期中复习专项【三角函数专题（和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形）】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

和、差角的正弦公式化简求值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形 一、基础过关(15题) 1.(2026·高一下·河北邢台·月考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,己知acosC+ccos4= B2 2 (1)求b: ，csB=2V7 (2)若A=2 ,求△1BC的面积 2.(2026·高一下黑龙江鸡西·月考)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,且a=4,b=5,cosC= P (I)求边长C和△ABC的周长； ②求sim4+】的值. 4 3.(2026·高一下.吉林.月考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,acosB-2 acosC=(2c-b)cosA. (1)证明：sinC=2sinB: (2)若c=√3a,求cosB的值. 4.(2026四川广元二模)记△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(C-B)=sinB+sinA. (1)求C: (②若4B=4,且△MBC的周长为号，求△BC的面积 5.(2026·高一下·贵州贵阳·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且bcosC=2ac0sB-ccosB (1)求角B的大小： (2)若b=2,S4Bc=V3,求△ABC周长 (3)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC面积的取值范围. 试卷第1页，共6页 6.(2026·高一下.陕西咸阳·月考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinA+√3 acosC=√3b. (1)求角A: (2)若a=2,则△ABC的面积为√5，求b,c. 7.(2026·高三下·辽宁·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2sinB-√3cosA)c=√3 acosC. (1)求角C的大小： (2)若角C是锐角，c=√7，a+b=4,求△ABC的面积. 8.(2026·高一下·北京朝阳·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知(a+c)(a-C)=b(b+c). (1)求角A的大小： (2)若cosB=13 =14'a=7,点D是BC边上的中点，求sinC和线段AD的长. 9.(2026·高一下·重庆万州·月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3c-b=3 acos B. (1)求simA; 2若c-b=巨m」 之a,证明：△ABC是直角三角形. 10.(2026·高一下·湖北武汉·期中)己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求角A的大小： (②)若△ABC为锐角三角形，求二的取值范围. 11.(2026·高二下·云南怒江·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2bc0SA+b. (1)证明：A=2B (2)若b=√3，A的角平分线交BC于D,且AD=2,求a 试卷第2页，共6页 12.(2026·高一下.贵州贵阳·月考)己知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，ac0sC+√3 asinC-b-c=0. (1)求A: (2)已知a=2,D是边BC的中点，求AD的最大值. 13.(2026高一下·山东枣庄·专题练习)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c0sC(aC0sB+bc0sA)=c. (1)求角C的值 (2)若c=V万，△ABC的面积为3 2 求△ABC的周长. (3)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC的周长取值范围. 14.(2026·高一下·浙江·期中)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3asi(A+B)=c(cosA+1) (1)求角A: (2)若a=2,△ABC的面积为√3，求△ABC的周长. 15.(2026·高一下·湖北武汉·期中)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 acos B+b=2c, a=6. (1)求A: (2)若bc=9,求中线AM的长： ③)若△1BC的内切圆半径，-35，求△dC的面积S 2 二、中档提升(5题) 16.(2026·高一下.山东枣庄·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinC=b+c. (1)求A的值： ②话D=3D4,cosB=4且△ABC的面积为20W3,求CD的长厘 试卷第3页，共6页 17.(2026·高一下·北京丰台·期中)在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2 acosA. (1)求角A: (2)已知c=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC 边上中线AD的长 条件①：cos8=子：条件②：a=19:条件③：b=5 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18.(2026·高一下.浙江台州·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B+√3 bcosA=√3c, (1)求B: (2)若b=√7，c=1,求△ABC的面积： (3)若c=2,求锐角△ABC面积的取值范围. 19.(2026·高一下·浙江·期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c,A为锐角，已知 acosC-3csinA-b+Bc=0. (1)求A: (2)若a=3,△ABC的面积为2-√5，求△ABC的周长； (⊙)洁△4BC是锐角三角形，求“店的取值范国。 20.（2026·高一下·福建福州期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,若b=6且 3a=3b cos C-Bc sin B. (I)求角B: (2)若角B的角平分线交AC于点D,BD=V3,点E在线段AC上，EC=2EA,求△BDE的面积. 试卷第4页，共6页 三、压轴特训(10题) 21.(2026·高一下·浙江温州期中)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，sin(A+C)=sin2B. (1)求B: (2)若BD=2DC,BD=√7，AB=2,求△ABC的面积. 22.(2026·高一下·江苏徐州·期中)在△ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c,满足sin(C-A)+√3sinA=sinB. (1)求角C的大小： (2)若C=6,D在直线AB上，且CD⊥AB,求CD的最大值； (3)延长CA至点N,使得√3CA=AN,连接BN,使得∠ABN=60°，求∠ABC的大小. 23.(2026·高一下·江苏无锡·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且(2a+b)c0sC+c.c0sB=0 (1)求角C的大小： (2)若sinA+sinB=1,c=√3，求△ABC的面积. 24.（2026高一下·云南昭通期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos C+csinA-b-c=0. (1)求角A的大小： (2)若a=2√2，△ABC的面积为2，求b,c的值. 25.(2026·高一下·浙江·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-V3 bsinc-bcosC=0. (1)求B: (2)若c=2√3a,且△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积； B)诺D为边B上一点，且∠ACD-子求0 代0的最大值。 试卷第5页，共6页 26.(2026·高一下·湖北期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+√3 asinC=b+c. (1)求A的值： (2)若a+1=b,c>2,当△ABC的周长最小时，求c的值. 27.(2026·高一下·山西阳泉·期中)己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足bcosA=(2c-)cosB (1)求角B的大小： (2)若b=2,求△ABC周长的取值范围. 28.（2026·高一下·河北雄安月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,b=3,且 asin B+btan B cos A=2bsin C. (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围. sinc cosB +cosA 29.(2026高一下·黑龙江大庆·月考)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边， cosB-cosA sinc-v2sinB (1)求角A: (②若△ABC是锐角三角形，a=3,simB=2y2, 3一，求△ABC的面积 30.(2026高-下-浙江温州-期中)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,bc,且nA-simB_acsB-bcosA sin2A+sin2 B (1)判断△ABC的形状： (2)若△ABC为钝角三角形，C=2,D为线段BC的延长线上一点，AD⊥AB,E在线段CD上，且 ∠CAD=2∠EAD,DE=CD )若元=2，求AD的长： 11 (i)求的取值范围. 试卷第6页，共6页 和、差角的正弦公式化简求值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形 一、基础过关（15题） 1．（2026·高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 2．（2026·高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，角所对的边分别为，且，． (1)求边长和的周长； (2)求的值． 3．（2026·高一下·吉林·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，． (1)证明：； (2)若，求的值． 4．（2026·四川广元·二模）记的角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 5．（2026·高一下·贵州贵阳·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 6．（2026·高一下·陕西咸阳·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，则的面积为，求，． 7．（2026·高三下·辽宁·月考）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若角是锐角，，求的面积． 8．（2026·高一下·北京朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 9．（2026·高一下·重庆万州·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 10．（2026·高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 11．（2026·高二下·云南怒江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 12．（2026·高一下·贵州贵阳·月考）已知、、分别为的内角、、的对边，． (1)求A； (2)已知，是边的中点，求的最大值． 13．（2026高一下·山东枣庄·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 14．（2026·高一下·浙江·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 15．（2026·高一下·湖北武汉·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 二、中档提升（5题） 16．（2026·高一下·山东枣庄·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，，且的面积为，求的长度. 17．（2026·高一下·北京丰台·期中）在中，内角对应的边分别为，且. (1)求角； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（2026·高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 19．（2026·高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，求的取值范围． 20．（2026·高一下·福建福州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且. (1)求角； (2)若角的角平分线交AC于点，点在线段AC上，，求的面积. 三、压轴特训（10题） 21．（2026·高一下·浙江温州·期中）在中，分别是角所对的边，． (1)求； (2)若，，，求的面积． 22．（2026·高一下·江苏徐州·期中）在中，角对应边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若在直线上，且，求的最大值； (3)延长至点，使得，连接，使得，求的大小. 23．（2026·高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 24．（2026·高一下·云南昭通·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为2，求b，c的值． 25．（2026·高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值． 26．（2026·高一下·湖北·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若，当的周长最小时，求的值. 27．（2026·高一下·山西阳泉·期中）已知中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 28．（2026·高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 29．（2026·高一下·黑龙江大庆·月考）已知，，分别是的内角，，的对边，． (1)求角； (2)若是锐角三角形，，，求的面积． 30．（2026·高一下·浙江温州·期中）已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)判断的形状； (2)若为钝角三角形，为线段BC的延长线上一点，在线段CD上，且 （i）若，求AD的长； （ii）求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 用和、差角的正弦公式化简求值；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形 一、基础过关（15题） 1．（2026·高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． （2）． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 2．（2026·高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，角所对的边分别为，且，． (1)求边长和的周长； (2)求的值． 【答案】(1)6；15 (2) 【难度】0.82 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【详解】（1）由题意可得， 解得， 的周长为. （2）因为，，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以. 3．（2026·高一下·吉林·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，． (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）将题设条件合理变形，结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可. （2）利用正弦定理得到，由题可得，再利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理，得， 则，可得，即. （2）由（1）知， 根据正弦定理，可得，又，则， 由余弦定理，得. 4．（2026·四川广元·二模）记的角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以 ， 整理得，， 又，所以， 所以，解得， 又，所以． （2）因为，且的周长为，所以， 由余弦定理得，， 整理得，， 由得，，解得， 所以． 5．（2026·高一下·贵州贵阳·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)6 (3) 【难度】0.65 【知识点】正切函数图象的应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 6．（2026·高一下·陕西咸阳·月考）设的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，则的面积为，求，． 【答案】(1) (2) 【难度】0.78 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理将已知条件式边化角结合整理可得，进而求； （2）由三角形面积公式结合可得，由余弦定理结合和可得，列方程组求解. 【详解】（1）根据正弦定理将已知等式的边化为角，得， 在中，，故， 代入得 ，整理得： ， 因为，所以，即，又，所以. （2）已知，又，，所以，化简得， 又，，由余弦定理可得，得， 由解得. 7．（2026·高三下·辽宁·月考）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若角是锐角，，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.72 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出的值； （2）利用余弦定理结合完全平方式求出，进而求出三角形面积. 【详解】（1）由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． （2）因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则，   因为， 所以，得，   故的面积为． 8．（2026·高一下·北京朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系、三角形内角和及两角差的正弦公式计算可得，再利用正弦定理可得、，最后利用向量线性运算及模长与数量积关系计算即可得的长. 【详解】（1）由，可得， 即，由余弦定理可得， 则，即，又，故； （2）由，则， 则， 由正弦定理， 可得，， 由点D是边上的中点，则， 故 ， 即. 9．（2026·高一下·重庆万州·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角形内角性质、三角恒等变换化简得，进而求得，再求其正弦值； （2）由正弦边角关系得，利用三角形内角和及和角正弦公式得，进而求得，结合前提即可证. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系有，而， 所以，即， 所以，而，则， 由，可得. （2）由题设，则， 所以，即， 所以，可得， 所以，则， 所以，可得， 所以，故（负值舍）， 由，则，即为直角，故是直角三角形，得证. 10．（2026·高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理化简计算求解； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合题意可得，根据正切函数性质计算求解. 【详解】（1）可化为， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，即的取值范围为. 11．（2026·高二下·云南怒江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.63 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 12．（2026·高一下·贵州贵阳·月考）已知、、分别为的内角、、的对边，． (1)求A； (2)已知，是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换公式化简求解即可； （2）先根据平面向量的线性运算、数量积运算律可得，再结合余弦定理得到、，进而求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 则， 即， 则， 因为，所以，即， 则，即， 因为，所以，则，即. （2）因为是边的中点，所以， 则 ， 由余弦定理，得，即 而，当且仅当时等号成立，则，即， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 13．（2026高一下·山东枣庄·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； （3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 14．（2026·高一下·浙江·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式可得，根据的范围求解即可； （2）由面积公式可求得，由余弦定理可求得，即可得答案. 【详解】（1）由， 得， ，， ，， ，即，     ，， ，． （2）， ， 由余弦定理     得， ， ， 的周长为. 15．（2026·高一下·湖北武汉·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.63 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【详解】（1）由，可得. ， ，又，则， ，又， （2）在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 二、中档提升（5题） 16．（2026·高一下·山东枣庄·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，，且的面积为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求； （2）先求，根据正弦定理可得三边之比，结合面积可求三边，再由余弦定理可求的长度. 【详解】（1）由及正弦定理， 得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以. （2）由的面积为，得，所以①， 又，所以， 故， 由正弦定理，得②， 由①②可得，，， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以. 17．（2026·高一下·北京丰台·期中）在中，内角对应的边分别为，且. (1)求角； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角； 方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得. （2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在； 选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度； 选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在. 【详解】（1）方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径， 代入，得， 即. 由，，故. 因为，所以，又，所以. 方法二：因为， 由余弦定理得， 化简得即. 又，所以. （2）选条件①：，，， 因为，所以，. 则 . 三角形内角正弦值必为正，故不存在. 选条件②：，，. 由余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）. 故，三角形唯一确定. 因为为边上中线，由向量关系得， 两边平方得， 代入，，， 得，所以. 选择条件③：，，， 为边上中线，所以， ， 代入，，， 得，所以，三角形存在且唯一. 18．（2026·高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合消去，化简后通过同角三角函数关系求； （2）已知，先用余弦定理列方程解出，再代入三角形面积公式计算； （3）先用正弦定理将用表示，结合锐角三角形条件求出的范围，再将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求值域． 【详解】（1）由得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以； （2）由，得，解得，（舍去）， 所以； （3）因为，，所以， 由，得， 所以 ， 因为为锐角三角形且，所以， 则，，，， 所以． 19．（2026·高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，从而得三角形周长； （3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化为关于的式子，再由的范围求得结论． 【详解】（1）在中，由及正弦定理、内角和定理，得， 即 ，故得，从而， 或， 而，故（舍去）． （2）由的面积为 又由余弦定理，得， 从而得， 所以的周长为． （3）由正弦定理得 为锐角三角形，由，得，则， 即，故， 得， 所以的范围是． 20．（2026·高一下·福建福州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且. (1)求角； (2)若角的角平分线交AC于点，点在线段AC上，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.75 【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式化简求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出，进而求出的面积. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理 ，则， 而，因此，而，所以. （2）由角的角平分线交AC于点及（1），得， 由及，得， 整理得，由余弦定理得，即， 于是，而，解得， 因此，解得，即，则，点为的中点， 由，得，，， 所以的面积. 三、压轴特训（10题） 21．（2026·高一下·浙江温州·期中）在中，分别是角所对的边，． (1)求； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）方法一：根据正弦函数性质得，再结合内角和定理即可求得答案； 方法二：根据二倍角公式，内角和定理化简整理得，进而求得答案； （2）由题意知，再结合，面积公式求解即可. 【详解】（1）解：方法一：因为，，， 所以或（舍，与内角和定理矛盾）， 所以，又， 所以 方法二：因为，，， 所以，又， 所以，所以 （2）解：因为且，所以， 又，由（1）知， 所以． 22．（2026·高一下·江苏徐州·期中）在中，角对应边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若在直线上，且，求的最大值； (3)延长至点，使得，连接，使得，求的大小. 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.5 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式计算即可得； （2）借助等面积法可表示出，再利用余弦定理与基本不等式计算即可得； （3）设，然后在与中利用正弦定理计算可得，结合范围即可得解. 【详解】（1）由， 则， 即，又，故， 则，又，故； （2）由题意得，故， 由余弦定理可得， 故，则， 即， 当且仅当时，等号成立，故， 即的最大值为； （3）设，则， 则，， 则有，即， 在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 故，即，即， 由，故或，即或， 即可能为或. 23．（2026·高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. （2）由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 24．（2026·高一下·云南昭通·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为2，求b，c的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.76 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据正弦定理与和差的正弦公式求解即可. （2）根据三角形面积公式结合勾股定理计算即可. 【小题1】由正弦定理得， 又， 代入得． 由，，得， 由，所以易得． 【小题2】，得． 由勾股定理得．联立，得． 25．（2026·高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.51 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可； （3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即，又，则， 所以， 所以，由，得； （2）由，得， 由，得，可得， 所以． （3）因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以， 当即时，的最大值为． 26．（2026·高一下·湖北·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若，当的周长最小时，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得解； （2）借助余弦定理可用表示出、，从而可用表示出的周长，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 又， 则， 即，又，故， 则，故， 即，又，故，即； （2）由余弦定理可得， 由，故，整理得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当的周长最小时，的值为. 27．（2026·高一下·山西阳泉·期中）已知中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换得到的值，求出角的大小； （2）由余弦定理和基本不等式，三角形三边关系得到周长的取值范围 【详解】（1）因为，所以. 整理得， 即，， 因为，所以，故， 又因为，所以； （2），，由余弦定理可得， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 故，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，周长的范围为. 28．（2026·高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）根据条件及正弦定理，结合两角和的正弦公式、诱导公式等，化简整理，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式等，可得化简后的表达式，根据条件，可得角A的范围，根据三角函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由及正弦定理得. 因为，所以. 所以，即. 所以，即. 因为，所以， 所以，因为，所以. （2）由正弦定理得，所以，， 所以. 又 ， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得. 则，所以. 所以，则， 所以周长的取值范围为. 29．（2026·高一下·黑龙江大庆·月考）已知，，分别是的内角，，的对边，． (1)求角； (2)若是锐角三角形，，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.68 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由题意得，利用正弦定理可得，进而可求得，可求得角； （2）利用三角恒等变换和同角三角函数间的关系可求得，利用正弦定理可求得，可求的面积． 【详解】（1）， ， ， 由正弦定理得，，， ，． （2），， ， ， 由正弦定理知，，， ． 30．（2026·高一下·浙江温州·期中）已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)判断的形状； (2)若为钝角三角形，为线段BC的延长线上一点，在线段CD上，且 （i）若，求AD的长； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2)（i）；（ii） 【难度】0.36 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）法1：根据余弦定理的应用将等式变形得，进而即得；法2：根据正弦定理和三角恒等变换的应用将等式变形为，进而即得；法3：根据正弦定理和三角恒等变换的应用将等式变形为，进而即得； （2）法一：（i）由（1）可得，设，则，结合角平分线定理化简计算即可求解；（ii）由（i）得，由为钝角三角形得，解得，即可求解. 法二：（i）由（1）可得，设，则，，根据正弦定理和三角恒等变换的应用可得，求出，结合二倍角公式计算即可求解；（ii）由（i）可得，结合计算即可求解. 【详解】（1）法1：由题意，得， 即则， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形； 法2：由正弦定理得， 则， ， ， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形； 法3：由正弦定理得， 则， 因此， 所以， 即， 因此在中，或， 所以或, 因此为等腰三角形或直角三角形. （2）法一：（i）由（1）知，为等腰三角形或直角三角形， 又为钝角三角形，所以为等腰三角形， 则，因此， 因为， 所以， 设，则， 在线段CD上， 由角平分线定理，得， 则，又， 所以，解得， 因此； （ii）由（i）得，则， 因为为钝角三角形，所以，得， 所以，即，又， 故. 法2：（i）由（1）知，为等腰三角形或直角三角形， 又为钝角三角形，所以为等腰三角形，则， 所以，又，所以， 在线段CD上，， 设，则， 由正弦定理得， ， 所以， ， ， ， 故， ， 由，得， ， 所以， 在Rt中，， 因此； （ii）， 又为钝角三角形，所以为钝角，， 因此，所以， 故， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $