精品解析：山西大同市第二中学校2025—2026学年第二学期中学情监测 八年级数学

2025－2026学年第二学期期中学情监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷采用闭卷考试形式，共6页，满分120分，用时120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（ ）． A. B. C. D. 6. 一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（ ） A. 13米 B. 15米 C. 17米 D. 18米 7. 社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米． A. 5 B. 4 C. D. 3 8. 某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（ ） A. 测得平行于，且等于 B. 测得，且 C. 测得，且平行于 D. 测得，且 9. 如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（ ）米． A. 6 B. 7 C. 8.5 D. 12 10. 在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（ ） A. 20或 B. 20或 C. 或 D. 40或 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案写在答题卡上的相应位置．） 11. 已知是整数，正整数的值可以是______． 12. 一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 13. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 14. 如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 15. 在正方形中，点是上一点，连结，过点作于点，交于点．则与的数量关系式为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．） 16. 计算： （1） （2） 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数． 18. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，按要求完成下列各题（字母均在格点上）： （1）图1中，在网格上找到一个格点，画出． （2）图2中，以为边画正方形，其中、、、均在格点上． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 观察下列等式： ， ， ， … （1）利用你发现的规律，化简_________； （2）根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； （3）证明你猜想的第个等式成立． 21. 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： （1）初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； （2）在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 22. 如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． （1）草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； （2）现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． （3）尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 23. 已知是小于平角的角，如图1，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，过点作，在射线上截取，连接． （1）猜想四边形的形状，并说明理由． （2）作于点，将沿折叠，得到． ①如图2，是锐角时，若恰好平分，，，求的长． ②在变化的过程中，若恰为时，设，直接写出的长（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中学情监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷采用闭卷考试形式，共6页，满分120分，用时120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，只将答题卡交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，最大边为，，，，不能构成直角三角形； 选项B，最大边为，，，，不能构成直角三角形； 选项C，最大边为，，，，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； 选项D，最大边为，，，，不能构成直角三角形． 3. 如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 4. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断． 【详解】解：、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 5. 如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 6. 一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（ ） A. 13米 B. 15米 C. 17米 D. 18米 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意有：在中，，， ∴（米）， ∴旗杆高度为：（米）． 7. 社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米． A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，然后根据三角形的中位线定理求得米，再根据平行四边形的周长等于16列方程求解即可． 【详解】解：连， 四边形是平行四边形， ，，， 是边的中点， ， （米）， 整个平行四边形休闲区的周长为16米， ， 即， 解得（米）． 8. 某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（ ） A. 测得平行于，且等于 B. 测得，且 C. 测得，且平行于 D. 测得，且 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，且时，四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项B，∵，且，∴四边形一定是平行四边形． 选项C，且时，四边形也可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项D，由且，仅能得到三个角相等，无法推出两组对边分别平行或相等，四边形不一定是平行四边形，不符合要求． 9. 如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（ ）米． A. 6 B. 7 C. 8.5 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 且、分别是、的中点， ∴在和中， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的周长为． 10. 在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（ ） A. 20或 B. 20或 C. 或 D. 40或 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，分两种情况作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴，， 情况1：如图1，时， ∵， ∴三点共线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得 ∴； 情况2：如图2，时， 此时， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案写在答题卡上的相应位置．） 11. 已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 12. 一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 13. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 【答案】96 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是． 14. 如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，先求出每一个直角三角形的面积和大正方形的面积，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积等于：， ∵， ∴每一个直角三角形的面积为：， ∵， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 在正方形中，点是上一点，连结，过点作于点，交于点．则与的数量关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，，，则，，平分，故，由，可得，从而可得，故，在等腰直角三角形中，设，则，，，故． 【详解】解：如图，过点E作，，，则，， 平分， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 在等腰直角三角形中，设，则， ，， ，即． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角、一元一次方程的应用等知识点，牢记“多边形内角和定理（且n为整数）以及外角和为”是解题的关键． 设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式、外角和为及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 依题意得：， 解得． 答：这个多边形的边数是9． 18. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，按要求完成下列各题（字母均在格点上）： （1）图1中，在网格上找到一个格点，画出． （2）图2中，以为边画正方形，其中、、、均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质． （1）采用构造等腰直角三角形的方法来构造，即可作答； （2）利用网格线中，即可构造正方形的边，问题可解． 【小问1详解】 解：以为腰构造等腰直角三角形确定出点C， 作图如下： 证明：连接，如图， 结合网格线有：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：根据，再结合（1）中的位置特点， 作图如下： 证明：连接，如图， 根据（1）中方法可证明：、是等腰直角三角形， 即易证明：四边形是正方形． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得到且，因为已知，所以可推出，进而判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质证明两角相等； （2）先利用平行四边形对角相等的性质得到，在中根据三角形内角和定理求出的度数，再由的性质得到，最后结合平行四边形邻角互补的性质，或利用外角性质计算的度数． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 20. 观察下列等式： ， ， ， … （1）利用你发现的规律，化简_________； （2）根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； （3）证明你猜想的第个等式成立． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）根据已知等式找出规律即可； （3）计算等式左边，看看是否与右边相等即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， …… ； 【小问3详解】 证明： ， 可知猜想成立． 21. 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： （1）初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； （2）在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】（1）灯杆与地面垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【小问1详解】 解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； 【小问2详解】 解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 22. 如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． （1）草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； （2）现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． （3）尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）12平方米 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【小问1详解】 证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． 【小问3详解】 解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 23. 已知是小于平角的角，如图1，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，过点作，在射线上截取，连接． （1）猜想四边形的形状，并说明理由． （2）作于点，将沿折叠，得到． ①如图2，是锐角时，若恰好平分，，，求的长． ②在变化的过程中，若恰为时，设，直接写出的长（用含的式子表示）． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等证平行四边形，再结合邻边相等证菱形； （2）①先由勾股定理求,再利用折叠性质、角平分线及菱形性质推导角度，证,结合线段关系求解； ②分为锐角、钝角两种情况，结合直角三角形性质、折叠性质及菱形性质求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：由题意可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：①由折叠可知， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 的长为． ②当是锐角时， ，， ， 根据直角三角形三边比例，有 ， 则，， ， ，， ； 当是钝角时， ，， ， 根据直角三角形三边比例，有 ， 则，， ， ，， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $