精品解析：云南省石屏县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

石屏一中2025—2026学年下学期高二期中考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷命题范围：人教A 版必修第一、二册，选修第一、二册，选修三第六章. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若有一组数据为6，6，5，5，4，4，3，2，1，则该组数据的平均数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 4. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 5. 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 18 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线斜率小于零 B. 的极值点有 3个 C. 在区间上单调递减 D. 3是的极小值 8. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则_______________. 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 14. 从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种． 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 18. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为A，上顶点为B，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石屏一中2025—2026学年下学期高二期中考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.本卷命题范围：人教A 版必修第一、二册，选修第一、二册，选修三第六章. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若有一组数据为6，6，5，5，4，4，3，2，1，则该组数据的平均数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助平均数定义计算即可得. 【详解】平均数为. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得. 故选：B. 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 4. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质及求和公式即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以，解得. 故选:D. 5. 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数单调性可解出集合、，再利用并集定义即可得解. 【详解】由，可得，故， 由，可得，故， 则. 7. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线斜率小于零 B. 的极值点有 3个 C. 在区间上单调递减 D. 3是的极小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义，以及函数的单调性与极值（点）的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 所以曲线在处的切线斜率小于零，所以A正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 且是函数的极小值， 所以函数只有两个极值点，所以B，C，D都错误. 8. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD. 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与圆相切，则_______________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用圆的切线性质列式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，，所以. 故答案为：8 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和三角形面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得结果. 【详解】，，， ，解得：， ，. 14. 从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种． 【答案】54 【解析】 【分析】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，从而可求总的方案数. 【详解】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人， 让他担任两门学科的课代表，有种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种， ②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来， 有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生， 有种结果，所以不同的安排方案共有种， 综合得不同的安排方案共有种． 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用锥体体积公式求解. （3）由（1）中信息，再求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接，由，， 得四边形是平行四边形，，由，得， 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，则，又平面，所以平面 【小问2详解】 依题意，， 所以四棱锥的体积. 【小问3详解】 由（1）得，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 18. 已知椭圆的焦距为，其左顶点为A，上顶点为B，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）最大值为，直线方程为 【解析】 【分析】（1）利用焦距及顶点定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用点到直线距离公式与弦长公式表示出面积后计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设、， 联立，消去可得， ，即， ，， 点到直线距离， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的最大值为，此时直线的方程为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $