精品解析：江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次素质检测数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：审题人：） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 7. 化简：得（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是（ ） A. (-∞，1) B. (0，+∞) C. (-1，0) D. (-∞，0) 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 11. 函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若，且，则 C. 当，时，在单调且在不单调，则 D. 当时，若对任意的有成立，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 14. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知． （1）化简函数； （2）若，求和的值． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求的取值范围. 18. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 19. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：审题人：） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定：“任意”改“存在”，并否定原结论，即可得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为：. 故选：C. 3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数值判断即可求解 【详解】∵函数在上连续且单调递增， 且， ， ∴， ∴函数的零点所在的区间为. 故选：C． 【点睛】本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题. 6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 7. 化简：得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及平方公式可化简为，再结合角是第二象限角，确定正负，即可得结果. 【详解】解： 又因为角时第二象限角，所以，所以. 故选：C. 8. 设函数，则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是（ ） A. (-∞，1) B. (0，+∞) C. (-1，0) D. (-∞，0) 【答案】D 【解析】 【分析】先利用函数图象得到函数的单调性，再根据f(x+1)<f(2x)，利用单调性求解. 【详解】函数，如图所示： 因为f(x+1)<f(2x)， 所以，解得， 所以x的取值范围是 (-∞，0) 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 10. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质判断． 【详解】选项A，是R上的奇函数，则，所以，A正确； 选项B，在上，且存在，使得， 则时，，，，即在上有最大值为1，B正确； 选项C，设，则，由已知，即， 所以，所以在上是增函数，C错； 选项D，设，则，， ，D错． 故选：AB． 11. 函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若，且，则 C. 当，时，在单调且在不单调，则 D. 当时，若对任意的有成立，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期公式计算判断A，根据相邻最值的横坐标距离为周期的一半求解周期，然后利用周期公式计算判断B，先根据单调性求得，再求出增区间判断C，根据最值点建立方程求解判断D. 【详解】A选项，，解得，故A错误； B选项，因为，且， 则的最小正周期为，则，解得，故B错误； C选项，当时，，因为在单调， 则，则， 又，所以，则，由得， 则在单调且在不单调，故C正确； D选项，当时，，因为对任意的有成立， 所以，，所以，， 因为，所以当时，有最小值，故D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递增，不满足题意， 当时，在上单调递减，满足题意. 故． 故答案为： 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】命题为假命题时，二次方程无实数解，据此可求a的范围. 【详解】若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解， ∴. ∴a的取值范围是：. 故答案为：. 14. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为， 则扇形的面积，解得：， 此扇形所含的弧长. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）按指数幂的运算法则计算即可； （2）按对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 . 16. 已知． （1）化简函数； （2）若，求和的值． 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得出； （2）由三角函数的诱导公式化简再计算得出. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， 所以； ． 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域. （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【小问1详解】 因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，函数，， 函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. 【小问2详解】 当时，，令，， 不等式，则在上有解， 即在上有解，函数在上单调递增， 当时，. 所以的取值范围是. 18. 已知函数，． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是，. （2），此时；，此时. 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 19. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明： 由（1）可知，， 任取，且， 则， ，又， 在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）令，，转化为在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 为定义域为的奇函数， ，即， ，整理得，，解得， 故， 函数的定义域为，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，由可得， 即当时，，令， 则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 则， 实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $