精品解析：北京市某重点校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2026学年高一数学第二学期期中考试 一、单选题 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，， 是上的单调递增函数，，， 是上的单调递增函数，，， ，故选项C正确. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】将，代入， 得：， 在中，点B、C、D三点共线， 根据三点共线的向量性质得：，即：， 所以， 当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为，且，， 是奇函数，排除选项C和D，当时，， 排除选项B. 故选：A． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象先求，再利用三角函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：，所以， 所以，所以，又， 所以，所以 ，又， 当，所以，故A正确， 又，故B正确； 令 ，解得 ， 所以在单调递增，在单调递减，故C错误； 由 函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数， 所以 ，所以 ，当时，，故D正确. 7. 已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直求出，然后对不等式进行平方化简，根据二次函数的性质得到结果. 【详解】因为非零向量，满足，， 所以，即. 所以. 由于对，恒成立，不等式两边平方得. 化简得，设，， 则不等式变为. 要使得不等式恒成立，则判别式， 化简得，解得，即. 8. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由于，所以，可知，解得， 则，由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 9. 函数的部分图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出的解析式，在根据函数周期性计算可解. 【详解】由的解析式可知，， 在中，令，得，令，得，故，，即， 故的最小正周期，即，解得，故， 则，得， 因为，所以，则， 因为，，，，， ，，，，， 因为，， 所以， 10. 已知点为三角形所在平面内一点，满足，（其中）以下说法错误的是（ ） A. 若直线过边的中点，则 B. 当时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，，则，满足 【答案】B 【解析】 【分析】先整理向量关系式，遇到三点共线问题利用中点向量公式结合共线定理对比系数判断关系；求解三角形面积比直接套用奔驰定理确定面积比例；已知向量模长或垂直关系时，将向量等式两边平方，借助数量积公式代入数值运算推导结论，逐一验证各个选项正误即可. 【详解】因为，所以， 选项A：设的中点为，则 ， 若过，则三点共线，故存在实数，使得 ， 则与比较，得： 即，故A正确； 选项B：当时，，整理得， 若，则 因为，所以 故 ，故B错误； 选项C：若，则，即， 所以， 所以， 代入 ，得： ，即， 又，因此：，故C正确. 选项D：由，所以， 把， ， ，代入得： ，即，故D正确. 二、填空题 11. 已知向量，，若，则的值为___________；若，则的值为___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用平面向量垂直、平行的坐标运算性质分别计算对应情况下的取值， 【详解】若，所以 解方程得： ，即， 若，所以： ，解方程得：. 12. 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得 。 由, 得 ，所以 或， 若两向量共线，可得 ，即 ，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 13. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，只需满足，且即可） 【解析】 【详解】由，得，且时满足题意； 令，可得. 此时，，满足题意. 14. 窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 已知，，所以，解得. 因为，所以. 所以此扇环形窗花的面积为： 故答案为：. 15. 已知函数，定义域为___________，的单调增区间为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由分母不为零确定定义域，再通过三角恒等变换化简函数，结合正弦函数的单调区间求解后扣除定义域限制的点即可． 【详解】1.要使函数有意义，需满足分母，解得， 因此的定义域为． 2.化简函数解析式： 在定义域的条件下： ； 因为正弦函数的单调增区间为， 令，代入得： ， 解不等式可得：； 结合定义域， 因此的单调增区间为． 16. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义可求. 【详解】正方形的边长为2，则内切圆半径为1, 因为弦的长度最大，所以为直径，圆心为中点， 则， 所以， 根据题意当在切点时，，当在正方形顶点处时，， 即，即， 故答案为：. 17. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示： 则，解得，即， 故答案为：. 18. 已知函数，，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则的最大值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定的值，然后分类讨论由的值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期， 由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是，则有， 当时，，， 由，得， 而，则，， ，直线为图象的一条对称轴，符合题意， 当时，，函数在上单调递减，符合题意. 所以的最大值为5. 19. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可 【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为； ，令，则， 故单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为. 两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和， 所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是. 20. 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】设第分钟点距离地面的高度为米，由题意可得，从而可得，即可判断①②；由题意可求得点每分钟都旋转20米，即可判断③；由，即可判断④. 【详解】由题意可设第分钟点距离地面的高度为米， 则， 又因为， 所以， 又因为， 所以． ，故①正确； 当，即时，取最大值，为，故②不正确； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟， 所以点每分钟旋转（米）， 同理可得点每分钟旋转（米）， 所以点在竖直方向上的速度低于40米/分，故③正确； 若到的距离等于15米， 则点在线段PM上， 则需， 所以不存在，使得时到的距离等于15米，④不正确． 故答案为：①③． 三、解答题 21. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求 （2）求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用二倍角的正切公式求出; （2）先利用诱导公式对原式进行化简，再结合三角函数的定义求出和的值，最后代入化简后的式子求值; （3）利用诱导公式将和进行变形，再结合已知条件求解. 【小问1详解】 已知角的终边过定点，所以, . 【小问2详解】 角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则， 所以． 所以 【小问3详解】 因为， 所以 所以． 22. 以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示． （1）如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值； （2）如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率； （3）记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明） （注：，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意列不等式求a的所有可能取值； （2）分别列出所有基本事件以及符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解； （3）利用方差的公式计算即可. 【小问1详解】 依题意有，解得， 又，所以a的所有可能取值构成的集合为. 【小问2详解】 记甲组四名同学分别为，他们植树的棵数依次为， 乙组五名同学分别为，他们植树的棵数依次为， 分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，所有可能的结果有20个， 即 ， 用事件C表示“选出的两名同学的植树总棵数不小于20”，则事件C中的结果有10个， 它们是， 故所求概率. 【小问3详解】 甲组同学的植树棵数的方差为， 把甲组中每一个数据都变为原来的2倍，则这组新的数据方差， 把甲组中每一个数据都增加2，这组新的数据方差， 所以. 23. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）在上有一个零点；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由是奇函数得到，得到的等式，解得的值；将代入，利用奇函数的定义进行证明，从而得到结论. （2）求出函数在上单调递增，求出，，根据零点的存在性定理，得到在上有一个零点. 【小问1详解】 因为，可得，即，解得； 当时，，， 故是奇函数，满足题意， 故. 【小问2详解】 当，可得，则， 因为在区间为单调递增函数， 所以函数在区间为单调递增函数， ，则在上恒成立， 又因为函数和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点的存在性定理， 可得在区间上有一个零点， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上有一个零点. 24. 条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． （1）求的解析式； （2）设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）②③, （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）分别分析①②，②③，①③三种选择，对应的情况，可确定的值，求得的解析式； （2）根据（1）所得的的解析式，求得，利用正弦函数的单调性求得函数的值域；并根据该值域，分离参数并利用的单调性求得实数的取值范围． 【小问1详解】 （1）若选择①②： 由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 即，. 由，所以或. 即不能唯一确定，不合题意； 若选①③： 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 由条件③在上为增函数，在处取得最大值， 且，即. 此时不能唯一确定，不合题意； 若选②③，由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件③在上为增函数，且 ， 得函数在处取得最大值，且在处取得最小值， 所以. 由，得，唯一确定. 此时，. 【小问2详解】 ①由（1）得 ． 由，得． 令，则． 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即， 所以，即函数的值域为． ②因为存在， 所以由关于的不等式成立， 得到． 令，得， 由解析式可知：在上是增函数， 所以的最小值在处取得最小值，即最小值为， 所以的取值范围是． 25. 已知函数，定义域为． （1）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角公式将化简，将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数转化成正弦函数求解； （2）由对任意的，总存在，使得成立，本质上是两个函数在给定区间上的值域包含问题，利用换元法求值域即可. 【小问1详解】 由 ， 由，即 ，则， 令，，则， 则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图 由，解得，即实数a的取值范围； 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 得 当，则，可得， 从而； 当，则，可得， 从而， 当，， 当，， 由对任意的，总存在，使得成立， 则或 解得或， 实数m的取值范围为． 26. 记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） （2）已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【答案】（1）是平衡的，不是平衡的； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断，找到反例，即可判断； （2）（i）考虑，根据性质③知若，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设中最小的（之一）为，且，设，根据（i）的证明方法知当时，，则都不大于，最后相加即可证明. 【小问1详解】 是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． 【小问2详解】 （i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年高一数学第二学期期中考试 一、单选题 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 7. 已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 0 8. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 函数的部分图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点为三角形所在平面内一点，满足，（其中）以下说法错误的是（ ） A. 若直线过边的中点，则 B. 当时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且 ，，则，满足 二、填空题 11. 已知向量，，若，则的值为___________；若，则的值为___________． 12. 已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 13. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 14. 窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为______. 15. 已知函数，定义域为___________，的单调增区间为___________． 16. 已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_____． 17. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 18. 已知函数，，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则的最大值为______ 19. 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 20. 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为______． 三、解答题 21. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点． （1）求 （2）求的值． （3）若，求的值． 22. 以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示． （1）如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值； （2）如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率； （3）记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明） （注：，） 23. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 24. 条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． （1）求的解析式； （2）设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 25. 已知函数，定义域为． （1）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 26. 记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） （2）已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $