绕点逆时针旋转至，连接，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 题型12 复合二次根式的化简 1．（2026·江苏淮安·一模）计算： 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算：_；_； (2)解方程：； (3)若，求的值． 3．（23-24八年级下·江苏南通·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝_，b＝_． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 题型13 同类二次根式 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 题型14 二次根式的加减运算 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 题型15 二次根式的混合运算 1．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是__________． 2．（2026·江苏南通·一模）七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断，比如对和比较大小，那么，当时，则；当时，则；当时，则． (1)比较和的大小； (2)比较与的大小． 3．（2026·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中． 题型16 已知字母值的化简求值 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 2．（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）已知，化简：． （2）已知，． ①求的值； ②的值． 题型17 已知条件式的化简求值 1．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 2．（2026·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则_； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 题型18 比较二次根式的大小 1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ①_； ②_ (2)计算：_； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 3．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 题型19 二次根式的应用 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，D，E分别是，上的动点，且，则的最小值为______． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $