2026年中考数学二轮复习《探索与表达规律》解答题专题提升训练

**基本信息** 聚焦“观察-猜想-证明-应用”完整链条，通过数字、图形、代数多维度规律探索，系统培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字规律|8题|归纳法、代数表达|从具体等式到n项通式，强化符号意识| |图形规律|7题|数形结合、几何建模|从点阵/面积到数量关系，发展空间观念| |代数规律|5题|公式证明、逆用变形|从整式/根式运算到规律迁移，提升推理能力|

2026年春九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》解答题专题提升训练（附答案） 1．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 2．有下列等式： ； ； ； ； … (1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________； (2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明． 3．【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)填空：__________ (2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： (3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 4．（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 5．小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 6．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2） __________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 7．在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 8．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 9．如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式： (1)请写出第3个等式：__________； (2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）； (3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？ 10．如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 11．观察下列图形，寻找规律，回答下列问题： 定义数列：、、、、……，其中，（k为任意正整数）． 以数列中每一项的数为边长画出正方形，再将这些正方形按下图规律依次拼成长方形． (1)按照图中规律，图⑤的长方形的周长为______； (2)按照图中规律，图⑨的长方形的面积为______； (3)从图中总结规律：______． 12．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 13．观察下列表格，当a取不同数值时，对应的四个代数式的值也发生了变化．根据发现的规律回答下列问题： x取值 … 0 1 2 … … a … … 1 4 7 … … 7 5 3 1 … … b 0 … (1)【规律感知】 根据表中信息可知，_______，_______；当_______时，的值比的值小7． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是：x的值每增加1，值就都减少2，类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都_______；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都_______； (3)【规律运用】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都减少3，且当时，的值为，求m，n的值． 14．阅读理解： 材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…， 发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律，快速计算：． 根据材料，回答问题： 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）． …… （2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： ①计算：； ②如果，那么n＝ ． 15．中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 16．规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知；_______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1． 类似地，的值的变化规律是：______； （3）观察表格，下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④当时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（a，b，m，n为常数且，），若无论x取何值，始终大于，试写出a与m，b与n满足的条件． 17．我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 18．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如， 在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． 根据以上规律，解答下列问题： (1)展开式共有_______项，第二项系数为_______；系数和为_______． (2)根据上面的规律，写出的展开式：___________________________________ (3)利用上面的规律计算：． (4)此外，“杨辉三角”还蕴含着很多数字规律，请你找一找，根据规律写出二项式的展开式中项的系数：_______． 19．综合与实践 小明将连续的偶数，，，，…，排成图的数表，然后用图所示的“ ”形框框出个偶数，，，，，，小明在操作时发现规律：任意框出个偶数，个偶数的和与偶数存在某种数量关系，并且若偶数在同一列，则这一列数存在某种数量关系．    【探究规律一】：用“ ”形框任意框出个偶数，框中个偶数之和用含的代数式表示为_____； 【探究规律二】：若数落在第四列，则这一列数为，，，…，这一列数可以用代数式表示为（为正整数），同样，若数落在第三列，则这一列数可以用代数式表示为______（用含的代数式表示）． 【运用规律】： （）移动“ ”形框，若被“  ”形框框中的个偶数之和为，则的值是___21___，这个偶数落在从左往右第___22___列； （）移动“  ”形框，被“ ”形框框中的个偶数之和可能是吗？若能，求出的值，若不能，请说明理由 20．数学活动——探究日历中的数字规律：如图是年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ； 将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， ， （ ）， ， 所以，的值均为 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 题． ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 参考答案 1．（1）解：第6个等式：； （2）解：猜想第n个等式为：，证明如下： 等式左边， ∵n为正整数， ∴， ∴等式左边右边， ∴等式成立． 2．（1）解：根据规律可得， 故答案为：；； （2）解：猜想：． 证明如下： ， 即． 3．（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得（，为正整数）， 证明： （，为正整数）； （3）解： ， ∴． 故答案为：（，为正整数）． 4．解：（1）∵，， ，， 总结规律为：， 故答案为：； （2）根据（1）中总结的规律：， 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 如图所示； （3）根据小明发现的规律，可得． 5．（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 6．解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 7．（1）解： （2）解：由（1）可知 （3）解： （4）解：由（1）知 ∵ ∴ 即 ∴ 当时， 当时， 8．解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 9．（1）解： ； （2）解：； （3）解：因为最底端有2024个小正方形，所以， 解得： 所以（个） 答：，共有1025156个小正方形． 10．（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 11．（1）解：通过计算，制表填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 故答案为：42； （2）解：序号为⑨的长方形长为89，宽为55， 长方形的面积是， 故答案为：； （3）解：通过（2）中可知：代表的是图⑨的长方形的面积， ， 故答案为：． 12．（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 13．（1）解：根据表中信息可知，， ， ，解得， ∴当时，的值比的值小7． 故答案为：； （2）解：表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是：x的值每增加1，值就都减少2，类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加2；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少3； 故答案为：增加2，减少3； （3）解：根据（2）中的规律可知， 当x的值每增加1，的值就都减少3， ∴x的系数， 又当时，的值为， ∴， 解得， 故，． 14．解：（1）（答案不唯一）； （2） ； 故答案为： 证明： = 故答案为： （3）①； ， ， ， ． ② 则 15．（1）解：第二层新增基站数：个，总基站数：个； 第三层新增基站数：个，总基站数：个； 第四层新增基站数：个，总基站数：个； 第五层新增基站数：个，总基站数：个； …… 第n层新增基站数规律：个． 故答案为：18；37；24；61；． （2）解：当时， ． 答：总基站数是169个． 16．解：（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：；； （2）的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2； 故答案为：x的值每增加1，的值就增加2； （3）①∵的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1，的值的变化规律是x的值每增加1，的值就增加2，且当时，和的值相同， ∴当时，的值大于的值， ∴当时，，故①正确； ②同理可知当时，，故②正确； ③同理可知，当时，，故③正确； ④同理可知当时，时，故④错误； ∴正确的有①②③ ， 故答案为：①②③； （4）由题意可得：， 整理得， ∵若无论x取何值，的值始终大于的值， ∴， ∴，， 故答案为：，． 17．（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 18．（1）解：； ∴展开式共有6项，第二项系数为；系数和为 故答案为：； （2）解：； （3）解： ； （4）观察“杨辉三角”还蕴含着很多数字规律，当时，第三个数分别为 又，，，， ∴第行的第三个数为： ∵“杨辉三角”中每行数字左右对称，的展开式中，项的系数与展开项中按的降幂排列后的第三个系数一样， ∴ ∴的系数为 故答案为： 19．解：探究规律一：由题意可知：，，，，， 则， 故答案为：； 探究规律二： 由题意可知： ∴前一列的与第四列相差， ∴这一列数可以用代数式表示为， 故答案为：（用含的代数式表示）； 运用规律： （1）由上可知：框中个偶数之和，且排在第或或或列， ∴这几列数用代数式表示分别为，，，， ∴当个偶数之和为，即，解得：， 代入，，，可知 这个偶数落在从左往右第五列， 故答案为：，五； （2）同理：，解得：， ∴，解得：，即此偶数在第七列， 根据题意，框中的个偶数之和不可能是． 20．（1）解： ； 将的方框移动到图中的其他位置，总有，，， ； 故答案为：；； （2）解：设，则，，， ， ， ， ∴的值均为； 故答案为：，，，； （3）解：选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ； 的值均为； 选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ， 的值均为． 学科网（北京）股份有限公司 $