精品解析：山西省太原十八中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试题

太原二外教育集团2025-2026学年度第二学期期中集中练习安排 一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 城市形象LOGO是一座城市象征性的视觉符号，是城市文化特质最浓缩、最直观的表现．下列城市形象LOGO中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）． A. 太原 B. 重庆 C. 成都 D. 澳门 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 5. 的解集是 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则旋转角的最小度数为（ ） A. B. C. D. 7. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，增加一个条件：①；②；③；④后，能判定四边形是平行四边形的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 二、填空题（本大题含5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 有一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的，则它是_____边形． 13. 如图，△ABC绕点A顺时针方向旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_______． 14. 某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 15. 已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 三、解答题（本大题含8个小题，共5分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 分解因式： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，，． （1）求作：腰上的高（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； （2）与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； （3）可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 20. 已知：如图，在中，E，F分别是边和上的点，交于点H，交于点G．求证：． 21. 2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形．由定义可知，差直角三角形一定是 ▲ 三角形 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形中，，则的度数为 ▲ ． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点是边上一点，交于点． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，（依据： ▲ ） ，， ， ∴…… 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）；“定义运用”部分问题1的“▲”处为 ；问题2的“▲”处为 ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图，已知中，，，，点在边上．若是差直角三角形，且，则的长为 ． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． （1）操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原二外教育集团2025-2026学年度第二学期期中集中练习安排 一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于 ， ∴ ， 解得 ． 2. 城市形象LOGO是一座城市象征性的视觉符号，是城市文化特质最浓缩、最直观的表现．下列城市形象LOGO中文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）． A. 太原 B. 重庆 C. 成都 D. 澳门 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、D的图形不是中心对称图形； 故选：C． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义和提公因式法因式分解，只需逐一验证每个选项的分解结果即可判断． 【详解】解：选项A：，所以选项A错误，不符合题意； 选项B：，所以选项B错误，不符合题意； 选项C：因式分解要求结果化为几个因式的积的形式，该式结果为和的形式，不符合因式分解要求，所以选项C错误，不符合题意； 选项D：，选项D正确． 4. 如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 5. 的解集是 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式两边除以同一个负数时不等号方向改变的性质，根据解集的不等号方向判断 的符号，即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质可得 ， 解得． 6. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则旋转角的最小度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：∵， ∴使边与重合，则旋转角的最小度数为． 7. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 将不等式①②的解来表示在同一条数轴上， 故选：C． 8. 如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平线的判定定理可判断A，证明，可判断B，根据，可得OC=OD，进而可判断C，根据等边三角形的定义，可判断D． 【详解】解：∵点是内的一点，于点，于点，， ∴OP是∠AOB的平分线，即，故A成立，不符合题意； ∵OP=OP，， ∴（HL）， ∴，故B成立，不符合题意； ∵， ∴OC=OD， 又∵， ∴垂直平分，故C成立，不符合题意； ∵不一定是等边三角形， ∴不一定成立，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查角平分线的判定，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质以及等边三角形的定义，掌握上述定理和定义是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，增加一个条件：①；②；③；④后，能判定四边形是平行四边形的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】已知，即对角线被平分，再结合添加条件对根据平行四边形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①，，结合对顶角相等，属于“边边角”关系，无法判定，不能判定四边形是平行四边形； ②，， 四边形是平行四边形； ③， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； ④当，时，无法得出四边形是平行四边形； 综上所述，能判定四边形是平行四边形的有②③，共2个． 10. 近日，太原市为推进城市更新，提升城市品质，迎泽西大街、新建路维修改造工程全面开工．其中一段长的道路工程由某工程队单独来做，原计划每天完成xm，实际上……根据题意可列方程为．根据方程可得文中省略的内容为（ ）． A. 每天多完成100m，结果提前2天完成 B. 每天少完成100m，结果推迟2天完成 C. 每天多完成100m，结果推迟2天完成 D. 每天少完成100m，结果提前2天完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的应用．根据方程 ， 表示原计划天数， 表示实际天数，方程表明原计划天数比实际天数多2天，即实际提前2天完成，且实际每天完成量比原计划多100m． 【详解】解：∵ 原计划每天完成米，总路程4000m， ∴ 原计划天数为天． ∵ 实际每天完成m， ∴ 实际天数为天． ∵ 方程表示原计划天数减实际天数等于2， ∴ 实际比原计划提前2天完成，且实际每天多完成100m． ∴ 文中省略的内容为“每天多完成100m，结果提前2天完成”． 故选A 二、填空题（本大题含5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 12. 有一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的，则它是_____边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】利用邻补角的性质和已知条件列方程求出每个外角的度数，再根据多边形外角和定理计算得到边数即可． 【详解】解：设该多边形的一个外角为，则其相邻内角为， 由邻补角的定义可得 ， 解得． 任意多边形的外角和为，多边形每个外角都相等， 边数为 ． 它是十二边形． 13. 如图，△ABC绕点A顺时针方向旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，再根据旋转的性质得∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝，于是可判断△AFB′是等腰直角三角形，得到AD⊥BC，B′F⊥AF，AF＝AB′＝2，可计算出BF＝AB−AF＝−2，接着证明△ADB和△BEF为等腰直角三角形得到AD＝BD＝AB＝2，EF＝BF＝−2，然后利用图中阴影部分的面积＝S△ADB−S△BEF进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝， ∴△AFB′是等腰直角三角形， ∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AF＝AB′＝2， ∴BF＝AB−AF＝−2， ∵∠B＝45°，EF⊥BF，AD⊥BD， ∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝AB＝2，EF＝BF＝−2， ∴图中阴影部分的面积＝S△ADB−S△BEF＝22−（−2）2＝−4． 故答案为：−4． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 14. 某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 【答案】 【解析】 【分析】设商品打折，根据利润率不低于，列出对应不等式即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得： ． 15. 已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理得斜边，利用面积的两种表示求出高，再由勾股定理得；同理求出的斜边高与，得，最终在中由勾股定理算出． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 在中，， ∵是中点， ∴， 由图可得，，， 解得， 在中，， ∵，且， ∴， 解得， 在中，， ∴， 在中，． 三、解答题（本大题含8个小题，共5分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可求解； （2）先利用平方差公式，再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= = 【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和乘法公式，是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知，，． （1）求作：腰上的高（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，即可求解； （2）根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； （2）与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； （3）可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）可以看作由关于点对称得到 【解析】 【分析】（1）根据题意，由题可知，，，再连线即可得； （2）利用对称画出即可； （3）根据图形的对称性可知可以看作由关于点对称得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知：如图，在中，E，F分别是边和上的点，交于点H，交于点G．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据题意四边形是平行四边形，可得，结合已知条件，可得四边形是平行四边形可得，进而判断四边形是平行四边形，可得，进而可得四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 21. 2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量． 【答案】新品种小麦的亩产量为800公斤 【解析】 【分析】设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解． 当时，． 答：新品种小麦的亩产量为800公斤． 22. 阅读下列材料，完成相应任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形．由定义可知，差直角三角形一定是 ▲ 三角形 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形中，，则的度数为 ▲ ． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点是边上一点，交于点． 若，则图中是差直角三角形． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，（依据： ▲ ） ，， ， ∴…… 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）；“定义运用”部分问题1的“▲”处为 ；问题2的“▲”处为 ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图，已知中，，，，点在边上．若是差直角三角形，且，则的长为 ． 【答案】（1）钝角， （2）∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的性质） ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴是差直角三角形； （3）5或 【解析】 【分析】（1）根据的定义判定，三角形内角和定理的计算即可求解； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，结合定义列式计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，如图所示，过点E作于点，则，由勾股定理即可求解；当，如图所示，以点B为原点，以为x坐标，以垂直的直线为y轴，运用待定系数法得到直线的解析式，则，结合勾股定理及图形得到，在，中，根据勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：“定义对象” ∵， ∴， ∴差直角三角形一定钝角三角形， 问题1： ∵是差直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：已知中，，，， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵是差直角三角形， ∴或， 当时， ∴， ∴，即是角平分线， 如图所示，过点E作于点，则， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 当，如图所示，作，交于点F，过点F作于点G，则，， ∴， ∴，则， 如图所示，以点B为原点，以为x坐标，以垂直的直线为y轴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则点F的横坐标为， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，（舍去），， ∴， ∴． 综上所述，的长为5或． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． （1）操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 【答案】（1）解：，理由如下：如图所示， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． （2）①，如图， 证明：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可得出； （2）①根据折叠的性质得出，，，根据等边对等角以及角度的和差关系得出，进而可得； ②根据等面积法求得，进而勾股定理求得，，即可得出，结合①的结论证明四边形是平行四边形，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，连接 ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， 垂直平分 于点 ， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴． 由折叠可得 ∴ 由①可得 ∴四边形是平行四边形， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $