专题06矩形易错必刷题型专项训练 (16大题型共计48道题)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形高频易错点，以16类题型为框架，融合性质应用、判定证明及综合问题，通过典题特征与易错点提炼构建系统性解题方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|4类/12题|典题特征明确矩形性质与三角形知识关联，易错点直指性质应用盲区|从内角、对角线性质切入，推导角度、线段长、面积计算方法，形成性质应用逻辑链| |判定证明|2类/6题|区分矩形与平行四边形判定条件，强调"平行四边形+直角/对角线相等"核心|以平行四边形为基础，通过添条件、证明两步掌握判定定理，构建判定逻辑| |综合问题|10类/30题|折叠问题用勾股定理，动点问题分类讨论，旋转问题抓对应关系|整合坐标系、折叠、动点等中考热点，从单一性质到多知识综合，实现应用拓展|

专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由矩形的性质求角度 题型02.由矩形的性质求线段长 题型03.由矩形的性质求面积 题型04.由矩形的性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.由矩形的性质与判定求角度 题型10.由矩形的性质与判定求线段长 题型11.由矩形的性质与判定求面积 题型12.斜线中线等于斜边一半 题型13.矩形与动点问题 题型14.矩形与最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 易错必刷题型01.由矩形的性质求角度 典题特征：以矩形为载体，结合对角线相等且互相平分、内角为90°的性质，关联等腰/等边三角形、直角三角形两锐角互余等知识，求解对角线夹角、边的夹角等角度。 易错点：① 未利用矩形对角线平分的性质构造等腰三角形，导致角度推导无依据；② 混淆矩形内角与对角线夹角的数量关系，误算角度；③ 忽略矩形对边平行带来的内错角相等条件。 1．如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 3．如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键； （1）由矩形的性质、平分可知的大小，由直角三角形的性质即可求出的度数； （2）由矩形的性质及可得是等边三角形，等量代换即可证得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 易错必刷题型02.由矩形的性质求线段长 典题特征：依托矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理、面积法、全等三角形，求解边长、对角线长、点到直线的距离等线段长度。 易错点：① 勾股定理应用时边长对应错误；② 未掌握面积法求高的技巧，强行用相似导致计算复杂出错；③ 忽略矩形对角线相等且平分的性质，无法构造等量线段。 4．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 5．在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用面积法求解动点相关的垂线段和，无需分别计算两条垂线段的长度，通过分割三角形面积建立等式即可快速推导结果． 【详解】解：在矩形中，，， 对角线， ， 矩形总面积为，对角线分成的四个三角形面积相等， 的面积为矩形面积的，即， 连接，将拆分为和两个小三角形，则两个小三角形的面积和等于的面积， ， ， ． 6．如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形和平行线的性质可证明，即可证明． （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，进而得出，，结合勾股定理可得，代入，求得． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 在中，，， 即， 解得． 易错必刷题型03.由矩形的性质求面积 典题特征：以矩形为背景，结合中点、平行线、对角线等条件，求解矩形内三角形、四边形的面积，或利用矩形面积反推边长。 易错点：① 错误判断矩形内三角形与矩形的面积比例关系；② 未利用等底等高三角形面积相等的性质，导致计算繁琐；③ 混淆矩形对角线分矩形的面积份数。 7．如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， ． 故答案为：． 8．矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，根据为中线，可得，，根据，可得，，，即有，进而可得，， ，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，如图，    ∵面积为矩形面积的一半，矩形的面积为12， ∴， ∵为中线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中线的性质，得出，且等高的两个三角形面积之比等于其底之比，是解答本题的关键． 9．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）由得，即可由证，可得； （2）证明是等边三角形，得，，进而得，再由直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 易错必刷题型04.由矩形的性质证明 典题特征：以矩形为载体，证明线段相等、角相等、三角形全等/相似、四边形为平行四边形等，核心运用矩形对边平行且相等、四个角为直角的性质。 易错点：① 证明平行四边形时，遗漏“一组对边平行且相等”的完整条件；② 混淆矩形与菱形的性质，误用判定定理；③ 未利用矩形直角条件推导全等三角形。 10．如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__．    【答案】/30度 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 11．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质结合平分、平分得、，设、，可得、、，利用勾股定理建立方程，得，求出，即可求解的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ． 平分， ， ， ， 点为的中点， ． 设，，则，，， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 12．在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）在矩形中，，，则．根据，得出，根据即可证明； （2）勾股定理求出，根据四边形是矩形，得出，再结合即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ． ， ． 在和中， ， ； （2）解：，， ， ∵四边形是矩形， ， ． 易错必刷题型05.求矩形在坐标系中的坐标 典题特征：在平面直角坐标系中，已知矩形部分顶点坐标，结合矩形对边平行且相等、边与坐标轴平行/垂直的特点，求解其余顶点坐标或相关点坐标。 易错点：① 横纵坐标对应关系颠倒；② 忽略边与坐标轴的位置关系，错误计算坐标平移量；③ 未利用矩形对角线中点重合的性质验证坐标。 13．如图，矩形中，若的坐标为，则________． 【答案】 【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB，过B作BM⊥x轴于M． ∵点的坐标是， ∴，，由勾股定理得：， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键． 14．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 15．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1）；（2）；（3）不变，48 【分析】（1）根据矩形的性质和点A 的坐标即可得解； （2）根据题意可得PC的长，利用三角形的面积公式即可求得S与t之间的函数关系式； （3）设P，Q运动时间为t，利用t表示出△ABQ和△BCP的面积，根据S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP即可求解，根据结果进行判断即可． 【详解】（1）∵四边形ABCO是长方形， ∴OC=AB=12， ∵BC=8， ∴ （2）P运动t秒时，CP=3t S=×3t×8=12t(0≤t≤4)， （3）四边形OPBQ的面积不会发生变化，理由如下：                        设P，Q运动时间为t，则OQ=2t，PC=3t， ∴AQ=AO-OQ=8-2t， ∴S△ABQ=AQAB=×(8-2t)×12=48-12t， S△BCP=PCBC=×3t×8=12t， ∴S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP=12×8-(48-12t)-12t=48， ∴四边形OPBQ的面积不会发生变化，其值始终为48． 【点睛】本题考查了点的坐标，矩形的性质，三角形的面积等知识．正确表示四边形OPBQ的面积是解题的关键． 易错必刷题型06.矩形与折叠问题 典题特征：对矩形进行沿直线折叠操作，利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合勾股定理、等腰三角形、全等三角形，求解边长、角度、面积等。 易错点：① 未识别折叠后形成的等腰三角形，无法建立线段等量关系；② 设未知数后列勾股方程时边长对应错误；③ 忽略折叠前后图形的全等性，遗漏角度条件。 16．如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 【答案】80 【分析】根据平行线与折叠的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 17．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【分析】(1)由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； (2)由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； (3)当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】(1)解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即；    (2)四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即；   (3)四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平行线的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质． 易错必刷题型07.添条件使四边形是矩形 典题特征：在平行四边形或一般四边形中，补充一个或多个条件，使四边形满足矩形的判定定理，成为矩形。 易错点：① 混淆矩形与菱形的判定条件，误填“邻边相等”等菱形判定条件；② 条件不严谨，未明确“平行四边形”前提直接填“有一个角是直角”；③ 遗漏“三个角是直角的四边形是矩形”的适用场景。 19．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 20．在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：如图， A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、根据四边形是平行四边形和不能推出四边形是矩形，故本选项符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 21．已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析. 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，再结合平行四边形对角线互相平分即可得出结论； （2）由，即可得出四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ， 在和中， ， ∴， ． 又∵在平行四边形中，， ∴， （2）当时，四边形是矩形， 理由：∵， 四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形， 易错必刷题型08.证明四边形是矩形 典题特征：以三角形、平行线、平行四边形等为背景，通过矩形的判定定理（如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”“三个角是直角的四边形是矩形”），证明该四边形为矩形。 易错点：① 用“三个角是直角”证明时，遗漏“四边形”的前提；② 证明平行四边形时步骤不完整，直接跳步证明矩形；③ 误用“对角线相等的四边形是矩形”，未强调“平行四边形”前提。 22．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 23．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定方法，由矩形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； B.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； C.无法判定四边形为矩形，故不符合题意； D.能够判定四边形为矩形，故符合题意； 故选：D． 24．已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再由等腰三角形性质得，则，据此即可得出结论； （2）由矩形性质得，进而得，再由是边的中线，且得，然后在中，由勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是边的中线， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形是矩形， ， ， ， ， 是边的中线，且， ， 在中，， 由勾股定理得：． 易错必刷题型09.由矩形的性质与判定求角度 典题特征：先通过矩形的判定定理证明四边形为矩形，再利用矩形的性质（内角90°、对角线平分等），结合三角形相关知识求解角度。 易错点：① 未完成矩形的证明就直接使用矩形性质，逻辑不严谨；② 混淆性质与判定的逻辑顺序，颠倒推导流程；③ 忽略矩形对角线形成的等腰三角形，角度推导断层。 25．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 26．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 27．如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，进而得到，最后利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ． ， ， 平行四边形是矩形， ，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 易错必刷题型10.由矩形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理、全等三角形等，求解线段长度。 易错点：① 判定矩形的条件不充分，直接使用矩形性质计算；② 勾股定理应用时边长混淆；③ 未利用矩形对角线相等且平分的性质，无法建立线段等量关系。 28．在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据中点定义得出；分两种情况分别画出图形，作出辅助线，利用勾股定理求出折痕的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴； ①过点E作于点G，F在上，点落在上，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中根据勾股定理得：； ②过点作于点G，F在上，点落在上，点A的对应点为，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：； 综上，折痕的长为或． 29．在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．由矩形的性质得到，，再根据M，N分别为的中点，易证四边形是矩形，推出，，由折叠的性质求出，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵M，N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． 故选：D． 30．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定解答即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质，，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求面积 典题特征：先证明四边形为矩形，再利用矩形面积公式（长×宽），结合矩形内图形的面积关系，求解矩形或其内部图形的面积。 易错点：① 未严格证明矩形就计算面积，逻辑错误；② 错误计算矩形的长和宽，导致面积结果错误；③ 忽略矩形内三角形与矩形的面积比例关系。 31．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 32．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 33．如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （3）证明，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由（2）知，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 易错必刷题型12.斜线中线等于斜边一半 典题特征：以矩形为背景（矩形内角为直角），结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，求解线段长度、角度、证明线段相等。 易错点：① 未识别矩形中的直角三角形，遗漏斜边中线定理的应用条件；② 混淆斜边中线与斜边的数量关系，误算长度；③ 未利用矩形对角线平分的性质，关联斜边中线定理。 34．如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质，得到；根据平行四边形的数量关系，取的中点，证明共线，，， ，因此，在中，即可求得的长． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 在与中，有 ， 则， ， 三点共线，且， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和，有 ， ， 在和中，有 ， ， ， ， 是直角三角形， 又， 为中点， 根据直角三角形性质，则． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、直角三角形的判定，解题关键是根据题意发现边长数量关系，作相应辅助线从而得到所求长度． 35．如图1，在中，延长至点E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据平行四边形性质证明，进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质，利用等角对等边可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）过点B作于点M，由翻折可知，结合平行四边形的性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质和三线合一，求得，接着由勾股定理求得，即可由面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使得， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点B作于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴，, 由翻折可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 易错必刷题型13.矩形与动点问题 典题特征：在矩形边上或内部设定动点，结合动点的运动时间、速度，求解线段长度、面积、角度的变化，或探究动点的特殊位置（如垂直、相等）。 易错点：① 未分类讨论动点的不同运动阶段，导致漏解；② 建立动点坐标或线段关系时出错；③ 忽略矩形的边长限制，出现不符合实际的解。 37．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 38．如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，折叠得到，进而得到点的轨迹与点的轨迹为以为圆心的同心圆，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，点为边上靠近的三等分点，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴点的轨迹与点的轨迹为以为圆心，半径分别为4和5的同心圆， ∵与交于， ∴， ∴； 故选A． 39．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)9 (3)t的值为或7 (4)t的值为或7或8 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）平行四边形的对边相等，则，据此建立方程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据三角形的面积公式建立关于t的方程求解即可； （4）分三种情况进行讨论：当点P在边上，点落在边上时，当点P在边上，落在边上时，当点P在边上，点落在边上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，当的面积为6时，t的值为或7； （4）解：①如图，当点P在边上，点落在边上时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得； ②如图，当点P在边上，落在边上时， 同理可得， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点落在边上时， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上，t的值为或或8． 易错必刷题型14.矩形与最值问题 典题特征：利用矩形性质，结合最短路径、轴对称知识求解线段与面积最值 易错点：①不会构造最短路径②找不准最值位置③忽略边长限制范围 40．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为， 故答案为：． 41．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 42．如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于__________； (2)如图2，当点落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由．并求的值： (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)10 (2) (3)，理由见解析， (4)300 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；再利用勾股定理求解； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得：， 由旋转的性质可知：， ∴； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得：, ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 由旋转得， ∴在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； 由旋转知，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 易错必刷题型15.矩形存在性问题 典题特征：在平面直角坐标系或几何图形中，探究是否存在满足条件的点，使得以这些点为顶点的四边形为矩形，常涉及分类讨论。 易错点：① 分类讨论不完整，遗漏矩形的不同构造情况；② 未利用矩形对角线中点重合、对角线相等的性质列方程；③ 坐标计算错误，导致存在性判断失误。 43．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 44．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 45．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：，； （2）解：如图所示当是矩形时 ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 当时， ， ， ， 四边形矩形， ， ，即， ， 如图，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键 易错必刷题型16.矩形与旋转综合 典题特征：将矩形绕某一定点进行旋转，结合旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），关联矩形的性质，求解角度、线段长、面积、坐标等。 易错点：① 混淆旋转前后的对应边、对应角，导致等量关系建立错误；② 未正确识别旋转角，角度计算失误；③ 忽略旋转后矩形与原矩形的位置关系，漏解；④ 坐标旋转计算错误。 46．矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．由矩形的性质可得，，由旋转的性质可得，由勾股定理可求的长，再求出即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 47．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 48．问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分两种情况：点，在的同一侧和点，在的异侧，根据勾股定理求出，结合图形求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， 又∵， ∴， ∴； （2）如图：连接， 根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴； 当点，在的异侧时，如图： 同理可得， ∴， 综上，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由矩形的性质求角度 题型02.由矩形的性质求线段长 题型03.由矩形的性质求面积 题型04.由矩形的性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.由矩形的性质与判定求角度 题型10.由矩形的性质与判定求线段长 题型11.由矩形的性质与判定求面积 题型12.斜线中线等于斜边一半 题型13.矩形与动点问题 题型14.矩形与最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 易错必刷题型01.由矩形的性质求角度 典题特征：以矩形为载体，结合对角线相等且互相平分、内角为90°的性质，关联等腰/等边三角形、直角三角形两锐角互余等知识，求解对角线夹角、边的夹角等角度。 易错点：① 未利用矩形对角线平分的性质构造等腰三角形，导致角度推导无依据；② 混淆矩形内角与对角线夹角的数量关系，误算角度；③ 忽略矩形对边平行带来的内错角相等条件。 1．如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 2．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 易错必刷题型02.由矩形的性质求线段长 典题特征：依托矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理、面积法、全等三角形，求解边长、对角线长、点到直线的距离等线段长度。 易错点：① 勾股定理应用时边长对应错误；② 未掌握面积法求高的技巧，强行用相似导致计算复杂出错；③ 忽略矩形对角线相等且平分的性质，无法构造等量线段。 4．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 5．在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 6．如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证： (1)； (2)求的长． 易错必刷题型03.由矩形的性质求面积 典题特征：以矩形为背景，结合中点、平行线、对角线等条件，求解矩形内三角形、四边形的面积，或利用矩形面积反推边长。 易错点：① 错误判断矩形内三角形与矩形的面积比例关系；② 未利用等底等高三角形面积相等的性质，导致计算繁琐；③ 混淆矩形对角线分矩形的面积份数。 7．如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是_____________． 8．矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 9．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点O，且，． (1)求证 ； (2)若，求矩形的面积． 易错必刷题型04.由矩形的性质证明 典题特征：以矩形为载体，证明线段相等、角相等、三角形全等/相似、四边形为平行四边形等，核心运用矩形对边平行且相等、四个角为直角的性质。 易错点：① 证明平行四边形时，遗漏“一组对边平行且相等”的完整条件；② 混淆矩形与菱形的性质，误用判定定理；③ 未利用矩形直角条件推导全等三角形。 10．如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__．    11．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错必刷题型05.求矩形在坐标系中的坐标 典题特征：在平面直角坐标系中，已知矩形部分顶点坐标，结合矩形对边平行且相等、边与坐标轴平行/垂直的特点，求解其余顶点坐标或相关点坐标。 易错点：① 横纵坐标对应关系颠倒；② 忽略边与坐标轴的位置关系，错误计算坐标平移量；③ 未利用矩形对角线中点重合的性质验证坐标。 13．如图，矩形中，若的坐标为，则________． 14．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 易错必刷题型06.矩形与折叠问题 典题特征：对矩形进行沿直线折叠操作，利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合勾股定理、等腰三角形、全等三角形，求解边长、角度、面积等。 易错点：① 未识别折叠后形成的等腰三角形，无法建立线段等量关系；② 设未知数后列勾股方程时边长对应错误；③ 忽略折叠前后图形的全等性，遗漏角度条件。 16．如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 17．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 18．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 易错必刷题型07.添条件使四边形是矩形 典题特征：在平行四边形或一般四边形中，补充一个或多个条件，使四边形满足矩形的判定定理，成为矩形。 易错点：① 混淆矩形与菱形的判定条件，误填“邻边相等”等菱形判定条件；② 条件不严谨，未明确“平行四边形”前提直接填“有一个角是直角”；③ 遗漏“三个角是直角的四边形是矩形”的适用场景。 19．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 20．在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 21．已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 易错必刷题型08.证明四边形是矩形 典题特征：以三角形、平行线、平行四边形等为背景，通过矩形的判定定理（如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”“三个角是直角的四边形是矩形”），证明该四边形为矩形。 易错点：① 用“三个角是直角”证明时，遗漏“四边形”的前提；② 证明平行四边形时步骤不完整，直接跳步证明矩形；③ 误用“对角线相等的四边形是矩形”，未强调“平行四边形”前提。 22．如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 23．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（    ） A．， B．， C． D． 24．已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 易错必刷题型09.由矩形的性质与判定求角度 典题特征：先通过矩形的判定定理证明四边形为矩形，再利用矩形的性质（内角90°、对角线平分等），结合三角形相关知识求解角度。 易错点：① 未完成矩形的证明就直接使用矩形性质，逻辑不严谨；② 混淆性质与判定的逻辑顺序，颠倒推导流程；③ 忽略矩形对角线形成的等腰三角形，角度推导断层。 25．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 26．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27．如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．    易错必刷题型10.由矩形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定四边形为矩形，再利用矩形对边相等、对角线相等的性质，结合勾股定理、全等三角形等，求解线段长度。 易错点：① 判定矩形的条件不充分，直接使用矩形性质计算；② 勾股定理应用时边长混淆；③ 未利用矩形对角线相等且平分的性质，无法建立线段等量关系。 28．在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 29．在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 30．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求面积 典题特征：先证明四边形为矩形，再利用矩形面积公式（长×宽），结合矩形内图形的面积关系，求解矩形或其内部图形的面积。 易错点：① 未严格证明矩形就计算面积，逻辑错误；② 错误计算矩形的长和宽，导致面积结果错误；③ 忽略矩形内三角形与矩形的面积比例关系。 31．如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 32．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 33．如图，在中，，点D是的中点，点F是的中点，，连结并延长交于点E，连结． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求四边形的面积． 易错必刷题型12.斜线中线等于斜边一半 典题特征：以矩形为背景（矩形内角为直角），结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，求解线段长度、角度、证明线段相等。 易错点：① 未识别矩形中的直角三角形，遗漏斜边中线定理的应用条件；② 混淆斜边中线与斜边的数量关系，误算长度；③ 未利用矩形对角线平分的性质，关联斜边中线定理。 34．如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 35．如图1，在中，延长至点E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 36．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 易错必刷题型13.矩形与动点问题 典题特征：在矩形边上或内部设定动点，结合动点的运动时间、速度，求解线段长度、面积、角度的变化，或探究动点的特殊位置（如垂直、相等）。 易错点：① 未分类讨论动点的不同运动阶段，导致漏解；② 建立动点坐标或线段关系时出错；③ 忽略矩形的边长限制，出现不符合实际的解。 37．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 38．如图，在矩形中，点为边上靠近的三等分点，点为边上的动点，将矩形左侧沿翻折得到，点从运动到的过程中，设点的轨迹为，点的轨迹为，与交于，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 39．如图，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连接，当点P运动到点B时，． (1)________； (2)当四边形是平行四边形时，求t的值； (3)连接，当的面积为6时，求t的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 易错必刷题型14.矩形与最值问题 典题特征：利用矩形性质，结合最短路径、轴对称知识求解线段与面积最值 易错点：①不会构造最短路径②找不准最值位置③忽略边长限制范围 40．如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 41．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 42．如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形． (1)当点落在上时，则线段的长度等于__________； (2)如图2，当点落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由．并求的值： (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 易错必刷题型15.矩形存在性问题 典题特征：在平面直角坐标系或几何图形中，探究是否存在满足条件的点，使得以这些点为顶点的四边形为矩形，常涉及分类讨论。 易错点：① 分类讨论不完整，遗漏矩形的不同构造情况；② 未利用矩形对角线中点重合、对角线相等的性质列方程；③ 坐标计算错误，导致存在性判断失误。 43．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 44．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 45．如图，在四边形中，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 易错必刷题型16.矩形与旋转综合 典题特征：将矩形绕某一定点进行旋转，结合旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），关联矩形的性质，求解角度、线段长、面积、坐标等。 易错点：① 混淆旋转前后的对应边、对应角，导致等量关系建立错误；② 未正确识别旋转角，角度计算失误；③ 忽略旋转后矩形与原矩形的位置关系，漏解；④ 坐标旋转计算错误。 46．矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 47．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 48．问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $