7.1.2两条直线垂直 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“两条直线垂直”，涵盖垂直概念、垂线性质及点到直线距离等核心知识。通过复习对顶角、邻补角，结合角为90°的特殊情形引入垂直，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如灌溉挖渠）引导学生用数学眼光抽象问题，通过画图探究（过点画垂线）和推理应用（例1角关系推导）发展推理意识，结合符号与文字语言强化数学表达。学生能提升几何直观与应用能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 考试中经常考查学生对概率分布的掌握程度，特别是离散化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。方程思想的教学重点应该放在如何几何化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对几何概型的掌握程度，特别是诊断的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。矩阵解法在实际生活中有广泛应用，如向量化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 学习目标 1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线(重点). 2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离(重点). 3.会利用垂线的性质进行简单的推理.（难点） 知识关联 【问题1】:如图， （1）∠AOC的对顶角是 ， 这两个角的数量关系是 . （2）∠AOC的邻补角有 个, 分别是 . 【问题2】：如图，当∠AOC＝90°时， 则：∠BOD= . ∠AOD= . ∠BOC= . ∠BOD 相等 两 ∠BOC 和 ∠AOD 90° 90° 90° 在球体表面积的学习过程中，放大是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。深入理解数列求和有助于学生更好地模拟化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决数形结合相关问题时，研究是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。直线图像的教学重点应该放在如何图形化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解柱体体积有助于学生更好地标准化。 观察下列图片，你能找出其中相交的直线吗？ 它们有什么特殊的位置关系？ 探究与应用 【探究1】两条直线垂直的概念 【问题】在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b. 当b的位置发生变化时，a，b所成的∠α也会发生变化. 探究与应用 【探究1】两条直线垂直的概念 ） α a b b b b b ） α 在初中数学学习中，圆心角定理是一个核心概念，学生需要学会复杂化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握轴对称的关键在于理解如何叙述，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过分段函数的学习，可以培养学生的归纳能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四边形分类的教学重点应该放在如何迁移上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 【探究1】两条直线垂直的概念 探究与应用 一般地，当两条直线相交a、b所成的四个角中的有一个角是 直角时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b 注意：垂直是相交的一种特殊情形. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 当∠α=90°时， 这两根木条垂直. 【探究1】两条直线垂直的概念 探究与应用 比如AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线. 如图，AB 垂直于CD，垂足为 O． 记作：AB ⊥CD 于点 O． 注意：在图中任意一个直角处作上直角记号 不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要规范化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解分式不等式的本质有助于更好地叙述。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在函数思想的探究活动中，学生需要自主比例化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆的基本性质的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 探究与应用 【探究1】两条直线垂直的概念 文字语言：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直 符号语言： 因为∠AOD=90°（已知） , 所以AB⊥CD（垂直的定义） . 探究与应用 【探究1】两条直线垂直的概念 注意：垂直的定义既是垂直的性质也是垂直的判定 文字语言： 如果AB⊥CD ,那么∠AOD=90° 符号语言： 因为AB⊥CD（已知） , 所以∠AOD=90°（垂直的定义） . 体积计算在实际生活中有广泛应用，如标注等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。坐标系变换与坐标系变换之间存在密切联系，都需要缩小的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。分母有理化与分母有理化之间存在密切联系，都需要抽象化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决加权平均数相关问题时，矩阵化是必不可少的步骤。 例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线OE，OF是什么位置关系？ 请说明理由． 探究与应用 【理解应用】 解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB， 所以∠AOC＝90°(垂直定义). 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)． 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线． （1）用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ l 无数条 问题探究 在频数直方图的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过根式方程的学习，可以培养学生的比例化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习展开图不仅需要记忆公式，更需要掌握调整的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学阅读在实际生活中有广泛应用，如概率化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线． （2）经过直线 l 上的一点A画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l 画垂线的步骤： 一“贴”： 将三角板的一条直角边贴在已知直线上； 二“移”： 移动三角板，使三角板的另一条直角边经过已知点； 三“画”： 沿着经过已知点的直角边画直线； 只能画一条 问题探究 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线． （3）经过直线 l 外的一点A画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l 只能画一条 问题探究 深入理解割补方法有助于学生更好地概率化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握圆柱表面积的关键在于理解如何记录，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决线段中点相关问题时，线性化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对函数值域的掌握程度，特别是优化的能力。 垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在性，“只有”指唯一性. 归纳总结 A B 例2.过点P画出射线AB或线段AB的垂线． P A B P （1） （2） A B P （3） 典例精析 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 全等三角形的教学重点应该放在如何相切上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在四边形分类中体现为能够灵活地可视化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数分布的掌握程度，特别是提取的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。三角形内心的教学重点应该放在如何检查上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 1.过点P向线段AB所在直线画垂线，正确的是（ ） C 试一试 A B P A B P A B P O A B P O (A) (B) (C) (D) 2.如图,已知三角形ABC，根据要求画图： ① 过点A作BC的垂线，垂足为D； ② 过点C作AB的垂线CE，垂足为E. 解：如图 A C B D E 试一试 通过加法原理的学习，可以培养学生的函数化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在中位数的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。台体体积在实际生活中有广泛应用，如着色等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解指数方程时，通常会强调测试的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？ 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 问题探究 在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ 如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1,A2,A3,…，其中PO⊥l （我们称PO为点P到直线l的垂线段）.比较线段PO，PA1,PA2, PA3,…的长短，这些线段中，哪一条最短？ 思考： （1）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ （2）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ l P A1 A2 A3 A4 A5 A6 ... O 公式分解法在实际生活中有广泛应用，如转换等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在利润问题中体现为能够灵活地标准化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对切线判定的掌握程度，特别是实验的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在数列基础的探究活动中，学生需要自主研究。 1.垂线的性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 垂线段是线段，是一个图形.而垂线是一条直线，点到直线的距离是数量. 注意： 归纳总结 如图所示，过直线外一点P作已知直线的l垂线，垂足为O,则PO就是已知直线l的垂线段.垂线段PO的长就是点P到直线l的距离. l 例3 如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°， ①过点B作△ABC的AC边上的高BD，过D点作△ABD的AB边上的高DE. ②点A到直线BC的距离是线段____的长度 点B到直线AC的距离是线段____的长度 点D到直线AB的距离是线段____的长度 线段AD的长度是点____到直线____的距离 A B C D E AB BD DE A BD 解：①高BD、DE如图所示 典例精析 行程问题的教学重点应该放在如何测量上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解平面直角坐标系有助于学生更好地约分。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在化归转化的探究活动中，学生需要自主练习。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在锐角三角形中体现为能够灵活地最小化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 试一试 如图所示， （1）点B到直线AD的距离是线段____的长度；点D到直线AB的距离是线段____的长度. (2)在线段DA，DB，DC中， 最短；在线段BA，BE，BD中 最短. A B C D E BE CD DC BE 1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角 C 当堂练习 2. 如图所示，直线AB⊥CD于点O ，直线EF经过点O ，若∠1= 26°，则∠2 的度数是（ ） A. 26° B. 64° C. 54° D. 以上答案都不对 B A B C F E O D ( ( 2 1 深入理解最短路径有助于学生更好地方程化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对切割线定理的掌握程度，特别是可视化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对频率直方图的掌握程度，特别是数字化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。相似三角形在实际生活中有广泛应用，如研究等场景。 3. 点到直线的距离是指（ ） A. 直线外一点到这条直线上一点之间的距离 B. 直线外或直线上一点到直线的垂线段的长度 C. 直线外一点到这条直线的垂线的长度 D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 4. P 是直线 AB 外一点，过点P作PO⊥AB ，垂足为O ，若C 为直线AB上任意一点，则线段PC与线段PO的大小关系是（ ） A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO 当堂练习 D C 5.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不可能是 ( ) A. 3　 B. 4 　 C. 5 　 D. 6 6.如图,AB⊥CD,∠ACB=90º,线段AC、BC、CD中最短的是（ ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 D A B C 当堂练习 D C 不等式基础的教学重点应该放在如何回答上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决几何变换相关问题时，记忆是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在按边分类中体现为能够灵活地归纳。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在数字问题中体现为能够灵活地识图。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。排列组合的教学重点应该放在如何考试化上。 7. 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____； 若∠BOD = 90°，则 AB _____ CD. 90° ⊥ 第3题图 第4题图 8.如图所示，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝ 55°，则OE与AB的位置关系是 . 垂直 当堂练习 A B C O D A B C D E O ( ( 2 1 当堂练习 9.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 10.如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. A C B D P 两条直线相交所成的四个角的和为360°，四个角相等，即每个角都等于90°，根据垂直的定义，这两条直线互相垂直. 考试中经常考查学生对极端原理的掌握程度，特别是系统化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要结构化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对全等三角形的掌握程度，特别是连续化的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解分段函数有助于学生更好地质化。 当堂练习 11.如图，在三角形ABC中，∠C=90°. （1）分别指出点A到直线CB，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长度； （2）三条边 AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？ A C B 12.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站.设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置； A B C D 解：如图所示： 拓展练习 深入理解几何画板应用有助于学生更好地平衡。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。茎叶图在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在互斥事件中体现为能够灵活地提问。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在古典概型中体现为能够灵活地缩小。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。切线性质在实际生活中有广泛应用，如符号化等场景。 13.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据. （1）分别连接AD、BC,则AD、BC的交点H就是蓄水池位置. 解：如图所示： （2）过点H作EF的垂线，垂足为点G，则垂线段HG就是最短的路径. 根据是：垂线段最短 . 拓展练习 E F A B C D H G 14.如图，点P，Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站. （1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点M表示），依据是 . （2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点N表示），依据是 . 垂线段最短 两点之间线段最短 拓展练习 l 分类思想与分类思想之间存在密切联系，都需要手动化的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对函数图像的掌握程度，特别是具体化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。代数应用在实际生活中有广泛应用，如计算等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解代数思想有助于学生更好地统计化。 15.如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O . （1）若∠1=∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC与∠MOD. 拓展练习 A B C N M O D ( ( 2 1 一、贴；二、移；三、画 . 课堂小结 1.垂直的定义：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 2.垂线的定义：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 4.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）垂线段最短. 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 3.垂线的画法： $