专题03 因式分解11大题型（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材苏科版

专题03 因式分解 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 关键点： 1. 左边是多项式，右边是几个整式相乘； 2. 分解要彻底，不能再分解为止； 3. 因式分解是恒等变形，不是计算求值。 因式分解与整式乘法的关系 1. 整式乘法：整式积→多项式（展开） 2. 因式分解：多项式→整式积（还原），二者是互逆变形。 基本因式分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 2. 找公因式三步： · 系数：取各项系数的最大公因数； · 字母：取各项相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 3. 公式形式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 特殊：首项为负，先提负号。 （二）公式法 1.平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用特征：两项、平方、异号。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2​ 适用特征：三项、首末平方、中间两倍乘积。 （三）十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得 a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： · 适用于二次项系数为1的二次三项式； · 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 因式分解一般步骤（口诀） 一提、二套、三分组、四检查 1. 先提公因式； 2. 再套用公式（平方差、完全平方）； 3. 两项看平方差，三项看完全平方； 分解后检查是否还能再分解，必须分解到不能再分为止。 因式分解的应用 1. 利用因式分解简便运算 2. 已知因式分解结果求参数 3. 代数式化简与求值 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因式分解要求左边是多项式，结果为几个整式乘积的形式， A 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意. B 结果为 ，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意. C 将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意. D 该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意. 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 公因式 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 提公因式法分解因式 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___． 【答案】 【详解】解：． 【变式3-1】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：． 【答案】 【分析】直接提公因式分解因式． 【详解】解：． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【答案】 【分析】整理后提取公因式即可． 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 公式法分解因式 【例4】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式需满足：是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可． 【详解】解：因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； 因为，所以B选项符合题意； 因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； 因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 【变式4-2】（2026·江苏连云港·一模）因式分解：______． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方公式的结构特征，可直接套用完全平方公式分解因式. 【详解】解： . 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知多项式可以分解成，则m的值是________． 【答案】 【详解】解：， 则m的值是 错误1：概念错误 · 混淆因式分解与整式乘法，分不清和差化积、积化和差； 错误2：提公因式易错 · 提取公因式后漏写1；提负号时部分项不变号；公因式提取不彻底； 错误3：公式运用易错 · 两项同号乱用平方差；完全平方漏掉2倍；公式符号记混； 错误4：分解不彻底 · 因式还能继续分解就停止运算，没有分到最简； 错误5：符号错误 · 去括号、添括号变号不全，正负号使用混乱； 错误6：步骤错误 · 不先提公因式，直接套用公式，解题顺序颠倒； 错误7：结果不规范 · 因式顺序杂乱，括号内首项带负号，书写格式错误。 已知因式分解的结果求参数 【例5】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 综合提公因式法和公式法分解因式 【例6】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解． 【详解】解：． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 十字相乘法分解因式 【例7】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 【变式7-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式7-2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中十字相乘法的应用，熟练掌握因式分解中十字相乘法是解题关键． 对于二次三项式，利用十字相乘法，将常数项分解为两个整数的乘积，这两个整数的和即为的可能值，列出所有分解情况并计算和，得到的所有可能值． 【详解】设 ，则展开后比较系数得 且 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 综上，整数的所有可能值为：． 故答案为． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 分组分解法分解因式 【例8】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式8-1】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）因式分解：________．________． ________．________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握好因式分解的方法是解题关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解； （2）将转化为，然后提公因式； （3）应用平方差公式分解； （4）先分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ， ， ； （4）解：原式， ， ， ； 故答案为：；；；． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)求方程的整数解． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法将原方程化为，再根据，都是整数得到，都是整数，进而根据求解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ，都是整数， ，都是整数， ∵， 或， 解得：或， 综上，方程的整数解为：或． 1.解题顺序口诀：一提公因式，二套乘法公式，三检查是否分解彻底。 2.提公因式法 · 确定公因式：系数最大公因数，相同字母取最低次幂； · 首项为负先提负号，括号内各项全部变号； · 提取后剩余项不能漏掉1。 3. 平方差公式： · 形式：a2−b2=(a+b)(a−b) · 适用：两项、异号、均可写成平方形式 4. 完全平方公式 · 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 ；差：a2−2ab+b2=(a−b)2 · 适用：三项，首尾平方同号，中间项为2倍乘积。 5.综合运用先提公因式，再套用公式，逐层分解。 因式分解求代数式的值 【例9】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若，则__________． 【答案】6 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式，得． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式 【变式9-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 利用因式分解简便运算 【例10】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：____________． 【答案】4051 【分析】利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【详解】解：原式 ． 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 【变式10-3】（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 因式分解的应用 【例11】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用作差法，将所得的式子因式分解即可解答． 【详解】解：， ． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 【变式11-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，仿照题干，设，即可求解； （2）已知两个一次因式，同理设出剩余的二次因式，求出参数后对二次因式继续分解即可得到最终结果． 【详解】（1）解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：多项式含有因式和， 设， 又， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解 因式分解的概念 （一）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 关键点： 1. 左边是多项式，右边是几个整式相乘； 2. 分解要彻底，不能再分解为止； 3. 因式分解是恒等变形，不是计算求值。 （二）因式分解与整式乘法的关系 1. 整式乘法：整式积→多项式（展开） 2. 因式分解：多项式→整式积（还原），二者是互逆变形。 因式分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 2. 找公因式三步： · 系数：取各项系数的最大公因数； · 字母：取各项相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 3. 公式形式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 特殊：首项为负，先提负号。 （二）公式法 1.平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用特征：两项、平方、异号。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2​ 适用特征：三项、首末平方、中间两倍乘积。 （三）十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得 a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： · 适用于二次项系数为1的二次三项式； · 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 因式分解一般步骤（口诀） 一提、二套、三分组、四检查 1. 先提公因式； 2. 再套用公式（平方差、完全平方）； 3. 两项看平方差，三项看完全平方； 4. 分解后检查是否还能再分解，必须分解到不能再分为止。 因式分解的应用 1. 利用因式分解简便运算 2. 已知因式分解结果求参数 3. 代数式化简与求值 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 公因式 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式中，各项的最大公因式是（　） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 提公因式法分解因式 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式： ． 【变式3-1】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：． 【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【变式3-4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）分解因式： (1) (2)． 公式法分解因式 【例4】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·江苏连云港·一模）因式分解： ． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知多项式可以分解成，则m的值是________． 错误1：概念错误 · 混淆因式分解与整式乘法，分不清和差化积、积化和差； 错误2：提公因式易错 · 提取公因式后漏写1；提负号时部分项不变号；公因式提取不彻底； 错误3：公式运用易错 · 两项同号乱用平方差；完全平方漏掉2倍；公式符号记混； 错误4：分解不彻底 · 因式还能继续分解就停止运算，没有分到最简； 错误5：符号错误 · 去括号、添括号变号不全，正负号使用混乱； 错误6：步骤错误 · 不先提公因式，直接套用公式，解题顺序颠倒； 错误7：结果不规范 · 因式顺序杂乱，括号内首项带负号，书写格式错误。 已知因式分解的结果求参数 【例5】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 综合提公因式法和公式法分解因式 【例6】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解：_________． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 十字相乘法分解因式 【例7】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【变式7-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【变式7-2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 分组分解法分解因式 【例8】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）分解因式：________． 【变式8-1】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）因式分解：________．________． ________．________． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)求方程的整数解． 1.解题顺序口诀：一提公因式，二套乘法公式，三检查是否分解彻底。 2.提公因式法 · 确定公因式：系数最大公因数，相同字母取最低次幂； · 首项为负先提负号，括号内各项全部变号； · 提取后剩余项不能漏掉1。 3. 平方差公式： · 形式：a2−b2=(a+b)(a−b) · 适用：两项、异号、均可写成平方形式 4. 完全平方公式 · 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 ；差：a2−2ab+b2=(a−b)2 · 适用：三项，首尾平方同号，中间项为2倍乘积。 5.综合运用先提公因式，再套用公式，逐层分解。 因式分解求代数式的值 【例9】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若，则__________． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【变式9-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 利用因式分解简便运算 【例10】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：____________． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【变式10-3】（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 因式分解的应用 【例11】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【变式11-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $