微专题01 矩形的性质、判定及折叠综合题 （专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

微专题01 矩形的性质、判定及折叠综合题 题型一 根据矩形性质的计算（边长、角度、对角线） 1.牢记矩形核心性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分； 2.对角线将矩形分成四个等腰三角形，遇对角线夹角为60°或120°时，直接得等边三角形； 3.求边长用勾股定理，求角度利用直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角。 1．（24-25八年级下·山东济宁·周测）如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，求出，进而求解即可； （2）根据矩形的性质得到，然后利用等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长． 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①   ② 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握先判定平行四边形再结合直角判定矩形，利用全等和勾股定理计算边长与坐标是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合一个直角判定为矩形； （2）①通过证明三角形全等，得到与相等，从而求的长； ②由（2）①的全等三角形结论得到，结合的长度求出的长度；再利用矩形对角线互相平分的性质得到；最后通过线段的和差计算出的长度，从而确定点坐标． 【详解】（1）证明：，， ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①∵四边形为矩形，点的坐标为， ，，，， ，． 由（1）知，四边形是矩形， ，， ， ． 在和中， ， ． ②由（2）①知，， ． ∵四边形为矩形，对角线，交于点， ， ， 点的坐标为． 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为____________； (2)迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，根据矩形的性质，勾股定理，即可求出； （2）根据旋转 ，矩形的性质，可得，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，根据等角对等边，则，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转可得，， 在中，， ∴， 解得：． （2）解：四边形是矩形， ∴，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，设， ∴， ∴， 解得：， 即． 题型二 矩形中对角线与等腰三角形综合计算 1.矩形对角线相等且平分，△AOB、△BOC、△COD、△DOA均为等腰三角形； 2.已知对角线夹角，直接求等腰三角形顶角/底角，结合勾股定理算边长； 3.出现对角线垂直时，矩形变为正方形，用正方形性质快速求解。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，把形状相同的两块矩形铁板和焊接成“L”型工件．请判断的形状，并说明理由． 【答案】的形状是等腰直角三角形；理由见详解． 【分析】根据矩形的性质证，再证即可得结论． 【详解】解：的形状是等腰直角三角形； ∵四边形和四边形是形状相同的两块矩形，、为对角线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的形状是等腰直角三角形． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析，；②12 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得， ， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 3．（25-26九年级上·江西九江·期末）（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）24；（3） 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出． 【详解】解：（1）如图2，四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于点，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，过点A作于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形与折叠的问题，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，正确理解题意并利用等面积法求解是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江台州·月考）【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）延长交于点H，由（1）得，由，可得是直角三角形，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （3）过点N作于点P，可得点N是的中点，点M是的中点，由直角三角形斜边中线可得，再证明，则，由等腰三角形性质可得，则，设，则，由勾股定理建立方程 ，求出，再求解． 【详解】（1）∵是矩形，是对角线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：延长交于点H， 由（1）得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （3）过点N作于点P，则 ∵M，N是对角线的三等分点， ∴点N是的中点，点M是的中点， ∵， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则， 由勾股定理得： ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确构造辅助线是解题的关键． 题型三 矩形的简单折叠（求线段长度） 1.折叠本质：全等＋对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线； 2.折叠后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程； 3.找准折叠前后重合边、重合角，不重不漏标记等量关系。 1．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，再根据三角形的内角和定理求出，即可． 【详解】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立与的数量关系，进而求解的度数． 【详解】解：由图题意可得折痕为， ，令点是延长线上一点， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ． ， ， ． 3．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 【答案】/ 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则，，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 【答案】6 【分析】先利用矩形性质得到及，再根据折叠性质得到、、，计算出的长；接着在中用勾股定理求出的长；最后设，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，∠EFC=90°， 在中，由勾股定理得： ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． 题型四 矩形的折叠求角度问题 1.利用矩形直角、平行线内错角/同旁内角，结合折叠前后角相等； 2.折叠形成的折痕是角平分线，优先找角平分线与平行线构成的等腰三角形； 3.多角度转化时，从直角出发逐步推导，不跳角、不跳步。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则________ ． 【答案】 /度 【分析】根据平角的定义可以求出，根据折叠的性质和角平分线定义可知，从而可知，根据平行线的性质可以求出的度数． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知， 平分， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形纸片中，点分别在上（端点除外）．连接，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则____度． 【答案】或 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，关键是利用折叠的性质得出解答.先利用折叠的性质得出，再利用平角的应用求出，最后利用长方形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上方时， 如图，由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 4．（2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 题型五 矩形折叠后求周长/面积 1.周长：先通过折叠全等确定各边长度，再按矩形/三角形周长公式计算； 2.面积：用“整体减空白”“底×高”“全等面积相等”三种思路； 3.折叠后重叠部分常为等腰三角形，用等腰三角形面积公式简化计算。 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键；由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，，进而可得整个阴影部分图形的周长，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴整个阴影部分图形的周长 ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)如图1，连接，当点，落在上时，_____； (2)如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： (3)如图3，当落在线段上时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 将沿直线翻折至的位置（点落在点处）. ， ， 在中，由勾股定理得， ，即 ， ， 重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，， ， ， ， ，即：，解得：； 的长为2． 题型六 矩形折叠中的动点问题 1.确定动点在矩形边上的运动范围，用时间t表示线段长度； 2.折叠固定不变量：对应边、对应角、折痕位置，抓住不变量列方程； 3.动点形成等腰三角形、直角三角形时，分类讨论边长相等或直角位置。 1．（24-25八年级下·天津和平·期中）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)如图①，点P在边上，（点P不与O、C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 ,点O的对应点落在第一象限，设则 的大小为 ，并用含有字母 t的式子表示点的坐标为 ； (2)如图②，若P在边上一点，沿翻折得到新； 且交边于点D，若面积为 ①求长； ②求 P点坐标； (3)如图③，点E是的中点， 点F在边上， 且，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形 的周长最小值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)①；②P点坐标为 (3) 【分析】（1）由翻折可得，如图①，过点作于点E，利用含度角的直角三角形即可求出点的坐标； （2）①根据三角形的面积可得的长，利用等腰三角形的判定得即可； ②根据勾股定理求出的长，然后可得，再根据翻折的性质可得，进而可得P点坐标； （3）先判断出点M，N是直线和x，y轴的交点，再利用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】（1）（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 由翻折可知：， ∴， 如图①，过点作于点E， 由翻折可知：， ∴ ∴ ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）①∵点，点， ∴，， ∵， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由翻折可知：， ∴， ∴， ∴P点坐标为； （3）∵点E是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，作点E关于x轴的对称点为，点F关于y轴的对称点为， 连接和x轴交于M，和y轴交于N，此时四边形的周长最小， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形的周长的最小值 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，三角形面积，最短路径问题，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）课本在线： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长，并写出求解过程． ②如图3，当点在线段的延长线上运动时，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，请用含，的式子直接写出与的差值．    【答案】（1）；（2）24；（3） 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得到，， ，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）①连接，作于，根据矩形的性质得到，由折叠性质以及等腰三角形的判定与定理得到，再根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到．于是得到结论；②连接，作于．根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）连接，如图1所示， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ； （2）①如图，连接，作于， 则四边形是矩形，， 矩形沿直线折叠， ，， ， ， ， ， ，， ，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长； ②如图，连接，作于． 矩形沿直线折叠， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，利用面积法得出等底的几个三角形之间高的关系是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）课本再现： （1）如图所示的是数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图①，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值．请你写出求解过程； 知识应用． （2）如图②，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处． ①当为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形．若，求的周长； ②如图③，当点在线段的延长线上运动时，若，请用含的式子直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；过程见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）①连接过点证再由勾股定理得然后由三角形面积求出即可解决问题； ②同①得再由勾股定理得，然后由三角形面积得即可解决问题． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ，，，，， ，， ，， ， ， 解得． （2）①四边形为矩形， ，，， ． 连接，过点作于点，如图①所示， 则四边形为矩形， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ． ，， ． ， 的周长． ②与之间的数量关系为． 连接，过点作于点，如图②所示． 由（1）同理可得 ， ， ． ，， ． ， ． 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握面积法是解题的关键． 题型七 矩形折叠综合（多折叠、多结论） 1.多次折叠时，逐次标记全等边、全等角，不混淆前后折叠关系； 2.构造直角三角形，统一用勾股定理建立方程； 3.多结论判断：先证核心线段相等、角度定值，再推导面积、周长等衍生结论。 1．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】（1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠，得，， . . 又， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠，得， ， 同理可得， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为. 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点E处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， 由矩形的性质得到， 在中，， 即， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作，为垂足， ∵，， ∴与平行， 又∵， ∴， 同理可得， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； （3）解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， 由翻折知， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（ ，）． (1)如图1，在长方形中，点P在边上，点G在边上，沿着将四边形对折，点A落在点处，点D落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点P为长方形的边上一点，点M，点N分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处． ①如图3，当点P，，三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点P，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”， ，且，求的度数． 【答案】(1)与是一组“奇妙角”，理由见解析； (2)①或； ②的度数为或． 【分析】（1）由对折得，得，得，即得； （2）①由点P，，三点共线，得，由与是一组“奇妙角”，得或，即得；②设，根据与是一组“奇妙角”，得，由 ，得，解得，得；设，，，，得，由，得，即． 【详解】（1）解：与是一组“奇妙角”， 理由：沿着将四边形对折，点A落在点处，点D落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是一组“奇妙角”； （2）①∵沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵点P，，三点共线， ∴， ∵与是一组“奇妙角”， ∴或， ∴或； ②∵沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵与是一组“奇妙角” ∴设， ∴， 如图2，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4， 沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处， ∴， ∵与是一组“奇妙角” ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了矩形折叠，熟练掌握矩形性质，折叠性质，新定义——“奇妙角”，平角性质，角的和差计算，是解题的关键． 题型八 矩形折叠与最值/定值综合压轴 1.定值问题：抓折叠全等、矩形对边相等等不变量，证明与动点位置无关； 2.最值问题：用“垂线段最短”“两点之间线段最短”，结合折叠对称转化线段； 3.压轴题先拆分成“矩形性质＋折叠全等＋勾股定理”三步求解。 1．（23-24八年级下·山东临沂·月考）如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，理解矩形的性质成为解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得,再根据折叠的性质，进而利用勾股定理求出，最后在，利用勾股定理即可解答； （2）如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为，进而求得，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵长方形中，， ， ∴， 由折叠知，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得：， ∴． （2）解：如图，延长至使，连接交于P，此时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)存在，最小值 (3)存在点P使得为等腰三角形，的度数为或 【分析】（1）过点D作于点F，利用矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，利用折叠的性质得到，再利用勾股定理，含角的直角三角形的性质求得，即可得出结论； （2）过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，利用全等三角形的判定与性质得到点E与点H关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点P在点O的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点P在点O的上方时，此种情况不存在；当点P在点C的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：过点D作于点F，如图， ∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点D的坐标为； （2）解：在直线上存在点M，使得的周长最小． 过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，如图， ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E与点H关于对称， ∴． 则由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为． ∵点N为的中点， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的周长的最小值为； （3）解：当点P在点O的下方时， ①时，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∴． ③不存在的情形； 当点P在点O的上方时，如图， 若，则， ∴， ∴， ∴与重合，此种情况不存在． 当点P在点C的上方时，如图， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点P使得为等腰三角形，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，周长的最小值为8 (3)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知：， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 点的坐标； （2）解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于， ，， 的周长为，则点四点共线时最小值为， 由（1）可得， 点，点关于轴对称，点，点关于对称， ，， 点，点， ， 的周长最小值为8； （3）解：存在点使得△为等腰三角形， 若，如图3， ，， ， ， 若时，如图4， ， ， ； 若，如图5， ， ， 此时点与点重合， 不存在这样的点． 综上所述：的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 矩形的性质、判定及折叠综合题 题型一 根据矩形性质的计算（边长、角度、对角线） 1.牢记矩形核心性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分； 2.对角线将矩形分成四个等腰三角形，遇对角线夹角为60°或120°时，直接得等边三角形； 3.求边长用勾股定理，求角度利用直角三角形两锐角互余、等腰三角形等边对等角。 1．（24-25八年级下·山东济宁·周测）如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． (1)求的度数； (2)求的周长． 2．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交轴于点，已知点的坐标为． ①求的长； ②请直接写出点的坐标． 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为____________； (2)迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度． 题型二 矩形中对角线与等腰三角形综合计算 1.矩形对角线相等且平分，△AOB、△BOC、△COD、△DOA均为等腰三角形； 2.已知对角线夹角，直接求等腰三角形顶角/底角，结合勾股定理算边长； 3.出现对角线垂直时，矩形变为正方形，用正方形性质快速求解。 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，把形状相同的两块矩形铁板和焊接成“L”型工件．请判断的形状，并说明理由． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 3．（25-26九年级上·江西九江·期末）（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 4．（24-25八年级下·浙江台州·月考）【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 题型三 矩形的简单折叠（求线段长度） 1.折叠本质：全等＋对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线； 2.折叠后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程； 3.找准折叠前后重合边、重合角，不重不漏标记等量关系。 1．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 3．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 题型四 矩形的折叠求角度问题 1.利用矩形直角、平行线内错角/同旁内角，结合折叠前后角相等； 2.折叠形成的折痕是角平分线，优先找角平分线与平行线构成的等腰三角形； 3.多角度转化时，从直角出发逐步推导，不跳角、不跳步。 1．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则________ ． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形纸片中，点分别在上（端点除外）．连接，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则____度． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 4．（2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 题型五 矩形折叠后求周长/面积 1.周长：先通过折叠全等确定各边长度，再按矩形/三角形周长公式计算； 2.面积：用“整体减空白”“底×高”“全等面积相等”三种思路； 3.折叠后重叠部分常为等腰三角形，用等腰三角形面积公式简化计算。 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点分别在上，将矩形沿折叠，使点分别落在矩形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为_______． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 3．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 4．（25-26八年级上·江西吉安·期中）已知长方形，，，为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)如图1，连接，当点，落在上时，_____； (2)如图2，当点与点重合时，与交于点，求重叠部分（阴影）的面积： (3)如图3，当落在线段上时，求的长． 题型六 矩形折叠中的动点问题 1.确定动点在矩形边上的运动范围，用时间t表示线段长度； 2.折叠固定不变量：对应边、对应角、折痕位置，抓住不变量列方程； 3.动点形成等腰三角形、直角三角形时，分类讨论边长相等或直角位置。 1．（24-25八年级下·天津和平·期中）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)如图①，点P在边上，（点P不与O、C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 ,点O的对应点落在第一象限，设则 的大小为 ，并用含有字母 t的式子表示点的坐标为 ； (2)如图②，若P在边上一点，沿翻折得到新； 且交边于点D，若面积为 ①求长； ②求 P点坐标； (3)如图③，点E是的中点， 点F在边上， 且，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形 的周长最小值为 （直接写出结果）． 2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）课本在线： （1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值． 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长，并写出求解过程． ②如图3，当点在线段的延长线上运动时，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，请用含，的式子直接写出与的差值．    3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）课本再现： （1）如图所示的是数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图①，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值．请你写出求解过程； 知识应用． （2）如图②，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处． ①当为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形．若，求的周长； ②如图③，当点在线段的延长线上运动时，若，请用含的式子直接写出与之间的数量关系． 题型七 矩形折叠综合（多折叠、多结论） 1.多次折叠时，逐次标记全等边、全等角，不混淆前后折叠关系； 2.构造直角三角形，统一用勾股定理建立方程； 3.多结论判断：先证核心线段相等、角度定值，再推导面积、周长等衍生结论。 1．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点E处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 4．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（ ，）． (1)如图1，在长方形中，点P在边上，点G在边上，沿着将四边形对折，点A落在点处，点D落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点P为长方形的边上一点，点M，点N分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点A落在点处，点B落在点B′处． ①如图3，当点P，，三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点P，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”， ，且，求的度数． 题型八 矩形折叠与最值/定值综合压轴 1.定值问题：抓折叠全等、矩形对边相等等不变量，证明与动点位置无关； 2.最值问题：用“垂线段最短”“两点之间线段最短”，结合折叠对称转化线段； 3.压轴题先拆分成“矩形性质＋折叠全等＋勾股定理”三步求解。 1．（23-24八年级下·山东临沂·月考）如图，长方形中，， ，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 4．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点E的坐标； (2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $